弹性力学简明教程全程导学及习题全解第三版课程设计

引言

弹性力学是研究物体在外力作用下发生形变和变形后恢复原状的学科。它在材

料力学、结构力学、工程力学等领域均有重要应用。本文旨在通过提供弹性力学简明教程的全程导学及习题全解来帮助学生学习和掌握弹性力学的基础知识。

教材介绍

本文所提供的教材为《弹性力学简明教程》（第三版），作者为盛卫民教授。

该教材涵盖了弹性力学的基础理论、方法和应用，并通过大量的例题和习题帮助读者掌握理论知识。

课程设计

第一章弹性力学基础

第一章主要介绍弹性力学的基本概念和基础公式，包括应力、应变、弹性模量、泊松比等。学生需掌握应力、应变概念的定义和计算方法，理解弹性模量、泊松比的物理意义和计算方法。讲解应弹性材料的线弹性和非线弹性。

第二章弹性力学理论

第二章主要介绍静力学平衡方程和应变能原理，帮助学生理解弹性力学的理论

基础和计算方法。讲解各种计算方法和弹性力学理论在结构工程中的应用。

第三章弹性力学的基本问题

第三章主要介绍弹性体在不同约束条件下的应力、应变和位移的计算，并通过

典型例题帮助学生掌握弹性力学的基本方法和技巧。讲解各种问题的纵横波、功率分解方法以及三维应力状态下的问题解决。

第四章弹性力学的复合材料

第四章主要讲解弹性力学的各种复合材料的计算问题。强调了复合材料弹性力学的复杂性和未来发展的方向，介绍复合材料力学的基础理论和应用。

第五章弹性力学的可视化技术

第五章主要讲解弹性力学的计算方法与可视化技术的结合和应用。讲解有限元分析和相关软件的使用以及可视化技术与弹性力学的结合。

习题全解

本教材提供了大量的习题，每章后面都附有习题及解答。这些习题既包括基础知识的应用，也包括理论问题的探讨和应用实例的分析。通过做这些习题，学生可以进一步巩固弹性力学的基础知识，掌握解决实际问题的方法。

总结

弹性力学是一门重要的力学学科。本文介绍了一本适合初学者学习的《弹性力学简明教程》第三版，并通过全程导学及习题全解的方式帮助学生掌握弹性力学的基本理论和方法。本教材的重点在于旨在帮助学生发现弹性力学的应用和魅力，同时也能为大家提供一些思路和方法，使学生在解决工程问题时更加得心应手。

弹性力学简明教程(第四版)_习题解答

【2-9】试列出图2-17，图2-18所示问题的全部边界条件。在其端部小边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。 x y 2 h 1h b g ρo () 2h b >> h x y l /2/2 h M N F S F 1 q q 图2-17 图2-18 【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件，若为小边界也可写成圣维南原理的三个积分形式，大边界上应精确满足公式（2-15）。【解答】图2-17：上（y =0）左(x =0) 右（x =b ） l 0 -1 1 m -1 () x f s () 1g y h ρ+ () 1g y h ρ-+ () y f s 1gh ρ 代入公式（2-15）得 ①在主要边界上x=0，x=b 上精确满足应力边界条件： ()()100(),0;===-+=x xy x x g y h σρτ ()()1b b (),0; ===-+=x xy x x g y h σρτ ②在小边界0y =上，能精确满足下列应力边界条件： () () ,0y xy y y gh σρτ===-= ③在小边界2y h =上，能精确满足下列位移边界条件： ()()2 2 0,0 ====y h y h u v 这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚=1δ时，可求得固定端约束反力分别为： 10,,0s N F F gh b M ρ==-=

