弹性力学简明教程 课后习题答案

《弹性力学简明教程》

习题提示和参考答案

第二章习题的提示与答案

2－1 是

2－2 是

2－3 按习题2－1分析。

2－4 按习题2－2分析。

2－5 在的条件中,将出现2、3阶微量。当略去3阶微量后,得出的切应力互等定理完全相同。

2－6 同上题。在平面问题中,考虑到3阶微量的精度时,所得出的平衡微分方程都相同。其区别只是在3阶微量〔即更高阶微量〕上,可以略去不计。

2－7 应用的基本假定是：平衡微分方程和几何方程─连续性和小变形,物理方程─理想弹性体。

2－8 在大边界上,应分别列出两个精确的边界条件；在小边界〔即次要边界〕上,按照圣维南原理可列出3个积分的近似边界条件来代替。

2－9 在小边界OA边上,对于图2－15〔a〕、〔b〕问题的三个积分边界条件相同,因此,这两个问题为静力等效。

2－10 参见本章小结。

2－11 参见本章小结。

2－12 参见本章小结。

2－13 注意按应力求解时,在单连体中应力分量必须满足

〔1〕平衡微分方程,

〔2〕相容方程,

〔3〕应力边界条件〔假设>。

2－14 见教科书。

2－15 见教科书。

2－16 见教科书。

2－17 取

它们均满足平衡微分方程,相容方程与x=0和的应力边界条件,因此,它们是该问题的正确解答。

2－18 见教科书。

2－19 提示：求出任一点的位移分量和,与转动量,再令,便可得出。

第三章习题的提示与答案

3－1 本题属于逆解法,已经给出了应力函数,可按逆解法步骤求解：

〔1〕校核相容条件是否满足,

〔2〕求应力,

〔3〕推求出每一边上的面力从而得出这个应力函数所能解决的问题。

3－2 用逆解法求解。由于本题中l>>h,x=0,l属于次要边界〔小边界〕,可将小边界上的面力化为主矢量和主矩表示。

3－3 见3-1例题。

3－4 本题也属于逆解法的问题。首先校核是否满足相容方程。再由求出应力后,并求对应的面力。本题的应力解答如习题3-10所示。应力对应的面力是：

主要边界：

所以在边界上无剪切面力作用。下边界无法向面力；上边界有向下的法向面力q。

次要边界：

x=0面上无剪切面力作用；但其主矢量和主矩在x=0 面上均为零。

因此,本题可解决如习题3-10所示的问题。

3－5 按半逆解法步骤求解。

〔1〕可假设

〔2〕可推出

〔3〕代入相容方程可解出f、,得到

〔4〕由求应力。

〔5〕主要边界x=0,b上的条件为

次要边界y=0上,可应用圣维南原理,三个积分边界条件为

读者也可以按或的假设进行计算。

3－6 本题已给出了应力函数,应首先校核相容方程是否满足,然后再求应力,并考察边界条件。在各有两个应精确满足的边界条件,即

而在次要边界y=0 上,已满足,而的条件不可能精确满足〔否则只有A=B=0,使本题无解〕,可用积分条件代替：

3－7 见例题2。

3－8 同样,在的边界上,应考虑应用一般的应力边界条件<2-15>。

3－9 本题也应先考虑对称性条件进行简化。

3－10 应力函数中的多项式超过四次幂时,为满足相容方程,系数之间必须满足一定的条件。

3－11 见例题3。

3－12 见圣维南原理。

3－13 m个主要边界上,每边有两个精确的应力边界条件,如式<2-15>所示。n个次要边界上,每边可以用三个积分的条件代替。

3－14 见教科书。

3－15 严格地说,不成立。

第四章习题的提示和答案

4－1 参见§4-1,§4-2。

4－2 参见图4-3。

4－3 采用按位移求解的方法,可设代入几何方程得形变分量,然后再代入物理方程得出用位移表示的应力分量。将此应力公式代入平衡微分方程,其中第二式自然满足,而由第一式得出求的基本方程。

