八年级最短路径问题归纳
八年级最短路径问题归纳
最短路径问题是图论中的一个经典问题，也是计算机科学中的重要研究领域之一。在八年级的学习中，我们也会接触到最短路径问题，并且通过一些简单的算法来解决这个问题。本文将对八年级最短路径问题进行归纳总结，希望能够帮助大家更好地理解和应用这个问题。
一、最短路径问题的定义
最短路径问题是指在一个给定的图中，找出两个顶点之间的最短路径，即路径上的边权之和最小。其中，图由顶点和边组成，顶点表示路径中的点，边表示路径中的通路或连接。
二、最短路径问题的应用
最短路径问题在生活中有着广泛的应用，比如导航系统中的最短路径规划、货物运输中的最短路径选择等等。通过寻找最短路径，可以帮助我们节省时间和资源，提高效率。
三、最短路径问题的解决方法
1. 迪杰斯特拉算法
迪杰斯特拉算法是解决最短路径问题的一种常用算法。该算法通过不断更新起点到各个顶点的最短路径，直到找到终点的最短路径为
止。迪杰斯特拉算法的具体步骤如下：
- 初始化起点到各个顶点的距离为无穷大，起点到自身的距离为0；- 选择一个未访问的顶点，更新起点到其他顶点的距离；
- 重复上述步骤，直到找到终点的最短路径或所有顶点都被访问过。
2. 弗洛伊德算法
弗洛伊德算法是解决最短路径问题的另一种常用算法。该算法通过不断更新任意两个顶点之间的最短路径，直到更新完所有顶点对之间的最短路径为止。弗洛伊德算法的具体步骤如下：
- 初始化任意两个顶点之间的距离，如果两个顶点之间有直接的边，则距离为边的权值，否则距离为无穷大；
- 选择一个顶点作为中转点，更新任意两个顶点之间的距离；
- 重复上述步骤，直到更新完所有顶点对之间的最短路径。
四、最短路径问题的注意事项
在解决最短路径问题时，需要注意以下几点：
1. 图的表示方式：可以使用邻接矩阵或邻接表来表示图，根据具体的问题选择合适的表示方式。
2. 边的权值：边的权值可以表示两个顶点之间的距离、时间、花费等等，根据具体的问题选择合适的权值。
3. 起点和终点：确定问题中的起点和终点，以便找到起点到终点的最短路径。
五、最短路径问题的例题分析
下面通过一个例题来分析最短路径问题的解题过程：
例题：在一个有向图中，求出顶点A到顶点B的最短路径。
解题步骤：
1. 确定图的表示方式，选择邻接矩阵来表示图。
2. 初始化起点到各个顶点的距离，起点到自身的距离为0，其他顶点的距离为无穷大。
3. 选择一个未访问的顶点，更新起点到其他顶点的距离。
4. 重复上述步骤，直到找到终点的最短路径或所有顶点都被访问过。
5. 输出顶点A到顶点B的最短路径。
六、总结
最短路径问题是图论中的一个重要问题，通过寻找最短路径可以帮助我们节省时间和资源。在八年级的学习中，我们介绍了最短路径问题的定义、应用、解决方法和注意事项，并通过一个例题进行了分析。希望通过本文的归纳总结，大家能够更好地理解和应用最短路径问题。
八年级最短路径问题归纳
八年级最短路径问题归纳 最短路径问题是图论中的一个经典问题，也是计算机科学中的重要研究领域之一。在八年级的学习中，我们也会接触到最短路径问题，并且通过一些简单的算法来解决这个问题。本文将对八年级最短路径问题进行归纳总结，希望能够帮助大家更好地理解和应用这个问题。 一、最短路径问题的定义 最短路径问题是指在一个给定的图中，找出两个顶点之间的最短路径，即路径上的边权之和最小。其中，图由顶点和边组成，顶点表示路径中的点，边表示路径中的通路或连接。 二、最短路径问题的应用 最短路径问题在生活中有着广泛的应用，比如导航系统中的最短路径规划、货物运输中的最短路径选择等等。通过寻找最短路径，可以帮助我们节省时间和资源，提高效率。 三、最短路径问题的解决方法 1. 迪杰斯特拉算法 迪杰斯特拉算法是解决最短路径问题的一种常用算法。该算法通过不断更新起点到各个顶点的最短路径，直到找到终点的最短路径为
止。迪杰斯特拉算法的具体步骤如下： - 初始化起点到各个顶点的距离为无穷大，起点到自身的距离为0；- 选择一个未访问的顶点，更新起点到其他顶点的距离； - 重复上述步骤，直到找到终点的最短路径或所有顶点都被访问过。 2. 弗洛伊德算法 弗洛伊德算法是解决最短路径问题的另一种常用算法。该算法通过不断更新任意两个顶点之间的最短路径，直到更新完所有顶点对之间的最短路径为止。弗洛伊德算法的具体步骤如下： - 初始化任意两个顶点之间的距离，如果两个顶点之间有直接的边，则距离为边的权值，否则距离为无穷大； - 选择一个顶点作为中转点，更新任意两个顶点之间的距离； - 重复上述步骤，直到更新完所有顶点对之间的最短路径。 四、最短路径问题的注意事项 在解决最短路径问题时，需要注意以下几点： 1. 图的表示方式：可以使用邻接矩阵或邻接表来表示图，根据具体的问题选择合适的表示方式。 2. 边的权值：边的权值可以表示两个顶点之间的距离、时间、花费等等，根据具体的问题选择合适的权值。
初中最短路径问题7种类型
初中最短路径问题7种类型 初中最短路径问题7种类型 最短路径问题是离散数学中一个重要的研究领域，其应用广泛，包括交通路线规划、网络优化等。对于初中学生来说，了解和掌握最短路径问题，有助于培养他们的逻辑思维和解决问题的能力。下面将介绍初中最短路径问题的七种类型。 1. 单源最短路径问题 单源最短路径问题是指在一个给定的加权有向图中，从一个确定的源点出发，求到其他所有顶点的最短路径。这个问题可以通过使用迪杰斯特拉算法或贝尔曼-福特算法来求解。通过学习和理解这些算法，学生可以逐步掌握寻找最短路径的基本方法。 2. 多源最短路径问题 多源最短路径问题是指在一个给定的加权有向图中，求任意两个顶点之间的最短路径。这个问题可以通过使用佛洛依德算法来解决。学生可以通过了解和实践佛洛依德算法，掌握多源最短路径问题的求解方法。 3. 无权图最短路径问题 无权图最短路径问题是指在一个无向无权图中，求从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。这个问题可以通过使用广度优先搜索算法来解决。学生可以通过学习广度优先搜索算法，了解和掌握无权图最短路
径问题的解决方法。 4. 具有负权边的最短路径问题 具有负权边的最短路径问题是指在一个给定的加权有向图中，存在负权边，求从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。这个问题可以通过使用贝尔曼-福特算法来解决。学生可以通过了解和实践贝尔曼-福特算法，理解和应用具有负权边的最短路径问题。 5. 具有负权环的最短路径问题 具有负权环的最短路径问题是指在一个给定的加权有向图中，存在负权环，求从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。这个问题可以通过使用贝尔曼-福特算法的改进版来解决。学生可以通过学习和理解贝尔曼-福特算法的改进版，解决具有负权环的最短路径问题。 6. 具有边权和顶点权的最短路径问题 具有边权和顶点权的最短路径问题是指在一个给定的加权有向图中，除了边权之外，还考虑了顶点的权重，求从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。这个问题可以通过使用约翰逊算法来解决。学生可以通过学习和实践约翰逊算法，掌握具有边权和顶点权的最短路径问题的解决方法。 7. 具有时间限制的最短路径问题 具有时间限制的最短路径问题是指在一个给定的有向图中，每条路径都有一个时间限制，求从一个顶点到另一个顶点的最短路径。这个问
