2019高考数学二轮复习专题一三角函数与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形练习
5 第2讲三角恒等变换与解三角形
高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点， 其中关键是利用两角和与差、 二倍
角的正弦、余弦、正切公式等进行恒等变换，
“角”的变换是三角恒等变换的核心； 2.正弦
定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容， 主要考查边、角、面积的计算及有关
的范围问题•
真题感悟
3.(2018 •全国 I 卷)在平面四边形 ABCDK / ADO 90°,/ A = 45°, AB= 2, BD= 5.
(1) 求 cos / ADB
⑵若DC= 2 2，求BC
解 ⑴在厶ABD 中 ,由正弦定理得 -B /A = i AE
A D
B 即■: 45
sin / A sin / ADB sin 45 所以 sin /AD O# 由题设知，/ AD^90° ,
1.（2018 •全国H 卷）在厶ABC 中, cos C
= F ，BC= 1,
AC = 5 ,则 AB=( )
A.4 2
B. , 30
解析 因为cos f Of ，所以cos
是，在厶 ABC 中,由余弦定理得 AB = AC + BC — 2ACX BCX cos C = 52 + 12-2X 5X 1X
=32.所以 AB= 4 2.
答案 A
a = 2,贝U cos
解析•/ a € 0,
n '
■
2，且 tan a = 2 ,「. sin iL* SJ
一 a = 2 cos a ,
又 sin 2a + 所以cos
*2
cos a = 1,所以 sin n 2 ——=片(cos
a + sin 2,5
=
5 ,
3 ：10 a
)=帀.
cos a
sin / ADB
C. 29 C = 2cos
2
C
- 1 = 2X
所以 cos / ADB=
⑵ 由题设及(1)知，cos / BD(= sin /ADB=,.
5
在厶BCD 中，由余弦定理得
B C = B D + D C — 2 • BD ・ DC- cos / BDC
=25 + 8 — 2X 5X2 2 乂乎=25. 所以BC= 5.
■
a 的顶点与原点O 重合，始边与X 轴的非负半轴重合，它的终边
考点整合 1.
三角函数公式
tan a 士 ta n 3 tan( a ±3 )
= 1?tan a tan 3
2
2sin a .
4.(2018 •浙江卷)已知角 过点P
5，-
5.
(1)求 sin( a + n )的值;
⑵若角3满足sin( a +
解(1)由角a 的终边过点P
4
得
sin a =
—
5,
所以 sin( a + n ) = — sin 4 a =~.
5 3
4 5，— 5
，得
cos
由 sin( a+3 ) = 13，得 cos( a+3 ) 3
⑵由角a 的终边过点P
12 =± — —13'
由 3 = ( a+3 ) — a 得 cos 3 = cos( ―
56
a + 3 )cos a + sin( a
+ 3 )sin
56 16 所以 cos 3 =—或 cos 3 =.
65 65
(1)两角和与差的正弦、
余弦、正切公式:
sin( a ± 3 ) = sin a cos 3 士 cos a sin
cos( a ± 3 ) = cos a cos 3 ?sin a sin (2)二倍角公式： sin 2 a = 2sin a cos
2
a , cos 2 a = cos a —sin
2
=2cos a — 1 = 1 —
求cos 3的值-
-5， 3 5,
3 5
，
⑶ 辅助角公式：a sin x + b cos x = a 2 + b 2sin( x +0 )，其中 tan $ =-.
2.
正弦定理、余弦定理、三角形面积公式
(1)正弦定理
a b c
在厶ABC 中， = =
=2RRABC 的外接圆半径)；
sin A sin B sin C 变形：
a
a = 2R sin A , sin A =亲
a :
b :
c = sin A: sin B: sin C 等.
(2) 余弦定理
2 2 2
在厶 ABC 中, a = b + c - 2bc cos A ；
变形： 2 | 2 2
222 b + c — a b + c — a — 2bc cos A, cos A- .
2bc (3)三角形面积公式
1 . 1
. 1 .
&ABC
=二ab sin C =二bc sin A =：ac sin B.
2
2 2
热点聚焦分类笑破
热点一三角恒等变换及应用
4
J 5
a , 3 为锐角，tan a =；, cos( a + 3 ) = - u .
3
5
(1) 求cos 2 a 的值;
⑵求tan( a - 3 )的值.
研热点祈不法
【例1】(2018 •江苏卷)已知
4
解⑴因为tan a = 3, tan a
sin a cos a
所以sin
4 a — §cOS a .
因为 sin 2 a + cos 2
a = 1 ,所以 COS? a 9
25,
因
此,
2
cos 2 a = 2cos a — 1 = — “• 25 ⑵因为a , 3为锐角，所以a + 3 € (0 , n ).
因此 tan( a + 3 ) = — 2. . 4 〜，、，.- 2tan a 24
因为 tan a = ~,所以 tan 2 a =
2~ = —77, 3
1 — tan a /
又因为cos( a + 3 )=—
__5 ~5，
所以sin(
+ 3
)=w —cos ( a + 3 ) 2,5 5
m
tan 2 a — tan ( a + 3 )
因此,
tan( a — 3 )
=tan[2 a — ( a + 3 )]=卄门 2 a tan (a + 3)
探究提高 1.三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角 (名)，化简求值.
2.解决条件求值问题的三个关注点 (1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角 (2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示
(3) 求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合
=cos(2 a — 3 ) • cos( a — 2 3 ) + sin(2 a — 3 )sin( a — 2 3 )
5,3 4,3 1 14
7
2
3 n 严厂r 、F
n
3
＜〒，所以
a + 3
=n
答案 (1)A
2 11
角的取值范围，求出角的大小
【训练 1】(1)(2018 •广西三市联考
等于( 1 A .
3
1 B.
—
C.3
11
cos(2 a — 3 ) =— 14, sin(
n
n t
，°<3
<4<
a
<2，则
a + 3
的值为
解析 (1)由 cos 2x — y = sin 2x 得 sin 2 x =
2
sin x ,
又 x € (0 , n )，贝U tan x = 2, 斗 i n i tan x — 1 1
故
tan
x — 4 = 1 + tan x = 3*
11 n 丄
⑵因为 cos(2 a — 3 )=——且 <2 a — 3 < n ,
14 4
、5 3
；—3 ) = _「 14
_
_ .
