(浙江版)2019年高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题6.3 等比数列及其前n项和(测)

第03节 等比数列及其前n 项和

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.） 1.【2018届安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会高三上第一次联考】已知等比数列{}n a 满足

213562,4a a a a ==，则3a 的值为（ ）

A. 1

B. 2

C. 14

D. 1

2

【答案】

A

2.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若321510,9S a a a =+=，则1a =（ ） A ．13-

B ．13

C ．19-

D ．1

9

【答案】D

【解析】由已知可得⎪⎩⎪⎨⎧==+9104

12

1

1q a q a a ，解之得⎪⎩⎪⎨⎧==3

911q a ,应选D 。 3. 【2017届山东省济宁市高三3月模拟考试】设a R ∈，“1， a ， 16为等比数列”是“4a =”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B

【解析】由题意得， 1， a ， 16为等比数列2

1614a a ⇒=⨯⇒=±，因此4a =⇒ 1， a ， 16为等

比数列，所以“1， a ， 16为等比数列”是“4a =”的必要不充分条件，故选B.

4. 【原创题】设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足0,1n a q >>，且3520a a +=，2664a a ⋅=，则5S =（ ）

A ．31

B ．36

C ．42

D ．48 【答案】A

【解析】由已知得，3564a a ⋅=，又3520a a +=，则354,16a a ==，故2

4q =，2q =，11a =，所以

5

5123112

S -==-.

5. 【改编题】函数y =．．．

成为公比的数是（ ）

A ．

21

B ．1 D ．3

3 【答案】A

6.【2018届广西钦州市高三上第一次检测】我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为（ ）（结果保留一位小数．参考数据：

，

）（ ）

A. 1.3日

B. 1.5日

C. 2.6日

D. 2.8日 【答案】C

【解析】设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列{a n }，其a 1=3，公比为，其前n 项和为A n ．莞（植物名）的长度组成等比数列{b n }，其b 1=1，公比为2，

其前n 项和为B n ．则A ，B n =，

由题意可得：

，化为：2n +=7，

解得2n =6，2n =1（舍去）． ∴n=

=1+

=≈2.6．

∴估计2.6日蒲、莞长度相等，

故答案为：2.6．

7. 【2017届浙江台州中学高三10月月考】等比数列

{}n a 中，已知对任意正整数n ，

12321n n a a a a +++⋅⋅⋅+=-，则2222

123n

a a a a +++⋅⋅⋅+等于（ ）

A.2(21)n -

B.1(21)3

n

- C.1(41)3

n

- D.41n - 【答案】

C.

8.【2018届河北省衡水中学高三上学期二调】设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且

1

1n n

a a +<，若3520a a +=， 3564a a =，则4S =（ ）

A. 63或120

B. 256

C. 120

D. 63 【答案】C 【解析】由题意得353520{

64a a a a +==，解得3516{ 4a a ==或354{ 16a a ==.又11n n

a

a +< ，

所以数列{}n a 为递减数列，故3516{

4a a ==.设等比数列{}n a 的公比为q ，

则2531

4

a q a ==，因为数列为正项数列，故12q =，从而164a =，所以4416412120112

S ⎡⎤

⎛⎫⨯-⎢⎥

⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=

=-.选C. 9.设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若15m S -=,-11m S =,121m S +=，则=m （ ） A.3 B.4

C.5

D. 6

【答案】C

【解析】由已知得，116m m m S S a --==-，1132m m m S S a ++-==，故公比2q =-，又11m

m a aq S q

-=-11=-，

故11a =-，又1

116m m a a q

-=⋅=-，代入可求得5m =．

10.【2017届湖北武汉市蔡甸区汉阳一中高三第三次模拟】已知121,,,9a a --成等差数列， 1239,,,,1b b b --成等比数列，则()221b a a -的值为 A. 8± B. 8- C. 8 D. 98

± 【答案】

C

11．【2018届河南省洛阳市高三上尖子生第一次联考】在等比数列{}n a 中， 2a ， 16a 是方程2

620

x x ++=的根，则

216

9

a a a 的值为（ ）

A.

