初二数学最短路径问题知识归纳+练习
初二数学最短路径问题
【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：
①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．
②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．
③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．
④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径．
【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．
【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．
【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．
【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．
在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．
作直线AB ，与直线l 的交
点即为P ．
三角形任意两边之差小于
第三边．PB PA -≤AB ．
PB PA -的最大值＝AB ．
【问题11】 作法
图形 原理
在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．
作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点即
为P ．
三角形任意两边之差小于
第三边．PB PA -≤AB ＇． PB PA -最大值＝AB ＇．
【问题12】“费马点” 作法
图形 原理
△ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使P A +PB +PC 值最小．
所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠
APC ＝120°．以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ，连CD 、BE 相交于P ，点P 即为所求．
两点之间线段最短． P A +PB +PC 最小值＝CD ．
【精品练习】
1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有
一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ）
A ．3
B ．26
C ．3
D 6
2．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ） A ．2
B ．32
C ．32+
D ．4
l
B
A
l
P
A
B
l A
B
l
B
P
A
B'
A
B
C
P
E
D
C
B
A
A
D
E
P
B C
3．四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝70°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 的周长最小时，∠AMN +∠ANM 的度数为（ ）
A ．120°
B ．130°
C ．110°
D ．140°
4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是 ．
5．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝6，点E 在AB 边上，点D 在BC 边上（不与点B 、C 重合）， 且ED ＝AE ，则线段AE 的取值范围是 ．
6．如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则有222AB BC AC =+）
7．如图，三角形△ABC 中，∠OAB ＝∠AOB ＝15°，点B 在x 轴的正半轴，坐标为B (36，0)．
OC 平分∠AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA ＋MN 的最小值是______． D
E
A
B
C
D M
A
B
M
N
8．已知A （2，4）、B （4，2）
．C 在y 轴上，D 在x 轴上，则四边形ABCD 的周长最小值为 ，
此时 C 、D 两点的坐标分别为 ．
9．已知A （1，1）、B （4，2）．
（1）P 为x 轴上一动点，求PA +PB 的最小值和此时P 点的坐标；
（2）P 为x 轴上一动点，求PB PA 的值最大时P 点的坐标；
（3）CD 为x 轴上一条动线段，D 在C 点右边且CD ＝1，求当AC +CD +DB 的最小值和此时C 点的坐标；
10．点C 为∠AOB 内一点．
（1）在OA 求作点D ，OB 上求作点E ，使△CDE 的周长最小，请画出图形；
（2）在（1）的条件下，若∠AOB ＝30°，OC ＝10，求△CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数．
图①
12．荆州护城河在CC＇处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处，需经过两座桥DD＇、EE＇，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使A到B点路径最短？
初二数学最短路径练习题及答案
初二数学最短路径练习题及答案导言： 数学中的最短路径问题是指在网络图中寻找两个顶点之间路径长度最短的问题。该问题在实际生活中应用广泛，比如在导航系统中为我们找到最短的路线。对于初二学生而言，在学习最短路径问题时，题目练习是非常重要的。本文将为初二数学学习者提供一些最短路径练习题及答案，帮助他们巩固知识和提高解题能力。 练习题一： 某地有4个村庄A、B、C、D，它们之间的道路如下图所示。要求从村庄A到村庄D，经过的道路距离最短，请你找出最短路径，并计算出最短路径的长度。 解答一： 根据题目所给的道路图，我们可以使用最短路径算法来求解最短路径。以下是求解过程： 1. 首先，我们需要创建一个包含4个顶点的图，并初始化每条边的权值。将A、B、C、D顶点分别标记为1、2、3、4。 村庄A到村庄B的距离为5，即A-5-B。 村庄A到村庄C的距离为3，即A-3-C。 村庄B到村庄C的距离为2，即B-2-C。