4 3 口 n
c n
「子且-〒
a-23
<7，
1
所以
因为
所以 所以 sin(2 a sin(
cos( cos(
a + 3 ) = cos[(2 a — 3 ) — ( a — 2 3 )]
11 1 一 7
+
n
因为〒
a +
2
D. —
3
)已知 x € (0 , n )，且 cos i 2x
热点二正弦定理与余弦定理
考法1利用正（余）弦定理进行边角计算
【例2- 1】(2018 •潍坊一模)△ ABC 勺内角 A , B, C 的对边分别为 a , b, c ,已知(a + 2c )cos B+
b cos A= 0.
(1) 求 B ;
⑵若b = 3,A ABC 的周长为3+ 2 3，求△ ABC 的面积.
解(1)由已知及正弦定理得
(sin A + 2sin C )cos B + sin B cos A = 0, (sin A cos B + sin B cos A ) + 2sin C cos B = 0, sin( A + B ) + 2sin C cos B = 0,
又 sin( A + E ) = sin C,且 C € (0 , n ), sin C 0, 1 2
cos B =- T ,^ 0<扌 n ,.•• B = 3 n .
2 3
2
2
(2) 由余弦定理，得 9 = a + c — 2ac cos B. .a + c + ac = 9,贝U (a + c ) — ac = 9.
a +
b +
c = 3+ 2 •：：•••• 3, . a + c = 2 J 3,
.ac = 3,.5=如前 B = 2x 3X -2 =乎
【迁移探究1】 若本题第（2）问条件变为“若b = 3, &AB =色护”，试求a + c 的值. & 丄 1 3卡
解牛 |由 S ^ABC^— ^ac • sin B =—, 1 3 3 3 nt
•••严•牙=〒，贝V ac = 3.
2
2
2
2
由余弦定理，得 b = a + c — 2ac cos B = ( a + c ) — ac , 所以(a + c )2 = b 2+ ac = 9+ 3= 12,故 a + c = 2 3.
【迁移探究2】 在第⑵问中，保留条件b = 3,删去“条件△ ABC 的周长为3 + 2 .3”，试 求厶ABC 面积的最大值.
2 2 2 2 2
解 由 b = a + c — 2ac cos B = a + c — ac ,
2 2
贝y 9= a + c — ac >2 ac — ac = ac ,
所以ac w 9（当且仅当a = c = 3时，取等号），
故 Sx ABC =
1 ^ac s in 1
2n B < 产
9sin E
9.3
所以△ ABC面积的最大值为誓
探究提高 1.高考中主要涉及利用正弦、余弦定理求三角形的边长、角、面积等基本计算， 或将两个定理与三角恒等变换相结合综合解三角形 2.
关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，
正、余弦定理及有关三角形的性质，
常见的三角变换方法和原则都适用，
同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统
结构”，这是使问题获得解决的突破口
【例2 — 2】（2018 •衡水质检）某气象仪器研究所按以下方案测试 一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：
在C 处（点C 在水平
地面下方，O 为CH 与水平地面ABO 的交点）进行该仪器的垂直弹射， 水平
【训练2】 （2017 •全国H 卷）△ ABC 的内角A , B , C 的对边分别为
a ,
b ,
c ,已知 sin( A +
C = 8sin 2B .
(1)求 cos B;
⑵ 若a + c = 6,A ABC 面积为2,求b .
解(1)由题设及 A + B+ C =n,得 sin B = 8sin 2B ,
故 sin B = 4(1 — cos E ). 上式两边平方，整理得
解得cos B= 1（舍去）, 15
cOs B =
石
8 ⑵ 由cos B =打及B 为三角形一内角，得 sin B=
17
17
15
丄 1.4 故 Sx ABC = 2
acsin B
=严
17
又 S x ABC = 2,贝V ac = 2 . 由余弦定理及a + c = 6得
・7I
2 2 2 2
b = a +
c — 2ac cos B = (a + c ) — 2ac (1 + cos B )
毎I ，
17 ”
15 ■,
=36 — 2X
2 % 1
+ 17 = 4.
所以 b = 2.
考法
2应用
正、余
地面上两个观察点A, B两地相距100米，/ BAC= 60°,其中
A 到C 的距离比
B 到
C 的距离远40米.A 地测得该仪器在 C 处的俯角为/ OA G 15°, A 地测 得最高点H 的仰角为/ HAO= 30°,则该仪器的垂直弹射高度
CH 为( )
A.210(
6+ 2)米 B.140
6米
C.210 2米
D.20C 6- 2)米
解析 由题意，设 AC= x 米，贝U BC= (x -40)米，在△ ABC 内，由余弦定理：BC = B A + CA
2
2
—2BA- CA cos / BAC 即(x — 40) = x + 10 000 — 100x ，解得 x = 420(米). 在厶 ACH 中, AC= 420 米，/ CAH= 30°+ 15°= 45°,/ CHA= 90°— 30°= 60°, ,、宀
CH AC —/口
sin / CAH 厂,
由正弦定理：
= 宀可得CH= AC- = 140 6(米).
sin / CAH sin / AHC sin / AHC
答案 B
探究提高 1.实际问题经抽象概括后，
已知量与未知量全部集中在一个三角形中，
可用正弦 定
理或余弦定理求解
2.实际问题经抽象概括后， 已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形， 这时需作出这些
三角形，先解够条件的三角形， 然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角 形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解•
【训练3】 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到
A 处时测得公路北侧一山
顶D 在西偏北30°的方向上，行驶 600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北 75°的方向上, 解得 BC = 300 2(m). 在 Rt △ BCD 中, CD = BC- tan 30 ° = 300 2x~^= 100 ,6(m).
3 答案 100 6
热点三与解三角形有关的创新交汇问题
又AB= 600 m ,故由正弦定理得
600
sin 45
BC
sin 30 ° ,
仰角为30°,则此山的高度 CD= ___________ m.
【例3】(2018 •郑州质检)已知向量m= (2sin w x, cos23 x —sin 2w x), n= (*j3cos 3 x, 1)，其中w >0, x€ R若函数f(x) = nr n的最小正周期为n .
(1)求3的值;
⑵ 在厶 ABC 中，若 f (B ) = - 2, BC= 3, sin B = 3sin A ,求 BA- BC 勺值.
解 (1)f (x ) = n r n = 2 3sin 3 x cos 3 x + cos 2 w x - sin 2® x = 3s in 2 3 x + cos 2 3 x = 2sin j 2 3 x + —.
2 n
因为f (x )的最小正周期为 n ，所以T = ------ = n .
2| 3 1
又3> 0，所以3 = 1.
⑵ 由(1)知 f (x ) = 2sin 2x + 才.