B.

【答案】B

【解析】由2a ， 16a 是方程2

620x x ++=的根，可得： 21621662a a a a +=-⨯=，，显然两根同为负值，

可知各项均为负值；

216

99

a a a a ===故选：B.

12．【2017年福建省三明市5月质量检查】已知数列

的前项和为，且

，

，则

（ ） A. B.

C.

D.

【答案】A

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）

13.【2017届浙江省丽水市高三下联考】已知数列{}n a 是公比为q 的单调递增的等比数列，且149a a +=，

238a a =， 1a =__________； q =_________．

【答案】 1 2

【解析】3111423223

11199,8{ 8

a a q a a a a a qa q a q +=+==∴== ，，且101a q >>，， 解得a 1=1，q=2.

14.【2017届浙江省ZDB 联盟高三一模】已知{}n a 是等比数列，且0n a >， 243546225a a a a a a ++=，则

35a a +=__________， 4a 的最大值为__________．

【答案】 5

52

【解析】243546225a a a a a a ++= ()2

22

3355353522525,05n a a a a a a a a a ⇒++=⇒+=>∴+=

2

2

354354255242a a a a a a +⎛⎫∴=≤=⇒≤ ⎪⎝⎭

，即4a 的最大值为52．

15.【2017届浙江省台州市高三上期末】已知公差不为的等差数列，若

且

成等比

数列，则

__________．

_________．

【答案】 1,

.

16．已知{}n a 满足， +⋅+⋅+=232144a a a S n 14-⋅n n a 类比课本中推导等比数列前项和公式的方法，可求得=-n n n a S 45___________． 【答案】n ．

【解析】因为++⋅+⋅+= 232144a a a S n 14-⋅n n a ， 所以++⋅+⋅+= 332214444a a a S n 114--⋅n n a n n a 4⋅+，

两式相加可得()()++++++= 322211445a a a a a S n ()n n n a a +--114n n a 4⋅+，

所以n a S n

n n n =+++=-

11145． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．【2017届浙江省丽水市高三下测试】已知数列{}n a 的相邻两项1,n n a a +是关于x 的方程

()

2*20n n x x b n N -+=∈的两实根，且11a =.

（1）求234,,a a a 的值；

（2）求证：数列123

n n a ⎧

⎫-⨯⎨⎬⎩

⎭

是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式. 【答案】（1）21a =， 33a =， 45a = （2）()1213n

n n a ⎡⎤=--⎣

⎦

【解析】试题分析：

(1)由题中所给的递推关系可得21a =， 33a =， 45a =. (2)由题意可得数列123

n n a ⎧

⎫-⨯⎨⎬⎩

⎭

是首项为

13，公比为-1的等比数列.则()1213n

n n a ⎡⎤=--⎣

⎦.

（2）∵

11

1111

2222333111122

2333n n n n n n n n n

n

n n n a a a a a a +++⎛⎫

--⨯-⨯--⨯ ⎪

⎝⎭===--⨯-⨯-⨯，

故数列123

n n a ⎧

⎫-⨯⎨⎬⎩

⎭

是首项为121

33

a -

=，公比为-1的等比数列. 所以()1112133n n

n a --⨯=

⨯-，即()1213n

n n a ⎡⎤=--⎣

⎦.

18.【改编题】已知等比数列{n a }的公比为q ，且满足1n n a a +<，1a +2a +3a =9

13，1a 2a 3a =271

.

