线性谐振子的不同解法比较
线性谐振子的不同解法比较
关键词：一维谐振子；能量本征值；波函数
摘 要：一维线性谐振子作为量子力学中的基础模型，它的解决方法具有多样性并随着科学工作者的努力和对数学理论的应用的不断深入（如群论和群表示理论），谐振子的解法将会最优化，并会对多维谐振子以及耦合谐振子等复合问题
[1]
的解决起着重要的帮助作
用。在这里我们将分别从表象理论（包括坐标表象、动量表象、能量表象和占有数表象），以及矩阵力学、宇称等角度出发求解一维线性谐振子，并作出适当的比较。 中国分类号：（140物理学） 文献标识码：A 文章编号：
Comparison with Several Different Methods on the Solutions of One-dimensional Linear Harmonic
Oscillator Key words: one-dimensional linear harmonic oscillator; eigenvalue of energy and wavefunction
Abstract: One-dimensional linear harmonic oscillator as a basic model in quantum mechanics, there are more and more solutions to it with the increasing development of the theory of mathematics. It will serve the different
problems of multidimensional and coupled harmonic oscillator. We will respectively solve one-dimensional linear harmonic oscillator from the theory of presentative, matrix mechanics and parity respectively.
1． 引言
谐振子的模型在量子力学，量子光学以及固体物理等学科领域都有着广泛的应用。本文我们将建立最简单一维线性谐振子作为模型并用不同的方法处理。设一维谐振子的质量为m,其圆频率为ω,势函数为，
22()1
2
x V m x ω=
， 则其Hamilton 量
[2]
为
1
2221
22
p H m x m ω=+ （1.1）
收稿日期：2015-03-30
作者简介：李德远（1990年生），男，本科学生，物理学
我们也可以采用自然坐标系（即
1ωμ===）[3],能量单位为ω，长
。则（1）又可写作
221122H p x =
+ （1.2）
我们知道经典力学到量子力学的转变，满足量子化条件
[4]
??[,]x
p i =[5]
，
在自然坐标下又可写作
??[,]x
p i = （1.3） 2． 在坐标表象中的解法
写出在x 表象中的Schrodinger 方程
22
()
22()()2
1
22
x x x d m x E m dx ψωψψ-
+=（2.1）
令
x ξα≡
≡，2E
λω
≡
（2.2）
则（2.1）?
2
ω
并带入（2.2）可得， 22
2
()0d d ψλξψξ
+-= （2.3） 由数理方法，我们先看ψ在ξ→±∞时
方程的渐进行为，可以看出在ξ→±∞时， 方程（6）又可以写作
2
22
d d ψ
ξψξ
=，它的渐进解为ψ~2
2
e ξ±
。
由于波函数的物理边界条件要求ξ→±∞
时，ψ有限。则()ψξ可写作
2
2
()()e
H ξψξξ-
= (2.4)
将它带入（2.1）式，并对ξ求二级微商
可得：
222(1)0d H dH
H d d ξλξξ
-+-= (2.5) ()H ξ为厄米多项式，（7）式为Hermite
方程
[6]
对（7）式求解，
只有当12,0,1,2n n λ-==···时， 才
有
能
量
本
征
值
1
(),0,1,22
n E n n ω=+=····
对
应
波
函
数
2
2
()(),0,1,2n n n N e H n ξψξξ-
==·
·· 其中，n N 是归一化系数，可以通过正交归一化条件来确定。 正交归一化条件为：
()()n n nn x x dx ψψδ+∞
*''-∞
=?
（2.6）
定出：
12
1
22!n n N n απ??
?= ???
（2.7）
3． 在动量表象中的解法
在动量表象中，x i
p
?=?[7]
，所以
（4）在动量表象中的Schrodinger 方程为
2
222
()()()21122
p p p d p m E m dp
ψωψψ-=
（3.1） 令p m y ω=，则上式变为
22
()
22()()2
1
22
y y y d m y E m dy ψωψψ-
+= （3.2）
可以看出（9）式和（4）式的形式是相同的，解法也是相同的，所以结果也是一致的。 4． 在能量表象中的解法
根据
???[,]?F x F i
x ?=?，???[,]?F p F i p
?=-?[8]
（4.1）
对（1.1）式分别对,x p 求导，再将（4.1）式带入，有
2??
????()?H i m x
Hp pH x
ω?==--?（ 4.2） ?1?
????()?H i p Hx xH p
m ?==-? （4.3） 分别对（4.2）和（4.3）中两式取能量表象的的矩阵元，有
2?
????()i i m x
j i Hp pH j ω?||?=?|--|? （4.4）
1?????()i i p j i Hx xH j m
?|
|?=?|-|? （4.5）
(4.4)和（4.5）式又可写作
2?()ij i j ij i
m x
E E p ω=-- （4.6）
1()ij i j ij i
p E E x m
=- （4.7） 消去（4.6）和（4.7）中两式的ij p ，有
222()ij i j ij x E E x ω=-
所以ij p 和ij x 有非零解的条件是
2
2
2()i j E E ω=-和i j E E ω=-
解得
1(),0,1,22
i E i i ω=+=···[
9]
5． 在占有数表象中的解法
（因式分解法）
由
222211
()[()]22
H p x x ip =+=-
（5.1） 通过因式分解可得
111
()()222
H x ip x ip ixp ipx =-+-+
（5.2） 或者
111
()()222
H x ip x ip ixp ipx =+-+-
（5.3）
由于零点能的存在[10]，（5.3）这种排列不存在零点能，不符合物理规律，顾不考虑。
再由对应关系（1.3），式（5.2）由经典力学转变到了量子力学的邻域，变为
111?????????()()222H
x ip x ip ixp ipx =-+-+ 11????()()22
x ip x ip =
-++ （5.4） 令
???)a
x ip -=+
和???)a x ip +=- 并将其带入（5.4）时，有
11????22
H a a N +-=+=+
(5.5) 其中算符?