(完整版)初二数学最短路径问题知识归纳+练习
初二数学最短路径问题 【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括： ①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题． ②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题． ③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径． ④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径． 【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”． 【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”． 【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等． 【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．
在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大． 作直线AB ，与直线l 的交 点即为P ． 三角形任意两边之差小于 第三边．PB PA -≤AB ． PB PA -的最大值＝AB ． 【问题11】 作法 图形 原理 在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大． 作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点即 为P ． 三角形任意两边之差小于 第三边．PB PA -≤AB ＇． PB PA -最大值＝AB ＇． 【问题12】“费马点” 作法 图形 原理 △ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使P A +PB +PC 值最小． 所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠ APC ＝120°．以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ，连CD 、BE 相交于P ，点P 即为所求． 两点之间线段最短． P A +PB +PC 最小值＝CD ． 【精品练习】 1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有 一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ．3 B ．26 C ．3 D 6 2．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ） A ．2 B ．32 C ．32+ D ．4 l B A l P A B l A B l B P A B' A B C P E D C B A A D E P B C
八年级上册数学-最短路径问题
第18讲 最短路径问题 【板块一】“垂线段最短”问题 方法技巧：一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短． 题型一 动点所在直线已知型 【例1】已知等腰△ABC 的面积为4，AB =AC ，BC =8，P 为BC 上一动点，求AP 的最小值． 题型二 动点所在直线隐藏型 【例2】如图，边长为6的等边△ABC ，点E 时对称轴AD 上的一个动点，连接EC ，将线段EC 绕点C 逆时针旋转60°得到FC ，连接DF ，则在点E 的运动过程中，求DF 的最小． B C 针对练习1 1．如图，△ABC 和△ACD 都是等边三角形，AB =2，△ABC ACD 绕点A 旋转得到△AC ’D ’．AC ’，AD ’分别与BC ，CD 交于E ，F ．求△CEF 的周长的最小值． A B D 2．如图，OE 是等边△AOB 的中线，OB =4，C 是直线OE 上一动点，以AC 为边在直线AC 下方作等边△ACD ，连接ED ，下列说法正确的是（ ） A ．ED 的最小值是2 B ．ED 的最小值是1 C ．E D 有最大值 D ．ED 没有最大值也没有最小值
O A B D E C 【板块二】“将军饮马”问题 方法技巧：定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值． 【例3】如图，在平面直角坐标系中，点A （﹣2，4），B （4，2），在x 轴上取一点P ，使点P 到点A 和B 的距离之和最小，则点P 的坐标是（ ） A ．（﹣2，0） B ．（4，0） C ．（2，0） D ．（0，0） 【例4】如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ．∠BAD =120°，在BC ，CD 上分别找一点M ，N ，当△AMN 周长最小时，求∠AMN ＋∠ANM 的度数． B N M 针对练习2 1．如图，等腰△ABC 的底边BC 的长为为4cm ，面积是12cm 2，腰AB 的垂直平分线EF 交AC 于点F ，若D 为BC 边上的中点，M 为线段EF 上一动点，求△BDM 的周长最小值．
八年级最短路径问题归纳小结
