2021年广东省专插本考试《高等数学》真题+答案

广东省2021年普通高等学校本科插班生招生考试

《高等数学》试题

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分。每小题只有一个符合题目要求)

1.极限lim x→0

tan 6x 2x

的值是（ ）

A.1

B.2 B.3

D.4

2.点3=x 是函数3

6

)(2---=x x x x f 的（ ）

A.连续点

B.可去间断点 B.无穷间断点

D.跳跃间断点

3.设)(x F 是)(x f 的一个原函数，C 为任意常数，则以下正确的是（ ） A.∫F(x)dx =f(x) B.C x f x F +=)()(' B.C x F x f +=)()('

D.∫f(x)dx =F(x)+C

4.设常数项级数∑∞

=1

n n u 收敛，则下列级数收敛的是（ ）

A.)31

(1∑∞

=+n n n u

B.)21

(1

∑∞

=+n n u

B.)1

(1

∑∞

=+n n n u

D.)1(1

∑∞

=-

n n n

u 5.设50

6243)(,sin )(2x x x g dt t x f x +==⎰，当0→x 时,以下结论正确的是（ ） A.)(x f 是比)(x g 低阶的无穷小 B.)(x f 是比)(x g 高阶的无穷小 B.)(x f 是比)(x g 等阶的无穷小

D.)(x f 是比)(x g 非等阶的无穷小

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

6.曲线{x =2t 3+3

y =t 2−4

，在1=t 相应的点处的切线斜率为 。

7.二元函数z =x 2

y 的全微分=dz 。

8.微分方程dy dx

=y +2满足条件10-==x y 的特解为=y 。

9.设平面区域}{

x y x y x D -≤≤≤≤=30,10),(，则⎰⎰D

d σ的值为 。

10.设连续函数)(x f 满足12)(31

20

+-=⎰+x dt t f x ，则)3(f = 。

三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分） 11.求极限

lim x →+∞

x (√x 2+3−x ) 的值。

12.设dx dy x x y x

x ，求)0(2>+=

13.求不定积分∫(2x +5)cos 3xdx

14.求定积分⎰-++2

2

2

2021.1

dx x x x

15.设.1),(y

z x z xz e y x z z yz

∂∂+∂∂=-=所确定的隐函数，求

是由方程 16.设闭区域D 是圆⎰⎰+≤+D

y x d e y x σ2

2

42

2二重积分在第一象限的部分，求

17.判定级数的收敛性n

n n n )1

2(

1

∑∞

=+ 18.设⎰=⎩⎨⎧>-≤=x dt t f x F x x x x x f 0

2)()(.

2,6,

2,)(的表达式求，并讨论)(x F 在2=x 的连续性。

四、综合题(本大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分，共22分) 19.做一个容积为64π立方米的无盖圆柱形容器，其底面与侧面所用材质相同且厚度不计问底面半径为何值时，才能使所用的材料最省?

20.过坐标原点作曲线y =lnx 的切线L ,该切线与直线x =l 及y =lnx 围成平面图形D .

（1）求切线L 的方程： （2）求平面图形D 的面积

参考答案

一、单项选择题。（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1.C 2.B 3.D 4.A 5.B

二、填空题。（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 6.31 7.dy x xydx 22+ 8.2-x e 9.2

5

10.-3 三、计算题。（本大题共8小题，每小题共6分，共48分） 11.解：原式

=lim

22√x 2+3+x

=lim

√x 2+3+x

=lim

√1+3x 2

+1

=3

2

12.解：设z =x x ，则lnz =xlinx 上式两边对x 求导得z ′

z =lnx +1， 则z ′=z(lnx +1)=x x (lnx +1). 因此，dy

dx =

d2x dx

+

dx x dx

=2x ln2+x x (lnx +1)

13.解：原式=13∫(2x +5)d(sin 3x)

=1

3(2x +5)sin 3x −2

3∫sin 3xdx =13(2x +5)sin 3x +2

9cos 3x +C

14.解：122021

+x x 为奇函数且积分区间关于原点对称，

;01

2

222021

=+∴⎰-dx x x

1

2+x x

为偶函数且积分区间关于原点对称

故原式.

5ln )1ln(1

201

12

022022222

222021

=+=++=+++=⎰⎰⎰--x dx x x dx x x dx x x

15.解：令1),,(--=xz e z y x F yz

x

ye e z y z x z x ye ze F F y z x

ye z F F x z yz yz yz yz

z x yz z x --=

∂∂+∂∂--==∂∂-==∂∂)1(.

因此，；则

16.解：由极坐标变换公式，

⎰⎰=2π0

2

2dr re d r θ原式

).1(4π4π4

202-==

e e r 17.解：由于则,2

1

212=<+n n n n

∑∑∞

=∞

=+<+11)1

2(

)2

1

(.)2

1()12(n n

n n n n n n n n 收敛可得较审敛法，收敛，根据正项级数比又由于

18.解：；时，当3

)(23

02

x dt t x F x x ==≤⎰

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+-≤=-+-=-+=>⎰⎰232262

23)(.

322

62)6()(22

3

2202

x x x x x x F x x dt t dt t x F x

x ，，所以，时，当 由于lim x→2

−F(x)=lim x→2−

x 33

=8

3；

lim x→2

+F(x)=lim x→2

+

(x 22

+6x −223

)=8

3

.

所以，lim x→2

−F(x)=lim x→2

+

F(x)=F(2)，故F(x)在点x =2连续. 四、综合题。（本大题共2小题，第19小题10分，第20题12分，共22分）

19.解：设该容器的底面半径为r 米，高为h 米， 由题设知64π=πr 2h ，从而ℎ=64r 2

.

该容器的表面积S =πr 2+π

128r

.令S ′=2πr −π

128r 2

=0,解得r =4

当,0404''<>>>S r S r 时，；当时，

从而.4的最小值点

为S r = 故底面半径为4米时，所用的材料最省.

20.解：（1）设切点为

),00y x （，其中y 0=lnx 0，则： 切线L 的方程为y −lnx 0=1

x 0(x −x 0)，

由于L 过原点，从而0−lnx 0=1

x 0

(0−x 0)，故.0e x =

因此，切线L 的方程为.1x e y -= （2）平面图形D 的面积为∫(e −1x −lnx)dx e

1 =1

2e x 2|e 1

−∫lnxdx e 1

=e 2−1

2e −(xlnx |e 1

−e +1)

.1212)1(21

2--=+---=

e

e e e e

e