N 的本征值是粒子数n ，且
?N 为正定厄米算子[11]满足
11??(),0,1,222
H
n N n n n n |?=+|?=+|?=··· (5.6) 所以
1
(),0,1,22
n E n n =+=···
6． 宇称解法
设()()V x V x -=，对应于任何一个能量的本征值E ，总可以找到方程（4）的一组解（且每一个解都有确定的宇称
[12]
），而属于能量本征值E 的任何解，
都可用他们展开[13]
设（2.3）式的解为
2
2()()e ξ
ψξψξ-
'=
（6.1)
()ψξ'所满足的方程为
22()()
2(1)()0
d x d x x d d ψψξλψξξ'''-+-= （6.2）
又因为()()V x V x -=，所以()ψξ是有确定的宇称，而且()ψξ的奇偶性由
()ψξ'决定。
设
()
()
2
4
()240()()2()
21,0,2,4(),1,3,5n n
n n n n n n n n
n n n n n n n a a a a n a a a n
ξξξψξψξξξ------?++++=?''==?+++=?? （6.3）
将（6.3）式带入到（6.2）式中，要求
21n λ=+
解得
11
(),0,1,2,3
22
E n n λωω==+=
对于波函数，可以将21n λ=+带入（6.2）式，有
22
()()
22()0d x d x n x d d ψψξψξξ
'''-+= （6.4） 再将（6.3）式带入（6.4）式，有
2
(0)
2
00()a e
ξψξ-
= 2
(1)2
11()a e
ξψξξ-
=
()2(2)
22
02()(21)a e
ξψξξ-
=-+
()2
(3)32
132()()3
a e
ξψξξξ-
=-+
2
(4)42
2404()(41)3
a e ξψξξξ-
=-+
2
(5)52
2
5144()(
)153
a e ξψξξξξ-
=-+
······
其中(0)0a ，(2)0a ，(4)0a ，(1)1a ，(3)1a 和(5)
1
a 分别由波函数的归一化条件确定。
7． 矩阵力学的解法
矩阵力学主要是有海森堡，波恩，约尔丹，泡利等人发展创立，是量子力学的基础，其主要意图是想通过可以观察的物理量如，光强，频率等，来研究微观模型中
电子在原子中的轨道运动等问题[]14。主要内容有：任何一个物理量都可以用厄米矩阵来表示；坐标矩阵和动量矩阵的对易关系；系统的正则运动方程以及物理系统光谱频率的决定关系。
由海森堡运动方程（即矩阵力学的运动方程），量子力学的泊松括号以及矩阵
方程，满足
2211
()2x p x xp i m
=-
?-
2211
()2p x pxp pxp xp i m
=-
?-+- p
m
=
（7.1）
1
(p Hp pH ih
=-
-） （7.2）
22211
(2p m x p xpx xpx px ih
ω=
?-+--）
2m x ω=- (7.3)
对（1.3）式取厄米共轭，有 引入
，()2b x m
ω=
+
，()2b x m ω+=
- 则有
1
2
H
b b ω
+=+
（7.4）1
2
H
bb ω+=
- （7.5）将（7.4）式左乘b 和将（7.5）
右乘b ，则两式应相等，即
11(
)()22
H
H b b ωω+=- （7.6） 可以得到，
[]1
,Hb
bH
b H b ω
ω
ω
=
-
=
（7.7）
取其矩阵元，矩阵方程，
'''
'''
b H H H ω
-||H （
+1）=0
（7.8） 另外，当且仅当'
''
H H ω=+时，
'''
b H ||H 才恒不为零。再取bb +
对角
元，有
'
'''
'''
1
b b 2
H H H ω
||H
||H =
-
（7.9） 因为'
''
'''
b b H H ||H =||H
所以'1
02
H ω-
≥ 因此，本征值为
'1351
,,()2222
H n ωωωω=
+
8． 总结
从以上不同的解法可以看到，总体可以分为两种类型，从解析的角度或者从矩阵的角度来处理数学问题。如果从物理的角度，又可以从表象，宇称，矩阵力学等角度出发分析方程，进而用不同的方法解出同样的结果。一方面证实了我们所求结果的正确性，另一方面也为我们求解其他复杂问题提供了方法。
从表象的理论出发，首先通过坐标表象，用解析的方法（可参看《数学物理方法》），可以求出Schrodinger 方程的本征值和本征函数，最终由正交归一化条件定出归一化因子。相对来说方法很基础。在动量表象里，只要将Schrodinger 方程变换成动量表象即可得到与坐标表象形式相同的方程，所以其结果也将相同。在能量表象中，通过（4.1）的对易关系，将其取做能量表象的矩阵元形式，然后解出线性方程（可参看《线性代数》）。但需要提及的是这种方法的波函数未能求出来。在宇称表象中，根据()()V x V x -=条件下，方程具有确定的宇称，从而可以分不同的宇称即奇宇称或者偶宇称的情况下，将其展开的波函数带入Schrodinger 方程。也可以求出本征函数和本征值。 从矩阵力学的角度出发，我们需要根据一定的矩阵力学的知识：矩阵力学的运动方程以及矩阵方程，即（7.1）（7.2）（7.3）等。然后就是解矩阵方程。通过这种方法可以看出，物理图像已经不像在表象理论里的解法那么清楚了，变得更加抽象化，理论化。不可否认，这种方法的适用范围将更加广泛，包括处理更加复杂的谐振子模型。
当然，随着科学技术的进步，计算机的使用给自然科学带来了极大的发展。通过使用Matlab 编程，用有限差分法模拟一维线性谐振子，亦可以计算出本征值和本征函数
[]
15。
9．参考文献
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[19]R.Shankar. Principles of Quantum Mechanics[M].2nd ed.World Publishing Copration 2007