【精品练习】 1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有 一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ． B ． C ．3 D 2．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ） A ．2 B ．32 C ．32 D ．4 3．四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝70°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 的周长最小时，∠AMN +∠ANM 的度数为（ ） A ．120° B ．130° C ．110° D ．140° 4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是 ． 5．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝6，点E 在AB 边上，点D 在BC 边上（不与点B 、C 重合）， 且ED ＝AE ，则线段AE 的取值范围是 ． 6．如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方， D E A B C A D E P B C B N
即Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则有222AB BC AC =+） 7．如图，三角形△ABC 中，∠OAB ＝∠AOB ＝15°，点B 在x 轴的正半轴，坐标为B (36，0)． OC 平分∠AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA ＋MN 的最小值是______． 8．已知A （2，4）、B （4，2）．C 在y 轴上，D 在x 轴上，则四边形ABCD 的周长最小值为 ， 此时 C 、D 两点的坐标分别为 ． 9．已知A （1，1）、B （4，2）． （1）P 为x 轴上一动点，求PA +PB 的最小值和此时P 点的坐标； （2）P 为x 轴上一动点，求PB PA -的值最大时P 点的坐标； （3）CD 为x 轴上一条动线段，D 在C 点右边且CD ＝1，求当AC +CD +DB 的最小值和此时C 点的坐标； 10．点C 为∠AOB 内一点． （1）在OA 求作点D ，OB 上求作点E ，使△CDE 的周长最小，请画出图形；
八年级上册数学-最短路径问题
第18讲 最短路径问题 知识导航 1．“垂线段最短”问题； 2．“将军饮马”问题； 3．“造桥选址”问题． 【板块一】“垂线段最短”问题 方法技巧：一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短． 题型一 动点所在直线已知型 【例1】已知等腰△ABC 的面积为4，AB =AC ，BC =8，P 为BC 上一动点，求AP 的最小值． 题型二 动点所在直线隐藏型 【例2】如图，边长为6的等边△ABC ，点E 时对称轴AD 上的一个动点，连接EC ，将线段EC 绕点C 逆时针旋转60°得到FC ，连接DF ，则在点E 的运动过程中，求DF 的最小． A B C 针对练习1 1．如图，△ABC 和△ACD 都是等边三角形，AB =2，△ABC ACD 绕点A 旋转得到△AC ’D ’．AC ’，AD ’分别与BC ，CD 交于E ，F ．求△CEF 的周长的最小值． A B D
2．如图，OE 是等边△AOB 的中线，OB =4，C 是直线OE 上一动点，以AC 为边在直线AC 下方作等边△ACD ，连接ED ，下列说法正确的是（ ） A ．ED 的最小值是2 B ．ED 的最小值是1 C ．E D 有最大值 D ．ED 没有最大值也没有最小值 O A B D E C 【板块二】“将军饮马”问题 方法技巧：定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值． 【例3】如图，在平面直角坐标系中，点A （﹣2，4），B （4，2），在x 轴上取一点P ，使点P 到点A 和B 的距离之和最小，则点P 的坐标是（ ） A ．（﹣2，0） B ．（4，0） C ．（2，0） D ．（0，0） 【例4】如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ．∠BAD =120°，在BC ，CD 上分别找一点M ，N ，当△AMN 周长最小时，求∠AMN ＋∠ANM 的度数． B N M 针对练习2 1．如图，等腰△ABC 的底边BC 的长为为4cm ，面积是12cm 2，腰AB 的垂直平分线EF 交AC 于点F ，若D 为BC 边上的中点，M 为线段EF 上一动点，求△BDM 的周长最小值．
八年级数学讲义--最短路径问题-(含解析)
八年级数学讲义--最短路径问题-(含解析) 第6讲最短路径问题知识定位讲解用时：5分钟 A、适用范围：人教版初二，基础较好； B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习最短路径问题，现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，最值问题不仅使学生难以理解，也是中考中的一个高频考 点。本节将利用轴对称知识探究数学史上著名的“将军饮马问题”。知识梳理讲解用时：20分钟两点之间线段最短 C D A B E A地到B地有3条路线A-C-D-B，A-B，A-E-B，那么选哪条路线最近呢？选A-B，因为两点之间，直线最短垂线段最短如图，点P是直线L外一点，点P与直线上各点的所有连线中，哪条最短？PC 最短，因为垂线段最短两点在一条直线异侧如图，已知A点、B点在直线L异侧，在L上选一点P，使PA+PB最短、连接AB交直线L于点P，则PA+PB最短、依据：两点之间：线段最短 A P L B相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海 伦、有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的 问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B 地、到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？两点在一 条直线同侧作法： 1、作B点关于直线L的对称点B’； 2、连接AB’交直线L于点C；
3、点C即为所求、证明：在直线L上任意选一点C’（点C’不与C重合），连接AC’、BC’、B’C’、在△AB’C’中，AC’+B’C’＞AB’∴AC’+BC’＞AC+BC所以AC+BC最短、课堂精讲精练 【例题1】 已知点A，点B都在直线l的上方，试用尺规作图在直线l上求作一点P，使得PA+PB的值最小，则下列作法正确的是（） A、 B、 C、 D、【答案】 D 【解析】 根据作图的方法即可得到结论、解：作B关于直线l的对称点，连接这个对称点和A交直线l于P，则PA+PB的值最小，∴D 的作法正确，故选： D、讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了轴对称﹣最短距离问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键、教学建议：学会处理两点在直线同侧的最短距离问题、难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：【练习 1、1】