设厶ABC 中角A , B , C 所对的边分别是 a, b , c . 因为 f (B ) = - 2，所以 2sin 2B +-6 =-2,
因为 BC= 3，即 a = 3,又 sin B=
3sin
所以b = 3a ,故b = 3. 由正弦定理，有
=一L ，解得sin
sin A 2 n
sin
T
由于o v A < n ,解得A = n .
3 6 CP J
所以C = 6，所以c = a = ,3.
A
T T
厂 厂
2 n 3
所以 BA- BC = ca cos B = .. 3x 3x cos 3 =- 7
探究提高 1.破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”， 即先活用诱
导公式、同角三角函数的基本关系式、 倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行巧“化简”； 然后把以向量共线、向量垂直形式出现的条件转化为“对应坐标乘积之间的关系”； 再活用
正、余弦定理，对三角形的边、角进行互化
2.这种问题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣”， 知识进行求解.
【训练 4】 已知函数 f (x ) = sin 2x - cos 2x + 2 3sin x cos x (x € R). (1)求f (x )的最小正周期；
1
⑵ 在厶ABC 中，角A, B C 的对边分别为
a ,
b ,
c ,若f (A = 2,
c = 5, cos B =-，求△ ABC
即 sin 2B +才=-1，由于 0
转化为三角函数的相关
代
n ，解得 B =~^.
中线AD 的长.
解 (1)f (x ) =— cos 2x + 3sin 2 x = 2sin 2x 2 n
•- T = ~2~ = n . ••函数f (x )的最小正周期为
n .
⑵ 由(1)知 f (x ) = 2sin 2x — -6 ,
曲躺总结思维升华
1. 对于三角函数的求值，需关注： （1） 寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式； （2） 注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用；
（3）
对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手
的问题，可利用分析法•
2. 三角形中判断边、角关系的具体方法：
（1）通过正弦定理实施边角转换； （2）通过余弦定理实施边角转换； （3）通过三角变换找出角 之间的关系；（4）通过三角函数值符号的判断以及正、 余弦函数的有界性进行讨论；（5）若涉 及两个（或两个以上）三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其 他三角形的边和角， 其中往往用到三角形内角和定理， 有时需设出未知量， 从几个三角形中
列出方程（组）求解•
1
3. 解答与三角形面积有关的问题时，如已知某一内角的大小或三角函数值，就选择
ab sin C 来求面积，再利用正弦定理或余弦定理求出所需的边或角
6
.
n
■6 = 1
,
n
1
A = y.又 cos
B = 7, • sin
• sin C = sin( A + B) = 3
x - + -x
2 7 2 7
14 c
仁ABC 中，由正弦定理牯L sin A
得乙P ，
14
••• a = 7,「. BD= 7
，在△ ABD 中，由余弦定理
得,
AD = AB + BD — 2AB- BD Cos B = 52+
—2X 5X 7x J 皂，• AD =
』
2 7 4
2
探规律防失误
•••在△ ABC 中 f (A = 2,：
・
n ；2 1
'=g ab sin C.由余弦定理
n
D. 16
I f /
得 2ab cos2ab sin C,即卩
cos C = sin
答案 C
C 的对边分别为 a , b , c ,若cos C =务2
, b cos A
3
+ a cos B = 2，则△ ABC 勺外接圆面积为（
专题
w 练对接高考
求落丈迎高
考
一、选择题 1
1.（2018 •全国川卷）若 sin a = 3,贝U cos 2 a =（ ） 3
2 2 们 7 解析 cos 2 a = 1 — 2sin a = 1 — 2X = 9. 2
2.心ABC 中，角 "的对边分别是心，已知b = ” 2b. - sin A ），则A =（）
答案 B n 亠 n
B.亍
C.才
b +
c — a
2b — 2b (1 — sin
解析由已知得cos A = 3
A.4n
答案 C 2bc 2 b
sin A.在厶 ABC 中, A =^.
n
D.石
3.（2018 •全国川卷）△ ABC 的内角AB,C 的对边分别为 a,b,c,若厶ABC 的面积为
则g （ ）
A.4 n
B.8 n
C.9 n
D.36 n
解析由题意及正弦定理得
2R sin B cos A + 2R sin
A cos B= 2R sin( A + E ) = 2( R
ABC 的
外接圆半径）.即2R sin C = 2.又cos C = 牛2
及C €
3
(0 , n )，知 sin C = 3.
3
2 二2R= K 6 R= 3.站ABC 外接圆面积S =n
R = 9 n .
答案 C
. 2.2 :
1 —a + b — c 解析因为AB = ab sin C,所以
2
a 2 +
b 2-
c 2= 2ab cos C,
n C 所以在△ ABC 中
4.（2018 •合肥质检）△ ABC 的内角A , B ,
5.在厶ABC 中，角A B , C 的对边分别为a , b , c .若厶ABC 为锐角三角形，且满足 sin B (1
A.a = 2b C.A = 2B
等式右边=2sin
A cos C + cos A sin C = sin A cos C + sin( A + C ) = sin A cos C + sin B
等式左边=2sin B cos C + sin B,
则 2sin B cos C + sin B = sin A cos C + sin B , 因为角C 为锐角三角形的内角，所以 cos C 不为0. 所以2sin B = sin A 根据正弦定理， 得
a = 2
b .
答案 A
二、填空题
6.(2018 •全国 n 卷 )已知 sin a + cos
3 = 1 , cos a + sin 3 = 0,贝U sin( a + 3 )=
解析 ■/ sin a + cos 3 = 1, cos a + sin 3 = 0,
・ 2 2
厂、
••• sin a + cos 3 + 2sin a cos 3 = 1,①
2 2
cos a + sin 3 + 2cos a sin 3 = 0,② ①+②，得
2 2 2 2
sin a + cos a + sin 3 + cos 3 + 2(sin a cos 3 + cos a sin 3 ) = 1,
1 --sin( a + 3 ) = — 2*
答案一1 7.
(2018 •东北三省四校模拟
)已知角a 的终
边经过点
F (4a , 3a )( a <0)，则25sin a - 7tan
2a 的值为 __________ 3a 3
解析 由题意知tan a =
= -, sin a 4a 4
+ 2cos C = 2sin
A cos C + cos A sin
C 则下列等式成立的是(
B. b = 2a D.B= 2A
• tan 2 a
2ta n a 1 — tan 2
a
24
1-
3a 5|^i
解析
• 25sin a —7tan 2 a = 25X i -3—7X 24=—39.
