广东专插本(高等数学)模拟试卷55(题后含答案及解析)

广东专插本（高等数学）模拟试卷55(题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题

选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．下列极限结论错误的是( )

A．

B．

C．

D．

正确答案：C

解析：＝1，故C错误，本题应选

C．

2．在下列给定的区间内满足罗尔定理的是( )

A．y＝｜χ－1｜，[0，2]

B．y＝，[0，2]

C．y＝χ2－3χ＋2，[1，2]

D．y＝χarcsinχ，[0，1]

正确答案：C

解析：A项，y在χ＝1处不可导；B项，y在χ＝1处不连续；D项，y(1)≠y(0)，故本题应选

C．

3．曲线f(χ)＝的水平渐近线为( )

A．y＝

B．y＝－

C．y＝

D．y＝－

正确答案：C

解析：，则y＝为曲线的一条水平渐近线．

4．若∫f(χ)dχ＝＋C，则∫χf′(χ)dχ＝( )

A．＋C

B．＋C

C．χlnχ－χ＋C

D．＋C

正确答案：D

解析：

，由于C1为任意常数，故应选

D．

5．下列命题正确的是( )

A．若｜un｜发散，则un必发散

B．若un收敛，则｜un｜必收敛

C．若un收敛，则(un＋1)必收敛

D．若｜un｜收敛，则un必收敛

正确答案：D

解析：若｜un｜收敛则un一定收敛，若un，发散，则｜un｜一定发散，其余情况无法判定，故本题选

D．

填空题

6．曲线y＝的水平渐近线为_______．

正确答案：y＝1

解析：＝1，所以曲线有水平渐近线y＝1．

7．已知函数参数方程为χ＝e2tcos2t，y＝e2tsin2t，则＝_______．正确答案：0

解析：＝2e2tsin2t＋2e2tsintcost，＝2e2tcos2t－2e2tcostsint，

8．＝_______．

正确答案：2

解析：

9．y′＋ycosχ＝0满足y｜χ＝0＝2的特解为_______．

正确答案：y＝2e-sinχ

解析：y′＋ycosχ＝0，＝－ycosχ，＝－cosχdχ，ln｜y｜＝

－sinχ＋ln ｜C｜，y＝Ce-sinχ，又y｜χ＝0＝2即C＝2，故微分方程的特解为y＝2e-sinχ

10．化二重积分(χ2＋y2)dy为极坐标形式_______．

正确答案：

解析：由直角坐标形式可知积分区域如图所

示．0≤χ≤2a，0≤y≤，用极坐标可表示为0≤0≤，0≤r≤2acosθ，χ＝rcosθ，y＝rsinθ．则极坐标形式为

解答题解答时应写出推理、演算步骤。

11．已知a，b为常数，且＝5，求a，b的值．

正确答案：＝5，则＝0，＝5，故a＝0，b＝15．

12．求极限

正确答案：

13．设函数f(χ)＝＋4χ，求f(χ)在[－1，2]上的最大值与最小值．

正确答案：f′(χ)＝χ2－5χ＋4，令f′(χ)＝0，得驻点χ1＝1，χ2＝4．由于χ2[－1，2]，因此应该舍掉．又f(1)＝，f(－1)＝－，f(2)＝．可知f(χ)在[－1，2]上的最大值点为χ＝1最大值f(1)＝；最小值χ＝－1，最小值为f(－1)＝－．

14．求不定积分∫dχ．

正确答案：令＝t，则χ＝t2－1，且dχ＝2tdt，原式＝2∫tetdt

＝2∫tdet＝2tet－2∫etdt＝2(t－1)et＋C ＝＋C．

15．求由曲线y＝χ＋4与y＝χ2所围成的平面图形的面积．

正确答案：画出曲线y＝χ＋4与y＝χ2的图形，得所围成的平面图形如图所示的阴影部分，并解方程组，得交点(－2，2)与(4，8)．从而知

所围成的图形的面积为

16．求yeχydχdy，其中区域D由y＝，y＝2，χ＝1及χ＝2所围

成．

正确答案：画出积分区域图D，如图所示，考虑到被积函数的情况，先对χ

积分较宜．

17．求微分方程y?－4y′＋3y＝0满足所给初始条件的特解：y｜χ＝0＝6，y′｜χ＝0＝10．

正确答案：∵方程的特征方程为r2－4r＋3＝0，方程有特征根：r1＝1，r2＝3，∴微分方程有通解：y＝C1eχ＋C2e3χ，将初始条件：y｜χ＝0

＝6，y′｜χ＝0＝10代入上式，得求解，得C1＝4，C2＝2，所求特解为y＝4eχ＋2e3χ．

18．判定级数的敛散性．

正确答案：当P＞1时，因去收敛，故级数收敛，当P＜1时，因＝＋∞，又发散，故级数发散，当P＝1时，因＝ln ln(n＋1)－ln lnn，所以

＞ln ln ln(n＋1)－ln ln2．这表明级数

的部分和Sn无界，即级数发散．综合得当P＞1时收敛，当P≤1时发散．

综合题

19．设函数u＝f(χ，y，z)有连续的一阶偏导数，又函数y＝y(χ)，z＝z(χ)分别由下列两式确定：eχy－χy＝2，eχ＝，求

正确答案：由方程eχy－χy＝2对χ求导数得由方程eχ＝对χ求导数得将②，③两式代日①式得

20．在曲线y＝χ2(χ≥0)上某点A处作一条切线，使之与曲线以及χ轴

所围图形的面积为，求：(1)切点A的坐标；(2)过切点A的切线方程；

(3)由上述所围平面图形绕χ轴旋转一周所成旋转体的体积．

正确答案：(1)曲线y＝χ2(χ≥0)上点A处的坐标为(t，t2)，由y′＝2χ知A点切线斜率为k＝2t，于是切线方程为y＝t2＝2t(χ－t)，即y＝2tχ－

t2．令y＝2tχ－t2＝0，得切线与χ轴的交点为(，0)，从而可画出图

形．由题设可得t ＝1，即切点坐标为(1，1)．(2)切线方程为y＝2χ－1．(3)Vχ＝