一维谐振子的本征值问题
摘要：一维谐振子的本征值问题属于定态问题。本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac算子代数解法和Schr?dinger波动力学解法。在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。最后从Dirac算子代数中求解出a?的本征态即谐振子的相干态，并由降算符a?与升算符+a?、光子数n与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。 关键词：量子力学、一维谐振子、Heisenberg矩阵力学、算子代数解法、Schr?dinger波动力学、一维半壁谐振子势阱（垒）、相干态、压缩态。 在量子力学中谐振子不仅是说明量子力学基本原理和方法的一个很好的例子，而且任何体系在平衡位置附近的小振动，例如:分子的振动，原子核辐射场及其他玻色场的振动等，在选择恰当的坐标后，常常可以分解为若干彼此独立的一维谐振子振动]1[.1925年Heisenberg发现矩阵力学，1926年Schr?dinger创立波动力学，同时，Dirac创立在数学上更为一般的理论.可包括矩阵及波动两种形式]2[.一维谐振子的能力本征值问题，在历史上首先为Heisenberg的矩阵力学解决，后来用算子代数的方法给出了极漂亮的解，一般的教材只给定了波动力学的解法]3[.自1963年，Glauber]4[等人提出谐振子相干态以后，相干态和压缩态以其特有的最小不确定性和超完备性备受人们的关注，被广泛应用于量子光5[-。 学等领域]13 一维谐振子的本征值问题属于定态问题。本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac算子代数解法和Schr?dinger波动力学解法。在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。最后从Dirac算子代数中求解出a?的本征态即谐振子的相干态，并由降算符a?与升算符+a?、光子数n与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。 1.矩阵力学解法 取自然平衡位置为坐标原点，并选原点为势能零点，则一维谐振子势V可表成
一维谐振子的本征值问题
一维谐振子的本征值问题 姜罗罗 赣南师范学院物理与电子信息科学系物理学专业2000级（2）班 摘要：一维谐振子的本征值问题属于定态问题。本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac算子代数解法和Schr?dinger波动力学解法。在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。最后从Dirac算子代数中求解出a?的本征态即谐振子的相干态，并由降算符a?与升算符+a?、光子数n与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。 关键词：量子力学、一维谐振子、Heisenberg矩阵力学、算子代数解法、Schr?dinger波动力学、一维半壁谐振子势阱（垒）、相干态、压缩态。 在量子力学中谐振子不仅是说明量子力学基本原理和方法的一个很好的例子，而且任何体系在平衡位置附近的小振动，例如:分子的振动，原子核辐射场及其他玻色场的振动等，在选择恰当的坐标后，常常可以分解为若干彼此独立的一维谐振子振动]1[.1925年Heisenberg发现矩阵力学，1926年Schr?dinger创立波动力学，同时，Dirac创立在数学上更为一般的理论.可包括矩阵及波动两种形式]2[.一维谐振子的能力本征值问题，在历史上首先为Heisenberg的矩阵力学解决，后来用算子代数的方法给出了极漂亮的解，一
般的教材只给定了波动力学的解法]3[.自1963年，Glauber ]4[等人提出谐振子相干态以后，相干态和压缩态以其特有的最小不确定性和超完备性备受人们的关注，被广泛应用于量子光学等领域]135[-。 一维谐振子的本征值问题属于定态问题。本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac 算子代数解法和Schr ?dinger 波动力学解法。在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研 究前沿课题之一。最后从Dirac 算子代数中求解出a ?的本征态即谐振子的相干态，并由降算符a ?与升算符+a ?、光子数n 与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。 1.矩阵力学解法 V 可 表成 2 2 1kx V x = （１） k 为刻画简谐作用力强度的参数.设谐振子质量为μ，令 μ ωk = （２） 它是经典谐振子的自然频率，则一维谐振子的Hamilton 量可表为 图１．一维谐振子势 222?2 12??x p H μωμ+= (3) 在能量H ?表象中，由于
第三章 谐振子