答案 -39
8. ( 2018 •全国I卷)△ ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c.已知b sin C+ c sin B=
4a sin B sin C, b 2 + c 2— a 2
= 8，则△ ABC 的面积为
解析
由 b sin C + c sin B = 4a sin B sin C 得 sin B sin C + sin C sin B = 4sin 因为
1 2 2 2
sin B sin
0,所以 sin A =㊁.因为 b + c — a = 8,所以 cos A =
2bc
I B sin C, 8卫 2bc = 2，
所以 答案 bc =-3~.所以 S A ABC = —bc sin
3
2 2 ,3
3
三、解答题
9. (2018 •济南二模)在厶ABC 中,
AC= BC= 2, AB= 2 3, A Mh MC
(1)求BM 的长;
2 n 1
⑵设D 是平面ABC 内一动点，且满足/
BDM
=亍求盼2
MD
的取值范围.
解 ⑴在厶 ABC 中, AB = AC + BC — 2AC- BC- cos C,
1
代入数据，得cos C=— 2
•/ AM= M C ••• CM= MA= 1;AC= 1.
在厶CBM
中，由余弦定
所以 BM= .. 7.
n
⑵设/ MB h 0，则/ DM B= 3 — 0 ,
3
在厶BDM中，由正弦定理知:
BD MD sin BM = ^7
-sin 0 — . 2 n = 3 .
sin 2
• BD=
黑
sin 打
—0 ,
MD=芾
• BD+ ;MD=孚sin
2
羽3
— 0
+ 丐
sin
3cos 0 —sin 0 + sin 0 ) = 7cos 0 ,
又B € °，3，二cos 0 € 2, 1 .
10. (2018 •天津卷)在厶ABC 中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c.已知b sin A= acos B
- i.
(1)求角B的大小;
⑵设a= 2, c= 3,求b 和sin(2 A—B)的值.
解(1)在厶ABC中，由正弦定理一—^,
sin A sin B
得b sin A= a sin B,
又由b sin A= a cos B— -6 ,
n
得a sin B= a cos j B——,
即sin B= cos i B-壬，可得tan B= ?3.
n
又因为B€ (0 , n )，可得B= 3.
⑵在厶ABC中，由余弦定理及a= 2, c = 3, B= ~,
3
有b2= a2+ c2—2ac cos B= 7,故b= ,7.
由b sin A= a cos ^B—"6 ,可得sin A= ^|.
2
因为a 因此sin 2 A= 2sin A cos A= — cos 2 A= 2cos2A—1=-. 7 所以，sin(2 A- B) = sin 2 As os B—cos 2 A sin B=竽x ]1疔=乎 11.(2018 •湖南六校联考)已知函数f (x) = 3sin(2 018 n —x)sin + x —cos. +1. (1)求函数f(x)的递增区间; ⑵若厶ABC勺角A，B, C所对的边为a，b，c，角A的平分线交BC于D, f(A) = |，AD= .2 BD= 2,求cos C. 故BM *MD勺取值范围是 3.2三角变换与解三角形 【课时作业】 A 级 1．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝5 5，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝() A ．42 B ．30 C.29D ．25 解析： ∵cos C 2＝5 5 ， ∴cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×? ?? ??552－1＝－35. 在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝52＋12 －2×5×1×? ?? ??－35＝32， ∴AB ＝32＝4 2. 故选A. 答案： A 2．(2018·山东菏泽2月联考)已知α∈? ????3π2，2π，sin ? ?? ??π2 ＋α ＝13，则tan(π＋2α)＝() A. 427B ．±22 5 C ．±427 D ． 225 解析： ∵α∈? ????3π2，2π，sin ? ?? ??π2＋α＝13 ，∴cos α＝13，sin α＝－223，由同角三角函数的商数 关系知tan α＝sin αcos α＝－2 2.∴tan(π＋2α)＝tan2α＝2tan α1－tan2α＝ －42 1－－22＝ 42 7 ，故选A. 答案： A 3．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π 3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的 面积等于() A. 32B ．34 C. 36D ．38 解析： 由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ， 故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3 ， 咼二二轮大题---三角函数题型一三角函数与三角恒等变换 n 例1 已知函数f(x) = sin ax—sin W x+ 3 (w>0). (1)若f(x)在[0 , n上的值域为一￥，1，求3的取值范围; n n ⑵若f(x)在o, 3上单调，且f(0)+f 3 =0，求3的值. 3cos x), b= (cos x,—cos x),函数f(x) = a ?甘例2.已知a= (sin x, (1)求函数y= f(x)图象的对称轴方程； 1 ⑵若方程f(x) = 3在(0, n上的解为x i, X2，求cos(x i —X2)的值. 例3.已知函数f (x) cos 2x n sin2x cos2 x 3 ⑴求函数f(x)的最小正周期及图象的对称轴方程; ⑴设函数g(x) [f (x)]2 f (x)，求g(x)的值域. 【过关练习】 ■jn jn 1 已知函数 f(x) sin x cos x , g (x ) 2sin 2^ 6 3 2 (1 )若 3*/3 疋第象限角，且 f() .求g ()的值； 5 (2)求使 f(x)—g(x)成立的X 的取值集合. n 2.已知函数f x Asin x - ,x R ，且 (1 )求A 的值； (2)若 f f (2)若f 0，f 1求a ，的值? 3?已知函数 f x sin x acos x 2 ，其中 a R , 7t 7t 2, 2 (1 )当 a 、2 , 时，求 f X 在区间0,上的最大值与最小值; 4 5n 3 12 2 2 ，求 4?已知函数 f x sin 2x cos 2 x 2 3sin xcosx x R 2 (1 )求f 的值; 3 (2)求f X 的最小正周期及单调递增区间 5. 设函数f x COS x n 3 ⑴求f x 的值域； 6. 已知函数 f x 1 cotx sin 2x msin x n sin x — 4 4 ⑴当m 0时，求f x 在区间-,—上的取值范围； 8 4 3 ⑴当tan 2时，f x -，求m 的值. 5 2cos 2x ，x R . 2 (⑴己△ ABC 的内角A 、B C 的对边长分别为 a , b , c ，若 f B 1 , b 1, c . 3，求 a 的值. 5 第2讲三角恒等变换与解三角形 高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点， 其中关键是利用两角和与差、 二倍 角的正弦、余弦、正切公式等进行恒等变换， “角”的变换是三角恒等变换的核心； 2.正弦 定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容， 主要考查边、角、面积的计算及有关 的范围问题• 真题感悟 3.(2018 •全国 I 卷)在平面四边形 ABCDK / ADO 90°,/ A = 45°, AB= 2, BD= 5. (1) 求 cos / ADB ⑵若DC= 2 2，求BC 解 ⑴在厶ABD 中 ,由正弦定理得 -B /A = i AE A D B 即■: 45 sin / A sin / ADB sin 45 所以 sin /AD O# 由题设知，/ AD^90° , 1.（2018 •全国H 卷）在厶ABC 中, cos C = F ，BC= 1, AC = 5 ,则 AB=( ) A.4 2 B. , 30 解析 因为cos f Of ，所以cos 是，在厶 ABC 中,由余弦定理得 AB = AC + BC — 2ACX BCX cos C = 52 + 12-2X 5X 1X =32.所以 AB= 4 2. 答案 A a = 2,贝U cos 解析•/ a € 0, n ' ■ 2，且 tan a = 2 ,「. sin iL* SJ 一 a = 2 cos a , 又 sin 2a + 所以cos *2 cos a = 1,所以 sin n 2 ——=片(cos a + sin 2,5 = 5 , 3 ：10 a )=帀. cos a sin / ADB C. 29 C = 2cos 2 C - 1 = 2X 第2讲 三角恒等变换与解三角形 利用三角恒等变换化简、求值 [核心提炼] 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β； (3)tan(α±β)＝tan α±tan β 1?tan αtan β. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)tan 2α＝2tan α 1－tan 2α . [典型例题] (1)已知cos ? ?????