由于2y h =为正面，故应力分量与面力分量同号，则有： ()()()222 10000 0b y y h b y y h b xy y h dx gh b xdx dx σρστ===?=-???=???=????? ⑵图2-18 ①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15） l m x f (s) y f (s) 2h y =- 0 -1 0 q 2 h y = 1 -1q -/2()y y h q σ==-，-/2()0yx y h τ==，/2()0y y h σ==，/21()yx y h q τ==- ②在x =0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符号相反，有 /20/2/2 0/2/20 /2()()()h xy x S h h x x N h h x x h dx F dx F ydx M τσσ=-=-=-?=-??=-???=-???? ③在x=l 的小边界上，可应用位移边界条件0,0====l x l x v u 这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力： 110,x N N N N F F F q l F q l F ''=+=?=-∑ 0,0y S S S S F F F ql F ql F ''=++=?=--∑ 2 211110,'02222 A S S q lh ql M M M F l ql q lh M M F l =+++-=?=---∑ 由于x=l 为正面，应力分量与面力分量同号，故 M ' N F 'S F '

弹性力学简明教程_习题解答

【2-9】【解答】图2-17：上（y =0）左(x =0) 右（x =b ） l 0 -1 1 m -1 () x f s () 1g y h ρ+ () 1g y h ρ-+ () y f s 1gh ρ 代入公式（2-15）得 ①在主要边界上x=0，x=b 上精确满足应力边界条件： ()()100(),0;===-+=x xy x x g y h σρτ()()1b b (),0; ===-+=x xy x x g y h σρτ ②在小边界0y =上，能精确满足下列应力边界条件：() () ,0y xy y y gh σρτ===-= ③在小边界2y h =上，能精确满足下列位移边界条件： ()()2 2 0,0 ====y h y h u v 这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚=1δ时，可求得固定端约束反力分别为： 10,,0s N F F gh b M ρ==-= 由于2y h =为正面，故应力分量与面力分量同号，则有： ()()()222 10000 0b y y h b y y h b xy y h dx gh b xdx dx σρστ===⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩⎰⎰⎰ ⑵图2-18 ①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15） l m x f (s) y f (s) 2h y =- 0 -1 0 q 2 h y = 1 -1q

-/2()y y h q σ==-，-/2()0yx y h τ==，/2()0y y h σ==，/21()yx y h q τ==- ②在x =0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符号相反，有/20/2/2 0/2/20 /2()()()h xy x S h h x x N h h x x h dx F dx F ydx M τσσ=-=-=-⎧=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎩⎰⎰⎰ ③在x=l 的小边界上，可应用位移边界条件0,0====l x l x v u 这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力： 110,x N N N N F F F q l F q l F ''=+=⇒=-∑ 0,0y S S S S F F F ql F ql F ''=++=⇒=--∑ 2 211110,'02222A S S q lh ql M M M F l ql q lh M M F l =+++-=⇒=---∑ 由于x=l 为正面，应力分量与面力分量同号，故 /21/22/2 1/2/2/2 ()()22()h x x l N N h h x x l S h h xy x l S S h dy F q l F q lh ql ydy M M F l dy F ql F σστ=-=-=-⎧'==-⎪⎪⎪'==---⎨⎪ ⎪'==--⎪⎩⎰⎰⎰ 【2-10】【解答】由于h l ?，OA 为小边界，故其上可用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件： (a)上端面OA 面上面力q b x f f y x = =,0 由于OA 面为负面，故应力主矢、主矩与面力主矢、主矩符号相反，有 ()()()0 00020000002 2120b b b y y y b b b y y y b yx y x qb dx f dx qdx b x b qb xdx f xdx q x dx b dx σστ===⎧=-=-=-⎪⎪ ⎪⎛⎫=-=-= ⎨ ⎪⎝⎭⎪ ⎪=⎪⎩ ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(对OA 中点取矩)