4－4 按应力求解的方法,是取应力为基本未知函数。在轴对称情况下,,只有为基本未知函数,且它们仅为的函数。求解应力的基本方程是：<1>平衡微分方程<其中第二式自然满足>,<2>相容方程。相容方程可以这样导出：从几何方程中消去位移,得

再将形变通过物理方程用应力表示,得到用应力表示的相容方程。

4－5 参见§4-3。

4－6 参见§4-3。

4－7 参见§4-7。

4－8 见例题1。

4－9 见例题2。

4－10 见答案。

4－11 由应力求出位移,再考虑边界上的约束条件。

4－12 见提示。

4－13 外半径的改变分别为两者之差为圆筒厚度的改变。

4－14 为位移边界条件。

4－15 求出两个主应力后,再应用单向应力场下圆孔的解答。

4－16 求出小圆孔附近的主应力场后,再应用单向应力场下圆孔的解答。

4－17 求出小圆孔附近的主应力场后,再应用单向应力场下圆孔的解答。

4－18 见例题3。

4－19 见例题4。

第五章习题提示和答案

5－1 参见书中由低阶导数推出高阶导数的方法。

5－2 参见书中的方程。

5－3 注意对称性的利用,取基点A如图。答案见书中。

5－4 注意对称性的利用,并相应选取基点A。答案见书中。

5－5 注意对称性的利用,本题有一个对称轴。

5－6 注意对称性的利用,本题有二个对称轴。

5－7 按位移求微分方程的解法中,位移应满足：<1>上的位移边界条件,<2>上的应力边界条件,<3>区域A中的平衡微分方程。用瑞利-里茨变分法求解时,设定的位移试函数应预先满足<1>上的位移边界条件,而<2>和<3>的静力条件由瑞利-里茨变分法来代替。

5－8 在拉伸和弯曲情况下,引用的表达式,再代入书中的公式。在

扭转和弯曲情况下,引用的表达式,再代入书中的公式。

5－9 对于书中图5-15的问题,可假设

对于书中图5-16的问题中,y轴是其对称轴,x轴是其反对称轴,在设定u、v试函数时,为满足全部约束边界条件,应包含公共因子。此外,其余的乘积项中,应考虑：u应为x和y的奇函数,v应为x和y的偶函数。

5－10 答案见书中。

5－11 在u,v中各取一项,并设时,用瑞利-里茨法得出求解的方程是

代入后,上两式方程是

解出

位移分量的解答为

应力分量为

第六章习题的提示和答案6－1 提示：分别代入的公式进行运算。

6－2 〔3〕中的位移,一为刚体平移,另一为刚体转动,均不会产生应力。其余见书中答案。

6－3 求i结点的连杆反力时,可应用公式

为对围绕i结点的单元求和。

6－4 求支座反力的方法同上题。

6－5 单元的劲度矩阵k,可采用书中P.124式〔g〕的结果,并应用公式求出整体劲度矩阵的子矩阵。

6－6 求劲度矩阵元素同上题。应力转换矩阵可采用书中P.127的结果。

6－7 求劲度矩阵元素可参见P.124式〔g〕的结果,再求出整体劲度矩阵元素答案见书中。

6－8 当单元的形状和局部编号与书中图6－10相同时,可采用P.124式〔g〕的单元劲度矩阵。

答案：中心线上的上结点位移下结点位移

6－9 能满足收敛性条件,即位移模式不仅反映了单元的刚度位移和常量应变,还在单元的边界上,保持了相邻单元的位移连续性。

第七章习题的提示和答案

7－1 答案：

7－2 提示：

原的点移动到位置,将新位置位置代入有关平面、直线、平行六面体和椭球面方程。

7－3 见本书的叙述。

7－4 空间轴对称问题比平面轴对称问题增加了一些应力、形变和位移,应考虑它们在导出方程时的贡献。

7－5 对于一般的空间问题,柱坐标中的全部应力、形变和位移分量都存在,且它们均为的函数。在列方程时应考虑它们的贡献。

第八章习题的提示和答案

8－1 提示：应力应满足平衡微分方程、相容方程与应力边界条件〔设>。柱体的侧面,在〔x,y〕平面上应考虑为任意形状的边界〔n=0,l,m为任意的〕,并应用一般的应力边界条件。

