弹性力学简明教程-第四章-平面问题的极坐标解答习题详解

第四章 平面问题的极坐标解答

典型例题讲解

例4-1 如图所示，矩形薄板在四边受纯剪切力作用，切应力大小为q 。如果离板边较远处有一小圆孔， 试求孔边的最大和最小正应力。

例4-1图

【解】（1）根据材料力学公式，求极值应力和量大正应力的方位角

max min 2x y σσσσ+⎫=⎬⎭ 其中0,,x y x q σστ===得

max min ,q q σσ==-。

最大正应力 所在截面的方位角为

max 0max 0tan 10

4

y

q

q τασσπ

α=-

=-

=-→--=-

q

q

x

若在该纯剪切的矩形薄板中，沿与板边成

方向截取矩形ABCD ，则在其边界

上便承受集度为q 的拉力和压力，如图所示。这样就把受纯剪切作用的板看作与一对边受拉，另一对边受压的板等效。

（2）取极坐标系如图。由

2222442222cos 2(1)(13),cos 2(13),(4-18)sin 2(1)(13).ρφρφr r σq φρρr σq φρr r τq φρρ⎫

=--⎪

⎪

⎪⎪

=-+⎬

⎪⎪

=--+⎪

⎪⎭

得矩形薄板ABCD 内的应力分量为

()()()

22

224

422

22cos 2(1)(13)

cos 2(13)

sin 2(1)(13)

ρφρφ

a a σq φa ρρa σq φ

b ρa a τq φ

c ρρ

=--=-+=--+ 其中 为小孔的半径，而孔边最大与最小正应力由式（b ），在 处得到

4

4cos 2(13)4cos 2,φa σq φa

ϕ=-+=-

当 ， 时，孔边最小正应力为

，

当

时，孔边最大正应力为

。

分析：矩形板ABCD 边界上各点的应力状态与板内无孔时的应力状态相同。也可以应用叠加法，求解薄板的各种较复杂的平面应力（应变）问题。

习题全解

4-1试比较极坐标和直角坐标中的平衡微分方程、几何方程和物理方程，指出哪些项是相似的，哪些项是极坐标中特有的？并说明产生这些项的原因。

【解】 （1）极坐标，直角坐标中的平衡微分方程

10210f f ρρϕρϕ

ρρϕϕρϕϕστσσρρϕρτστρ

ρϕρ∂∂-⎧+++=⎪∂∂⎪

⎨

∂∂⎪+++=⎪∂∂⎩ 00

yx

x x y xy y

f x

y f y x τσστ∂⎧∂++=⎪

∂∂⎪⎨

∂⎪++=⎪∂∂⎩

将极坐标中的平衡微分方程与直角坐标中的平衡微分方程相比较，第一式中，前两项与直角坐标相似；而

项是由于正 面上的面积大于负 面上的面积而产生

的，

是由于正负 面上的正应力 在通过微分体中心的 方向有投影而引起的。

第二式中，前两项也与直角坐标相似；而

是由于正 面面积大于负 面上的面

记而产生的；

是由于正负 面上的切应力 在通过微分体中心的 方向有投

影而引起的。由于 ，仍可将这两个切应力只作为一个未知函数处理。

（2）极坐标，直角坐标中的几何方程

11u u u u u u ρρρϕϕ

ρϕϕ

ρϕερερρϕγρϕρρ∂⎧

=⎪∂⎪⎪∂⎪=+⎨∂⎪⎪∂∂=+-⎪∂∂⎪⎩

x y

xy

u x v

y v u x y εεγ⎧∂=

⎪∂⎪⎪∂=⎨∂⎪⎪∂∂=+⎪∂∂⎩

将极坐标中的几何方程与直角坐标的几何方程相比较，第二式中的第一项

是在极坐标中才有的，表示由于径向位移而引起的环形线段的伸长应变；第三式

中的

是由于环向位移而引起的环向钱段的转角，这项也是在极坐标中才有的。

（3）极坐标，直角坐标中的物理方程

1()1()