θ－π6＋sin θ＝435，则sin ? ?? ???θ＋7π6的值是( ) A ．45 B ．435 C ．－45 D ．－435 (2)若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈????????π4，π，β∈????? ???π，3π2， 则α＋β的值是( ) A.7π 4 B.9π 4 C.5π4或7π 4 D.5π4或9π4 【解析】 (1)因为cos ? ?? ?? ?θ－π6＋sin θ＝435， 所以32cos θ＋32sin θ＝43 5， 即 3? ?????12cos θ＋32sin θ＝435， 即 3sin ? ?????θ＋π6＝435， 所以sin ? ?????θ＋π6＝45， 所以sin ? ?????θ＋7π6＝－sin ? ???? ?θ＋π6＝－45.故选C. (2)因为α∈????????π4，π，所以2α∈??????? ?π2，2π，又sin 2α＝55，故 2α∈????????π2，π，α∈????????π4，π2，所以cos 2α＝－255.又β∈??? ?????π，3π2，故β－α∈????? ?? ?π2，5π4，于是cos(β－α)＝－31010，所以cos(α＋β)＝ cos[2α＋(β－α)]＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝－25 5 × 一、选择题 1．(2018·合肥调研)已知x ∈()0，π，且cos ????2x －π2＝sin 2x ，则tan ????x －π 4等于( ) A.1 3 B ．－1 3 C ．3 D ．－3 解析：由cos ????2x －π 2＝sin 2x 得sin 2x ＝sin 2x ， ∵x ∈(0，π)，∴tan x ＝2， ∴tan ????x －π4＝tan x －11＋tan x ＝13. 答案：A 2．(2018·成都模拟)已知sin α＝10 10 ，α∈????0，π2，则cos ????2α＋π6的值为( ) A.43－310 B.43＋310 C.4－3310 D.33－410 解析：∵sin α＝ 1010，α∈????0，π2，∴cos α＝31010 ， sin 2α＝2sin αcos α＝2× 1010×31010＝610＝35， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×?? ? ?10102 ＝1－15＝45， ∴cos ????2α＋π6＝45×32－35×12＝43－310 . 答案：A 3．(2018·昆明三中、五溪一中联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( ) A ．34 B ．43 C ．－43 D ．－34 解析：因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ， 由面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ， 即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4， sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2C sin 2C ＋cos 2C ＝4， 所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4， 解得tan C ＝－4 3或tan C ＝0(舍去)． 答案：C 4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c b 第一部分 专题三 第二讲 A 组 1．若2sin(θ＋π 3 )＝3sin(π－θ)，则tan θ等于( B ) A ．－33 B ．32 C ． 233 D ．23 [解析]由已知得sin θ＋3cos θ＝3sin θ，即2sin θ＝3cos θ，所以tan θ＝ 32 ，故选B ． 2．(文)如果sin α＝45，那么sin(α＋π4)－2 2 cos α等于( A ) A ． 225 B ．－ 2 25 C ． 425 D ．－425 [解析]sin(α＋π4)－2 2 cos α ＝sin αcos π4＋cos αsin π4－22cos α＝45×22＝22 5 . (理)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝ 102 ，则tan2α＝( C ) A ．43 B ． 34 C ．－34 D ．－ 43 [解析]本题考查三角函数同角间的基本关系． 将sin α＋2cos α＝10 2 两边平方可得， sin 2 α＋4sin αcos α＋4cos 2 α＝5 2 ， ∴4sin αcos α＋3cos 2 α＝32，∴4sinαcosα＋3cos2αsin2α＋cos2α＝3 2 . 将左边分子分母同除以cos 2α得， 3＋4tanα1＋tan2α＝32，解得tan α＝3或tan α＝－13 ， ∴tan2α＝2tanα 1－tan2α＝－3 4 . 3．若三角形ABC 中，sin(A ＋B )sin(A －B )＝sin 2C ，则此三角形的形状是( B ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形 [解析]∵sin(A ＋B )sin(A －B )＝sin 2C ，sin(A ＋B )＝sin C ≠0，∴sin(A －B )＝sin(A ＋B )，∴cos A sin B ＝0， ∵sin B ≠0，∴cos A ＝0，∴A 为直角． 4．钝角三角形ABC 的面积是1 2 ，AB ＝1，BC ＝ 2，则AC ＝( B ) A ．5 B ． 5 C ．2 D ．1 [解析]本题考查余弦定理及三角形的面积公式． ∵S △ABC ＝1 2ac sin B ＝12·2·1·sin B ＝1 2 ， ∴sin B ＝2 2，∴B ＝π4或3π4 . 当B ＝π 4时， 经计算△ABC 为等腰直角三角形，不符合题意，舍去． ∴B ＝3π 4 ，根据余弦定理， b 2＝a 2＋ c 2－2ac cos B ，解得b ＝ 5，故选B ． 5．设 △ ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝ 32 ，且b 二轮专题复习（二）：三角函数与解三角形 ?应知已会——熟练 ?会而不对——巩固 ?对而不全——强化 ?全而不优——指导 三角函数二轮复习的目标和方向 （1）注重任意角三角函数的定义，深化公式的理解记忆 （2）二倍角公式和两角和差公式是化简的核心工具 （3）三角函数的图象与性质是核心 （4）解三角形问题要充分利用正、余弦定理以及两角和与差的三角公式 典型例题： 一.三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换 例1.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=( ) A ．45- B ．35- C ．35 D ．45 变式1.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点(1,)A a ，(2,)B b ， 且2 cos23 α= ，则||(a b -= ) A ．1 5 B C D ．1 变式2.已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点3 4(,)55 P --． (1)求sin()απ+的值； (2)若角β满足5 sin()13 αβ+=，求cos β的值． 例2.若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是( ) （A ）π sin()2 α+ （B ）πcos()2α+ （C ）sin(π)α+ （D ）cos(π)α+ 变式1.若tan 0α>，则( ) A. sin 20α> B. cos 0α> C. sin 0α> D. cos20α> 例3.已知α∈(0， )，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=( ) A ． B C D 变式1．若 ，则( ) A ． B ． C ．1 D ． 变式2．若 ，则tan2α=（ ） A ．? B ． C ．? D ． 变式3．已知，则（ ） A ． B ． C ． D ． 变式4．设(0, )2π α∈，(0,)2π β∈，且1sin tan cos βαβ+= ，则（ ） A .32 παβ-= B .22 π αβ-= C .32 π αβ+= D .22 π αβ+= 变式5．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+= ． 变式6. 已知4 sin cos 3 αα-= ，则sin 2α=_________ 二. 三角函数的图象与性质 例 1.动点(),A x y 在圆42 2 =+y x 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周,已知时间0t =时, 点A 的坐标是)3,1(,则动点A 的纵坐标y 关于t （秒）的函数的解析式为 . 例2.若()cos sin =-f x x x 在[,]-a a 是减函数，则a 的最大值是( ) A ． π4 B ． π2 C ． 3π4 D ．π 变式1. 已知0>ω，函数)4sin()(π ω+ =x x f 在),2 (ππ 单调递减，则ω的取值范围是（ ） 2 π1 5 5 3 5 3tan 4 α= 2 cos 2sin 2αα+=642548251625 sin cos 1 sin cos 2 αααα+=-34344343 2 10 cos 2sin ,= +∈αααR =α2tan 344 343-34- 第二篇 专题一 第2讲 一、选择题 1．