人教版八年级数学13.4最短路径问题（包含答案）

人教版八年级数学13.4最短路径问题（包含答案）

13.4最短路径问题

知识要点：

1．求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置．

2．求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置．

一、单选题

1．A，B，C三个车站在东西方向笔直的一条公路上，现要建一个加油站使其到三个车站的距离和最小，则加油站应建在()

A．在A的左侧B．在AB之间C．在BC之间D．B处

【答案】D

2．A、B是直线l上的两点，P是直线l上的任意一点，要使PA+PB的值最小，那么点P 的位置应在（）

A．线段AB上B．线段AB的延长线上

C．线段AB的反向延长线上D．直线l上

【答案】A

3．如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）

A．B．C．

D．

【答案】D

4．已知：如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，△A＜△B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM 沿直线CM折叠，点A落在点A1处，CA1与AB交于点N，且AN=AC，则△A的度数是（）

A．30° B．36° C．50° D．60°

【答案】A

5．如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是△BAC的平分线．若P，Q 分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）

A．2.4B．4 C．4.8D．5

【答案】C

6．如图所示,△ABC中,AB=AC,△EBD=20°,AD=DE=EB,则△C的度数为()

A．70°B．60°C．80°D．65°

【答案】A

7．如图所示,在Rt△ABC中,△ACB=90°,△B=15°,AB边的垂直平分线交AB于点E,交BC于点D,且BD=13 cm,则AC的长是()

A．13 cm B．6.5 cm

C．30 cm D．cm

【答案】B

8．如图所示，从点A到点F的最短路线是()

A．A→D→E→F B．A→C→E→F

C．A→B→E→F D．无法确定

【答案】C

9．如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是△BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）

A．12

5B．4 C．24

5

D．5

10．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是

A．（0，0）B．（0，1）C．（0，2）D．（0，3）

【答案】D

11．如图，直线l是一条河，A、B两地相距10km，A、B两地到l的距离分别为8km、14km，

欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向A、B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的

管道，则铺设的管道最短

．．的是（）

二、填空题

12在平面直角坐标系中，已知点A（0，2）、B（4，1），点P 在轴上，则PA+PB的最小值是______________。

【答案】5

13．如图所示,已知△ABC关于直线y=1对称,点C到AB的距离为2,AB长为6,则点A,B的坐标分别为____.

【答案】(2,-2),(2,4)

14．如图，已知△AOB＝30°，OC平分△AO B，在OA上有一点M，OM＝10 cm，现要在OC，OA上分别找点Q，N，使QM＋QN 最小，则其最小值为________ ．

【答案】5cm

AD=，E是AD上的一个动点，F是15．如图，在等边三角形ABC 中，BC边上的中线4

+的最小值是______．

边AB上的一个动点，在点E、F运动的过程中，EB EF

【答案】4

16．在平面直角坐标系中，点P （2，0），Q （2，4），在y轴有一点M，若PM + QM最小，则M的坐标为．

【答案】（0，2）

三、解答题

17．如图所示，A，B是两个村庄，若要在河边l上修建一个水泵站往两村输水，则水泵站应修在河边的什么位置，才能使铺设的管道最短？请说明理由．

解：连接AB，与直线l的交点P为所求水泵站的位置．因为两点之间的所有连线中，线段最短．

18．如图1，在一条河同一岸边有A和B两个村庄，要在河边修建码头M，使M到A和B 的距离之和最短，试确定M的位置；

试题解析：所求点如下图所示：

∵两点之间线段最短，

∵需要能将AM、BM两边转化到一条直线上，

∵用轴对称可以办到，

求点M的位置的具体步骤如下：

∵作作点A关于直线BC的轴对称点A’，

∵连结A’B交BC于点M，

∵连结AM，

则点M就是所求作的点，能够使M到A和B的距离之和最短.

19．如图所示，P，Q为△ABC边上的两个定点，在BC上求作一点R，使△PQR的周长最小．

试题解析：(1)作点P关于BC所在直线的对称点P′，

(2)连接P′Q，交BC于点R，则点R就是所求作的点(如图所示)．

20．如图，村庄A，B位于一条小河的两侧，若河岸a，b彼此平

行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？

（1）过点A作河岸a的垂线AE；

（2）在a的垂线AE上截取AA′等于河宽（即桥长CD），从而确定点A′的位置；

（3）连接A′B与河岸b相交于点C；

（4）过点C作河岸b的垂线，交河岸a于点D.

所以，CD就是桥所在的位置.

21．如图所示,在△ABC中,△ABC和△ACB的平分线交于点O,过点O作EF△BC,交AB于点E,交AC于点F.

(1)若△ABC=40°,△ACB=60°,求△BOE+△COF的度数;

(2)若△AEF的周长为8 cm,且BC=4 cm,求△ABC的周长.

【答案】（1）∵BOE+∵COF=50°；（2）12cm.

解:(1)∵EF∵BC,

∴∵OCB=∵COF,∵OBC=∵BOE.

又∴BO,CO分别是∵BAC和∵ACB的角平分线,

∴∵COF=∵FCO=1

2

∵ACB=30°,∵BOE=∵OBE=

1

2

∵ABC=20°.

∵∵BOE+∵COF=50°.

(2)∵∵COF=∵FCO,∴OF=CF.

∴∵BOE=∵OBE,∴OE=BE.

∴∵AEF的周长=AF+OF+OE+AE=AF+CF+BE+AE=AB+AC=8 cm.∵∵ABC的周长=8+4=12(cm).