弹性力学简明教程_习题解答

【2-9】【解答】图2-17：

上（y =0）

左(x =0) 右（x =b ）

l

0 -1 1 m

-1

() x f s

()

1g y h ρ+

()

1g y h ρ-+

() y

f

s

1gh ρ

代入公式（2-15）得

①在主要边界上x=0，x=b 上精确满足应力边界条件：

()()100(),0;===-+=x xy x x g y h σρτ()()1b b (),0;

===-+=x xy x x g y h σρτ

②在小边界0y =上，能精确满足下列应力边界条件：()

()

,0y xy y y gh σρτ===-=

③在小边界2y h =上，能精确满足下列位移边界条件：

()()2

2

0,0

====y h

y h u v

这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚=1δ时，可求得固定端约束反力分别为：

10,,0s N F F gh b M ρ==-=

由于2y h =为正面，故应力分量与面力分量同号，则有：

()()()222

10000

0b y y h b

y y h b

xy y h dx gh b

xdx dx σρστ===⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩⎰⎰⎰ ⑵图2-18

①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15）

l

m

x f (s)

y f (s)

2h y =-

0 -1 0 q

2

h y =

1

-1q

-/2()y y h q σ==-，-/2()0yx y h τ==，/2()0y y h σ==，/21()yx y h q τ==-

②在x =0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力

与面力符号相反，有/20/2/2

0/2/20

/2()()()h xy x S

h h x x N h h x x h dx F

dx F ydx M τσσ=-=-=-⎧=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎩⎰⎰⎰

③在x=l 的小边界上，可应用位移边界条件0,0====l x l x v u 这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。

首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力：

110,x

N N

N N F F F q l F q l F ''=+=⇒=-∑ 0,0y

S S S S F

F F ql F ql F ''=++=⇒=--∑

2

211110,'02222A S S q lh ql M M M F l ql q lh M M F l =+++-=⇒=---∑

由于x=l 为正面，应力分量与面力分量同号，故

/21/22/2

1/2/2/2

()()22()h x x l N N

h h x x l S h h xy x l S S

h dy F q l F

q lh ql ydy M M F l dy F ql F

σστ=-=-=-⎧'==-⎪⎪⎪'==---⎨⎪

⎪'==--⎪⎩⎰⎰⎰ 【2-10】【解答】由于h l ?，OA 为小边界，故其上可用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：

(a)上端面OA 面上面力q b

x

f f y x =

=,0 由于OA 面为负面，故应力主矢、主矩与面力主矢、主矩符号相反，有

()()()0

00020000002

2120b

b b y y y b b b y y y b

yx y x qb dx f dx qdx b x b qb xdx f xdx q x dx b dx σστ===⎧=-=-=-⎪⎪

⎪⎛⎫=-=-=

⎨ ⎪⎝⎭⎪

⎪=⎪⎩

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(对OA 中点取矩)

(ｂ)应用圣维南原理，负面上的应力主矢和主矩与面力主矢和主矩符号相反，面力主矢

y 向为正，主矩为负，则

()()()0020

0002120b

y N y b

y y b xy y qb dx F qb xdx M dx σστ===⎧=-=-⎪⎪

⎪=-=⎨⎪

⎪=⎪⎩

⎰⎰⎰

综上所述，在小边界OA 上，两个问题的三个积分的应力边界条件相同，故这两个问题是静力等效的。

【2-14】【解答】在单连体中检验应力分量是否是图示问题的解答，必须满足：（1）平衡微分方程（2-2）；（2）用应力表示的相容方程（2-21）；（3）应力边界条件（2-15）。

（1）将应力分量代入平衡微分方程式，且0==x y f f

0∂∂+=∂∂yx x x y τσ 0∂∂+=∂∂y xy y x

στ

显然满足 （2）将应力分量代入用应力表示的相容方程式（2-21），有

等式左=()2222x y x y σσ⎛⎫∂∂++ ⎪∂∂⎝⎭

=220≠q

b =右

应力分量不满足相容方程。

因此，该组应力分量不是图示问题的解答。 【解答】（1）推导公式

在分布荷载作用下，梁发生弯曲形变，梁横截面是宽度为1，高为h 的矩形，其对中性

轴（Z 轴）的惯性矩3

12=h I ，应用截面法可求出任意截面的弯矩方程和剪力方程

()2

3(),62=-=-q qx M x x F x l l

。所以截面内任意点的正应力和切应力分别为：

()332==-x M x x y y q I lh

σ ()()

