当时，，
因此，当时，数列单调递减，
故数列的最小值为．
因此，d的取值范围为．
4. （2018年全国I卷）已知数列满足，，设．（1）求；
（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；
（3）求的通项公式．
【答案】(1) b1=1，b2=2，b3=4．
(2) {b n}是首项为1，公比为2的等比数列．理由见解析.
(3) a n=n·2n-1．
【解析】
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和．若
，求．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
1．[2017·北京高考]已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5. (1)求{a n }的通项公式；
(2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 2＋a 4＝10，所以2a 1＋4d ＝10， 解得d ＝2，所以a n ＝2n －1. (2)设等比数列{b n }的公比为q ，
因为b 2b 4＝a 5，所以b 1qb 1q 3
＝9，解得q 2
＝3， 所以b 2n －1＝b 1q
2n －2
＝3
n －1
.
从而b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1＋3＋32
＋…＋3
n －1
＝3n
－1
2
.
2.【2017课标1，文17】记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6． （1）求{}n a 的通项公式；
（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．
【答案】（1）(2)n
n a =-；（2）3
2)1(321
+⋅-+=n n n S ，证明见解析． 【解析】
（1）设{}n a 的公比为q ．由题设可得12
1(1)2
(1)6
a q a q q +=⎧⎨++=-⎩ ，解得2q =-，12a =-． 故{}n a 的通项公式为(2)n
n a =-．
（2）由（1）可得1
1(1)22()133
1n n n n a q S q +-==--+-． 由于321
2142222()2[()]23133
13n n n n n n n n S S S +++++-+=--++=-=-， 故1n S +，n S ，2n S +成等差数列．
3.【2017山东，文19】（本小题满分12分）已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. (I)求数列{a n }通项公式；
(II){ b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n T . 【答案】（Ⅰ）2n
n a =.（Ⅱ）25
52
n n
n T +=-
. 【解析】
12231357212122222
n n n n n n T c c c --+=++
+=
+++++, 又234113572121222222n n n n n T +-+=+++++, 两式相减得2111
311121
2
222
22
n n n n T -++⎛⎫=++++
- ⎪⎝⎭ 所以25
52n n
n T +=-
. 4.【2017北京，文15】已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=1,a 2+a 4=10,b 2b 4=a 5． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求和：13521n b b b b -+++
+．
【答案】（Ⅰ）21n a n =- ；（Ⅱ）31
2
n -.
【解析】
【2016高考天津文数】(本小题满分13分) 已知{}n a 是等比数列，前n 项和为()n S n N ∈*，且6123
112
,63S a a a -==. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式；
(Ⅱ)若对任意的,b n n N ∈*是2log n a 和21log n a +的等差中项，求数列
()
{}
21n
n b -的前2n 项和.
【答案】（Ⅰ）1
2-=n n a （Ⅱ）22n []
【解析】
2212212221224232221222
)
(2)()()(n b b n b b b b b b b b b T n n n n n =+=
+⋅⋅⋅++=+-+⋅⋅⋅++-++-=-
【2015高考广东，文13】若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中526a =+526c =-，则b = ． 【答案】1
【解析】因为三个正数a ，b ，c 成等比数列，所以(2
5265261b ac ==+-=，因为0b >，所以1b =，
所以答案应填：1．
【2015高考新课标1，文13】数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = . 【答案】6
【解析】∵112,2n n a a a +==，∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，
∴2(12)
12612
n n S -=
=-，∴264n =，∴n=6.