八年级数学最短路径问题
八年级数学最短路径问题 一、两点在一条直线异侧 例：已知:如图，A，B在直线Ｌ的两侧，在L上求一点P， 使得PA＋ＰＢ最小。 练习、如图,Ａ.B两地在一条河的两岸,现要在河上建一座桥MＮ,桥造在何处才能使从Ａ到B 的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线,桥要与河垂 直) 二、两点在一条直线同侧 例:图所示，要在街道旁修建一个奶站,向居民区Ａ、B提供牛奶,奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短. 练习:如图,A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，•要在河边建一个抽水站,将河水送到A、Ｂ两地，问该站建在河边什么地方，•可使所修的渠道最短,试在图中确定该点。
三、一点在两相交直线内部 例：已知:如图A是锐角∠MOＮ内部任意一点，在∠MON的两边OM,ON上各取一点B,C,组成三角形AＢC,使三角形周长最小. 练习1：已知：如图Ａ是锐角∠MON内部任意一点，在∠MOＮ的两边OM,ＯN上各取一点Ｂ，C，组成三角形ABＣ周长最小值为OA．求∠ＭON的度数。 练习２:某班举行晚会,桌子摆成两直条(如图中的AO,BO），AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短？ 提高训练 一、题中出现一个动点。 1.当题中只出现一个动点时，可作定点关于动点所在直线的对称点，利用两点之间线段最短,或三角形两边之和小于第三边求出最值． 例：如图,在正方形ABＣD中，点E为AB上一定点, 且BE=1０,CE=14,P为BD上一动点，求PＥ+PC最小值。
八年级数学上册：最短路径问题
八年级数学上册：最短路径问题 知识导航 1．“垂线段最短”问题； 2．“将军饮马”问题； 3．“造桥选址”问题． 【板块一】“垂线段最短”问题 方法技巧：一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短． 题型一 动点所在直线已知型 【例1】已知等腰△ABC 的面积为4，AB =AC ，BC =8，P 为BC 上一动点，求AP 的最小值． 题型二 动点所在直线隐藏型 【例2】如图，边长为6的等边△ABC ，点E 时对称轴AD 上的一个动点，连接EC ，将线段EC 绕点C 逆时针旋转60°得到FC ，连接DF ，则在点E 的运动过程中，求DF 的最小． A B C 针对练习1 1．如图，△ABC 和△ACD 都是等边三角形，AB =2，△ABC ACD 绕点A 旋转得到△AC ’D ’．AC ’，AD ’分别与BC ，CD 交于E ，F ．求△CEF 的周长的最小值． A B D
2．如图，OE 是等边△AOB 的中线，OB =4，C 是直线OE 上一动点，以AC 为边在直线AC 下方作等边△ACD ，连接ED ，下列说法正确的是（ ） A ．ED 的最小值是2 B ．ED 的最小值是1 C ．E D 有最大值 D ．ED 没有最大值也没有最小值 O A B D E C 【板块二】“将军饮马”问题 方法技巧：定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值． 【例3】如图，在平面直角坐标系中，点A （﹣2，4），B （4，2），在x 轴上取一点P ，使点P 到点A 和B 的距离之和最小，则点P 的坐标是（ ） A ．（﹣2，0） B ．（4，0） C ．（2，0） D ．（0，0） 【例4】如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ．∠BAD =120°，在BC ，CD 上分别找一点M ，N ，当△AMN 周长最小时，求∠AMN ＋∠ANM 的度数． B N M 针对练习2 1．如图，等腰△ABC 的底边BC 的长为为4cm ，面积是12cm 2，腰AB 的垂直平分线EF 交AC 于点F ，若D 为BC 边上的中点，M 为线段EF 上一动点，求△BDM 的周长最小值．
人教版数学八年级上册-最短路径问题
最新人教版数学八年级上册最短路径问题1．最短路径问题 (1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求． 如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB 最短，这时点C是直线l与AB的交点． (2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．; 如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB 最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点． 为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下： 证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称， 所以直线l是线段BB′的垂直平分线． 因为点C与C′在直线l上， 所以BC＝B′C，BC′＝B′C′. 在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′， | 所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′， 所以AC＋BC＜AC′＋C′B. 【例1】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小． 分析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点． 解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′； (2)连接AB′交直线l于点M. (3)则点M即为所求的点． `