12(1)E E G E ρρϕϕϕρρϕρϕ

ρϕεσνσεσνσνγττ⎧

=-⎪⎪

⎪

=-⎨⎪

+⎪==⎪⎩

()()()1121x x y y y x xy xy E E E

εσμσεσμσμγτ⎧

=-⎪⎪

⎪

=-⎨⎪⎪+=⎪⎩

极坐标中的物理方程与直角坐标的物理方程是相似的。 4-2试导出极坐标和直角坐标中位移分量的坐标变换式。 【解】 参看图，位移矢量是服从几何加减 运算法则的。

位移矢量为d ，它在 和 坐标系中的分量分别表示为 和 ，所以

cos sin sin cos u u u u ρϕ

ϕυϕ

ϕυϕ=+⎧⎪⎨

=-+⎪⎩ 写成矩阵形式

cos sin sin cos u u u ρϕϕϕϕ

ϕυ⎡⎤⎡⎤⎡⎤

=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦

⎣⎦ 解4-2图

所以

cos sin sin cos u u u ρϕϕϕυϕϕ⎡⎤

-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎣⎦⎣

⎦⎣⎦ 若写成一般形式，则位移分量的变换关系为

cos sin sin cos u u u v u u ρϕρϕϕϕϕϕ=-⎧⎪⎨

=+⎪⎩

或 cos sin sin cos u u v u u v ρϕϕϕ

ϕϕ

=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩

4-3在轴对称位移问题中，试导出按位移求解的基本方程。并证明

， 可以满足此基本方程。

【解】（1）设 ， ，代入几何方程中，教材中式（4-2）得形变分量

,,0u u ρρ

ρϕρϕεεγρρ

∂=

=

=∂ （a ）

将式（a ）代入物理方程，教材中式（4-3）得用位移表示的应力分量

22110u u E u u E ρρρρρϕρϕσμμρρσμμρρτ⎧∂⎛⎫

=+⎪ ⎪-∂⎝⎭

⎪⎪∂⎛⎫

⎪=+⎨ ⎪-∂⎝⎭

⎪

⎪=⎪⎪⎩

（b ） 将（b ）式代入平衡微分方程，教材中式（4-1），在轴对称问题中，平衡方程为

10210ρρϕρϕ

ϕρϕρϕ∂σ∂τσσ∂ρρ∂ϕρ∂σ∂ττρ∂ϕ

∂ρρ-⎧++=⎪⎪

⎨

⎪++=⎪⎩ （c ） 式（c ）中的第二式自然满足，第一式为

22222222221011011101u u d E d du u du u E E d d d u du du u du u u d d d d u d d u d d u d u u d ρρϕρϕρ

ρρρρρρρρ

ρρρρρρρρρ∂σ∂τσσμ∂ρρ∂ϕρρμρρ

μμρμρρμρρμμμμρρμμρρμμρρρρρρρ

ρρρρρ-⎡∂⎤

⎛⎫++=→+⎢⎥ ⎪-∂⎝⎭⎣⎦

⎡-⎤

⎛⎫⎛⎫++-+=→⎢⎥ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝

⎭⎣⎦⎛⎫+-++--=→ +++⎪⎝-⎭222

2010u d u du u d du d d ρ

ρρρ

ρρ

ρρρρρρ

-=→+

-= 上式即为求 的基本方程。

（2）将

， 代入式（d ），很显然满足方程。

4-4试导出轴对称位移问题中，按应力求解时的相容方程。

【解】（1）在轴对称的情况下， ，只有 ， 为基本未知函数，且

它们仅为 的函数。几何方程，教材中式（4-2）的前二式成为

1u du d u u u ρρρρϕρϕ

ερρερρϕρ∂⎧

==⎪∂⎪

⎨

∂⎪=+=⎪∂⎩

（a ） 对式（a ）中的第二式求导，得

1,d du u d dx ϕ

ρρερρρ⎛⎫

=- ⎪⎝⎭

（b ） 将式（a ）中的 ， 代入式（b ），得

()1

,d d ϕρ

ϕεε

ερ

ρ

=- （c ）

（2）将物理方程，教材中式(4-3)、（4-4)中的用应力分量表示的形变分量代入式（c ）中，就得到按应力求解时的相容方程，即

平面应力的相容方程：

()()()1

1111()()()11

()()1()1()()d d d d E E E d d d d ϕ

ρϕϕρρϕϕρϕρρϕρϕρϕϕρρϕεε

εσμσσμσσμσρρ

ρρσμσσσμσσμσσρρρ

μσμσσσρρ

⎛⎫⎡⎤

=-→

-=---→ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦

⎡⎤⎡⎤-=-+-=+-→⎣⎦⎣⎦+-=- 平面应变的相容方程：

221()11()12(1)