第三章 谐振子 一 内容提要 1 一维线性谐振子的能级与波函数 2221)(x x V μω= 2222 12??x p H μω+= ,3,2,1)2 1(=ω+=n n E n )()(222 1 x H e N x n x n n α-=ψ [其中 ! 2n N n n πα= μω = α ] 2 谐振子的升降算符 [1] 升降算符 )??(2?p i x a μω-μω=+ )??(21p i x μω-α= )??(2?p i x a μω+μω= )??(21p i x μω+α= 则 )??(2?++μω =a a x )??(2?+-μω-=a a i p [2] 升降算符的性质 11?++ψ+=ψn n n a 1?-ψ=ψn n n a 1]?,?[=+a a 二 例题讲解 1 一维谐振子如果考虑非谐振微扰项4 ' ?x H λ=，求体系能级的一级修正。 解：>+<μω λ>=<λ>==<+n a a n n x n n H n E n 42 4 ' ) 1()??()2(? 可以导出 )122(3)??(24++>=+<+n n n a a n 那么 = ) 1(n E )122()(4322++μω λn n 2 已知单摆在重力作用下能在竖直平面内摆动。求： [1] 小角度近似下，体系的能量本征值及归一化本征函数。 [2] 由于小角度近似而引起的体系基态能级的一级近似。 解：摆球平衡位置作为势能零点 摆球重力势能为 )cos 1(θ-==mgl mgh V （1） [1] 由公式 -θ+θ-=θ4 2! 41!211c o s （2）
谐振电路的原理和作用
谐振电路的原理和作用 含有电感线圈和电容器的无源(指不含独立电源)线性时不变电路在某个特定频率的外加电源作用下，对外呈纯电阻性质的现象。这一特定频率即为该电路的谐振频率。以谐振为主要工作状态的电路称谐振电路。无线电设备都用揩振电路完成调谐、滤波等功能。电力系统则需防止谐振以免引起过电流、过电压。 电路中的谐振有线性谐振、非线性谐振和参量谐振。前者是发生在线性时不变无源电路中的谐振，以串联谐振电路中的谐振为典型。非线性谐振发生在含有非线性元件电路内。由铁心线圈和线性电容器串联(或并联)而成的电路(习称铁磁谐振电路)就能发生非线性谐振。在正弦激励作用下，电路内会出现基波谐振、高次谐波谐振、分谐波谐振以及电流(或电压)的振幅和相位跳变的现象。这些现象统称铁磁谐振。参量谐振是发生在含时变元件电路内的谐振。一个凸极同步发电机带有容性负载的电路内就可能发生参量谐振。 串联谐振电路：用线性时不变的电感线圈和电容器串联成的谐振电路。这种电路产生的谐振称串联谐振，又称电压谐振。当外加电压的频率ω等于电路的谐振频率ω0时，除改变ω可使电路谐振外，调整L、C的值也能使电路谐振。谐振时电路内的能量过程是在电感和电容之间出现周期性的等量能量交换。以品质因数Q值表示电路的性能，Q值越大，谐振曲线越尖窄，则电路的选择性越好。考虑信号源的内阻时，Q值要下降，因此，串联谐振电路不宜与高内阻信号源一起作用。 并联谐振电路：用线性时不变电感线圈和电容器并联组成的谐振电路。其中的谐振称并联谐振，又称电流谐振。以Q表示电路的性能，电路内的能量过程与串联谐振电路类似。信号源内阻会降低Q 值，且内阻越小，品质因数值越小，所以并联谐振电路不宜与低内阻信号源一起使用。 式中R为电阻，L为电感，C为电容，ω为非谐振频率，ω0为谐振频率。电路内的能量过程与串联谐振电路类似。信号源内阻会降低Q 值，且内阻越小，品质因数值越小，所以并联谐振电路不宜与低内阻信号源一起用。 原理： 主要是指电感、电容并联谐振组成的LC振荡器。 因为LC回路有选频特性。理由：回路的等效阻抗Z=(-J/ωC)//(R+JωL),可知，阻抗Z与信号频率有关。不同频率的信号电流(同等大小的电流)在通过回路时，产生的电压是不同的。只有一个频率的信号电流产生的电压最大，就是当信号角频率ω=ω0=1/√LC时。此时回路阻抗最大，叫做并联谐振。 作用: RCL串联电路中的感抗与容抗有相互抵消的作用，即ωL-1/ωC=0，此时串联电路中的电抗为0，电流和电压同相位，称谓串联谐振。
§3.2线性谐振子
§3.2 线性谐振子 重点： 谐振子模型的意义能量波函数的特征与经典情况的区别 (3.2-1) 其中是弹性系数为k的谐振子作简谐振动的角频率。 经典力学中线性谐振子的哈密顿函数为 （3.2-2） 故在量子力学中，线性谐振子的哈密顿算符为 由于U(x)与时间无关，故为定态。 线性谐振子的定态薛定谔方程为 （3.2-4）为了简化，引入无量纲的变量 （3.2-5） （3.2-6） （3.2-7）
则方程（3.2-4）可改写成 （3.2-8） 我们令方程（3.2-8）的一般解为 （3.2-9）所满足的方程 得到H （3.2-10） （3.2-11） 代入（3.2-7）中，可求得线性谐振子的能级 （3.2-12）n=0, 1, 2,…， 由此得下面结论： （1）线性谐振子能是只能取分立值（图3.4），好能量是量子化的， ，这与普朗 （2）谐振子的能级是均匀分布的，相邻两能级间隔 克假设一致。 （3）谐振子的基态（n=0）能量为 （3.2-13）称为零点能，零点能的存在，是量子力学的一个重要结果，这是旧量子论中所没有的。 对应于不同的n或不同的。
（3.2-14） ，它可以用下列式子表示 方程（3.2-14）的解是厄密多项式 （3.2-15）脚标n表示多项式的最高次幂。 下面列出前面n项厄密多项式： （3.2-16）由（3.2-9）式，对应能量E n的波函数是 （3.2-17a）或 （3.2-14b） 这函数称厄密函数，式中N n为归一化常数。由归一化条件 经计算得（见附录1）（3.2-18）归一化后的前三个波函数如下： （3.2-19）
等函数是x的偶函数，即 从上面各式容易看出， 我们称这些波函数具有偶宇称，而 我们称这些波函数具有奇宇称。 （三）与经典比较 经典和量子谐振子的能级与分布几率 上图中横坐标代表振子的位置，抛物线代有势能曲线，En是量子化的能级，虚曲线代表 波函数 ，实曲线代表几率分布，由图可以看出：当n=0时，波函数。除了 有n个节点，即有n个根。 类推，因此波函数 只在于绕平均值迅速振荡而已。下图中实线是n=11时的几率分布，虚线代表经典谐振子位置几率分布。
经典力学与量子力学中的一维谐振子