2019年高考数学(文)一轮复习精品资料：专题27等比数列及其前n项和(教学案)含解析
2019年高考数学（文）一轮复习精品资料 1.理解等比数列的概念． 2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式． 3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题． 4.了解等比数列与指数函数的关系． 1．等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q (q ≠0)表示． 数学语言表达式： a n a n －1＝q (n ≥2，q 为非零常数)，或a n ＋1a n ＝q (n ∈N * ，q 为非零常数)． 2. 等比数列的通项公式及前n 项和公式 (1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －1 ； 通项公式的推广：a n ＝a m q n －m . (2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ） 1－q ＝a 1－a n q 1－q . 3．等比数列及前n 项和的性质 (1)如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇔G 2 ＝ab . (2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N * )，则a k ·a l ＝a m ·a n ． (3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m ． (4)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n ． 高频考点一 等比数列的基本运算
高考数学第一轮复习精讲(课前准备+课堂活动小结+课后练习)等比数列及其前n项和导学案 文 新人教A版
学案30等比数列及其前n项和 导学目标：1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题． 自主梳理
1．等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母________表示(q ≠0)． 2．等比数列的通项公式 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝______________. 3．等比中项： 如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项． 4．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·________ (n ，m ∈N *)． (2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则__________________________． (3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n } (λ≠0)，??????1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，???? ?? a n b n 仍是等比数列． (4)单调性：????? a 1>0，q >1或??? a 1<000，01?{a n }是 ________数列；q ＝1?{a n }是____数列；q <0?{a n }是________数列． 5．等比数列的前n 项和公式 等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1(q n －1)q －1＝a 1q n q －1－a 1 q －1 . 6．等比数列前n 项和的性质 公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为______．
2020年高考文科数学一轮总复习：等比数列及其前n项和
2020年高考文科数学一轮总复习：等比数列及其前n 项和 第3讲 等比数列及其前n 项和 1．等比数列的有关概念 (1)定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1 a n ＝q (q ≠0，n ∈N *)． (2)等比中项 如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项?G 2＝ab ． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n － 1． (2)前n 项和公式：S n ＝?????na 1 ，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1. 3．等比数列的性质 已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(m ，n ，p ，q ，r ，k ∈N *) (1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2r ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r ； (2)数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数列； (3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍是等比数列(此时{a n }的公比q ≠－1)． 常用知识拓展 1．等比数列的单调性 当q >1，a 1>0或01，a 1<0或00时，{a n }是递减数列； 当q ＝1时，{a n }是常数列． 2．等比数列与指数函数的关系 当q ≠1时，a n ＝a 1q ·q n ，可以看成函数y ＝cq x ，是一个不为0的常数与指数函数的乘积， 因此数列{a n }各项所对应的点都在函数y ＝cq x 的图象上．
2020届高考数学(文)总复习讲义： 等比数列及其前n项和