(完整)[2018年最新整理]弹性力学简明教程(第四版)-课后习题解答

【3-1】为什么在主要边界（大边界）上必须满足精确的应力边界条件式（2-15），而在小边界上可以应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）来代替？如果在主要边界上用三个积分的应力边界条件代替式（2-15），将会发生什么问题？【解答】弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题，而要使边界条件完全得到满足，往往比较困难。这时，圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界条件提供很大的方便。将物体一小部分边界上的面力换成分布不同，但静力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影响近处的应力分布，对远处的应力影响可以忽略不计。如果在占边界绝大部分的主要边界上用三个积分的应力边界条件来代替精确的应力边界条件（公式2-15），就会影响大部分区域的应力分布，会使问题的解答精度不足。【3-2】如果在某一应力边界问题中，除了一个小边界条件，平衡微分方程和其它的应力边界条件都已满足，试证：在最后的这个小边界上，三个积分的应力边界条件必然是自然满足的，固而可以不必校核。【解答】区域内的每一微小单元均满足平衡条件，应力边界条件实质上是边界上微分体的平衡条件，即外力（面力）与内力（应力）的平衡条件。研究对象整体的外力是满足平衡条件的，其它应力边界条件也都满足，那么在最后的这个次要边界上，三个积分的应力边界条件是自然满足的,因而可以不必校核。【3-3】如果某一应力边界问题中有m 个主要边界和n 个小边界，试问在主要边界和小边界上各应满足什么类型的应力边界条件，各有几个条件？【解答】在m 个主要边界上，每个边界应有2个精确的应力边界条件，公式（2-15），共2m 个；在n 个次要边界上，如果能满足精确应力边界条件，则有2n 个；如果不能满足公式（2-15）的精确应力边界条件，则可以用三个静力等效的积分边界条件来代替2个精确应力边界条件，共3n 个。【3-4】试考察应力函数3 ay Φ=在图3-8所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计)? 【解答】⑴相容条件: 不论系数a 取何值，应力函数3 ay Φ=总能满足应力函数表示的相容方程，式(2-25). ⑵求应力分量当体力不计时，将应力函数Φ代入公式(2-24)，得 6,0,0x y xy yx ay σσττ==== ⑶考察边界条件上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力.

(完整版)弹性力学简明教程(第四版)_课后习题解答

弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。非均匀的各向同性体如：混凝土。【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。小变形假定：假定位移和变形是微小的。亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。这样在建立物体变形以后的平衡方程时，就可以方便的用变形以前的尺寸来代替变形以后的尺寸。在考察物体的位移与形变的关系时，它们的二次幂或乘积相对于其本身都可以略去不计，使得弹性力学中的微分

徐芝纶编《弹性力学简明教程》第四版, 全部章节课后答案详解

For personal use only in study and research; not for commercial use 弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。非均匀的各向同性体如：混凝土。【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。小变形假定：假定位移和变形是微小的。亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的

徐芝纶编《弹性力学简明教程》第四版全部章节课后答案详解

徐芝纶编《弹性力学简明教程》第四版全部章节课后答案详解弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。非均匀的各向同性体如：混凝土。【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。

完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。小变形假定：假定位移和变形是微小的。亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。这样在建立物体变形以后的平衡方程时，就可以方便的用变形以前的尺寸来代替变形以后的尺寸。在考察物体的位移与形变的关系时，它们的二次幂或乘积相对于其本身都可以略去不计，使得弹性力学中的微分方程都简化为线性的微分方程。【1-4】应力和面力的符号规定有什么区别？试画出正坐标面和负坐标面上的正的应力和正的面力的方向。【解答】应力的符号规定是：当作用面的外法线方向指向坐标轴方向时（即正面时），这个面上的应力（不论是正应力还是切应力）以沿坐标轴的正方向为正，沿坐标轴的负方向为负。当作用面的外法线指向坐标轴

