2020年广东省专插本考试《高等数学》真题+答案

广东省2020年普通高等学校本科插班生招生考试

《高等数学》试题

本试卷共2⻚，20⻚题，满分100分。考试时间120

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分。每小题只有一个符合题目要求)

1.设lim x→0

[cos x −f(x)]=1, 则下列等式正确的是（ ）

A.lim x→0

f(x)=1 B.lim x→0

f(x)cos x =1

C.lim x→0

f(x)=−1 D.lim x→0

[f(x)+cos x ]=1

2.函数f(x)=2x 3−3x 2的极小值点为（ ） A.x =−1 B.x =0 C.x =1 D.x =2

3.已知3x 是函数f(x)的一个原函数，则f(x)=（ ） A.3x B.3x ln 3 C.x3x

D.

3x ln 3

4.设平⻚区域D ={(x,y )|x 2+y 2≤1，y ≥0},则∬(x 2+y 2)4dσD

（ ） A.π10 B.π

9 C.π

5 D.2π

9

5.设级数∑a n ∞n=1 满⻚0≤a n ≤1

5n ，则下列级数发散的是（ ）

A.∑3a n ∞n=1

B. ∑a n ∞

n=1+3

C.∑(a n ∞n=1+√n

2

3) D.∑(a n ∞n=1−√n

3) 二、填空题。

6.若函数f(x)={(1+a )x 2， x ≤1a (x −2)3

+3, x >1 在x=1处连续，则常数a= . 7.曲线x 2

2+y 2=3在点（2，−1）处的切线方程为y= . 8.微分方程 y n +3y ’−4y =0的通解为y= .

9.设二元函数f (x,y )在点(0,0)的某个邻域内有定义,且当x ≠0时，

f(x,0)−f(0,0)

x

=3x +2，则f ’x (0,0)= 。

10.设函数f(x)在(−∞，+∞)内可导，且满足f(x)=f ‘(x)，f(0)=m ,如果∫f(x)

e x

dx =81−1

,则m=____________。

三、计算题。 11.求极限lim

x→0

∫tarctantdt

x

0x 3

12.已知y 是x

的函数，且y ′=ln √x +√ln x +2ln 2，求

d 2y dx 2

|x =e

13.求不定积分∫(cos x −x sin x 2)dx

14.设函数f(x)={x 3

1+x 2, x ≤1

x, x >1

，求定积分∫f(x +2)dx 0−3

15.求二元函数z =3xy 2

+

x 2y

的全微分dz ，并求ð2z

ðxðy

16.计算∬ydσD ，其中D 是由直线y =x,y =−2与y =0,y =2x 围成的有界闭区域。

17.求微分方程dy

dx =

sec 2x y 2

满足初始条件y |x=0=1的特解。

18.判定级数∑n n

2n n ！∞n=1的收敛性。

四、综合题。

19.设有界平面图形G 由曲线和直线y =e ax 和直线y =e ，x =0围成，其中常数a >0。若G 面积等于1。

（1）求a 的值；

（2）求G 绕y 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 。 20.设函数f(x)=a

1+e bx ，其中a,b 为常数，且ab ≠0。 （1）判别f(x)在区间(−∞，+∞)内的单调性； （2）求曲线y =f(x)的拐点；

（3）求曲线y =f(x)的水平渐近线方程。

参考答案

一、选择题。

1.D

2.C

3.B

4.A

5.C 二、填空题。

6. 1

7. x −3

8. C 1e x +C 2e −4x

9. 2 10. 4 三、计算题。 11.解析： lim

x→0

∫tarctantdt

x

0x 3

=lim

x→0

xarctanx 3x 2

=lim

x→0

arctanx 3x

=1

3

12.解析：

y ′=ln √x +√ln x +2ln 2=1

2ln x +√ln x +2ln 2

d 2y dx 2=y n =

12x

+

2√ln x ·1x =

12x

+

2x√ln x

d 2y

dx 2|x=e

=1

2e +2e√ln e =1

e

13.解析：

∫(cos2x −xsinx 2)dx =1

2∫cos2xd2x −1

2∫sin x 2dx 2=1

2sin2x +1

2cosx 2+C 14.解析：

令t =x +2，x =t −2,dx =dt ；当x =−3时，t =−1；当x =0时，t =2则

∫f(x +2)dx =∫f(t)dt =∫f(t)dt +1

−12

−10

−3∫f(t)dt 2

1

=

∫t 3

1+t 21−1dt +∫tdt =∫tdt 2

121

=1

2t 2|12

=3

2

x 3

1+x 2 是奇函数，所以∫t 3

1+t 21−1dt =0

15.解析：z =3xy 2

+

x 2y

ðz

ðx =3y 2

+2x y

ðz ðy =6xy −

x 2y 2

dz =(3y 2

+

2x y )dx +(6xy −x 2

y 2)dy

ð2z

ðxðy

=6y −2x

y 2 16.解析：积分次序选择：里面先对x 积分，外⻚再对y 积分： ∬ydσ=∫ydy 2

0∫dx y+2

y D =∫2ydy =y 2|022

0=4

17.解析：

dy dx

=

sec 2x y 2

⟹y 2dy =sec 2xdx ⟹∫y 2dy =∫sec 2xdx ⟹1

3y 3=tanx +C

将x =0，y =1代入的1

3=0+C , 即C =1

3 因此特解为y 3=3tanx +1

18.判定级数∑n n 2n n!∞

n=1

的收敛性。

lim

n→∞u n+1

u n

=lim

n→∞(n+1)n+1

2n+1(n+1)!

∗

2n n!n n

=lim n→∞1

2

∗

(n+1)n n n

=lim n→∞1

2

∗(1+1n

)n

=e

2

>1

因此，根据比值判别法知，原级数发散。 四、综合题。 19.解析：

（1）由y=e ax

y=e

的e ax

=e ⟹ax =1⟹x =1a , 即曲线与直线相交于点(1

a ，e) 因此G 的面积为：

S G =∫(e −e ax )dx =(ex −1

a e ax )|0

1a

=(e a −e a )−(0−1a )=1

a =11

a

因此：a=1

（2）旋转体体积为：

V =π∫(ln y)2dy e

1=πy(ln y)2|−π∫yd e

1

1e (ln y)2=(πe −0)−2π∫ln ydy e

1 =πe −2π(y ln y −y )|1e =πe −2π[(e −e )−(0−1)]=πe −2π=π(e −2)

20.解析：

（1）f ′

(x)=−abe bx

(1+e bx )2 ,其中e bx

(1+e bx )2>0恒成立，因此：

当ab>0时，f′(x)<0，f(x)在(−∞,+∞)上单调递减；

当ab<0时，f′(x)>0，f(x)在(−∞,+∞)上单调递增；

（2）f′‘(x)=−ab2e bx(1+e bx)2+abe bx2(1+e bx)b

(1+e bx)4

=−ab2e bx(1+e bx)+2ab2e bx

(1+e bx)3

=ab2e bx(e bx−1)

(1+e bx)3

令f′‘(x)=0，得e bx−1=0⟹x=0,在x=0的左右两侧，f′‘(x)的符号发

生变化，因此，点(0,a

2

)为曲线的拐点。

（3）分类讨论：

当b>0时：

lim

x→+∞

f(x)=lim

x→+∞

a

1+e bx

=0 lim

x→−∞f(x)=lim

x→−∞

a

1+e bx

=a

当b<0时：lim

x→+∞f(x)=lim

x→+∞

a

1+e bx

=a

lim x→−∞f(x)=lim

x→−∞

a

1+e bx

=0

因此，曲线有两条水平渐近线：y=0和y=a