第三节等比数列及其前n 项和 一、基础知识批注——理解深一点 1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1 a n ＝q . (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项?a ，G ，b 成等比数列?G 2＝ab . 只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项，且等比中项有两个. 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n － 1. (2)前n 项和公式：S n ＝????? na 1 ，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1. ①已知a 1，q ，n ，a n ，S n 中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想. ②在等比数列求和时，要注意q ＝1和q ≠1的讨论. 3．等比数列与指数型函数的关系 当q >0且q ≠1时，a n ＝a 1q ·q n 可以看成函数y ＝cq x ，其是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{a n }各项所对应的点都在函数y ＝cq x 的图象上； 对于非常数列的等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－a 11－q q n ＋a 11－q ，若设a ＝ a 1 1－q ，则S n ＝－aq n ＋a (a ≠0，q ≠0，q ≠1)．由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝－aq x ＋a 图象上一系列孤立的点． 对于常数列的等比数列，即q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1.由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝a 1x 图象上一系列孤立的点． 二、常用结论汇总——规律多一点
【志鸿优化设计】高考数学(人教版,文科)一轮总复习：课时规范练27 等比数列及其前n项和
课时规范练27等比数列及其前n项和 一、选择题 1.在等比数列{a n}中,a1=1,公比|q|≠1.若a m=a1a2a3a4a5,则m等于() A.9 B.10 C.11 D.12 答案:C 解析:a m=a1a2a3a4a5=q·q2·q3·q4=q10=a1q10,所以m=11. 2.在等比数列{a n}中,a2a6=16,a4+a8=8,则等于() A.1 B.-3 C.1或-3 D.-1或3 答案:A 解析:由a2a6=16,得=16⇒a4=±4, 又a4+a8=8,可得a4(1+q4)=8, ∵q4>0,∴a4=4.∴q2=1,=q10=1. 3.等比数列{a n}的公比为q,则“a1>0,且q>1”是“对于任意正整数n,都有a n+1>a n”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A 解析:易知,当a1>0且q>1时,a n>0,所以=q>1,表明a n+1>a n; 若对任意自然数n,都有a n+1>a n成立, 当a n>0时,同除以a n得q>1,但当a n<0时,同除以a n得q<1. 4.已知等比数列{a n}满足a n>0,n=1,2,…,且a5·a2n-5=22n(n≥3),则当n≥1时,log2a1+log2a3+…+log2a2n-1等于() A.n(2n-1) B.(n+1)2 C.n2 D.(n-1)2 答案:C 解析:由a5·a2n-5=22n(n≥3),得=22n,∵a n>0,∴a n=2n. 易得结论. 5.各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n,若S n=2,S3n=14,则S4n等于() A.80 B.30 C.26 D.16 答案:B 解析:设S2n=a,S4n=b,由等比数列的性质知2(14-a)=(a-2)2,解得a=6或a=-4(舍去),同理 (6-2)(b-14)=(14-6)2,所以b=S4n=30. 6.在等比数列{a n}中,a1=2,其前n项和为S n,若数列{a n+1}也是等比数列,则S n等于() A.2n+1-2 B.3n C.2n D.3n-1 答案:C 解析:数列{a n}为等比数列,设其公比为q,则a n=2q n-1, ∵数列{a n+1}也是等比数列,∴(a n+1+1)2=(a n+1)(a n+2+1). ∴+2a n+1=a n a n+2+a n+a n+2.∴a n+a n+2=2a n+1. ∴a n(1+q2-2q)=0,得q=1,即a n=2.∴S n=2n. 二、填空题 7.在等比数列{a n}中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式a n=. 答案:4n-1 解析:由题意知a1+4a1+16a1=21,解得a1=1,所以通项公式为a n=4n-1. 8.在等差数列{a n}中,a1=1,a7=4,数列{b n}是等比数列,已知b2=a3,b3=,则满足b n<的最小自然数n 是. 答案:7 解析:∵{a n}为等差数列,a1=1,a7=4,∴6d=3,d=, ∴a n=.∵{b n}为等比数列,b2=2,b3=,q=, ∴b n=6×.∵b n<, ∴81<,即3n-2>81=34.∴n>6,从而可得n min=7.
2020届高三文理科数学一轮复习《等比数列及其前n项和》专题汇编(教师版)
《等比数列及其前n 项和》专题 一、相关知识点 1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1 a n ＝q . (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项?a ，G ，b 成等比数列?G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n － 1. (2)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n － m (n ，m ∈N *)． (2)前n 项和公式：S n ＝???? ? na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1. 3．等比数列的有关性质 (1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ，其中m ，n ，p ，q ∈N *.特别地，若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中p ，s ，r ∈N *.对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积即a 1·a n ＝a 2·a n －1＝…＝a k ·a n －k ＋1＝…. (2)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{ba n }，???? ??1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，???? ?? a n b n ，{pa n ·qb n }和? ??? ?? pa n qb n 仍然是等比数列．