经典力学与量子力学中的一维谐振子 物理与电子信息工程学院物理学 [摘要]一维谐振动是一种最简单的振动形式，许多复杂的运动都可分析为一维谐振动。本文以一维谐振子为研究对象，首先讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的运动方程和能量特征，然后分析坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系。 [关键词]谐振子经典力学量子力学运动方程能量分布 1 前言 所谓谐振，在运动学中就是简谐振动。一个劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定，另一端固结一个可以自由运动的质量为m的物体，就构成一个弹簧振子[1]。该振子是在一个位置（即平衡位置）附近做往复运动。在这种振动形式下，物体受力的大小总是和它偏离平衡位置的距离成正比，并且受力方向总是指向平衡位置。这种情况即为一维谐振子。 一维谐振子在应用上有很大价值,因为经典力学告诉我们只要选择适当的坐标,任意粒子体系的微小振动都可以认为是一些相互独立的振子的运动的集合。普朗克在他的辐射理论中将辐射物质的中心当作一些谐振子,从而得到和实验相符合的结果。在分子光谱中,我们可以把分子的振动近似地当作谐振子的波函数。另外在量子场论中电磁场的问题也能归结成谐振子的形式。因此在量子力学中,谐振子问题的地位较经典物理中来得重要。应用线性谐振子模型可以解决许多量子力学中的实际问题。 本文将以一维谐振子为研究对象，首先分别讨论经典力学与量子力学中一维谐振子的运动方程和能量特征，然后讨论坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后分析经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系并简要讨论经典力学与量子力学的过渡问题。从而帮助我们更加深入的理解一维谐振子的物理实质，充分认识微观粒子的波粒二象性。
线性谐振子的不同解法比较
线性谐振子的不同解法比较 关键词：一维谐振子；能量本征值；波函数 摘 要：一维线性谐振子作为量子力学中的基础模型，它的解决方法具有多样性并随着科学工作者的努力和对数学理论的应用的不断深入（如群论和群表示理论），谐振子的解法将会最优化，并会对多维谐振子以及耦合谐振子等复合问题 [1] 的解决起着重要的帮助作 用。在这里我们将分别从表象理论（包括坐标表象、动量表象、能量表象和占有数表象），以及矩阵力学、宇称等角度出发求解一维线性谐振子，并作出适当的比较。 中国分类号：（140物理学） 文献标识码：A 文章编号： Comparison with Several Different Methods on the Solutions of One-dimensional Linear Harmonic Oscillator Key words: one-dimensional linear harmonic oscillator; eigenvalue of energy and wavefunction Abstract: One-dimensional linear harmonic oscillator as a basic model in quantum mechanics, there are more and more solutions to it with the increasing development of the theory of mathematics. It will serve the different problems of multidimensional and coupled harmonic oscillator. We will respectively solve one-dimensional linear harmonic oscillator from the theory of presentative, matrix mechanics and parity respectively. 1． 引言 谐振子的模型在量子力学，量子光学以及固体物理等学科领域都有着广泛的应用。本文我们将建立最简单一维线性谐振子作为模型并用不同的方法处理。设一维谐振子的质量为m,其圆频率为ω,势函数为， 22()1 2 x V m x ω= ， 则其Hamilton 量 [2] 为 1 2221 22 p H m x m ω=+ （1.1） 收稿日期：2015-03-30 作者简介：李德远（1990年生），男，本科学生，物理学 我们也可以采用自然坐标系（即 1ωμ===）[3],能量单位为ω，长 。则（1）又可写作 221122H p x = + （1.2） 我们知道经典力学到量子力学的转变，满足量子化条件 [4] ??[,]x p i =[5] ， 在自然坐标下又可写作 ??[,]x p i = （1.3） 2． 在坐标表象中的解法 写出在x 表象中的Schrodinger 方程 22 () 22()()2 1 22 x x x d m x E m dx ψωψψ- +=（2.1）
经典力学与量子力学中的一维谐振子
经典力学与量子力学中的一维谐振子 [摘要]一维谐振动是一种最简单的振动形式，许多复杂的运动都可分析为一维谐振动。本文以一维谐振子为研究对象，首先讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的运动方程和能量特征，然后分析坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系。 [关键词]谐振子经典力学量子力学运动方程能量分布 1 前言 所谓谐振，在运动学中就是简谐振动。一个劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定，另一端固结一个可以自由运动的质量为m的物体，就构成一个弹簧振子[1]。该振子是在一个位置（即平衡位置）附近做往复运动。