村庄B到村庄D的距离为6，即B-6-D。 村庄C到村庄D的距离为4，即C-4-D。 2. 接下来，我们使用迪杰斯特拉算法求解最短路径。 a) 首先，我们将起始顶点A的距离设置为0，其他顶点的距离设置为无穷大。 b) 然后，我们选择距离最短的顶点，并将其标记为已访问。 c) 然后，我们更新与该顶点相邻的顶点的距离。如果经过当前顶点到达邻接顶点的距离比已记录的最短路径更短，就更新最短路径。 d) 重复上述步骤，直到找到最短路径为止。 3. 经过计算，最短路径为A-3-C-4-D，距离为7。 练习题二： 某城市有6个地点，它们之间的交通图如下所示。请你计算从地点A到地点F的最短路径，并给出最短路径的长度。 解答二： 根据题目所给的交通图，我们可以使用最短路径算法来求解最短路径。以下是求解过程： 1. 首先，我们需要创建一个包含6个顶点的图，并初始化每条边的权值。将地点A、B、C、D、E、F分别标记为1、2、3、4、5、6。 地点A到地点B的距离为4，即A-4-B。
初二数学最短路径问题知识归纳+练习
初二数学最短路径问题 【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括： -①确定起点的最短路径问题即已知起始结点，求最短路径的问题．-②确定终点的最短路径问题与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题． -③确定起点终点的最短路径问题即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径． ④全局最短路径问题-求图中所有的最短路径． 【问题原型】．“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等． 【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．】【十二个基本问题
】1作法图形【问题原理 A A 两点之间线段最短．P l．交点即为P连AB，与l l PA+PB 最小值为AB．B B，使上求一点P在直线l 值最小．PA+PB 【问题2】“将军饮马”作法图形原理 A A B＇B关于作B l 的对称点两点之间线段最短．B
l l PA+PB 最小值为 A B P．＇．连A B ＇，与l 交点即为 P，使P在直线l 上求一点B' PA+PB 值最小． 3】作法图形原理【问题 P'l 1l 1 分别作点P 关于两直线的两点之间线段最短．M P PM +MN +PN 的最小值为对称点P＇和P＇，连P＇P＇，P l l l 、上2．M，P＇＇＇的长．N与两直线交点即为线段P 分别求点在直线l212N M 、N，使△PMN的周长P'' 最小． 4】作法【问题图形原理 l 1l1Q' Q关于直线分别作点Q 、P Q两点之间线段最短．MP l 、l P＇Q＇和的对称点21P周长的最小四边形PQMN l2＇，与两直线交点即Q连＇P值为线段P＇P＇＇的长．l 2、l l 上分别求点在直线．，N为M21N ，使四边形N 、M PQMN P' 的周长最小． 【问题5】“造桥选址”作法图形原理范文
人教版八年级下册数学专题复习及练习(含解析)：最短路径问题
专题13.4最短路径问题 1.最短路径问题 (1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求. 如图所示，点川，万分别是直线2异侧的两个点，在2上找一个点G使CA^CB最短，这时点Q是直线』与初的交点. ⑵求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条宜线的对称点, 连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求. 如图所示，点月，万分别是直线2同侧的两个点，在』上找一个点G使CA+CB最短，这时先作点〃关 为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C',连接EG、BC「、证明M -\-CB 问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点「到直线上某点的距离和最小越 个核心，所有作法都相同. 利用轴对称解决最值问题应注意题目要球根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法.解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，「审题不淸导致答非所问. 3.利用平移确左最短路径选址 选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上.如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决. 解决连接河两岸「的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题. 在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题. 4.生活中的距离最短问题 由两点之间线段最短（或三角形两边之和大于第三边）可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜而反射的方式转化成一条线段，如图，AO+BO=AC的长.所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法. Cy __-7 B 5.运用轴对称解决距离之差最大问题 利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键.先做出其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求.根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值. 破疑点解决距离的最值问题的关键运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法. 对点例题解析 【例题1】在图中直线/上找到一点M使它到儿万两点的距离和最小. 轴对称：最短路径问题 【知识导图】 1.两点之间，线段最短。 2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 3.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题 讲解内容：只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置。 讲解内容：只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置。 如图所示，点A ，B 分别是直线l 同侧的两个点，在l 上找一个点C ，使CA ＋CB 最短 【答案】作点B 关于直线l 的对称点B'，连接AB'与l 交于点C ，则点C 为所求的点。 【解析】在直线l 上任取不同于C 点的C'点，连接AC’,BC’∵点B 和B'关于直线l 对称∴CB=CB’、C'B=C'B'∴CA+CB=CA+CB'=AB'∵CA+CB’ 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AM+NB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 【答案】1.