E E E ρρϕϕϕρρϕρϕμμ

εσσμμμεσσμμγτ⎫-=-⎪

-⎪⎪-⎪

=-⎬-⎪

⎪+=⎪

⎪⎭

（4-4）

()()()2221

1111()()()1111111()()1()()11111()(11d d d d E E E d d d d ϕ

ρϕϕρρϕϕρϕρρϕρϕρϕρϕϕρρεμμμμμμ

εεσσσσσσρρρμρμμμμμσσσσσσσσσσρμρμρμρμμσσσρμρμ⎛⎫⎡⎤---=-→-=---→ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎣⎦

⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+-=+-=-→⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥----⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦-=--())()1d d ϕρϕϕρσσσμσμσρρ

-→-⎡⎤--=⎣⎦4-5试用一阶导数的坐标变换式，导出二阶导数的坐标变换式[教材§4-3中的（a ），（b ），（c ）]

【解】一阶导数的坐标变换公式

1

()1()12(1)E E G E

ρρϕϕϕρρϕρϕρϕ

εσνσεσνσνγττ=

-=-+==（4－3）

sin cos cos sin x x x y y y ΦΦρΦϕΦϕ

Φ

ϕρϕρρϕΦΦρΦϕΦϕ

Φϕρϕρρϕ

∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂∂∂ 二阶导数的变换可以由一阶导数得出

22

22

222222

sin sin ()(cos )(cos )sin sin sin cos (cos )(cos )

1cos s 11sin cos sin c 1s in o in cos 1sin cos s x x x ΦΦϕΦϕΦ

ϕϕρρϕρρϕ

ΦϕΦϕΦϕΦ

ϕϕϕρρρϕρϕρΦΦϕϕϕϕ

ρρϕρρρϕ

ΦΦϕϕ

ϕρΦϕϕρϕρϕρρϕ∂∂∂∂∂∂∂==--∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂--∂∂∂∂∂∂∂=---∂∂∂∂∂∂∂∂=+∂∂∂+∂+∂22

2

2

222

22

22

2

222

2

222222

22222

221sin 11cos sin sin 1112s cos sin 11cos 12sin co si in cos 12sin s c n os 1ΦϕρρΦΦΦϕϕΦϕϕρρρρρΦΦΦϕϕρρρρΦϕΦϕϕρϕρρϕΦρΦΦΦϕϕρρϕΦϕϕρϕρρϕρρ∂+∂∂∂∂=++∂∂∂⎛⎫∂∂∂=++- ⎪∂∂∂⎝⎭∂∂∂=+∂-∂∂+∂∂∂∂∂+∂⎛⎫∂-+ ⎪∂∂⎝

∂∂⎭∂22sin cos 1ϕΦρϕρϕρ⎡⎤⎛⎫∂⎢⎥ ⎪∂⎛⎫- ⎪⎝⎭∂⎝

⎭⎣⎦∂（a ）

22

22

22222cos cos 1sin cos ()s 11sin cos si in sin cos cos cos sin sin sin s 1co i c s s o n n y y y ΦΦϕΦϕΦϕϕρρϕρρϕΦϕΦϕΦϕΦϕϕϕρρρϕρΦϕϕρΦΦϕϕϕϕ

ρρΦϕρρϕρρρϕϕϕϕΦρ∂⎛⎫⎛⎫

∂∂∂∂∂∂∂==++ ⎪⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭

⎛⎫⎛⎫

∂∂∂∂∂∂=+++ ⎪

⎪∂∂∂∂∂∂∂∂+⎝⎭⎝-+∂⎭∂=∂∂∂∂∂+22

2

2

222

22222

22

2

22

222

222

22222

22

1cos 1112sin cos 12sin c cos cos 11c sin sin 1sin cos 12sin cos os 1co 1i os s s n ΦϕρϕΦΦϕϕρρρϕΦΦϕρϕΦϕϕρϕΦϕϕρϕρρρΦϕϕρϕΦϕϕϕϕΦϕρΦϕρΦϕρϕρρΦϕ∂=∂∂=∂∂∂∂+∂⎛⎫∂+ ⎪∂⎝∂+∂∂∂++∂∂∂⎛⎫∂∂++ ⎪∂∂⎝⎭+∂-∂∂-∂∂-∂⎭