在这种振动形式下，物体受力的大小总是和它偏离平衡位置的距离成正比，并且受力方向总是指向平衡位置。这种情况即为一维谐振子。 一维谐振子在应用上有很大价值,因为经典力学告诉我们只要选择适当的坐标,任意粒子体系的微小振动都可以认为是一些相互独立的振子的运动的集合。普朗克在他的辐射理论中将辐射物质的中心当作一些谐振子,从而得到和实验相符合的结果。在分子光谱中,我们可以把分子的振动近似地当作谐振子的波函数。另外在量子场论中电磁场的问题也能归结成谐振子的形式。因此在量子力学中,谐振子问题的地位较经典物理中来得重要。应用线性谐振子模型可以解决许多量子力学中的实际问题。 本文将以一维谐振子为研究对象，首先分别讨论经典力学与量子力学中一维谐振子的运动方程和能量特征，然后讨论坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后分析经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系并简要讨论经典力学与量子力学的过渡问题。从而帮助我们更加深入的理解一维谐振子的物理实质，充分认识微观粒子的波粒二象性。 2 经典力学中的一维谐振子 在经典力学中基本方程以牛顿定律为基础，研究质点位移随时间变化的规
用Feynman传播函数求解一维谐振子的尝试
用Feynman传播函数求解一维谐振子的尝试 本文旨在结合《高等量子力学》课上关于Feynman传播函数的知识，以及参考侯伯元教授编著的《路径积分与量子物理导引》的知识，尝试用路径积分的方法来求解一维谐振子的问题。 直接引用课上推导的结果，Feynman传播子为： ()() 12 212 11 ,,exp 22 j j j j j j j x x m m x t x t i V x i εε πεε + ++ ?? ?? - ?? ?? ???? =-+O ?? ? ? ?? ???? ?? ?? ??（1）式子中，令1 j j t t ε+ ≡- ，并已采用自然单位制， 1 =。 式（1）中，有 ()() 2 1 2 j j j j x x m L t V x ε + - ?? ≡- ? ??（2）是拉氏量。考虑一维谐振子，其拉氏量为： 222 22 m m L x x ω =- （3）那么，Feynman传播子为 ()()() 12 22 212 11 ,,exp 222 j j j j j j x x m m D x x i x x i ω εεε πεε + ++ ?? ?? - ?? ?? ???? =--+O ?? ? ? ?? ???? ?? ?? ??（4）令 2 00 12, 222 m m a b ωε εε ?? ?? =-= ?? ? ?? ?? ?? 则，式（4）改写为： ()() {}() 1 2 22 10101 ,,exp2 2 j j j j j j m D x x i a x x b x x i εε πε +++ ???? =--?+O ??? ?? ??（5）而对于Feynman传播函数有， ()()() {} ,;,exp f i t F f f i i t D x t x t D x t i L t dt =?? ?? ?? （6）
在坐标表象中处理一维线性谐振子问题
初中物理 题目：在坐标表象中处理一维线性谐振子问题 作者单位：响水滩乡中心学校 作者姓名：宁国强 2012年9月28日
在坐标表象中处理一维线性谐振子问题 响水滩中心学校 宁国强 摘 要：本文阐述了在坐标表象中处理一维线性谐振子问题的方法和思路，阐述了一般表象的概念。 关键词：一维线性谐振子；坐标表象； 一、 能量本征值、本征函数的求解 取自然平衡位置为坐标原点,并选原点为势能零点,则一维线性谐振子的势能为 221()2V x x μω= （1） 其中μ是谐振子的质量，ω是经典谐振子的自然频率。一维谐振子的哈密顿函数为 222122 p H x μωμ=+ （2） 体系的能量本征方程（亦即不含时Schr ?dinger 方程）为 ()()222221?22d x x E x dx μωψψμ??-+= ??? h （3） 严格的谐振子势是一个无限深势阱（如图1所示），粒子只存在束缚态，即起波函数应满足以下条件： ()0x x ψ→∞ ???→ （4） 将方程（3）无量纲化，为此，令
x ξα==， α= λ=2E ω h （5） （3）式可改写为 () 2220d d ψλξψξ+-= （6） 这是一个变系数二阶常微分方程。为了求解它，我们先看ψ在ξ→±∞时的渐进行为。当ξ????很大时,λ与2ξ相比可以略去，因而在ξ→±∞ 时，方程(6)可近似表示为 2220d d ψξψξ -= （7） ξ→±∞时， 它的渐近解为2/2~e ξψ±。因为波函数的标准条件要求当ξ→±∞时ψ应为有限，所以2/2e ξψ:不满足边界条件(4)式，应弃之。波函数指数上只能取负号，即2/2e ξψ-:。方程(6)在ξ为有限处的 根据以上讨论，可令方程(6)在ξ为有限处的解有如下形式： ()()2 2Ae H ξψξξ-= （8） 式中A 为归一化系数，（8）代入(6)式，得 ()22210d H dH H d d ξλξξ -+-= （9） 用级数解法，即把H 展开成ξ的幂级数来求这个方程的解。这个级数必须只含有有限项，才能在ξ→±∞ 时使()ψξ为有限，而级数只含有限项的条件是λ 为奇数：21n λ=+，()0,1,2n =L L 。代入(5)中的第三式，可得一维线性谐振子的能级为 12n E n ω??=+ ?? ?h ， ()0,1,2n =L L （10） 因此，线性谐振子的能量只取分立值(如图2所示)，两相邻能级间的间隔为ωh ，这与普朗克关于能量是量子化的假设相符合。
一维量子谐振子的概率分布