将点A沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到A'， 2.连接A'B交河对岸于点N, 则点N为建桥的位置，MN为所建的桥。 【解析】由平移的性质，得 AM∥A'N且AM=A'N, MN=M'N'，AM'∥A'N'，AM'=A'N' 所以A、B两地的距:AM+MN+BN=AA'+A'N+NB=AA'+A'B 若桥的位置建在M'N'处，则AB两地的距离为： AM'+M'N'+N'B=A'N'+M'N'+N'B 在△A'N'B中，∵A'N'+N'B>A'B ,M'N'=AA'∴M'N'+A'N'+N'B＞AA'+A'B 所以桥的位置建在MN处，AB两地的路程最短。 如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小. 2 例题3 最短路径问题专题练习 1．如图，要在街道l设立一个牛奶站O，向居民区A，B提供牛奶，下列设计图形中使OA+OB值最小的是（） A．B． C．D． 2．小颖的爸爸要在某条街道l上修建一个奶站P，向居民区A，B提供牛奶，要使点P到A，B的距离之和最短，则下列作法正确的是（） A．B． C．D． 3．A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（） A．（BM垂直于a）B．（AM不平行BN） 4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（） A．9.6B．8C．6D．4.8 5．如图，在△AOB中，∠OAB＝∠AOB＝15°，OB＝6，OC平分∠AOB，点P在射线OC上，点Q为边OA上一动点，则P A+PQ的最小值是（） A．1B．2C．3D．4 6．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF 的值最小时，∠AEB的度数为（） A．105°B．115°C．120°D．130° 7．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（） A．80°B．90°C．100°D．130° 8．在△ABC中，AB＝6，BC＝7，AC＝＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线m．上的一动点，则△APC的周长的最小值为（） A．6B．10C．11D．13 人教版八年级上册数学 13.4 最短路径问题课时训练 一．选择题 1．如图所示，OB是一条河流，OC是一片菜田，张大伯每天从家（A点处）去河处流边挑水，然后把水挑到菜田处，最后回到家中．请你帮他设计一条路线，使张大伯每天行走的路线最短．下列四个方案中你认为符合要求的是（） A． B．C． D． 2．已知A（﹣1，1）、B（2，﹣3），若要在x轴上找一点P，使AP+BP最短，此时点P的坐标为（）A．（0，0）B．（，0）C．（﹣1，0）D．（﹣，0） 3．如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN 的周长最小时，∠MPN的度数是（） A．50°B．60°C．70°D．80° 4．如图．在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN 的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（） A．84°B．88°C．90°D．96° 5．如图所示的平面直角坐标系中，点A坐标为（4，2），点B坐标为（1，﹣3），在y轴上有一点P使PA+PB 的值最小，则点P坐标为（） A．（2，0）B．（﹣2，0）C．（0，2）D．（0，﹣2） 6．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OB、OA上的动点，点P为∠AOB内一点，且OP＝4，则△PMN 的周长的最小值为（） A．2 B．4 C．6 D．8 二．填空题 7．如图，已知点A（0，3），B（3.0），C（1，2）．在y轴上找一点P，使PC+PB的值最小．请你估计点P 的坐标是． 8．在平面直角坐标系中，有A（3，3），B（1，﹣1）两点，现在y轴上取一点P，当P点的坐标为时，AP+BP的值最小． 9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，S△ABC＝16，点P为角平分线AD上任意一点，PE⊥AB，连接PB，则PB+PE 的最小值为． 10．如图，P为∠MON内部的已知点，连接OP，A为OM上的点，B为ON上的点，当△PAB周长的最小值与OP的长度相等，∠MON的度数为°． 11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AC＝24，BD平分∠ABC，点E是AB的动点，点F是BD上的动点，则AF+EF的最小值为． 12．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为5，面积是14，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F， 最短路径问题专项训练 一、选择题 1．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P 是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠ACP的度数是（） A．30°B．45°C．60°D．90° 2．如图，点P是直线a外一点，PB⊥a，点A，B，C，D都在直线a上，下列线段中最短的是( ) A．PA B．PB C．PC D．PD 3．如图，直线是一条河，A、B是两个新农村定居点．欲在l上的某点处修建一个水泵站，直接向A、B两地供水．现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（） A．B． C ． D ． 4． 如图，ABC ∆中，BAC 90︒∠=，6AB =，10BC =，8AC =，BD 是ABC ∠的平分线.若P 、Q 分别是BD 和AB 上的动点，则PA PQ +的最小值是（ ） A ． 125 B ．4 C ．245 D ．5 5．如图，在AOB ∆中，15OAB AOB ∠=∠=︒，6OB =，OC 平分AOB ∠，点P 在射线OC 上，点Q 为边OA 上一动点，则PA PQ +的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．如图，正方体的棱长为2，B 为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从A 点出发，到达B 点，则它运动的最短路程为( ) A B ．4 C D ．5 7．如图，在ABC ∆中，10BC =，CD 是ACB ∠的平分线．若P ，Q 分别是CD 和AC 上的动点，且ABC ∆的面积为24，则PA PQ +的最小值是（ ） A ． 125 B ．4 C ．245 D ．5 8．