已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α等于( A ) A ． 5 3 B ．2 3 C ．1 3 D ． 59 【解析】由3cos 2α－8cos α＝5， 得3(2cos 2α－1)－8cos α＝5， 即3cos 2α－4cos α－4＝0， 解得cos α＝－2 3或cos α＝2(舍去). 又因为α∈(0，π)，所以sin α>0， 所以sin α＝ 1－cos 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫－232 ＝53 . 2．若sin α＝－3 5，且a ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则1－tan α 21＋tan α 2＝( D ) A ．1 2 B ．－1 2 C ．2 D ．－2 【解析】sin α＝－35，可得2sin α2cos α2sin 2α2＋cos 2 α2＝－3 5 ， 所以2tan α 2tan 2α2 ＋1 ＝－3 5， 解得tan α2＝－3或tan α2＝－1 3， 又a ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，∴α2∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4， ∴tan α 2 ＝－3， 故1－tan α21＋tan α2＝1－(－3) 1＋(－3)＝－2. 故选D. 3．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b ＝2，且2a cos B －a cos C ＝c cos A ＋a －b ，则△ABC 面积的最大值是( B ) A ． 3 2 B ．3 C ．2 D ．5 【解析】由正弦定理得：2sin A cos B －sin A cos C ＝sin C cos A ＋sin A －sin B ， 所以2sin A cos B ＝sin (A ＋C )＋sin A －sin B ＝sin A ， 又由0＜A ＜π，可得sin A ＞0， 则有cos B ＝1 2， 又0＜B ＜π，则sin B ＝ 32 ， 由余弦定理得：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1 2 ， 所以a 2＋c 2＝ac ＋4≥2ac ，所以ac ≤4(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)， 则S △ABC ＝12ac sin B ≤12×4×3 2＝3， 故选B. 4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a cos B ＋b cos A ＝2c cos C ，c ＝7，且△ABC 的面积为33 2 ，则△ABC 的周长为( D ) A ．1＋7 B ．2＋7 C ．4＋7 D ．5＋7 【解析】在△ABC 中，a cos B ＋b cos A ＝2c cos C ， 则sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos C ， 即sin (A ＋B )＝2sin C cos C ， ∵sin (A ＋B )＝sin C ≠0，∴cos C ＝12，∴C ＝π 3， 由余弦定理可得，a 2＋b 2－c 2＝ab ， 即(a ＋b )2－3ab ＝c 2＝7， 又S ＝12ab sin C ＝34ab ＝33 2，∴ab ＝6， ∴(a ＋b )2＝7＋3ab ＝25，即a ＋b ＝5， ∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7. 5．设α，β为锐角，且2α－β＝π2，tan αcos βx ＋sin β＝1，则x ＝( A ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 第2讲 小题考法——三角恒等变换与解三角形 一、主干知识要记牢 1．两组三角公式 (1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ①sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β． ②cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β． ③tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β ． 辅助角公式：a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)． (2)二倍角的正弦、余弦、正切公式 ①sin 2α＝2sin αcos α． ②cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α． 错误！未指定书签。 降幂公式：sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α 2． ③tan 2α＝2tan α 1－tan 2α． 2．正弦定理 a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)． 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ； a ∶ b ∶ c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ． 3．余弦定理 a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos A ， b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ． 推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 2 2ac ， cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab ． 4．三角形面积公式 第二讲 三角恒等变换与解三角形——小题备考 微专题1 三角函数求值 常考常用结论 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos (α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. (3)tan (α±β)＝ tan α±tan β1∓tan αtan β . 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α. (2)cos 2α＝cos 2 α－sin 2 α＝2cos 2 α－1＝1－2sin 2 α. (3)tan 2α＝2tan α 1−tan 2α. 3．常用公式 (1)降幂扩角公式：cos 2 α＝ 1+cos2α 2 ，sin 2 α＝ 1−cos2α 2 . (2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2 α，1－cos 2α＝2sin 2 α. (3)公式变形：tan α±tan β＝tan (α±β)(1∓tan α·tan β)． (4)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝√a 2+b 2sin (x ＋φ)，其中sin φ＝√2 ，cos φ ＝ √2 . 保 分 题 1.[2022·河北张家口一模]已知cos α＝4 5，0<α<π 2，则sin (α＋π 4)＝( ) A ．√210 B ．7√2 10 C ．－√2 10D ．－7√2 10 2．[2022·湖北武汉二模]设sin 32°＝k ，则tan 16°＋1 tan 16°＝( ) A ．2k B ．1 k C ．2k D ．k 3．[2022·山东烟台一模]若sin α＝cos (α＋π 6)，则tan 2α的值为________． 提 分 题 例2 (1)[2022·山东淄博三模]已知α∈(－π 2 ，0)，且√2cos 2α＝sin (α＋π 4 )，则sin 2α ＝( ) A ．－34 B ．3 4 C ．－1 D ．1 (2)[2022·河北石家庄一模]已知角α∈(0，π 2)，tan π 12＝sin α−sin π 12cos α+cos π 12 ，则α＝________． 听课笔记： 技法领悟 1．解决给角求值问题的关键是两种变换：一是角的变换，注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关系、倍半关系，从而选择相应公式进行转化，把非特殊角的三角函数相约或相消，从而转化为特殊角的三角函数；二是结构变换，在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上，结合所求式子的特点合理地进行变形． 2．给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外某些函数式的值，以备应用．同时也要注意变换待求式，便于将已知求得的函数值代入，从而达到解题的目的． 3．实质上是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围． 第二讲 三角恒等变换与解三角形 [考情分析] 三角变换及解三角形是高考考查的热点，然而单独考查三角变换的题目较少，题目往往以解三角形为背景，在应用正弦定理、余弦定理的同时，经常应用三角变换进行化简，综合性比较强，但难度不大. 