一维量子谐振子的概率分布 摘要：线性谐振子问题作为一种普遍的模型，所以在经典力学中和量子力学中都受到很大关注。并且谐振子包括很多类型，我们就先研究量子谐振子的问题。量子谐振子是很多复杂物理模型的基础，量子谐振子在前几个量子态时，概率密度与经典情况相差较多，随着量子数的增加，随之相似性也会增加。可以通过使用数学软件将量子谐振子的概率分布绘制成图像，从而得出一维量子谐振子的概率分布。 关键词：经典谐振子 一维量子谐振子 波函数 量子谐振子概率分布 1.引言： 谐振子的振动是一种很常见的物理模型，它在很多方面得到应用。谐振子大体可分为经典力学和量子力学两部分，谐振在运动学就是简谐振动，这样的振动是物体在某一位置附近往复偏离该振动中心位置，在这样的振动方式下，物体所受到的力的大小总是与它偏离平衡位置的大小成正比关系，并且物体总是受到指向平衡位置的力。谐振子具有周期运动的物理特征，一些复杂的物理基础可以运用谐振子运动来解决。 通过对经典谐振子的研究，得到经典谐振子的函数关系式。再利用量子力学中的不确定关系得到量子谐振子的能量最低点，即平衡位置，最后得到谐振子的波函数，从而得到了谐振子的概率。随着量子数的增加，利用软件Mathematica 绘制一维量子谐振子的概率分布。再和经典的线性谐振子来作比较，得到经典谐振子的关系。 2.经典一维谐振子： 首先让我们谐振子在物理中是非常常见的模型，我们很早就已经接触过 ，并且有了一定的了解。下面来讨论一维弹性力的一维简谐振子。例如：质量为m 的物体放在光滑的桌面上，在其水平的方向上受到一个弹簧作用，在某一位置处质点所受力的大小为零，则把这一点叫做平衡位置。弹簧的劲度系数为k ，物体m 在弹簧弹性力的作用下沿弹簧方向运动，作用于质点的力和质点距离平衡位置的位移成正比，这样受力的质点就是一个典型的一维简谐振子。大家都知道，质量为m 的质点在做简谐振动的过程中用x 来表示质点便偏移平衡位置的距离，也就是质点的位置，也是弹簧的伸长或压缩的量。当x 很小时，质点受力为F ，则力F 和x 之间的线性关系为kx F -=，并且可知弹簧的弹性力是线性回复力，弹簧振子
线性谐振子相图研究
文献综述 题目：线性谐振子相图研究 姓名： 学号： 系别：物理与电子信息工程系专业：物理学 年级： 指导教师： 2009年2月7 日
文献综述 一、前言 线性谐振子是量子力学中可以精确求解的有限几个事例之一[1]，其中最简单的线性谐振子是简谐振子。自然界中任何一个力学系统，只要某一个物理量在其稳定平衡点附近作微小振动，便可以用简谐振子模型来描述，例如：复摆的振动、分子的振动、晶格的振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等。在选择适当的坐标系之后，复杂的运动往往可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动（simple harmonic vibration ）。简谐振动作为一种最简单最基本的振动，往往还是复杂运动的初步近似，是研究振动的基础。因此研究它在理论上和应用上都有重大的意义。 其中从相空间的角度来研究振动系统的力学问题如今已经成为一个研究趋势。因为相图里包含着完整的力学系统的全部信息，无须去解复杂的运动方程[2]。计算机技术软硬件的飞速发展，为此研究趋势提供了现实条件。 本论文从简谐振子的基本定义出发，在Fortran 90条件下进行数值模拟并在Origin75 软件下获得简谐振子的相图。 二、主体 2.1简谐振动的定义 定义一： 物体只在弹性力或准弹性 （线性回复力）作用下发生的运动，即动力学方程为 的运动为简谐振动[2]。 定义二： 在无外来强迫力作用下, 物体相对于平衡点的位移随时间按余弦（或正弦）规律变化即 则称物体作简谐振动式即简谐振动的表达式[3]。 —振幅； —角频率； —相位； —初相位。位移随时间的变化曲线称为振动曲线。 广义定义：某个物理量随时间的变化是按正弦或余弦规律，则可称该物理量做简谐动，可用 表示 。自然界中任何一个力学系统中，只要某一个物理量在其稳定 平衡点附近作微小振动，便可以用这种简谐振子模型来描述，例如：复摆的振动、分子的振动、晶格的振动，原子核表面振动、辐射场的振动以及电磁场振动等等。 2.2简谐振动的基本特征及动力学特征 简谐振动位移随时间的变化 cos()x A t ωφ =+2 2 2 d d x x o t ω +=()cos()x t A t ωφ=+()cos()x t A t ωφ=+
一维量子谐振子几率密度图形的绘制
一维量子谐振子几率密度图形的绘制 钟瑞妍 （华南师范大学，物理与电信工程学院，物理三班，20082301059） 摘要：谐振子是一个重要的物理模型，体现了周期运动的基本特性,也是理解一系列复杂现象的物理基础。本文着重介绍运用科学计算与模拟平台完成一维量子谐振子几率密度的图形绘制，并把它与经典谐振子进行比较。 关键词：谐振子、几率密度、厄米多项式 一维线性谐振子模型在经典力学中和量子力学中都是一个倍受关注的问题，它的重要性在于自然界中广泛碰到简谐运动，常常可以作为研究复杂运动的初步近似。例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场振动等都可分解成若干彼此独立的一维简谐振动[1]。本文先根据薛定谔方法推导出谐振子的几率分布函数，再运用科学计算与模拟平台把几率分布函数绘制成几率分布曲线，这样可以在直观上加深对几率密度的理解。 1. 一维量子谐振子的几率密度分布 已知一维线性谐振子模型的薛定谔方程为 2222 2 ()022d u E x u dx ψωψ+-= 1.1 为方便计算，可以令 2,u E x ax ωξλω = == 。把他们带入式1.1可得 22 2 ()0d d ψλξψξ+-= 1.2 当ξ→±∞时，方程1.2可化为 22 2 0d d ψξψξ+= 1.3 它的解的形式应为22 e ξ± ，当ξ→±∞时，ψ应该为有限，因此方程1.2的通解为 2 2 ()()e H ξψξξ- = 1.4 把1.4代入1.2求导可得()H ξ满足下面方程 222(1)0d H dH H d d ξλξξ-+-= 1.5