弹性力学薄板问题

解：（1）AO(x=0)边和YO(x=0)边是简支边，边界条件是： ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧=∂∂==∂∂=====0)(,0)(0)(,0)(02200220y y x x y x ωωωω CB （x=a ）和AB （y=b ）是自由边，边界条件是： ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂-+∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂-+∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂====0)2(,00)2(,02333222223332222b y b y a x a x y x y x y y x x y x ωμωωμωωμωωμω 很显然mxy =ω满足上诉四个边界条件。本题中薄板每平方面积的横向荷载q=0，mxy =ω也满足薄板弹性曲面微分方程： q D =∇ω4 （2）在B 点有集中外荷载F ，角点的条件为： F F RB -= 根据教材中式（9-18），得： ,)1(2)1(2), (2)()(,22b y a x B yx B xy B yx RBC RB y x D y x D F M M M F F F ==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂--=-=+=+=-ωμωμ 解得：) 1(2μ-=D F m 。所以，)1(2,)1(2max μωμω-=-= D Fab xy D F 。（3）求内力和反力 0,0,0,0,2)1(,0,022*********=∂∂+==∂∂+==∇∂∂-==∇∂∂-=-=∂∂∂--==⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-=x M F F y M F F y D F x D F F y x D M x y D M y x D M xy Sy t Sy xy Sx t Sx Sy Sx xy y x ωωωμωμωωμω 角点反力的正负号根据扭矩的正负方向来确定，在图中RB RO F F ,以上为正，RC RA F F ,一下为

弹性力学作业习题

HOMEWORK OF THEORETICAL ELASTICITY 1. DATE: 2001-9-20 1. 设地震震中距你居住的地方直线距离为l ，地层的弹性常数ν,E 和密度ρ均为已知。假设你在纵波到达0t 秒后惊醒。问你在横波到达之前还有多少时间跑到安全地区？试根据Km 200=l ，GPa 20=E ，3.0=ν，36g/m 100.2⨯=ρ，s 30=t 来进行具体估算。 2. 假定体积不可压缩，位移112(，)u x x 与212(，)u x x 很小，30u ≡。在一定区域内已知22 12 11(1) ()u x a bx cx =-++，其中a ，b ，c 为常数，且120ε=，求212(，)u x x 。 3. 给定位移分量 21123()u cx x x =+，22213()u cx x x =+，23312()u cx x x =+，此处c 为一个很小的常数。求应变分量ij ε及旋转分量ij Q 。 4. 证明 ,1 122 i ijk jk ijk k j e Q e u ω== 其中i ω为转动矢量。 5. 设位移场为22131232123()()u a x x e a x x e ax x e =-++-，其中a 为远小于1的常数。确定在 (0，2，1)P -点的小应变张量分量，转动张量分量和转知矢量分量。 6. 试分析以下应变状态能否存在。（1）22111 22()k x x x ε=+，2 2223kx x ε=，330ε=，121232kx x x γ=，23310γγ== （2）22111 2()k x x ε=+，2222kx x ε=，330ε=，12122kx x γ=，23310γγ== （3）21112ax a ε=，22212ax x ε=，3312ax x ε=，120γ=，22332ax bx γ=+，22 3112ax bx γ=+ 其中，，k a b 为远小于1的常数。 2. DATE: 2001-9-17

弹性力学简明教程全程导学及习题全解

1-7 试画出题1-7图中的的矩形薄板的正的体力，面力和应力的方向。注意：（1）无论在哪一个位置的体力，在哪一个边界面上的面力，均为沿坐标轴正方向为正，反之为负。（2）边界面上的应力应是以在正坐标面上，方向沿坐标轴正方向为正，反之为负，在负坐标面上，方向沿坐标轴负方向为正，反之为负。 1-8 试画出题1-8图中的三角形薄板的正的面力和体力的方向。 2-7 在导出平面问题的三套基本方程时，分别应用了哪些基本假设？这些方程的适用条件是什么？【解答】（1）在导出平面问题的平衡微分方程和几何方程时应用的基本假定是：