2222233431.424⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭s xy F x y q x h y bh h lh τ。

根据平衡微分方程第二式（体力不计）。

0∂∂+=∂∂y

xy

y x στ得： 3

33.22=-+y q xy xy q A lh lh

σ 根据边界条件

()

/2

0==y

y h σ得 q .2=-x A l

故333.2.22=--y q xy xy q x

q lh lh l σ

将应力分量代入平衡微分方程（2-2） 第一式：

22336.60x y x y

q q lh lh

=-+==左右 满足

第二式 自然满足 将应力分量代入相容方程（2-23）

()22223312.12.0⎛⎫∂∂=++=--≠= ⎪∂∂⎝⎭

左右x y xy xy

q q x y lh lh σσ

应力分量不满足相容方程。故，该分量组分量不是图示问题的解答。

【2-18】【解答】（1）矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程()M x Fx =-，横截面对中性轴的惯性矩为

3/12z I h =，根据材料力学公式

弯应力3()12x z M x F

y xy I h

σ=

=-；该截面上的剪力为()s F x F =-，剪应力为 ()*2233()/262241/12s xy z F x S F h h y F h y b y y bI h h τ⎛⎫--⎛⎫⎡⎤==⋅-⋅⋅+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⨯⎝⎭⎣⎦⎝⎭

取挤压应力0y σ=（2）将应力分量代入平衡微分方程检验 第一式：23

12120F F

y y h h =-

+==左右 第二式：左=0+0=0=右 该应力分量满足平衡微分方程。

（3）将应力分量代入应力表示的相容方程

2()0x y σσ=∇+==左右 满足相容方程

（4）考察边界条件

①在主要边界/2y h =±上，应精确满足应力边界条件(2-15)

l

m

x f

y

f

2h y =-上

0 -1 0 0 2h y =上

1

代入公式（2-15），得

()

()

()

()

-/2

/2

/2

/2

0,0;0,0

y

xy y yx y h y h y h y h στστ==-======

②在次要边界x=0上，列出三个积分的应力边界条件，代入应力分量主矢主矩

/2

0/2/2

0/22

/2/22

03/2/2()0()06()()4h x x h h x x h h h xy x h h dy x ydy F h dy y dy F y h σστ=-=-=--⎧⎪==⎪⎪==⎨⎪⎡⎤⎪=--=-=⎢⎥⎪⎣⎦⎩

⎰⎰⎰⎰向面力主矢面力主矩向面力主矢

满足应力边界条件

③在次要边界上，首先求出固定边面力约束反力，按正方向假设，即面力的主矢、主矩，

0,,N S F F F M Fl ==-=-

其次，将应力分量代入应力主矢、主矩表达式，判断是否与面力主矢与主矩等效：

/2

/2

3

/2/212()0h h x x l N

h h F

dy lydy F h σ=--=-==⎰⎰

/2/223/2/212()h h x x l h h F ydy ly dy Fl M h σ=--=-=-=⎰⎰

2/2

/2

23/2/26()4h h xy x l S h h F h dy y dy F F h τ=--⎛⎫=--=-=

⎪⎝⎭

⎰⎰

满足应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。 【3-4】【解答】⑴相容条件:

不论系数a 取何值，应力函数3

ay Φ=总能满足应力函数表示的相容方程，式(2-25). ⑵求应力分量

当体力不计时，将应力函数Φ代入公式(2-24)，得

6,0,0x y xy yx ay σσττ====

⑶考察边界条件

上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力. 左右边界上；

当a>0时，考察x σ分布情况，注意到0xy τ=，故y 向无面力 左端:0()6x x x f ay σ=== ()0y h ≤≤ ()