点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题. 2.运用轴对称解决距离最短问题 运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同． 警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．3．利用平移确定最短路径选址 选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决． 解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．. 在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题． 【例2】如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水． (1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂 (2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方 分析：(1)到A，B两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又要在河边，所以作AB的垂直平分线，与EF的交点即为符合条件的点． (2)要使厂部到A村、B村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”，作A(或B)点关于EF的对称点，连接对称点与B点，与EF的交点即为所求．解：(1)如图1，取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于P，则P 到A，B的距离相等．也可分别以A、B为圆心，以大于1 2AB为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF的交点P即为所求． ： (2)如图2，画出点A关于河岸EF的对称点A′，连接A′B交EF于P，则P到A，B的距离和最短．
八年级数学(上)培优专题七：最短路径问题
专题七最短路径问题 1．最短路径问题 （1）求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点,与直线的交点即为所求． 如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA ＋CB最短,这时点C是直线l与AB的交点． （2）求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点,则与该直线的交点即为所求． 如图所示,点A,B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点． 为了证明点C的位置即为所求,我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B。如下: 证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称， 所以直线l是线段BB′的垂直平分线． 因为点C与C′在直线l上， 所以BC＝B′C，BC′＝B′C′. 在△AB′C′中,AB′＜AC′＋B′C′， 所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′， 所以AC＋BC＜AC′＋C′B. 【例1】在图中直线l上找到一点M,使它到A，B两点的距离和最小． 分析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点,与直线l的交点M即为所求的点． 解：如图所示：（1)作点B关于直线l的对称点B′； (2)连接AB′交直线l于点M。
（3）则点M即为所求的点． 点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题。 2。运用轴对称解决距离最短问题 运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点,这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问． 3．利用平移确定最短路径选址 选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大,如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明,通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决． 解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题． 在解决最短路径问题时,我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上,从而作出最短路径的方法来解决问题．【例2】如图,小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B 村供水． （1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？ （2）若要使厂部到A,B两村的水管最短，应建在什么地方？ 分析：（1）到A，B两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又要在河边,所以作AB的垂直平分线，与EF的交点即为符合条件的点． (2）要使厂部到A村、B村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”，作A（或B)点关于EF的对称点,连接对称点与B点,与EF的交点即为所求．解：(1)如图1，取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于P，则P到A,B的距离相等．也可分别以A、B为圆心，以大于错误!AB为半径画弧,两弧交于两点，过这两点作直线，与EF的交点P即为所求． （2）如图2,画出点A关于河岸EF的对称点A′，连接A′B交EF于P，则P到A，B的距离和最短．
初二数学第9讲：最短路径(学生版)
第9讲最短路径 ） 知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。“饮马问题”，“造桥选址问题”。 考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