(其中b ，p ，q 是非零常数) (3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)． (4)当q ≠－1或q ＝－1且k 为奇数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…是等比数列，其公比为q k . (5)若a 1·a 2·…·a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n ，T 3n T 2n ，…成等比数列． 4．等比数列的有关结论 (1) “G 2＝ab ”是“a ，G ，b 成等比数列”的必要不充分条件． (2)若q ≠0，q ≠1，则S n ＝k －kq n (k ≠0)是数列{a n }成等比数列的充要条件，此时k ＝a 1 1－q . 5．等比数列{a n }的单调性 (1)满足????? a 1>0，q >1或????? a 1<0， 0高考数学第一轮复习-第6章 第3讲 等比数列及前n项和
高考数学第一轮复习 第3讲 等比数列及前n 项和 考点一 等比数列的概念及运算 知识点 1 等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数q (q ≠0)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数q 叫做等比数列的公比． 2 等比中项 如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项． 3 等比数列的通项公式及其变形 通项公式：a n ＝a 1·q n － 1(a 1q ≠0)，其中a 1是首项，q 是公比．通项公式的变形：a n ＝a m ·q n － m . 4 等比数列前n 项和公式 S n ＝????? a 1(1－q n )1－q (q ≠1)，na 1(q ＝1)或S n ＝????? a 1－a n q 1－q (q ≠1)，na 1(q ＝1). 5 等比数列的单调性 当q >1，a 1>0或01，a 1<0或00时，{a n }是递减数列； 当q ＝1时，{a n }是常数列． 注意点 等差中项与等比中项的区别 两个数的等差中项只有一个，两个同号且不为0的数的等比中项有两个. 入门测 1．思维辨析 (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列. ( ) (2)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (3)G 为a ，b 的等比中项?G 2＝ab .( ) (4)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n ，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a .( ) 2．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( ) A ．63 B ．64 C ．127 D ．128 3．已知在等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝5 4 ，则该等比数列的公比q 为( )
届数学一轮复习第六章数列第三节等比数列及其前n项和学案理含解析
第三节等比数列及其前n项和 ［最新考纲］［考情分析］［核心素 养] 1.理解等比数列的 概念。 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 3.了解等比数列与指数函数的关系。 等比数列的基本运算,等比 数列的判断与证明,等比数列的 性质与应用仍是2021年高考考 查的热点，三种题型都有可能 出现，分值为5~12分. 1.数学运算 2.逻辑推理 ‖知识梳理‖ 1．等比数列的有关概念 (1)定义 ①文字语言：从错误!第2项起，每一项与它的前一项的错误!比都等于错误!同一个常数． ②符号语言：错误!错误!＝q（n∈N*，q为非零常数)． （2）等比中项：如果a，G,b成等比数列，那么错误!G叫做a 与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G26ab．
2．等比数列的有关公式 (1）通项公式：a n＝错误!a1q n－1． （2)前n项和公式 3．等比数列的性质 （1）通项公式的推广:a n＝a m·q n－m（m，n∈N＊）． （2）对任意的正整数m,n，p，q，若m＋n＝p＋q，则错误!a m·a n ＝错误a p·a q． 特别地，若m＋n＝2p,则a m·a n＝a2p. (3）若等比数列前n项和为S n，则S m，S2m－S m,S3m－S2m仍成等比数列，即（S2m－S m)213S m（S3m－S2m）（m∈N＊，公比q≠1）．(4）数列｛a n｝是等比数列，则数列｛pa n}(p≠0，p是常数)也是错误!等比数列． (5)在等比数列{a n｝中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n，a n＋k,a n＋2k，a n＋3k，…为等比数列,公比为错误!q k．►常用结论 1．若｛a n｝，｛b n}（项数相同)是等比数列，则{λa n｝（λ≠0),错误!，{a2，n}，{a n·b n｝,错误!仍是等比数列． 2．一个等比数列各项的k次幂仍组成一个等比数列，新公比
2023年新高考数学一轮复习7-3 等比数列及其前n项和(真题测试)含详解