采用级数解法，令 2 ()H a υυξξ∞ ==∑，代入1.5整理得 232026(2)(1)(1)(21)a a a a a υυξυυξλυλξ+++???++++???=-+???+-++??? 由于ξ的系数必须相等，有 2(21) (1)(2)a a υυ υλυυ+-+= ++ 1.6 要使 2 ()H a υυξξ∞ ==∑有限，λ必须满足21n λ=+（0,1,2,3n =???）故可得 1 ()0,1,22 E n n ω =+=??? 1.7 方程1.5的解为厄米多项式，满足递推公式： 11()2()2()0 n n n H H nH ξξξξ+--+= 1.8 其中01H =，12H ξ=。 方程1.2的解为 2 2 ()()n n n N e H ξψξξ- = 1.9 由归一化条件*()1 n n x dx ψψ∞ -∞ =? 可解出 1 2 1 22!n n a N n π?? ?= ? ?? 1.10 一维量子谐振子的几率密度为 2 2 22()() n n n N e H ξψξξ-= 1.11 2.经典谐振子的几率分布 经典谐振子满足振动方程 sin()x A t ω?=+ 2.1 其中A 为振幅，在x 到x+dx 之间的区域内找到粒子的几率W(x)dx 与粒子在此区域内停留的时间dt 成正比，即
线性谐振子
aaa 2.7线性谐振子 一． 线性谐振子 1. 定义：如果粒子在一维空间内运动的势能为 ωω,2122x m 是常量，则这种体系就称为线性谐振子。 2. 重要意义：许多体系都可以近似地看做是线性谐振子。例如 双原子分子中两原子之间的势能U 是两原子之间距离x 的函数，在平衡位置x=a 处U 可以近似写成 ()202 a x k U U -+ =，k,U 0是常量。 3. 体系定态薛定谔方程 0)21(222222=-+ψωψx m E dx d m (2.7.1) 4. 定态薛定谔方程的求解 令 ωααωξm x x m ===, (2.7.2) ωλ E 2= (2.7.3) 方程(2.7.1)变为 0)(222=-+ψξλξψd d (2.7.4) 当±∞→ξ时，2ξλ与相比可以略去，则(2.7.4)变为 ψξξψ222=d d 它的解是22ξψ±→e ，舍去正号。所以2-2ξψe → ()()ξξψξH e 2-2 = (2.7.5) 2-2-ξξξξψe d dH H d d ???? ??+=
2-2222222--ξξξξξξψe d H d H d dH H d d ???? ??++= 代入方程(2.7.4)得 ()01-2-22=+H d dH d H d λξξξ (2.7.6) 用级数解法，把H 展开成ξ的幂级数。这个级数只能含有有限项，才能在±∞→ξ时使()ξψ为有限；而级数含有有限项的条件是λ为奇数，即 ,2,1,0,12=+=n n λ (2.7.7) 代入(2.7.3)得 ,2,1,0),21(=+=n n E n ω (2.7.8) 相邻两个能级之差为ω =-n n E E (2.7.9) 基态（n=0）E 0=ω 21 (2.7.10) 称为零点能。 方程(2.7.6)的解 () ,2,1,0,)1(22=-=-n e d d e H n n n n ξξξξ (2.7.11) 称为厄米多项式。 厄米多项式的递推关系为 ()ξξ12-=n n nH d dH (2.7.12) ()()()02211=+--+ξξξξn n nH H H (2.7.13) ξξξξ128;24;2;1332210-=-===H H H H (2.7.14) 所以得出能量E n 的波函数是 ()()()()x H e N x H e N n x n n n n n αψξξψαξ2 2 2 2-2;==-或 (2.7.15)
2.4一维谐振子
§ 2.4 一维谐振子 一、能量本征方程 二、级数解法 三、本征值和本征波函数 平衡位置附近的微振动可近似认为是简谐振动。例如原子核内质子和中子的振动、原子和分子的振动、固体晶格离子的振动等。 一、能量本征方程 取振子的平衡位置为坐标原点 2222 2212?x m x m H ω+-=d d )()(212222 22x E x x m x m ψ=ψ????????+-ωd d 因为0min =V ，∞ →min out V ，所以∞< 能量本征值问题转化成如下定解问题 0)()()(222=ψ-+ψξξλξξd d )(lim =ψ±∞ →ξξ 下面会看到，束缚态条件要求λ只能取特定值 ,2,1,0,12=+=n n λ 这导致能量的量子化。 首先把上述方程转化成可以用级数求解的形式。考虑±∞→ξ的渐近解。这时系数为λ的项可以忽略，方程趋近于 02 22 =ψ-ψξξd d 渐近通解为 2 2 22e e ξξ-+≈ψB A ，（±∞→ξ） 但因2 2ξe 不满足束缚态的条件，所以渐近解取为 2 2~ξ-ψe 把波函数写成 )(2ξξu -=ψe 代入方程 0)(222=ψ-+ψξλξd d 后，求解ψ的问题则转化成求解u 的方程 )1(222=-+-u u u λξξξd d d d 这个方程称为Hermite 方程，可以用级数求解。 二、级数解法 在原点0=ξ附近，用幂级数 k k k a u ξξ∑∞ ==0 )( 代入Hermite 方程，得 0)1(2)1(0 11 22 =-+--∑∑∑∞ =-∞ =-∞ =k k k k k k k k k a ka a k k ξλξξξ 把前两项的求和序号改为从0开始 0)1(2)1)(2(0 2=-+-++∑∑∑∞ =∞ =∞ =+k k k k k k k k k a ka a k k ξλξξ 由此得到展开系数 k a 的递推关系 ,2,1,0,)1)(2() 1(22=++--= +k a k k k a k k λ