8－2 提示：同上题。应力应满足平衡微分方程、相容方程与应力边界条件〔设若为多连体,还应满足位移单值条件。

由于空间体为任意形状,因此,应考虑一般的应力边界条件〔7-5〕：法线的方向余弦为l,m,n,边界面为任意斜面,受到法向压力q作用。为了考虑多连体中的位移单值条件,应由应力求出对应的位移,然后再检查是否满足单值条件。

8－3 见§8-2的讨论。

8－4 从书中式〔8-2〕和〔8-12〕可以导出。由结论可以看出位移分量和应力分量等的特性。

8－5 为了求o点以下h处的位移,取出书中式〔8-6〕的,并作如下代换

,

然后从o→a对积分。

8－6 引用布西斯克解答,在z=0的表面上的沉陷是

〔1〕求矩形中心点的沉陷,采用图8-9〔a〕的坐标系,代入并积分,

再应用部分积分得到,

。

〔2〕求矩形角点处的沉陷,采用图8-9的坐标系,

8－7 题中已满足边界条件再由

便可求出切应力与扭角等。

8－8 题中能满足两个圆弧处的边界条件然后,相似于上题进行求式解为的两倍。

8－9 分别从椭圆截面杆导出圆截面杆的解答,和从矩形截面杆导出正方形截面杆的解答；并由,得出代入后进行比较即可得出。

8－10 参见§8-8的讨论。

第九章习题提示和答案

9－1 挠度w应满足弹性曲面的微分方程,x=0的简支边条件,以与椭圆边界上的固定边条件,。校核椭圆边界的固定边条件时,可参见例题4。

求挠度与弯矩等的最大值时,应考虑函数的极值点〔其导数为0〕和边界点,从中找出其最大值。

9－2 在重三角级数中只取一项可以满足的弹性曲面微分方程,并可以求出系数m。而四个简支边的条件已经满足。

关于角点反力的方向、符号的规定,可参见§9－4中的图9－5。

9－3 本题中无横向荷载,q= 0,只有在角点B有集中力F的作用。注意w =mxy应满足：弹性曲面的微

分方程,x=0和y=0的简支边条件,x=a和y=b的自由边条件,以与角点的条件〔见图9－5中关于角点反力的符号规定〕。

在应用莱维解法求解各种边界条件的矩形板时,这个解答可以用来处理有两个自由边相交的问题,以满足角点的条件。因此,常应用这个解答于上述这类问题,作为其解答的一部分。读者可参考§9－6中图9-9的例题。

9－4 本题中也无横向荷载,q= 0,但在边界上均有弯矩作用。x= 0,a是广义的简支边,其边界条件是

而y= 0,b为广义的自由边,其边界条件是

将w=f代入弹性曲面微分方程,求出f。再校核上述边界条件并求出其中的待定系数。

9－5 参见§9－7与例题1,2。

9－6 应用纳维解法,取w为重三角级数,可以满足四边简支的条件。在求重三角级数的系数中,其中对荷载的积分

只有在的区域有均布荷载作用,应进行积分；而其余区域,积分必然为零。

9－7 对于无孔圆板,由的挠度和力的有限值条件,得出书中§9－9 式的解中,,然后再校核简支边的条件,求出。

求最大值时,应考虑从函数的极值点和边界点中选取最大的值。

9－8 本题也是无孔圆板,由有限值条件,取。相应于荷载的特解,可根据书中§9－9 的式 求出。然后再校核的固定边的条件。

求最大值时,应从函数的极值点和边界点的函数值中选取。

9－9 由,代入与的公式,两边相比便可得出等用等表示的表达式。

由,将w对x,y的导数转换为对的导数。然后再与式相比, 便可得出等用挠度表示的公式。

9－10 参见上题,可以用类似的方法出。