0y xy x f τ==

=

右端:()6x x x l f ay σ=== (0)y h ≤≤ ()0y xy x l f τ===

应力分布如图所示，当l h ?时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为主矢，主矩

主矢的中心在矩下边界位置。即本题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。 偏心距e ：

因为在A 点的应力为零。设板宽为b ，集中荷载p 的偏心距e ：

2()0/6/6

x A p pe

e h bh bh σ=

-=⇒= 同理可知，当a <0时，可以解决偏心压缩问题。

【3-5】【解答】（1）由应力函数2

ax y Φ=，得应力分量表达式

0,2,2x y xy yx ay ax σσττ====-考察边界条件，由公式（2-15）()()()()

x yx s x y xy s y l m f s m l f s στστ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩

①主要边界，上边界2h y =-上，面力为()22=-=x h

f y ax ()2

y h f y ah =-=

②主要边界，下边界2h y =，面力为()2,2x h f y ax ==- ()2

y h

f y ah ==

③次要边界，左边界x=0上，面力的主矢，主矩为

x 向主矢：/2

0/2

()0h x x x h F dy σ=-=-

=⎰

，y 向主矢：/2

0/2

()0h y xy x h F dy τ=-=-=⎰

主矩：/2

0/2

()0h x x h M ydy σ=-=-

=⎰

次要边界，右边界x=l 上，面力的主矢，主矩为x 向主矢：/2

/2

()0h x x x l h F dy σ=-'=

=⎰

y 向主矢：/2

/2

/2

/2

()(2)2h h y xy x l h h F dy al dy alh τ=--'=

=-=-⎰

⎰

主矩：/2

/2

()0h x x l h M ydy σ=-=

=⎰

弹性体边界上面力分布及次要边界面上面力的主矢，

⑵2

bxy Φ=，将应力函数代入公式（2-24），得应力分量表达式

A

2x bx σ=，0y σ=，2xy yx by ττ==-

考察应力边界条件，主要边界,由公式（2-15）得 在2h y =-

主要边界，上边界上，面力为,022x y h h f y bh f y ⎛⎫⎛

⎫=-==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭

在2h y =

，下边界上，面力为,022x y h h f y bh f y ⎛⎫⎛

⎫==-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭

在次要边界上，分布面力可按(2-15)计算，面里的主矢、主矩可通过三个积分边界条件求得：

在左边界x=0，面力分布为()()00,02x y f x f x by ==== 面力的主矢、主矩为

x

向主矢

：

()202

h h x x x F dy σ=-=-=⎰

y 向主矢：

()

()2200

2

2

20h

h h h y xy x x F dy by dy τ==--=-=--=⎰

⎰

主矩；/2

0/2

()0h x x h M ydy σ=-=-=⎰

，在右边界x=l 上，面力分布为

()()2,2x y f x l bl f x l by ====-，

，，面力的主矢、主矩为 x

向主矢：()/2

/2

/2

/222h h x x x l h h F dy bldy blh

σ=--'===⎰

⎰y 向主矢：

()

()/2/2

/2

/2

'20h h y xy x l

h h F dy by dy τ=--==-=⎰

⎰

主矩：()/2/2/2

/2

'20h h x x l h h M ydy blydy σ=--=

==⎰

⎰

（3）3

cxy Φ=，将应力函数代入公式（2-24），得应力分量表达式

26,0,3x y xy yx cxy cy σσττ====-

考察应力边界条件，在主要边界上应精确满足式（2-15） ①2

h

y =-上边界上，面力为23,0242x y h h f y ch f y ⎛⎫⎛⎫=-

==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

②h y=

2下边界上，面力为23,0242x y h h f y ch f y ⎛⎫⎛

⎫==-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭

次要边界上，分布面力可按（2-15）计算，面力的主矢、主矩可通过三个积分边界求得： ③左边界x=0上，面力分布为

()()()()