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 上，且BE DF =，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，P 为MN 上的一个动点，则下列线段的长等于BP EP +最小值的是( ) A ．AE B ．BN C ．BE D ．AF 二、填空题 9．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 是CD 中点，点P 是对角线AC 上的动点，那么PD PE +的最小值= ． 最短路径问题（将军饮马）专项训练 一、单选题 1．如图，在ABC 中，AB AC =，10BC =，60ABC S =△，D 是BC 中点，EF 垂直平分AB ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，在EF 上确定一点P ，使PB PD +最小，则这个最小值为( ) A ．10 B ．11 C ．12 D ．13 2．如图方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC 的两个端点均在小正方形的顶点上，点P 也在小正方形的顶点上．某人从点P 出发，沿图中已有的格点所连线段走一周（即不能直接走线段AC 且要回到P ），则这个人所走的路程最少是（ ） A ．7 B ．14 C ．10 D ．不确定 3．如图，在等边△ABC 中，AB ＝2，N 为AB 上一点，且AN ＝1，AD ＝3，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连接BM 、MN ，则BM+MN 的最小值是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．3 4．如图，在△ABC 中，∠C=90° ，∠BAC=30°，AB=12，AD 平分∠BAC ，点PQ 分别是AB 、AD 边上的动点，则BQ+QP 的最小值是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=50°，∠A=26°，将△ABC沿DE折叠，点A的对应点是点A′，则∠AEA′的度数是（） A．145°B．152°C．158°D．160° 6．图1为某四边形ABCD纸片，其中∠B=70°，∠C=80°．若将CD迭合在AB上，出现折线MN，再将纸片展开后，M、N两点分别在AD、BC上，如图2所示，则∠MNB的度数为（）度. A．90 B．95 C．100 D．105 7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为底边在△ABC外作等腰△ACD，过点D作∠ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F．若AC＝12，BC＝5，△ABC的周长为30，点P是直线DE上的一个动点，则△PBC周长的最小值为（） A．15 B．17 C．18 D．20 8．平面直角坐标系xOy中，已知A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－1)三点，D(1，m)是一个动点，当△ACD 的周长最小时，则△ABD的面积为（） A．1 3 B． 2 3 C． 4 3 D． 8 3 9．如图，等边△ABC的边长为4，AD是边BC上的中线，F是边AD上的动点，E是边AC上一点，若AE=2，则EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为（） 2022-2023学年人教版八年级数学上册《13.4课题学习最短路径问题》 同步练习题（附答案） 一．选择题 1．如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为（） A．B．3C．3D．2 2．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC的中点，点M为线段EF上一动点，当△CDM周长取得最小值为13时，△ABC的面积为（） A．30B．39C．60D．78 3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点D为边AB的中点，点P在边AC上，则△PDB周长的最小值等于（） A．AC+AB B．AB C．AC+BC D．AC 4．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（） A．4B．4.8C．5D．6 5．如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若AB＝5，AC＝4，BC＝6，则△APC周长的最小值是（） A．9B．10C．11D．12.5 6．如图，点P为∠AOB内一点，分别作点P关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OB于M，交OA于N，P1P2＝15，则△PMN的周长为（） A．16B．15C．14D．13 7．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，EF垂直平分BC，点P为直线EF上一动点，则△ABP周长的最小值是（） A．6B．7C．8D．12 8．如图，在直角坐标系中，点M（﹣2，3），N（﹣2，0），若要在y轴上确定一个点P使得PM+PN最小，则点P可以是图中的（） A．点E B．点F C．点G D．点O 初中数学八年级上册课题学习最短路径问题练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 1. 如图，已知Rt△ABC中，∠B=90∘，AB=3，BC=4，D，E，F分别是边AB，BC，AC上的动点，则DE+EF+FD的最小值为（） A.4.8 B.6 C.10 D.无法确定 2. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P在矩形内部，且满足S PCD= 1 4S 长方形ABCD ，则点P到A,B两点的距离之和PA+PB的最小值为( ) A.8 B.10 C.14 D.2√13 3. 如图，直线l表示石家庄的太平河，点P表示朱河村，点Q表示黄庄村，欲在太平河l 上修建一个水泵站（记为点M），分别向两村供水，现有如下四种修建水泵站供水管道的方案，图中实线表示修建的管道，则修建的管道最短的方案是（） A. B. C. D. 4. 如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄．欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是( ) A. B. C. D. 5. 如图①，在边长为4cm的正方形ABCD中，点P从点A出发，沿AB→BC的路径匀速运动，当点C停止，过点P作PQ//BD，PQ与边AD(或边CD)交于点Q，PQ的长度y(cm)与点P的运动时间x(s)的函数关系图象如图②所示，当点P运动2.5s时，PQ的长是（）cm． A.5√2 B.