专题7.3 等比数列及其前n 项和（真题测试） 一、单选题 1．（2023·全国·高三专题练习）等比数列{}n a 中，若59a =，则3436log log a a +=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．9 2．（2020·山东·高考真题）在等比数列{}n a 中，11a =，22a =-，则9a 等于（ ） A ．256 B ．-256 C ．512 D ．-512 3．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））已知等差数列{}n a 中，其前5项的和525S =，等比数列{}n b 中，1132,8,b b ==则3 7 a b =（ ） A ．5 4-或54 B ．54 - C ．45 D ．54 4．（2017·全国·高考真题（理））等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a 、3a 、6a 成等比数列，则{}n a 的前6项的和为（ ） A ．24- B ．3- C ．3 D ．8 5．（2020·全国·高考真题（文））设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（ ） A ．12 B ．24 C ．30 D ．32 6．（2023·全国·高三专题练习）若数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．1423b b b b +≤+ B ．4132b b b b ≤-- C ．3124a a a a ≥ D ．3124a a a a ≤ 7．（2020·全国·高考真题（理））数列{}n a 中，12a =，对任意 ,,m n m n m n N a a a ++∈=，若 155121022k k k a a a ++++++=-，则 k =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 8．（2017·全国·高考真题（理））几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是A ．440 B ．330
2019高考数学一轮复习等比数列专题训练(含答案)精品教育.doc.doc
高考数学一轮复习等比数列专题训练（含答案）等比数列是说如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数。查字典数学网为考生整理了等比数列专题训练，请考生认真做题。 一、填空题 1.(2019盐城期中检测)在等比数列{an}中，a2=2，a5=16，则a10=________. [解析] 由=q3得q3=8即q=2，a10=a5q5=1632=512. [答案] 512 2.已知等比数列{an}的前三项依次为：a-1，a+1，a+4，则an=________. [解析] 由题意知(a+1)2=(a-1)(a+4)，解得a=5， ==，又a-1=4. 数列{an}是公比为，首项为4的等比数列， an=4n-1. [答案] 4n-1 3.(2019金陵中学检测)在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a1+a2+a3=2，a3+a4+a5=8，则a4+a5+a6=________. [解析] 设此数列公比为q，由a3+a4+a5=8， 得a1q2+a2q2+a3q2=8，而a1+a2+a3=2， q2=4，q=2，a4+a5+a6=q(a3+a4+a5)=28=16. [答案] 16
4.(2019连云港调研)若等比数列{an}满足a2a4=，则 a1aa5=________. [解析] 数列{an}为等比数列，a2a4=a=，a1a5=a. a1aa5=a=. [答案] 5.(2019镇江期末测试)在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，已知a5=2S4+3，a6=2S5+3，则此数列的公比q为________. [解析] 由a5=2S4+3，与a6=2S5+3相减， 得a5-a6=2(S4-S5)，3a5=a6， 公比q=3. [答案] 3 6.已知等比数列{an}的前n项和为Sn=3n+1+a，nN*，则实数a的=________. [解析] 当n2时，an=Sn-Sn-1=3n+1-3n=23n，当n=1时， a1=S1=9+a，因为{an}是等比数列，所以有9+a=23，解得a=-3. [答案] -3 7.等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1+a2+a3+a4=1， a5+a6+a7+a8=2，Sn=15，则项数n=________. [解析] a5+a6+a7+a8=(a1+a2+a3+a4)q4， q4=2. a1+a2+a3+a4===1，=-1. 又Sn=15，即=15，则qn=16.
备考高考数学一轮复习：29 等比数列及其前n项和（解析版）
备考2020年高考数学一轮复习：29 等比数列及其前n项和 一、单选题 1.（2019•全国Ⅲ）已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=（） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 2.等比数列前项和为，则下列一定成立的是（） A. 若,则 B. 若,则 C. 若,则 D. 若,则 3.已知等比数列{an}中，a1+a2=3，a3+a4=12，则a5+a6=( ）． A. 3 B. 15 C. 48 D. 63 4.若三个实数成等比数列，其中，，则（） A. 2 B. C. D. 4 5.已知数列是由正数组成的等比数列，为其前项和.已知，则( ) A. B. C. D. 6.设{a n}为等比数列，给出四个数列：①{2a n}，②{a n2}，③{2an}，④{log2la n}．其中一定为等比数列的是（） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 7.已知为等比数列的前项和，且，则（） A. 510 B. 510 C. 1022 D. 1022 8.已知等比数列满足，，则（） A. B. 2 C. 或 2 D. 2 9.已知正项等比数列的前项和为，若，则（） A. B. C. D. 10.设等比数列的前n项和为，若，，则 A. 144 B. 81 C. 45 D. 63 11.设等比数列的公比，前项和为，则=（） A. B. C. D. 12.记数列的前项和为.已知，，则（）
A. B. C. D. 二、填空题 13.（2019•卷Ⅰ）记S n为等比数列{a n}的前n项和。若a1=，，则S5=________ 14.已知等比数列中，，则公比________；________． 15.已知数列{a n}的首项a1＝2，数列{b n}为等比数列，且b n＝.若b10b11＝2，则a21＝________. 16.已知等比数列中，，，则________． 17.无穷等比数列各项和的值为2，公比，则首项的取值范围是________ 三、解答题 18.已知数列满足． （1）证明：是等比数列； （2）求． 19.（2019•卷Ⅱ）已知是各项均为正数的等比数列，，。 （1）求的通项公式； （2）设，求数列{ }的前n项和。 20.已知等比数列为递增数列，且 （1）求的通项公式； （2）令，不等式的解集为，求所有的和. 21.已知正项数列{ }满足,且=1, =9。 （1）求数列{ }的通项公式； （2）设,求数列{ }的前4项和。 22.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n人教A版2020版新一线高考理科数学一轮复习教学案：第5章第3节等比数列及其前n项和含答案