=∂222112sin cos ϕΦΦϕρΦρρϕρϕρ⎡⎤⎛⎫∂+⎢⎥ ⎪∂⎛⎫∂∂+ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎣

∂⎦∂（b ）

2222222

2sin cos cos sin cos sin cos cos sin sin 11cos co 1sin cos sin co 1sin s s x y x y ΦΦ

ϕΦϕΦϕϕρρϕρρϕΦϕΦϕΦϕΦϕ

ϕϕρρρΦΦϕϕϕϕϕρϕρρϕΦΦϕϕρϕρρϕϕ

ρρρρ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂==-+ ⎪ ⎪

⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝

⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫

∂∂∂∂∂∂=+-+ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂-⎝⎭⎝⎭

∂∂=-+∂∂∂∂∂∂-()2222

2

2222222222222222

222

2

2

11cos 11cos 1sin 11sin si 1sin cos 11sin cos 11sin cos n ΦρϕΦϕρΦ

ϕϕρϕΦΦΦΦϕϕΦΦϕρρϕρϕϕρϕρρϕΦΦϕρϕΦϕϕρρρρϕΦΦΦϕϕρρρρρϕρ⎛⎫∂∂-+ ⎪∂∂∂⎝∂-∂⎛⎫∂∂∂=--+ ⎪∂∂∂⎝⎭⎛⎫∂∂∂+∂⎛⎫∂∂-- ⎪∂∂∂⎭∂⎝⎭∂-+∂∂∂∂--+ ⎪∂=⎝-∂⎭∂∂()2222222

11sin co sin s 1cos ΦΦΦϕϕρρϕΦϕρρϕρρϕϕ⎡⎤⎛⎫∂∂∂-++⎢⎥ ⎛⎫ ⎪∂⎝

⎭⎡⎤⎛⎫∂∂=⎢⎥ ⎪∂∂⎪∂∂∂⎝⎭⎣

-⎣⎭⎦⎝⎦（c ）

4-6 试由应力分量的坐标变换式

22cos sin sin 2x ρϕρϕσσϕσϕτϕ=+- ，

和二阶导数22y

Φ

∂∂的坐标变换式［教材§4-3中的式（b ）］,导出应力函数

Φ 表示应力分量 ， ， 的表达式［教材§4-3中的式(4-5)］。

【解】22x y

Φ

σ∂=∂，比较等式两边的系数可得教材中式（4-5），即

22222

2

cos sin sin 2cos sin sin 2x y ρϕρϕρϕρϕσσϕσϕτϕΦσϕσϕτϕ=+-→

∂=+-∂ 22222222

22

22

22222212sin cos sin 111cos s 11co s n s in i 2y y ΦΦϕΦΦϕρΦΦΦΦΦϕϕϕρρρϕρρρΦϕϕϕϕρρρρρϕ⎡⎤⎛⎫∂+→⎢⎥∂∂=∂∂⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂=++--⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫∂∂⎝⎭⎝ ⎪∂⎝

++ ⎪∂⎭⎣⎝⎭∂⎭⎣⎦

⎦

22222

111()ρϕρϕ

ΦΦσρρρϕΦσρΦτρρϕ⎧∂∂=+⎪∂∂⎪⎪∂⎪

=⎨∂⎪⎪∂∂=-⎪∂∂⎪⎩

4-7实心圆盘在 的周界上受有均布压力q 的作用,试导出其解答。 【解】实心圆盘是轴对称的，可引用轴对称应力解答，教材中式(4-11)，即

()22

221(12ln )232ln 20d A B C d d A B C d ρϕρϕϕρσρρρρ

σρρρττΦ⎫=

=+++⎪⎪

⎪Φ⎪

==-+++⎬⎪

⎪⎪

==⎪⎭

（a ）

首先，在圆盘的周界（ ）上，有边界条件

，由此得

2(12ln )2r A

B r

C q r

ρσ==

+++=-， 其次，在圆盘的圆心，当 时式(a)中 ， 的第一、第二项均趋于无限大，这是不可能的。按照有限值条件（即，除了应为集中点以外，弹性体上的应力应为有限值。），当 时，必须有A=B=O 。