√2 C.4√2 D.3√2 6. 如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠BCD=15∘，P为CD上的动点，则|PA−PB|的最大值是（） For personal use only in study and research; not for commercial use 八年级数学最短路径问题 一、两点在一条直线异侧 例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P， 使得PA+PB最小。 练习、如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥 MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要 与河垂直） 二、两点在一条直线同侧 例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短． 练习：如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，•要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，•可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。 三、一点在两相交直线内部 例：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形ABC，使三角形周长最小. 练习1：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一 点B，C，组成三角形ABC周长最小值为OA.求∠MON的度数。 练习2：某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB 桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 提高训练 一、题中出现一个动点。 1.当题中只出现一个动点时,可作定点关于动点所在直线的对称点,利用两点之间线段最短,或三角形两边之和小于第三边求出最值. 例：如图，在正方形ABCD中，点E为AB上一定点， 且BE=10,CE=14,P为BD上一动点，求PE+PC最小值。 二、题中出现两个动点。当题中出现两个定点和两个动点时,应作两次定点关于动点所在直线的对称点.利用两点之间线段最短求出最值。 例：如图，在直角坐标系中有四个点, A(-8,3),B(-4,5)C(0，n),D(m,0),当四边形ABCD周长最短时,求C、D的坐标。 练习1如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q 分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是． 三、题中出现三个动点时。 在求解时应注意两点：(1)作定点关于动点所在直线的对称点, (2)同时要考虑点点,点线,线线之间的最短问题. 例：如图，在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,E,F,P分别为AB,BC,AC上动点, 求PE+PF最小值 例：如图，∠AOB=45°，角内有一动点P ，PO=10，在AO，BO上有两动点Q，R， 求△PQR周长的最小值。 练习1如图，∠AOB=30°，角内有一定点P ，PO=20cm，在AO，BO上有两动点C、D， 13.4课题学习最短路径问题 1．最短路径问题 (1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求． 如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点． (2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求． 如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B 关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点． 为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下： 证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称， 所以直线l是线段BB′的垂直平分线． 因为点C与C′在直线l上， 所以BC＝B′C，BC′＝B′C′. 在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′， 所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′， 所以AC＋BC＜AC′＋C′B. 【例1】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小． 分析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点． 解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′； (2)连接AB′交直线l于点M. (3)则点M即为所求的点． 点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题. 运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同． 警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问． 3．利用平移确定最短路径选址 选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决． 解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题． 在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题． 【例2】如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水． (1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？ (2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？ 分析：(1)到A，B两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又要在河边，所以作AB的垂直平分线，与EF的交点即为符合条件的点． (2)要使厂部到A村、B村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”，作A(或B)点关于EF的对称点，连接对称点与B点，与EF的交点即为所求． 