1．(2016·高考全国卷Ⅲ)若tan α＝34，则cos 2 α＋2sin 2α＝( ) A.64 25 B.4825 C ．1 D.1625 解析：利用同角三角函数的基本关系式求解． 因为tan α＝34，则cos 2 α＋2sin 2α＝cos 2 α＋4sin αcos αsin 2 α＋cos 2 α＝1＋4tan αtan 2 α＋1＝ 1＋4× 3 4⎝⎛⎭⎫342＋1＝64 25.故选A. 答案：A 2．(2016·高考全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π 4＝________. 解析：将θ－π 4 转化为⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2. 由题意知sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角，所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4>0，所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π 4＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝4 5 . tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2＝－1 tan ⎝⎛⎭ ⎫θ＋π4 ＝－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－4535＝－4 3. 答案：－4 3 3．(2016·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝5 13，a ＝1， 则b ＝________. 解析：先求出sin A ，sin C 的值，进而求出sin B 的值，再利用正弦定理求b 的值． 因为A ，C 为△ABC 的内角，且cos A ＝45，cos C ＝5 13， 所以sin A ＝35，sin C ＝12 13 ， 所以sin B ＝sin(π－A －C )＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝63 65. 又a ＝1，所以由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝sin B sin A ＝6365×53＝21 13. 答案：2113 4．(2015·高考全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________． 解析：如图所示，延长BA 与CD 相交于点E ，过点C 作CF ∥AD 交AB 于点F ，则BF ＜AB ＜BE .在等腰三角形CFB 中，∠FCB ＝30°，CF ＝BC ＝2， ∴BF ＝22＋22－2×2×2cos 30°＝6－ 2. 在等腰三角形ECB 中，∠CEB ＝30°，∠ECB ＝75°，BE ＝CE ，BC ＝2，BE sin 75°＝2sin 30°， ∴BE ＝2 12×6＋24＝6＋ 2. ∴6－2＜AB ＜6＋ 2. 答案：(6－2，6＋2) 5．(2017·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 2 3sin A . (1)求sin B sin C ； (2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长． 解析：(1)由题设得12ac sin B ＝a 2 3sin A ， 即12c sin B ＝a 3sin A . 由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A 3sin A . 微专题2 三角恒等变换、解三角形 命 题 者 说 考 题 统 计 考 情 点 击 2018·全国卷Ⅱ·T 6·解三角形 2018·全国卷Ⅱ·T 15·三角恒等变换 2018·全国卷Ⅲ·T 4·三角恒等变换 2018·全国卷Ⅲ·T 9·解三角形 1.高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现。 2.若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第4～9题或第13～15 题位置上。 3.高考对本部分内容的考查主要从以下方面 进行： (1)利用各种三角函数公式进行求值与化简，其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点。 (2)利用正、余弦定理进行边和角、面积的计算，三角形形状的判定以及有关范围的计算，常与三角恒等变换综合考查。 考向一 三角恒等变换 微考向1：三角函数的定义 【例1】 (2018·北京高考)在平面直角坐标系中，AB ︵，CD ︵，EF ︵，GH ︵ 是圆x 2＋y 2 ＝1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边。若tan α A ．A B ︵ B ． CD ︵ C ． EF ︵ D ． GH ︵ 解析 设点P 的坐标为(x ，y )，利用三角函数的定义可得y x 专题三 三角函数及解三角形第2讲 三角恒等变换及解三角形 真题试做 1．(2023·重庆高考，理5)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，那么tan(α＋β)的值为( )． A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 2．(2023·山东高考，理7)假设θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，那么sin θ＝( )． A ．35 B ．45 C ．74 D ．3 4 3．(2023·天津高考，理6)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，那么cos C ＝( )． A ．725 B ．－725 C ．±725 D ．2425 4．(2023·湖北高考，理11)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .假设(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，那么角C ＝________. 5．(2023·课标全国高考，理17)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0. (1)求A ； (2)假设a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c . 考向分析 本局部主要考察三角函数的根本公式，三角恒等变形及解三角形等根本知识．近几年高考题目中每年有1～2个小题，一个大题，解答题以中低档题为主，很多情况下与平面向量综合考察，有时也与不等式、函数最值结合在一起，但难度不大，而三角函数与解三角形相结合，更是考向的主要趋势．三角恒等变换是高考的热点内容，主要考察利用各种三角函数进展求值与化简，其中降幂公式、辅助角公式是考察的重点，切化弦、角的变换是常考的三角变换思想．正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考察：①边和角的计算；②三角形形状的判断；③面积的计算；④有关的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来命题将是今后高考的一个关注点，不可小视． 热点例析 热点一 三角恒等变换及求值 【例1】(2023·山东淄博一模，17)已知函数f (x )＝2cos 2 x 2 －3sin x . (1)求函数f (x )的最小正周期和值域； (2)假设α为第二象限角，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，求cos 2α1＋cos 2α－sin 2α的值． 规律方法 明确“待求和已知三角函数间的差异”是解决三角函数化简、求值、证明问题的关键．三角恒等变换的常用策略有： (1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2 θ＝tan 45°等． (2)项的分拆与角的配凑： ①二倍角只是个相对概念，如α3是α6的二倍角，α＋β是α＋β 2 的二倍角等； ②α＋β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭ ⎪⎫α2－β，α＝(α－β)＋β等； ③熟悉公式的特点，正用或逆用都要灵活，特别对以下几种变形更要牢记并会灵活运用： 1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2 ，cos α＝sin 2α2sin α 等． 第2讲三角恒等变换与解三角形（文理) JIE TI CE LUE MING FANG XIANG 解题策略·明方向 ⊙︱考情分析︱ 1．三角恒等变换是高考的热点内容，主要考查利用各种三角函数公式进行求值与化简,其中二倍角公式、辅助角公式是考查的重点，切化弦、角的变换是常考的内容． 2．正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查： (1）边、角、面积的计算; （2）有关边、角的范围问题； (3)实际应用问题． ⊙︱真题分布︱ （理科) 年 份 卷别题号考查角度分值 202 0Ⅰ卷9、16 三角恒等变换和同角间 的三角函数关系求值；利 用余弦定理解三角形 10Ⅱ卷17解三角形求角和周长的12 （文科） KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN 考点分类·析重点 考点一三角恒等变换 错误!