把上述条件代入式（b ）中，得

2

q

C =-

所以得应力的解答为

,

0.q ρϕρϕσστ==-=

4-8试考察应力函数3

cos36q a

Φρϕ=，能解决题4-8图所示弹性体的何种受力问题？

【解】本题按逆解法求解。 （1）相容条件

把应力函数代入相容方程 ，显然是满足的。 （2）由应力函数求应力分量表达式

()22

3322222321111cos3cos366113cos33sin 3663cos3cos322cos3q q a a q q a a q q a a q

a

ρΦΦσρϕρϕρρρϕρρρϕρϕρϕρρϕρϕρϕρϕ∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭∂=+-∂=-=- 2232

22cos33cos3cos366q q q a a a

ϕΦσρϕρϕρϕρρρ∂∂∂⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭ 332113()cos3sin 366sin 3sin 32q q a a q q

a a

ρϕΦτρϕρϕρρϕρ

ρϕρρρϕρϕρ⎡⎤

⎛⎫∂∂∂

∂∂⎛⎫=-

=-=-- ⎪ ⎪⎢⎥∂∂∂∂∂⎝⎭⎣⎦⎝⎭

∂⎛⎫=

= ⎪∂⎝⎭

求出边界上的面力

面上， ，

；

面上， ， ；

面力分布如解4-8图所示，因此上述应力函数可解决如图所示的受力问题。

4-9半平面体表面上受有均布水平为q ， 试用应力函数()2sin 2B C Φρϕϕ=+求解应力分量，如题4-9图所示。 【解】（1）相容条件

将应为函数φ代入相容方程 ，显然满足。

(2) 由Φ求应力分量表达式

2sin 222sin 222cos 2B C B C B C

ρϕρϕσϕϕ

σϕϕτϕ⎧=-+⎪

=+⎨⎪

=--⎩ (3)考察边界条件：注意本题有两个 面，即2

π

ϕ=±，分别为 面上，应力符号

以正面正向、负面负向为正。因此，有

()2

0ϕπ

ϕσ=±=，得C=0；

()

2

q ρϕπ

ϕτ==±=-，的

。

将各系数代入应力分量表达式，得

sin 2sin 2cos 2q q q ρϕρϕσϕσϕτϕ

⎧=⎪

=-⎨⎪

=⎩ 4-10 试证应力函数2M

Φϕπ

=

能满足相容方程，并求出对应的应力分量。若在内半径为r ，外半径为R 且厚度为1的圆环中发生上述应力，试求出边界上的面力。 【解】(1)极坐标的相容条件

222222222211110Φρ

ρρρϕρρρρϕ⎛⎫⎛⎫

∂∂∂∂∂∂++++= ⎪⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ 将应力函数2M

Φϕπ

=

代入，得 222

222

1102M ϕΦρ

ρρρϕπ⎛⎫∂∂∂++=∇= ⎪∂∂∂⎝⎭

11111

而 4220ΦΦ∇=∇∇=。 应力函数Φ满足相容条件。 （2）由应力函数求应力分量

22222

2110011()2M ρϕρϕ

ΦΦσρρρϕΦσρΦτρρϕρπ⎧∂∂=+=⎪∂∂⎪⎪∂⎪

==⎨∂⎪⎪∂∂=-=⎪∂∂⎪⎩

（3）内、外边界上对应的面力

在内边界 上， ，

； 在内边界 上，

，

。

4-11设上题所述的圆环在 处被固定，试求位移分量。 【解】本题为平面应力的情况，将应为分量210,

0,

2M

ρϕρϕσστρπ

===

代入极坐标中平面应力问题的物理方程，教材中式(4-3)，得应变分量表达式

221()01()02(1)2(1)122E E M M E E G ρρϕϕ

ϕρρϕ

ρϕεσμσεσμσμμγτρππρ⎧=-=⎪⎪

⎪

=-=⎨⎪

++⎪===⎪⎩

再将应变分量代入几何方程，教材式(4-2)

()()()