一、两点在一条直线异侧 例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。 例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短． 三、一点在两相交直线内部 例：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小. 例：如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 例：如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物， 要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方， 可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。 例：某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 例：如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。 四、求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计 在此问题中可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得最优设计方案。
初二最短路径专题
八年级数学最短路径问题 【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括： ①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题． ②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题． ③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径． ④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径． 【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”． 【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”． 【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等． 【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．
在直线l 上求一点P ，使 PB PA -的值最大． 作直线AB ，与直线l 的交 点即为P ． 三角形任意两边之差小于 第三边．PB PA -≤AB ． PB PA -的最大值＝AB ． 【问题11】 作法 图形 原理 在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大． 作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点即 为P ． 三角形任意两边之差小于 第三边．PB PA -≤AB ＇． PB PA -最大值＝AB ＇． 【精品练习】 作图题： 【例1】已知：如图，A ，B 在直线L 的两侧，在L 上求一点P ，使得PA+PB 最小。 【例2】如图，直线l 是一条河，P ，Q 是两个村庄．计划在l 上的某处修建一个水泵站M ，向P ，Q 两地供水．现有如下四种铺设方案（图中实线表示铺设的管道），则所需管道最短的是 （ ） 【例3】已知A （1，1）、B （4，2）． （1）P 为x 轴上一动点，求PA +PB 的最小值和此时P 点的坐标； （2）P 为x 轴上一动点，求PB PA -的值最大时P 点的坐标； l B A l P A B l A B l B P A B' y y x B O A
初二期中复习最短路径+角平分线+全等三角形综合
（一）最短路径 知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。 一、两点在一条直线异侧 例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。 （根据：两点之间线段最短.） 二、两点在一条直线同侧 例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短． 三、一点在两相交直线内部 例1：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM， ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小. 例2：如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造 在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直 线，桥要与河垂直） A· B M N E
例3：某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 例4：如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的 最短路线。 四、综合应用 例1：如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽均为5米，从A处到达B处，须经两座桥：DD′，EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A、B在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米，问如何恰当地架桥可使ADD′E′EB的路程最短？ 例2： A O B E N C M A O B D ·C H F D
数学人教版八年级上册最短路径问题