（1）求数列{n a }的通项公式；

（2）记数列{n a n ⋅-)12(}的前n 项和为n T ，求.n T

【答案】（1）n a =

1

3

1

-n （n *

N ∈）;（2）n T =3－

131

-+n n . 【解析】（1）由1a 2a 3a =271，及等比数列性质得3

2a =271，即2a =3

1，

由1a +2a +3a =913得1a +3a =9

10

由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=91031312a a a 得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

=

+=910312111q a a q a 所以31012=+q q ，即231030q q +=－

解得q =3，或q =

31

由1n n a a +<知，{n a }是递减数列，故q =3舍去，q =31，又由2a =3

1

，得1a =1， 故数列{n a }的通项公式为n a =

1

3

1

-n （n *

N ∈） ………………6分

（2）由（1）知n a n ⋅-)12(=1312--n n ，所以n T =1+33+235+⋯+13

1

2--n n ①

31n T =31+233+335+…+1332--n n +n n 3

1

2- ② ①－② 得：32n T =1+32+232+332+⋯+132-n －n

n 31

2- =12+（31+231+331+⋯+131-n ）－n

n 31

2- =12+3

11)

311(311--⋅-n －n n 312-=2－131-n －n n 312-,所以n

T =3－131-+n n . 19．【2017全国卷2】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11a =-，11b =，

222a b +=.

（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S .

【答案】(1)12n n b -=.(2)6-或21

.

(2)由(1)及已知得2

122121d q q q -++=⎧⎨++=⎩，解得41q d =⎧⎨=-⎩或5

8

q d =-⎧⎨=⎩. 所以3132

36S a d

⨯=+

=-或3132321S a d ⨯=+=. 20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a =，1231n n a a a a n a ++++++= ，*n ∈N ． （Ⅰ) 求证：数列{1}n a +是等比数列；

（Ⅱ) 设数列{}n b 的前n 项和为n T ，11b =，点1(,)n n T T +在直线

对于*n ∈N 恒成立，求实数m 的最大值．

【答案】（Ⅰ)详见解析;

【解析】

（Ⅱ)由（Ⅰ)得121n n a -=-，因为点1(,)n n T T +在直线

因为11b =满足该式，所以n b n =

21.【2017届安徽省亳州市二中高三下检测】已知各项均不相等的等差数列{}n a 满足11a =，且125,,a a a 成等比数列．

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若()

()

*1

1

1n

n n n n n a a b n N a a +++=-∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ．

【答案】（Ⅰ）21n a n =-;（Ⅱ）当n 为偶数时， 221n n S n =-

+.当n 为奇数时， 22

21

n n S n +=-+.

（Ⅱ）由21n a n =-，可得

()

()()()()1141111121212121n

n n n n n n n a a n b a a n n n n +++⎛

⎫=-=-=-+ ⎪-+-+⎝⎭

，

当n 为偶数时，

111111

112113355721212121n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++--+++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

. 当n 为奇数时， 1n +为偶数，于是

111111

1122113355721212121n n S n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++--+-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

22.设数列{}n x 的前n 项和为n S ，若存在非零常数p ，使对任意n *∈N 都有2n n

S p S =成立，则称数列{}n x 为“和比数列”．

（1）若数列{}n a 是首项为2，公比为4的等比数列，判断数列{}2log n a 是否为“和比数列”；

（2）设数列{}n b 是首项为2，且各项互不相等的等差数列，若数列{}n b 是“和比数列”，求数列{}n b 的 通项公式．

【答案】（1）是，证明见解析；（2）()24142n b n n =+-=-

试题解析：（1）由已知，121242n n n a --=⋅=，则2log 21n a n =-．

设数列{}2log n a 的前n 项和为n S ，则()21212n n S n n +-=

⋅=，()22224n S n n ==． 所以24n n

S S =，故数列{}2log n a 是“和比数列”． （2）设数列{}n b 的公差为d （0d ≠），前n 项和为n T ，则()122n n n n d -T =+

， ()222142n n n n d -T =+，所以()()()()222148*********

n n n n n d n d n n n d n d -++-T ==-T +-+ 因为{}n b 是“和比数列”，则存在非零常数p ，使()()822141n d p n d

+-=+-恒成立．

即()()822141n d p n d +-=+-⎡⎤⎣⎦，即()()()4240p dn p d -+--=恒成立．

所以()()()40240p d p d -=⎧⎪⎨--=⎪⎩因为0d ≠，则4p =，4d = 所以数列{}n b 的通项公式是()24142n b n n =+-=-