11u a u u b u u u c ρ

ρρϕ

ϕρϕϕ

ρϕερ

ερρ∂ϕ

γρϕρρ

∂=

∂∂=+

∂∂=

+-∂∂ 根据边界条件，当 时，边界是固定的。由 ，得

0u ρρ

∂=∂，

所以 ()u u ρρϕ=。

当 时，对任意 角都有 ，即 ，由式（b ）可知

0u ϕϕ

∂=∂，

因此 ()u u ϕϕρ=。 再由式（c ），可得

u u ϕϕ

ρϕγρρ

∂=

-∂

根据剪应力与剪应变之间的关系，得

()2

2u u M

d G ϕϕ

ρρ

πρ∂-=

∂

为求位移分量 ，必须求解式（d ），令 ，对式（d ）进行代换，得

1

t

u u u t t t e ϕϕϕρ

ρ∂∂∂∂=

=∂∂∂∂， 将上式代入式（d ），得

212t t t

u u M t e e Ge ϕϕπ∂-=∂， 将上式化简，得

()2t

u M u e e t G

ϕϕπ-∂-=

∂

这是个一阶非其次线性微分方程，其标准格式为：()()dy

P x y Q x dx

+=。 先求对应的齐次方程通解。

()

111220ln t C C t u u t u u t u t u u t C u e C e C e ϕϕϕϕϕϕ

ϕϕ+∂-=→∂∂=→∂∂=∂→

=+→===

用常数变易法，把 换成u ，即令

()t

u ue f ϕ=

那么

t t du u e ue dt

ϕ'=+

代入所给的非其次方程，得

22233222221224t t t t

t t t t

t t t

t

t t

du M M u e ue e u e ue dt

G G

M u e ue e ue G

M u e e G M u e G

M M u e C e C G G

ϕϕπππππππ-------'=+=

+=+→'+=+→'=

→'=→

⎛⎫=-+=-+ ⎪

⎝⎭

再把上式代入式（f ），即得所求方程的通解为

23344t t t t t M M u ue e C e C e e G G ϕππ--⎛⎫==-+=- ⎪⎝⎭

将 代入

3344t t M M u C e e C G G ϕρππρ

-=-

=-

令 ，得

4M

u A G ϕρπρ

=-

根据边界条件，当 时，

，即

()

04r

M

u Ar Gr

ϕρπ==-

=， 所以 2

4M

A Gr

π=

由此得位移分量为

20,

444u M M M r u Gr G Gr r ρϕρρππρπρ=⎛⎫=-=- ⎪

⎝⎭

4-12 楔形体在两侧面上受有均布剪力q ，如题4-12图所示，试求其应力分量。

【解】（1）应用应力函数()2cos2sin 2A B C D Φρϕϕϕ=+++，进行求解。 由应力函数Φ得应力分量

()()22222

112cos 2sin 22cos 2sin 21()2sin 22cos 2A B C D A B C D A B C ρϕρϕ

ΦΦ

σϕϕϕρρρϕΦσϕϕϕρΦτϕϕρρϕ⎧∂∂=+=-+--⎪∂∂⎪⎪∂⎪

==+++⎨∂⎪⎪∂∂=-=--⎪∂∂⎪⎩

（2）考察边界条件：根据对称性，得

()()()()()()()

()

2

20;;0;.

a q

b

c q

d ϕαρϕαϕαρϕαστστ

--====-

由式（a ）得 ()2cos 2sin 20;A B C D e ϕϕϕ+++= 由式（b ）得 ()2sin 22cos2;A B C q f ϕϕ--= 由式（c ）得 ()2cos 2sin 20;A B C D g ϕϕϕ--+= 由式（d ）得 ()2sin 2cos ;

A B C q e ϕϕ---=-

式（e ）、（f ）、（g ）、（h ）联立求解，得

,0,

,cot .sin 2

q

q

A B C D αα

=

===-

将以上各系数代入应力分量，得

cos 2cot sin cos 2cot sin sin 2sin q q q ρϕρϕ

ϕσαϕϕσαϕϕτα⎧⎛⎫=-+⎪ ⎪

⎝⎭⎪

⎪⎛⎫⎪=-⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪=⎪⎪⎩

4-13 设有内半径为r ，外半径为R 的圆筒受内压力q ，试求内半径和外半径的改变，并求圆筒厚度的改变。

【解】本题为轴对称问题，只有径向位移而无环向位移。当圆筒只受内压力q 的情况下，取应力分量表达式，教材中式（4-11），由位移单值条件，B=0。

()2

2(12ln )232ln 20A

B C

A B C ρϕρϕϕρσρρσρρττ⎫

=

+++⎪⎪

⎪

=-+++⎬⎪

⎪⎪

==⎭

（4-11）

内外的应力边界条件要求

()()()