解：(1)如图1，取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于P，则P到A，B的距离相等．也可分别以A、B为圆心，以大于1 2AB为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF的交点P即为所求． (2)如图2，画出点A关于河岸EF的对称点A′，连接A′B交EF于P，则P到A，B的距离和最短． 【例3】如图，从A地到B地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？ 思路导引：从A到B要走的路线是A→M→N→B，如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只 最短路径问题专项练习 一、单选题(共15题) 1．如图所示,△ABC 中,AB=AC ,∠EBD =20°,AD=DE=EB ,则∠C 的度数为( ) A ．70° B ．60° C ．80° D ．65° 2．已知点M(-4，2)，若点N 是y 轴上一动点，则M ，N 两点之间的距离最小值为（ ） A ．-4 B ．2 C ．4 D ．-2 3．如图，直线l 是一条河，P ，Q 两地相距8km ，P ，Q 两地到l 的距离分别为2km ，5km ，欲在l 上的某点M 处修建一个水泵站，向P ，Q 两地供水．现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）. A ． B ． C ． D ． 4．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝6，动点P 满足PAB S ＝13 S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点的距离之和PA+PB 的最小值为（ ） A ．10 B ． C ． D ．5．在等腰ABC ∆中，AB AC =，D 、 E 分别是BC ，AC 的中点，点P 是线段AD 上的一个动点，当PCE ∆的周长最小时，P 点的位置在ABC ∆的（ ） A ．重心 B ．内心 C ．外心 D ．不能确定 6．如图，长宽高分别为3，2，1的长方体木块上有一只小虫从顶点A 出发沿着长方体的外表面亮到现点B ，则它爬行的最短路程是( ) A B ． C ． D ．5 7．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中9,5,6AB BB B C ==''='，在线段AB 的三等分点E （A E=3）处有一只蚂蚁，''B C 中点F 处有一米粒，则蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为（ ） A ．10 B C ．5+ D ．8．如图，一个长方体盒子紧贴地面，一只蚂蚁由A 出发，在盒子表面上爬到点G ，已知AB =6，BC =5，CG =3，这只蚂蚁爬行的最短路程是（ ） A ．14 B ．10 C D 9．如图，在△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，AD=8,AD 是BC 边上的高．若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC+PQ 的最小值是( )． A ．6 B ．8 C ．9.6 D ．12 八年级上册数学最短路径问题（将军饮马）专项练习 一、单选题 1．已知点M(-4，2)，若点N是y轴上一动点，则M，N两点之间的距离最小值为（） A．-4B．2C．4D．-2 2．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则P A+PB的最小值是（） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，正方体的棱长为2，B为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从A点出发，到达B点，则它运动的最短路程为( ) A．10B．4 C．17D．5 4．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB＝6，BC＝9，则BF的长为（） A．4 B．2C．4.5 D．5 m、(0,2)和(5,3)，则当ABC的周长5．如图，在ABC中，点A、B、C的坐标分别为(,0) 最小时，m的值为（） A．0 B．1 C．2 D．3 6．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠ACP的度数是（） A．30°B．45°C．60°D．90° 7．已知点A，B是两个居民区的位置，现在准备在墙l边上建立一个垃圾站点P，如图是4位设计师给出的规划图，其中PA＋PB距离最短的是（） A．B． C．D． 8．如图，等腰ABC的底边BC长为4cm，面积为2 16cm，腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，D为BC的中点，M为直线EF上的动点．则CDM周长的最小值为（） A ．6cm B ．8cm C ．9cm D ．10cm 9． 如图，直线是一条河，A 、B 是两个新农村定居点．欲在l 上的某点处修建一个水泵站，直接向A 、B 两地供水．现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是 （ ） A ． B ． C ． D ． 10．如图，在ABC ∆中，10BC =，CD 是ACB ∠的平分线．若P ，Q 分别是CD 和AC 上的动点，且ABC ∆的面积为24，则PA PQ +的最小值是（ ） A ． 12 5 B ．4 C ． 245 D ．5 11．在△ABC 中，AB=BC ，点D 在AC 上，BD=6cm ，E ，F 分别是AB ，BC 边上的动点，△DEF 周长的最小值为6 cm ，则ABC ∠=( ) A ．20° B ．25° C ．30° D ．35° 12．某平原有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水.某同学用直线（虚线）l 表示小河，,P Q 两点表示村庄，线段（实线）表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（）. A ． B ．八年级上第08讲 最短路径问题 讲义+练习
2022-2023学年人教版八年级数学上册《最短路径问题》专题练习(含答案)
人教版八年级上册数学 13.4 最短路径问题 课时训练 (含答案)
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八年级数学上册最短路径问题(将军饮马)专项训练(含解析)
2022-2023学年人教版八年级数学上册《13-4课题学习 最短路径问题》同步练习题(附答案)
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