第三节 等比数列及其前n 项和 [考纲传真] 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系． 1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的数学表达式为a n ＋1 a n ＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇒a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1＝a m q n －m . (2)前n 项和公式： S n ＝⎩⎨⎧ na 1(q ＝1)， a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1). [常用结论] 1．在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k . 2．若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫a n b n 仍 然是等比数列． 3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n ，其中当公比为－1时，n 为偶数时除外． [基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( ) (3)若{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( )
山东高考数学一轮总复习教学案设计参考-等比数列及其前n项和含答案解析
山东高考数学一轮总复习教学案设计参考-等比数 列及其前n项和含答案解析 第3讲等比数列及其前n项和[考纲解读]1.理解等比数列的概念及等比数列与指数函数的关系．2．掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并熟练掌握其推导方法，能在具体的问题情境中识别数 列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．(重 点)3．熟练掌握等比数列的基本运算和相关性质．(难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的重点．预测2021年高 考将会以等比数列的通项公式及其性质、等比数列的前n项和为考 查重点，也可能将等比数列的通项、前n项和及性质综合考查，此外，还可能会与等差数列综合考查．题型以客观题或解答题的形式 呈现，属中档题型．1.等比数列的有关概念(1)等比数列的定义一般地，如果一个数列从第□012项起，每一项与它的前一项的比等于 □02同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数 列的□03公比，公比通常用字母□04q(q≠0)表示．数学语言表达：anan－1＝q(n≥2)，q为常数，q≠0.(2)等比中项如果□05a，G，b 成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等 比中项⇔a，G，b成等比数列⇔□06G2＝ab.2.等比数列的通项公式 及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通 项公式为an＝□01a1qn－1；可推广为an＝□02amqn－m.(2)等比数 列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝a11 －qn1－q＝a1－anq1－q.3.等比数列的相关性质设数列{an}是等 比数列，Sn是其前n项和．(1)若m＋n＝p＋q，则□01aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2s＝p ＋r，则apar＝a2s，其中p，s，r∈N*.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列， 公比为□02qm(k，m∈N*)．(3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的 等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和 panqbn(其中b，p，q是非零常数)也是等比 数列．(4)Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn.(5)当q≠－1或q＝－1且
高三第一轮复习等比数列的定义、通项及前n项和
等比数列的概念 等比数列的定义、通项及前n 项和 【提纲挈领】 主干知识归纳 1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫作等比数列． (2)等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫作a 与b 的等比中项． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项公式为a n ＝a 1·q n －1 ． (2)前n 项和公式：等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ，则当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时， S n ＝a 1（1－q n ）1－q ． 方法规律总结 1.判断数列{a n }是否为等比数列，通常有两种方法：①定义法，a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N * )；②等比中项法，a n ＋12 ＝a n ·a n ＋2(a n ≠0，n ∈N * )． 2.求等比数列的基本量时也常运用方程的思想方法．从方程的观点看等比数列的通项公式和求和公式，共有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，知道其中的三个通过构造方程(组)可求出另外两个． 3.应用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对公比q ＝1与q ≠1的情况进行分类讨论． 