物体的连续性，小变形和均匀性。在两种平面问题（平面应力、平面应变问题）中，平衡微分方程和几何方程都适用。（2）在导出平面问题的物理方程时应用的基本假定是：物体的连续性，完全弹性，均匀性，小变形和各向同性，即物体为小变形的理想弹性体。在两种平面问题（平面应力、平面应变）中的物理方程不一样，如果将平面应力问题的物理方程中的E 换位2 1E μ-， 1μ μμ-换为，就得到平面应变问题的物理方程。 2-8 试列出题2-8图（a ），题2-8图（b ）所示问题的全部边界条件。在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。【解】（1）对于图（a ）的问题在主要边界0,x x b ==上，应精确满足下列边界条件： 0(), (),x x x x b gy gy σρσρ===-=- 0()0()0xy x xy x b ττ====；。在小边界（次要边界）y=0上，能精确满足下列边界条件： 01(), y y gh σρ==- ()0yx τ=。在小边界（次要边界）2y h =上，有位移边界上条件：22()0,()0y h y h u v ====。这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚1δ=时， 222 12 000 ()(), ()0,()0b y y h b y y h b yx y h dx g h h b xdx dx σρστ===⎧=-+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩⎰⎰⎰。（2）对于图（b ）所示问题在主要边界/2y h =±上，应精确满足下列边界条件：

徐芝纶编《弹性力学简明教程》第四版--全部章节课后标准答案详解

弹性力学简明教程(第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论【１－1】试举例说明什么是均匀的各向异性体,什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定,但不满足各向同性假定;非均匀的各向异性体,就是不满足均匀性假定,但满足各向同性假定。【解答】均匀的各项异形体如:竹材，木材。非均匀的各向同性体如:混凝土。【１－2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体?一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体,要判定能否满足四个假定:连续性，完全弹性，均匀性,各向同性假定。【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体;一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用? 【解答】(1）连续性假定:假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。因此,建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后,能够完全恢复原型而无任何形变。这一假定,还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的,即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性,所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。各向同性假定:假定物体是各向同性的,即物体的弹性在所有各个方向都相同,引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。小变形假定:假定位移和变形是微小的。亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸,而且应变和转角都远小于１。这样在建立物体变形以后的平衡方程时,就可以方便的用变形以前的尺寸来代替变形以后的尺寸。在考察物体的位移与形变的关系时，它们的二次幂或乘积相对于其本身都可以略去不计，使得弹性力学中的微分

弹性力学简明教程-第四章-平面问题的极坐标解答习题详解

第四章平面问题的极坐标解答典型例题讲解例4-1 如图所示，矩形薄板在四边受纯剪切力作用，切应力大小为q 。如果离板边较远处有一小圆孔，试求孔边的最大和最小正应力。例4-1图【解】（1）根据材料力学公式，求极值应力和量大正应力的方位角 max min 2x y σσσσ+⎫=⎬⎭ 其中0,,x y x q σστ===得 max min ,q q σσ==-。最大正应力所在截面的方位角为 max 0max 0tan 10 4 y q q τασσπ α=- =- =-→--=- q q x

若在该纯剪切的矩形薄板中，沿与板边成方向截取矩形ABCD ，则在其边界上便承受集度为q 的拉力和压力，如图所示。这样就把受纯剪切作用的板看作与一对边受拉，另一对边受压的板等效。（2）取极坐标系如图。由 2222442222cos 2(1)(13),cos 2(13),(4-18)sin 2(1)(13).ρφρφr r σq φρρr σq φρr r τq φρρ⎫ =--⎪ ⎪ ⎪⎪ =-+⎬ ⎪⎪ =--+⎪ ⎪⎭ 得矩形薄板ABCD 内的应力分量为 ()()() 22 224 422 22cos 2(1)(13) cos 2(13) sin 2(1)(13) ρφρφ a a σq φa ρρa σq φ b ρa a τq φ c ρρ =--=-+=--+ 其中为小孔的半径，而孔边最大与最小正应力由式（b ），在处得到 4 4cos 2(13)4cos 2,φa σq φa ϕ=-+=- 当，时，孔边最小正应力为，当时，孔边最大正应力为。分析：矩形板ABCD 边界上各点的应力状态与板内无孔时的应力状态相同。也可以应用叠加法，求解薄板的各种较复杂的平面应力（应变）问题。习题全解 4-1试比较极坐标和直角坐标中的平衡微分方程、几何方程和物理方程，指出哪些项是相似的，哪些项是极坐标中特有的？并说明产生这些项的原因。