错误!错误!错误! 三角恒等变换与求值 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1）sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β。 (2）cos(α±β）＝cos αcos β∓sin αsin β。 (3)tan(α±β)＝错误!。 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α。 （2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. （3）tan 2α＝错误!. 3．辅助角公式 a sin x＋ b cos x＝错误!sin(x＋φ）（其中tan φ＝错误!) 典错误!错误!错误! 典例1（1)（2020·全国Ⅱ卷模拟）cos2 40°＋2sin 35°sin 55°sin 10°＝（A) A．错误!B．错误! C．错误!＋错误!D．错误! 第2讲 三角恒等变换与解三角形 [做小题——激活思维] 1．若cos θ＝23，θ为第四象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值为( ) A. 2＋106 B.22＋10 6 C. 2－106 D.22－10 6 B [因为cos θ＝23，θ为第四象限角，则sin θ＝－53，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22cos θ － 22sin θ＝22×⎣⎢⎡⎦⎥⎤23－⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝22＋10 6，故选B.] 2．[一题多解]已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝ 3 3 ，则cos 2α＝( ) A ．－5 3 B ．－ 59 C. 59D.53 A [法一：∵sin α＋cos α＝ 33，∴sin 2α＝－2 3 ，又α为第二象限角且sin α＋cos α＝ 33＞0，∴2k π＋π2＜α＜2k π＋3π4(k ∈Z )，∴4k π＋π＜2α＜4k π＋3π 2 (k ∈Z )，∴2α为第三象限角，∴cos 2α＝－1－sin 2 2α＝－ 5 3 . 法二：∵sin α＋cos α＝33，∴sin 2α＝－2 3，∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＝ sin α－cos α 2 ＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α ＝ 15 3，由⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＋cos α＝3 3，sin α－cos α＝15 3 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝ 3＋15 6，cos α＝ 3－15 6 ， ∴cos 2α＝2cos 2 α－1＝－ 53 .] 3．在△ABC 中，若AB ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC 等于( ) A ．3－3B. 2 C ．2 D ．3＋ 3 [答案]A 4．在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则sin A 等于( ) A ．－ 32B.32 C ．－12D.12 [答案]B 5．在钝角三角形ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝1，B ＝π 6，则△ABC 的面积为( ) A.14 B.32 C.34 D.12 [答案]C [扣要点——查缺补漏] 1．和差公式及辅助角公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.如T 1. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β . (4)sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos 2 α－sin 2 α＝2cos 2 α－1＝1－2sin 2 α，tan 2α＝2tan α1－tan 2 α .如T 2. (5)辅助角公式：a sin α＋b cos α＝a 2 ＋b 2sin(α＋φ)，其中cos φ＝ a a 2＋ b 2 ，sin φ＝ b a 2 ＋b 2 . 2．正弦定理和余弦定理 (1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R .如T 3. 三角恒等变换与解三角形 考点1 三角恒等变换 1．(2021·新高考卷Ⅰ)若tan θ＝－2，则sin θ(1＋sin 2θ) sin θ＋cos θ ＝( ) A ．－65 B ．－25 C ．25 D ．65 C [法一：(求值代入法)因为tan θ＝－2，所以角θ的终边在第二、四象限， 所以 ⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝2 5cos θ＝－15 或 ⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝－2 5cos θ＝15 ，所以 sin θ(1＋sin 2θ)sin θ＋cos θ ＝ sin θ(sin θ＋cos θ)2 sin θ＋cos θ ＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin 2θ＋sin θcos θ＝45－25＝2 5 .故选C ． 法二：(弦化切法)因为tan θ＝－2，所以sin θ(1＋sin 2θ)sin θ＋cos θ＝ sin θ(sin θ＋cos θ)2 sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ1＋tan 2 θ＝4－21＋4 ＝2 5.故选C ． 法三：(正弦化余弦法)因为tan θ＝－2， 所以sin θ＝－2cos θ. 则 sin θ(1＋sin 2θ)sin θ＋cos θ ＝ sin θ(sin θ＋cos θ)2 sin θ＋cos θ ＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝ sin 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝4cos 2θ－2cos 2θ4cos 2θ＋cos 2 θ＝4－21＋4 ＝2 5.故选C ．] 2．(2021·全国卷甲)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan 2α＝cos α2－sin α ，则tan α＝( ) 第2讲解三角形 1.(2018·全国Ⅱ卷,文7)在△ABC中,cos =,BC=1,AC=5,则AB 等于( A ) (A)4(B)(C)(D)2 解析:因为cos =, 所以cos C=2cos2-1=2×2-1=-. 在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos C=52+12-2×5×1×-=32, 所以AB==4.故选A. 2.(2018·全国Ⅲ卷,文11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为,则C等于( C ) (A)(B)(C)(D) 解析:因为S=absin C== =abcos C, 所以sin C=cos C,即tan C=1. 因为C∈(0,π),所以C=.故选C. 3.(2017·全国Ⅰ卷,文11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,则C等于( B ) (A) (B)(C)(D) 解析:△ABC中,A+B+C=π, sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C). 因为sin B+sin A(sin C-cos C)=0, 所以sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0, sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0, cos Asin C+sin Asin C=0, 因为sin C>0, 所以sin A+cos A=0. 所以tan A=-1, 又因为A∈(0,π),所以A=, 由正弦定理得=, 所以=,sin C=,C为锐角, 所以C=,故选B. 4.(2017·全国Ⅱ卷,文16)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B= . 解析:因为2bcos B=acos C+ccos A, 所以由正弦定理得 2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C) =sin B, 因为sin B≠0, 所以cos B=,B∈(0,π),2019年高考数学大二轮复习专题三三角函数3-2三角变换与解三角形练习
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