【指点迷津】 【类型一】等比数列的判定与证明 【例1】：设数列{a n }的前n 项和为S n ，且首项a 1≠3，a n ＋1＝S n ＋3n (n ∈N * )． (1)求证：数列{S n －3n }是等比数列； (2)若{a n }为递增数列，求a 1的取值范围． [解析] ： (1)证明：∵a n ＋1＝S n ＋3n (n ∈N * )，∴S n ＋1＝2S n ＋3n ， ∴S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )．又∵a 1≠3， ∴数列{S n －3n }是公比为2，首项为a 1－3的等比数列． (2)由(1)得，S n －3n ＝(a 1－3)×2n －1，∴S n ＝(a 1－3)×2n －1＋3n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(a 1－3)×2n －2＋2×3n －1 . ∵{a n }为递增数列， ∴当n ≥2时，(a 1－3)×2n －1＋2×3n ＞(a 1－3)×2n －2＋2×3n －1 ， ∴2n －2 12×32 n －2＋a 1－3>0，∴a 1＞－9. ∵a 2＝a 1＋3＞a 1，∴a 1的取值范围是a 1＞－9. 【例2】：已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝ a n a n ＋3 (n ∈N * )． (1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫ 1a n ＋12是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足b n ＝2 a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 【解析】：(1)证明：由数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝ a n a n ＋3 (n ∈N * )，可得 1 a n ＋1 ＝ a n ＋3a n ＝1＋3 a n ， ∴1 a n ＋1＋12＝31a n ＋12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫ 1a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列， ∴1a n ＋12＝32×3n －1 ，化简得a n ＝23n －1 .
2019-2020年高考数学一轮总复习第五章数列5.3等比数列及其前n项和课时跟踪检测理
2019-2020年高考数学一轮总复习第五章数列5.3等比数列及其前n 项和 课时跟踪检测理 [课 时 跟 踪 检 测] [基 础 达 标] 1．已知数列{a n }为等比数列，若a 4＋a 6＝10，则a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9的值为( ) A ．10 B ．20 C ．100 D ．200 解析：a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9＝a 7a 1＋2a 7a 3＋a 3a 9＝a 2 4＋2a 4a 6＋a 2 6＝(a 4＋a 6)2 ＝102 ＝100. 答案：C 2．设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18 B ．－18 C.578 D ．558 解析：因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－ S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.所以a 7＋a 8＋a 9＝18 . 答案：A 3．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N * )，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13 (a 5＋a 7＋ a 9)的值是( ) A ．－5 B ．－15 C ．5 D ．15 解析：∵log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1，∴a n ＋1＝3a n . ∴数列{a n }是公比q ＝3的等比数列． ∵a 5＋a 7＋a 9＝q 3 (a 2＋a 4＋a 6)， ∴log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 13(9×33 )＝log 1335＝－5. 答案：A 4．(xx 届太原一模)在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝5 2，则a 1＝( ) A ．2 B ．4 C. 2 D ．2 2
2019年高考数学理科考点一遍过23等比数列及其前n项和(含解析)
（1）理解等比数列的概念. （2）掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式. （3）了解等比数列与指数函数的关系. 一、等比数列 1．等比数列的概念 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(0)q q ≠，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比． 注意：（1）等比数列的每一项都不可能为0； （2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与n 无关的常数. 2．等比中项 如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，此时2G ab =． 3．等比数列的通项公式及其变形 首项为1a ，公比为q 的等比数列的通项公式是1 11(,0)n n a a q a q -=≠． 等比数列通项公式的变形：n m n m a a q -=． 4．等比数列与指数函数的关系 等比数列{}n a 的通项公式1 1n n a a q -=还可以改写为1n n a a q q = ⋅，当1q ≠且10a ≠时，x y q =是指数函数，1x a y q q = ⋅是指数型函数，因此数列{}n a 的图象是函数1x a y q q =⋅的图象上一些孤立的点．