()()2/20/2/2

/2

2

3

/2

/2

h/20

-h/2

00,03x 0

1

34

x y h x x x h h h y xy

x h h x x f x f x cy F dy y F dy cy dy ch M ydy στσ=-=--======-==-=--==-=⎰⎰⎰

⎰

面力的主矢、主矩为向主矢：向主矢：主矩：

④右边界x l =上，面力分布为()()26,3x y f x l cly f x l cy ====- 面力的主矢、主矩为

x 向主矢()/2/2

/2/260h h x x x l h h F dy clydy σ=--'=

==⎰⎰

y 向主矢：()()/2

/2

2

3

/2

/2

134

h h y y x l h h F dy cy dy ch σ=--'=

=-=-⎰

⎰

主矩：()/2

/2

2

3

/2/2162

h h x x l h h M ydy cly dy clh σ=--'=

==

⎰⎰ 弹性体边界上的面力分布及在次要边界上面力的主矢和主矩，如图所示 【3-6】【解答】（1）将应力函数代入相容方程（2-25）

444422420∂Φ∂Φ∂Φ

++=∂∂∂∂x x y y

，显然满足 （2）将Φ代入式（2-24），得应力分量表达式

3

12,0,x y Fxy

h σσ=-=2234(1)2==--xy yx F y h h ττ （3）由边界形状及应力分量反推边界上的面力： ①在主要边界上（上下边界）上，2

h

y =±，应精确满足应力边界条件式（2-15），应力()

()

/2

/2

0,0y

yx y h y h στ=±=±==

因此，在主要边界2h y =±

上，无任何面力，即0,022x y h h f y f y ⎛⎫⎛

⎫=±==±= ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭

②在x=0，x=l 的次要边界上，面力分别为：

22340:0,1-2x y F y x f f h h ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，3221234:,12x y Fly F y x l f f h h h

⎛⎫

==-=-- ⎪⎝⎭

因此，各边界上的面力分布如图所示：

③在x=0，x=l 的次要边界上，面力可写成主矢、主矩形式：

x=0上 x=l 上

1212h/2

/2

/2/2h/2

/2

/2/2h/2/2

12-h/2

/2

=0, 0=, =0, h N x N x h h h S y S y h h h x x h x F f dy F f dy y F f dy F F f dy F M f ydy M f ydy Fl

-----======-===-⎰⎰⎰⎰

⎰

⎰

向主矢：向主矢：主矩：

【3-7】【解答】(1)将应力函数Φ代入式（2-25）

440x ∂Φ=∂，443

24qy

y h

∂Φ=∂，42233122422qy qy x y h h ∂Φ--=⨯=∂∂ 代入（2-25），可知应力函数Φ满足相容方程。 （2）将Φ代入公式（2-24），求应力分量表达式:

2232336435x x qx y qy qy f x y h h h σ∂Φ=-=-+-∂，232

343(1)2y y q y y

f y x h h

σ∂Φ=-=-+-∂ 22

236()4

xy yx

qx h y x y h ττ∂Φ==-=--∂∂

(3)考察边界条件，由应力分量及边界形状反推面力： ①在主要边界2

h

y =-

（上面），应精确满足应力边界条件（2-15） ()()()()

()()()()()()()()/2/2/2

/2

3

30

00,222152

/20,/20

0340,00

5x yx y y y h y h x yx y y y h y h x x y xy x x h h f y f y q

h

y f y h f y h x qy qy f x f x h h

τστσστ=-=-====⎛⎫⎛

⎫=-=-==-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-=========-=-==-=在主要边界下面，也应该满足在次要边界上，分布面力为 应用圣维南原理，可写成三个积分的应力边界条件:

3

/2

/23/2/2/2

/23

/2

/2

3/2

/2340503405h h N x h h h S y h h h x h h qy qy F f dy dy h

h F f dy qy qy M f ydy ydy h

h ---

---⎛⎫

==-= ⎪⎝⎭

==⎛⎫

=

=

-= ⎪⎝⎭

⎰⎰⎰⎰

⎰

④在次要边界x l =上，分布面力为

()()23336435x x x l

ql y qy qy f x l h h h σ====-+-，()()2

2364y xy x l ql h f x l y h τ=⎛⎫===-- ⎪⎝⎭

应用圣维南原理，可写成三个积分的应力边界条件:

23

/2

/2

33/2/22

/2/223/2/2

23/2/22

33/2/2643()056()4

6431'()52h h N x h h h h s y h h h h x h h ql y qy qy F f x l dy dy h h h ql h F f x l dy y dy ql h ql y qy qy M f x l ydy ydy ql h h h ------⎛⎫

'===-+-= ⎪⎝⎭

⎡⎤⎛⎫'===--=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎛⎫===-+-=- ⎪⎝

⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰

【3-8】【解答】采用半逆法求解。 由材料力学解答假设应力分量的函数形式。 (1)假定应力分量的函数形式。

根据材料力学，弯曲应力y σ主要与截面的弯矩有关，剪应力xy τ主要与截面的剪力有关，而挤压应力x σ主要与横向荷载有关，本题横向荷载为零，则0x σ=

(2)推求应力函数的形式

将0x σ=，体力0,x y f f g ρ==，代入公式（2-24）有22

0x x f x y

σ∂Φ=-=∂ 对y 积分，得

()f x y

∂Φ

=∂ （a ）()()1yf x f x Φ=+ （b ） 其中()()1,f x f x 都是x 的待定函数。 （3）由相容方程求解应力函数。

将（b ）式代入相容方程（2-25），得()()

44144

0d f x d f x y dx dx

+= （c ）

在区域内应力函数必须满足相容方程，（c ）式为y 的一次方程，相容方程要求它有无数多个根（全竖柱内的y 值都应满足它），可见其系数与自由项都必须为零，即

()()4414

0,0d f x d f x dx dx

==两个方程要求()()32321,f x Ax Bx Cx f x Dx Ex =++=+ （d ）

()f x 中的常数项，()1f x 中的常数项和一次项已被略去，因为这三项在Φ的表达式

中成为y 的一次项及常数项，不影响应力分量。将（d ）式代入（b ）式，得应力函数

()()3232y Ax Bx Cx Dx Ex Φ=++++ （e ）

（4）由应力函数求应力分量

220x x f x y

σ∂Φ

=-=∂ （f ）

226262y y f y Axy By Dx E gy x

σρ∂Φ

=-=+++-∂ (g)

2232xy

Ax Bx C x y

τ∂Φ=-=---∂∂ (h)

(5)考察边界条件

利用边界条件确定待定系数A 、B 、C 、D 、E 。 主要边界0x =上（左）：

()000,()0x xy x x στ====

将（f ），（h ）代入

()00x x σ==，自然满足

0()0xy x C τ==-= （i ）

主要边界x b =上，

()0x x b σ==，自然满足

()xy x b q τ==，将（h ）式代入，得

2()32xy x b Ab Bb C q τ==---= （j ）

在次要边界0y =上，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：

()200

0()62320b

b

y y dx Dx E dx Db Eb σ==+=+=⎰⎰ （k ）

()3200

()6220b

b y y xdx Dx E xdx Db Eb σ==+=+=⎰⎰ （l ）

()23200

()320b b yx y dx Ax Bx C dx Ab Bb Cb τ==---=---=⎰

⎰ （m ）

由式（i ），(j)，（k ），（l ），（m ）联立求得

2, , 0q q

A B C D E b b

=-

==== 代入公式（g ），(h)得应力分量

230, 13, 2x y xy qx x q gy x x b b b b σσρτ⎛⎫⎛⎫==

--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

【3-9】【解答】按半逆解法求解。

⑴将应力函数代入相容方程（2-25）显然满足。 ⑵由公式（2-24）求应力分量表达式，体力为零，有

220x y

σ∂Φ

==∂，226y Bxy x σ∂Φ==∂，223xy yx A Bx x y ττ∂Φ==-

=--∂∂ ⑶考察边界条件：

在主要边界2x b =-上，精确满足公式（2-15）

()/2/20,()x xy x b x b q στ=-=-==-

第一式自然满足，第二式为

23

4

A Bb q --=- (a)