B C D A L 图(3) C 中考专题复习——路径最短问题 一、具体内容包括： 蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题； 线段（之和）最短问题； 二、原理： 两点之间，线段最短；垂线段最短。（构建“对称模型”实现转化） 三、例题： 例1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A 沿木块侧面爬到点B 处，则它爬行的最短路径是 。 ②如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。 例2、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。 ②如图，直线L 同侧有两点A 、B ，已知A 、B 到直线L 的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L 上找一个点P ，使PA+PB 的和最小。请在图中找出点P 的位置，并计算PA+PB 的最小值。 ③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km 和3Km ，张村与李庄的水平距离为3Km ，则所用水管最短长度为 。 四、练习题（巩固提高） （一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。 2、现要在如图所示的圆柱体侧面A 点与B 点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm ，底面圆周长为16cm ，则所缠金丝带长度的最小值为 。 3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A 点爬到点B 处吃到食物，知圆柱体的高为5 cm ，底面圆的周长为24cm ，则蚂蚁爬行的最短路径为 。 4、正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN 的最小值 第2题 张村 李庄 A B B 第1题 第3题
人教版八年级下册数学专题复习及练习(含解析)：最短路径问题
专题13.4最短路径问题 1.最短路径问题 (1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求. 如图所示，点川，万分别是直线2异侧的两个点，在2上找一个点G使CA^CB最短，这时点Q是直线』与初的交点. ⑵求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条宜线的对称点, 连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求. 如图所示，点月，万分别是直线2同侧的两个点，在』上找一个点G使CA+CB最短，这时先作点〃关 为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C',连接EG、BC「、证明M -\-CB 问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点「到直线上某点的距离和最小越 个核心，所有作法都相同. 利用轴对称解决最值问题应注意题目要球根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法.解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，「审题不淸导致答非所问. 3.利用平移确左最短路径选址 选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上.如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决. 解决连接河两岸「的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题. 在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题. 4.生活中的距离最短问题 由两点之间线段最短（或三角形两边之和大于第三边）可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜而反射的方式转化成一条线段，如图，AO+BO=AC的长.所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法. Cy __-7 B 5.运用轴对称解决距离之差最大问题 利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键.先做出其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求.根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值. 破疑点解决距离的最值问题的关键运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法. 对点例题解析 【例题1】在图中直线/上找到一点M使它到儿万两点的距离和最小. 三角形 第3节多边形及其内角和 【知识梳理】 路径最短问题：运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点之间线段最短，来实现最短路径的求解。所以最短路径问题，需要考虑轴对称。 典故：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ 精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 这个问题提炼出数学问题为：设C 为直线l上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小(如图) 作法： (1)作点B 关于直线l 的对称点B′； (2)连接AB′，与直线l 交于点C. 则点C 即为所求． 证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.由 轴对称的性质知，BC ＝B′C，BC ′＝B′C′. ∴ AC ＋BC ＝ AC ＋B′C ＝ AB′， AC ′＋BC′＝ AC′＋B′C′. 在△AB′C′中，AB ′＜AC′＋B′C′， ∴ AC ＋BC ＜AC′＋BC′.即 AC ＋BC 最短. 预备知识： 在直角三角形中，三边具有的关系如下：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则有222AB BC AC =+ 【诊断自测】 1、如图，直线l 是一条河，A 、B 两地相距5km ，A 、B 两地到l 的距离分别为3km 、6km ，欲在l 上的某点M 处修建一个水泵站，向A 、B 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ） A ． B ． C ． D ． 2、如图所示，四边形OABC 为正方形，边长为3，点A ，C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，点D 在OA 上，且D 的坐标为（1，0），P 是OB 上的一动点，则“求PD+PA 和的最小值”要用到的数理依据是（ ） A ．“两点之间，线段最短”数学八年级-轴对称;最短路径问题