①当101a q >⎧⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩时，{}n a 是递增数列； ②当1001a q >⎧⎨<<⎩或101a q <⎧⎨>⎩时，{}n a 是递减数列； ③当1q =时，{}n a 为常数列(0)n a ≠； ④当0q <时，{}n a 为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号． 二、等比数列的前n 项和公式 首项为1a ，公比为q 的等比数列 {} n a 的前n 项和的公式为 111,1.(1),111n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪ =--⎨=≠⎪--⎩ （1）当公比1q =时，因为10a ≠，所以1n S na =是关于n 的正比例函数，则数列 123,,,,,n S S S S L L 的图象是正比例函数1y a x =图象上的一群孤立的点． （2）当公比1q ≠时，等比数列的前n 项和公式是1(1)1n n a q S q -=-，即 11n n a S q q =- ⋅-11a q +-，设11a m q =-，则上式可写成n n S mq m =-+的形式，则数列123,,,,,n S S S S L L 的图象是函数x y mq m =-+图象上的一群孤立的点． 由此可见，非常数列的等比数列的前n 项和n S 是一个关于n 的指数型函数与一个常数的和，且指数型函数的系数与常数项互为相反数． 三、等比数列及其前n 项和的性质 若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，前n 项和为n S ，则有如下性质： （1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a =；若2m n r +=，则2(,)m n r a a a m n,p,q,r =∈* N ． 推广：1211;n n i n i a a a a a a -+-===①L L ②若m n t p q r ++=++，则m n t p q r a a a a a a =． （2）若,,m n p 成等差数列，则,,m n p a a a 成等比数列． （3）数列{}(0)n a ≠λλ仍是公比为q 的等比数列；
2019年高中数学·第一轮复习 第30讲 等比数列及其前n项和
第30讲 等比数列及其前n 项和 1．等比数列的有关概念 (1)定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1 a n ＝q (q ≠0，n ∈N *)． (2)等比中项 如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇒G 2＝ab ． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n － 1． (2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1 ，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1. 3．等比数列的性质 已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(m ，n ，p ，q ，r ，k ∈N *) (1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2r ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r ； (2)数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数列； (3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍是等比数列(此时{a n }的公比q ≠－1)． 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)与等差数列类似，等比数列的各项可以是任意一个实数．( ) (2)公比q 是任意一个常数，它可以是任意实数．( ) (3)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( ) (4)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n ，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n ) 1－a .( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (教材习题改编)等比数列{a n }中，a 3＝12，a 4＝18，则a 6等于( ) A ．27 B ．36 C ．812 D ．54
2020版高三一轮复习：第26课 等比数列及其前n项和
第26课 等比数列及其前n 项和 1．等比数列中基本量的求解 (1)(2017全国Ⅲ，5分)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________． 答案：－8 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，∵{a n }为等比数列， 且⎩ ⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝－1①，a 1－a 1q 2＝－3②. 显然q ≠±1，a 1≠0，②÷①得1－q ＝3，即q ＝－2，代入①式可得a 1＝1. ∴a 4＝a 1q 3＝1×(－2)3＝－8. (2)(2017江苏，5分)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝7 4，S 6＝ 63 4 ，则a 8＝________． 答案：32 解析：当q ＝1时，显然不符合题意；当q ≠1时， ⎩ ⎪⎨⎪ ⎧a 1（1－q 3）1－q ＝7 4①，a 1（1－q 6）1－q ＝63 4②，②÷①，得1＋q 3＝9，∴q 3＝8， 即q ＝2，代入①，解得a 1＝14， ∴a 8＝1 4×27＝32. (3)(2019改编，5分)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝m ·5n ＋1，则实数m ＝________． 答案：－1 解析：当公比q ＝1时，S n ＝na 1，S n 是关于n 的正比例函数，与题意不符；当公比q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 11－q －a 11－q ·q n ，与S n ＝m ·5n ＋1比较，得 ⎩⎨⎧ a 1 1－q ＝1，－a 1 1－q ＝m ， ∴m ＝－1. 2．等比数列的判定与证明 a ．定义法证明等比数列 (4)(2016全国Ⅲ， 12分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0.