()

0,0;

,

0.

r

R

r

R

q ρϕρϕρρρ

ρρ

ρττσσ=======-=

由表达式可见，前两个关于 的条件是满足的，而后两个条件要求

22

220A

C q r

A C R ⎧+=-⎪⎪⎨

⎪+=⎪⎩ 由上式解得

()

()

()22

2

2222

,

.2qr R qr A C a R r R r =-=--

把A 、B 、C 值代入轴对称应力状态下对应的位移分量，教材中式(4-12)

()()()()

222222222221[(1)2(1)(ln 1)(13)2(1)]cos sin 11(1)2(1)cos sin 2(1)(1)cos sin A

u B B C I K E qr R qr I K E R r R r qr R I K b E R r ρμμρρμρμρϕϕρ

μμρϕϕρμρμϕϕρ=

-++--+-+-++⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪

⎪

⎢⎥⎢⎥=-+-+-++⎨⎬--⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩

⎭

⎡⎤

=-++++⎢⎥-⎣

⎦

()sin cos 0

u H I K c ϕρϕϕ=-+=

式(c)中的 ， 取任何值等式都成立，所以各自由项的系数为零

H=I=K=O 。

所以，轴对称问题的径向位移式（b ）为

()2222(1)(1)qr R u E R r ρμρμρ⎡⎤

=-++⎢⎥-⎣

⎦ 而圆筒是属于平面应变问题，故上式中2

,11E E μ

μμμ

→

→--代替，则有

()()()()22222222222222222

222(1)(1)(1)(1)1111(1)(1)11(1)(1)1111qr R u E R r qr R u E R r qr R E R r R q

E R r ρρμρμρμμρμμρμμμμρμμρμ

μ

ρμμ

ρμ⎡⎤

=-++→

⎢⎥-⎣⎦

⎡⎤=-++⎢⎥

--⎛⎫⎣⎦- ⎪-⎝⎭-⎡⎤=-++⎢⎥---⎣⎦-++

--=⎛⎫

-

⎪-⎝⎭

此时内径改变为

()

()()()

()()()

()()()()()

22

22

2

22

222

2222

2

2222222

2

222222

2

2(1)(1)(1)(1)111111111(1)(1)11(1)11(1)111r r R r R qr u q

E

Er R R r r r qr r R E

R

r qr r r R R R E

R r qr r R r R E

R

r qr μ

μ

μ

μ

μ

μμμ

μ

μμμμμμμμμμμμμμμμμμ-++

-

++

-----==

⎛⎫

⎛⎫-- ⎪ ⎪

-⎝⎭

⎝⎭

---+-+=

-----+-+=

----+-+-=

---=

()()()()()

()222222

222222(1)111R r R r E

R r qr R r E R r μμμμμμϖ-++----⎛⎫

+=+ ⎪

--⎝⎭

外径改变为

()22

222

222(1)(1)121111R R R qr rR

u q

E

R r

ER R r μ

μ

μμμ

μ-++

---==

⋅

-⎛⎫

-

⎪-⎝⎭

圆环厚度的改变为

()211R r qr R r u u E R r μμ

ϖ

--⎛⎫

-=-+

⎪+-⎝⎭

。 4-14 设有一刚体，具有半径为R 的圆柱形孔道，孔道内放置外半径为R 而内半径为r 的圆筒，圆筒受内压力为q ，试求圆筒的应为。

【解】 本题为轴对称问题，故环向位移 ，另外还要考虑位移的单值条件，有

（1）应力分量

引用轴对称应力解答，教材中式(4-11)。

()2

2(12ln )232ln 20A

B C

A B C ρϕρϕϕρσρρσρρττ⎫=

+++⎪⎪

⎪

=-+++⎬⎪

⎪⎪

==⎭

（4-11）

取圆筒解答中的系数为A 、B 、C ，刚体解答中的系数为A ＇、B ＇、C ＇，由多连体中的位移单值条件，有

（a ） ′ 。 （b ）

现在，取圆筒的应力表达式为

()2222A

C c A

C ρϕσρσρ⎫

=

+⎪⎪

⎬

⎪

=-+⎪⎭

刚体的应力表达式