②在主要边界x=b/2上，精确满足式(2-15)

()()/2/20,x xy x b x b q στ====-

第一式自然满足，第二式为

23

4

A Bb q --=- (b)

③在次要边界y=0上，可用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件:

()

/2

/2

0b y

b y dx σ-==⎰ 满足

()

/2

/2

0b y

y b xdx σ=-=⎰ 满足

()()3

/2

/2

2

0/2/2

1

304

b b yx y b b dx A Bx dx Ab Bb τ=--=--=--=⎰⎰ （

c ） 联立（a ）（c ）得系数

22,2q q

A B b

=-=

代入应力分量表达式，得

222120,,1122x y xy q q x xy b b σστ⎛⎫

===- ⎪⎝⎭

【3-10】【解答】采用半逆解法求解

（1）将应力函数代入相容方程（2-25），显然满足 （2）由应力函数求应力分量，代入公式(2-24)

()226603x y xy yx B By Dxy A Dy σσττ⎧⎫=++⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎪⎪==-+⎪⎪⎩⎭

(a) (3)考察边界条件

①主要边界/2y h =±上，应精确满足应力边界条件

()

/2

0y

y h σ=±=， 满足

()/20,xy y h τ=±= 得23

04

A Dh += （b ）

②在次要边界x=0上，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件

()()/2/2

0/2/2262h h N

x N N x h h F dy F B Cy dy F B h

σ=--=-⇒+=-⇒=-

⎰⎰ ()()/2/23

0/2/2

226h h x x h h M

ydy M B Cy ydy M C h σ=--=-⇒+=-⇒=-⎰⎰ ()()/2/22

30/2/2134

h h xy s s s x h h dy F A Dy dy F Ah Dh F τ=--⎡⎤=-⇒-+=-⇒+=⎣⎦⎰⎰ （c ） 联立方程（b ）（c ）得

332,2s s F F

A D h h

=

=- 最后一个次要边界()x l =上，在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条

件下是必然满足的，故不必在校核。

将系数A 、B 、C 、D 代入公式（a ），得应力分量 【3-11】【解答】采用半逆解法求解

(1) 检验应力函数是否满足相容方程（2-25）

设应力函数3223=Ax Bx y Cxy Dy Φ+++，不论上式中的系数如何取值，纯三次式的应力函数总能满足相容方程（2-25）

(2) 由式（2-24）求应力分量

由体力分量0,x y f f g ρ==，将应力函数代入公式（2-24）得应力分量：

2226x x f x Cx Dy y

σ∂Φ

=-=+∂ （a ）

2262y y f y Ax By gy y σρ∂Φ

=-=+-∂ （b ）

222xy Bx Cy x y

τ∂Φ

=-=--∂∂ （c ）

（3）考察边界条件：由应力边界条件确定待定系数。 ①对于主要边界0y =，其应力边界条件为：

0()0

y y σ==，

0()0

yx y τ== （d ）

将式（d ）代入式（b ），（c ），可得

0=0A B =， （e ）

②对于主要边界tan y x α=（斜面上），应力边界条件：

在斜面上没有面力作用，即0x y f f ==，该斜面外法线方向余弦为，sin l α=-，cos m α=.由公式（2-15）

，得应力边界条件 tan tan tan tan sin ()cos ()0sin ()cos ()0x y x yx y x xy y x y y x ααααασατατασ====-⋅+⋅=⎫

⎬-⋅+⋅=⎭

（f ）

将式（a ）、（b ）、（c ）、（e ）代入式（f ），可解得

2cot ,cot 2

3

g

g

C D ρραα=

=-

（g ）

将式（e ）、（g ）代入公式（a ）、（b ）、（c ），得应力分量表达式：

2cot 2cot cot x y xy gx gy gy

gy σραρα

σρτρα

⎧=-⎪

=-⎨⎪

=-⎩ 【3-12】【解答】按半逆解法求解。

（1）由§3-4可知应力函数的函数形式为2

32()

2x Ay By Cy D Φ=+++

3254

32()106

A B x Ey Fy Gy y y Hy Ky +++-

-++，由§3-4可知，Φ必然满足相容方程（2-25）。

（2）应力分量的表达式：

2

32(62)(62)22622

x x Ay B x Ey F Ay By Hy K σ=+++--++ （a ）

32y Ay By Cy D gy σρ=+++- （b ） 22(32)(32)xy x Ay By C Ey Fy G τ=-++-++ （c ）

（3）考虑对称性

因为yz 面是梁和荷载的对称面，所以应力分布应当对称于yz 面。这样

x y σσ和是x 的偶函数，而xy τ是x 的奇函数，于是由式（a ）和式（c ）可见

0E F G === （d ）

（4）考察边界条件：

①在主要边界2y h =±上，应精确满足应力边界条件（2-15），

2()0,()0y y h yx y h στ=±=±==

将应力分量式（b ）、（c ）代入，并注意到0E F G ===，可得：

2

323

2208422084223()043()0

4

h h h g

A B C D h h

h h g A B C D h x Ah hB C x Ah hB C ρρ⎧+++-=⎪⎪⎪-+-++=⎪⎪⎨

⎪-++=⎪⎪

⎪--+=⎪⎩ 联立此四个方程，得：

223

,0,,02

g A B C g D h ρρ=-

=== （e ） 将式（d ）、（e ）代入式（a ）、（b ）、（c ）

23

226462x g g x y y Hy K h h ρρσ=-

+++ （f ） 3222y g g y y h ρρσ=-+ （g ）

22632

xy g g xy x h ρρτ=- （h ）

②考察次要边界条件

由于问题的对称性，只需考虑其中的一边，如右边。右边界x l =上，0x f =，不论y 取任何值(22)h y h -≤≤，都有0x σ=。由（f ）式可见，这是不可能的，除非,,H K ρ均为零。因此，只能用应力x σ的主矢、主矩为零，即

/2

/2()0h x x l h dy σ=-=⎰ （i ） /2

/2

()0h x x l h ydy σ=-=⎰

（j ）

将（f ）式代入式（i ）得

/2

232

2/264620h h g g x y y Hy K dy h h ρρ-⎛⎫

-+++= ⎪⎝⎭

⎰ 积分后得 K=0 （k ）

将式（f ）代入式（i ），得

/2

2322/264620h h g g l y y Hy K ydy h h ρρ-⎛⎫

-+++= ⎪⎝⎭

⎰ 积分后得

221

()10

l H g h ρ=- （l ）

将（k ）、（l ）代入式（f ），得

223222641

6()10

x g g l x y y g y h h h ρρσρ=-++- （m ）

考察右边界上切应力分量xy τ的边界条件： 右边界上y f glh ρ=-，则xy τ的主矢为

()/2

/2

22/2

/2632h h xy y x l h h x l

g g

dy xy x dy glh f h ρρτρ=--=⎛⎫

=-

=-= ⎪⎝

⎭⎰

⎰

可知满足应力边界条件。

将式（g ），（h ），（m ）略加整理，得应力分量的最后解答：

2232223222641

6()1022632X y xy

g g l x y y g y h h h g g y y h g g xy x h ρρσρρρσρρτ⎧=-++-⎪⎪

⎪=-+⎨⎪

⎪=-⎪⎩

(n) （5）应力分量及应力分布图

梁截面的宽度取为1个单位，则惯性矩312h I =，静矩是22

82

h y S =-。

根据材料力学截面法可求得截面的内力，可知梁横截面上的弯矩方程和剪力

方程分别为()()22

,2

s l x M x gh F x ghx ρρ-==-

则式（n ）可写成：

()()222

243

()5(14)2x y s xy

M x y y gy I h g y y h F x S bI σρρστ⎧=+-⎪⎪

⎪=

-⎨⎪

⎪=⎪⎩

【3-13】【解答】用半逆解法求解。 （1）相容条件：

将应力函数Φ代入相容方程式（2-25），得

120240Ay By +=

要使Φ满足相容方程，应使

1

5

A B =- （a ）

（2）求应力分量，代入式（2-24）

323233

22206620306222102262302x y xy Ay Bx y Cy Ay Ax y Cy By D Ey Ay D Ey

Bxy Ex Axy Ex σστ⎧=++=-+⎪⎪=++=-++⎨⎪=--=-⎪⎩

（b ） （3）考察边界条件

①在主要边界2y h =±上，应精确到满足应力边界条件

3

2()0,20y y h Ah D Eh σ==++=10即-8 （c ） 32(),2y y h q Ah D Eh q σ=-=-+-=-10

即8 （d ）

2()0,20yx y h Axh Ex τ=±=-=30

即4 （e ）

联立式（a ）、（c ）、（d ）、（e ），可得：

33

3,,,544q q q q

A D E

B h h h

=

=-==- （f ） ②在次要边界0x =上，主矢和主矩都为零，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：

/2

0/2

()0h x x h dy σ=-=⎰

满足条件

5/2

/2

3

3

0/2/2

()(206)002

h h x x h h Ah ydy Ay Cy ydy Ch σ=--=+=⇒+=⎰⎰ （g ） /2

0/2

()0h xy x h dy τ=-=⎰

满足

将A 的值带入（g ），得

C=10q

h

-

（h ） 将各系数代入应力分量表达式（b ），得

22

22332

23(46)5(134)23(14)2x y xy y y x q h h h q y y h h q x y h h σστ⎧=--⎪⎪

⎪

=--+⎨⎪

⎪=--⎪⎩

【3-14】【解答】采用半逆解法求解。 (1) 相容条件：

将应力函数代入相容方程(2-25)，显然满足。 (2) 求应力分量：将Φ代入（2-24）

226603x y xy A Cxy Dy B Cy σστ⎧⎫=++⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎪⎪=--⎪⎪⎩⎭

（a ） (3) 考察边界条件。

①在主要边界/2y b =±上，应精确满足应力边界条件 ()/20y y b σ=±= 满足

()2/23

,4

xy y b q B Cb q τ=±=-⇒+= （b ）

②在次要边界x=0上，可用圣维南原理，写出三个积分应力边界条件

/2

0/2

()b x x b dy F σ=-=-⎰

/22/2

(23)

b b Ay Dy F -+=- （

c ）

/2

/2()b x x b ydy M σ=-=-⎰ /2

23/2

122b b Ay Dy M -⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ （d ） ()

/2

/2

b xy

b x o

dy F τ-==-⎰ ()

/23

/2

b b By Cy

F ---=- （e ）

联立（b ）、（c ）、（d ）、（e ）式得

2F A b =-

，132F B q b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，22F C q b b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，3

2M D b

=- （f ）

将各系数据（f ）代入式（a ），得应力分量解答

【3-15】【解答】（1）假设应力分量的函数形式。因为在/2y b =-边界上，

0y σ=；/2y b =边界上，2y gx σρ=-，所以可以假设在区域内y σ为()y xf y σ=

（2）推求应力函数的形式。由y σ推求Φ的形式

()22y xf y x σ∂Φ

==∂()()2

12

x f y f y x ∂Φ=+∂

()()()3

126

x f y xf y f y Φ=++

（3）由相容方程求应力函数。将Φ代入40∇Φ=，得

44342124442206d f d f x d f d f x x dy dy dy dy

+++= 要使上式在任意的x 处都成立，必须

4324

4254

321142

432

22

4

0();20();106

0()d f f y Ay By Cy D dy

d f d f A B f y y y Gy Hy Iy dy dy d f f y Ey Fy dy =⇒=++++=⇒=--+++=⇒=+ 代入Φ即得应力函数的解答，其中已经略去了与应力无关的一次项，得应力函数

为：35432

3232()()()6106

x Ay By Ay By Cy D x Gy Hy Iy Ey Fy Φ=++++-

-+++++ （4）由应力函数求应力分量，将Φ代入公式（2-24），注意体力

1,0x y f g f ρ==，求得应力分量表达式