等比数列基础测试题题库百度文库

一、等比数列选择题

1．数列{a n }满足2

1

1232222

n n n

a a a a -+++?+=

(n ∈N *)，数列{a n }前n 和为S n ，则S 10等于（ ）

A ．55

12?? ???

B ．10

112??- ???

C ．9

112??- ??? D ．66

12?? ??? 2．等比数列{}n a 中11a =，且14a ，22a ，3a 成等差数列，则()*n

a n N n

∈的最小值为（ ） A ．

16

25

B ．

49

C ．

12

D ．1

3．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11

0,,22

n n a a S >=<，则等比数列{}n a 的公比的取值范围是（ ） A ．30,4

?? ??

?

B ．20,3

?? ??

?

C ．30,4?? ???

D ．20,3?? ???

4．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为30，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．2

B ．4

C ．8

D ．16

5．已知等比数列{a n }中a 1010＝2，若数列{b n }满足b 1＝1

4

，且a n ＝1n n b b +，则b 2020＝（ ）

A ．22017

B ．22018

C ．22019

D ．22020

6．一个蜂巢有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第六天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有（ ）只蜜蜂. A ．55989

B ．46656

C ．216

D ．36

7．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比

如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕

=

大吕

=

太簇．据此，可得正项等比数列{}

n a 中，k a =（ ）

A

．n -

B

．n -C

． D

． 8．公差不为0的等差数列{}n a 中，2

3711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且

77b a =，则68b b =（ ）

A ．2

B ．4

C ．8

D ．16

9．已知{}n a 是正项等比数列且1a ，312a ，22a 成等差数列，则91078

a a a a +=+（ ） A

1

B

1

C

．3-

D

．3+10．在流行病学中，基本传染数R 0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R 0个人，为第一轮传染，这R 0个人中每人再传染R 0个人，为第二轮传染，…….R 0一般由疾病的感染周期?感染者与其他人的接触频率?每次接触过程中传染的概率决定.假设新冠肺炎的基本传染数0 3.8R =，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为M ，则当M >1000时需要的天数至少为（ ）参考数据：lg38≈1.58 A ．34

B ．35

C ．36

D ．37

11．已知等比数列{}n a 中，11a =，132185k a a a ++++=，24242k a a a +++=，

则k =（ ） A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

12．.在等比数列{}n a 中，若11a =，54a =，则3a =（ ） A ．2

B ．2或2-

C ．2-

D

13．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4

2

5S S =，则等比数列{}n a 的公比为（ ） A ．2

B ．1或2

C ．-2或2

D ．-2或1或2

14．若数列{}n a 是等比数列，且17138a a a =，则311a a =（ ） A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

15．正项等比数列{}n a 的公比是1

3

，且241a a =，则其前3项的和3S =（ ） A ．14

B ．13

C ．12

D ．11

16．在等比数列{}n a 中，12345634159

,88

a a a a a a a a +++++=

=-，则123456

111111

a a a a a a +++++=（ ） A ．

35

B ．

35

C ．

53

D ．53

-

17．已知{}n a 为等比数列.下面结论中正确的是（ ） A ．1322a a a +≥

B ．若13a a =，则12a a =

C ．222

1322a a a +≥

D ．若31a a >，则42a a >

18．数列{}n a 满足1192110

21119n n n n a n --?≤≤=?≤≤?

，，，则该数列从第5项到第15项的和为（ ）

A ．2016

B ．1528

C ．1504

D ．992

19．已知正项等比数列{}n a 满足11

2

a =，2432a a a =+，又n S 为数列{}n a 的前n 项和，则5S =（ ） A ．

312

或112

B ．

31

2 C ．15

D ．6

20．已知等比数列{}n a 的前n 项和的乘积记为n T ，若29512T T ==，则n T 的最大值为（ ） A ．152

B ．142

C ．132

D ．122

二、多选题

21．设数列{}n a 的前n 项和为*

()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是

（ ）

A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列

B ．若2

n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列

C ．若()11n

n S =--，则{}n a 是等比数列

D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*

32()n n S S n N -∈也成等差数列

22．关于递增等比数列{}n a ，下列说法不正确的是（ ） A ．10a >

B ．1q >

C ．

1

1n

n a a +< D ．当10a >时，

1q >

23．已知数列是{}n a

是正项等比数列，且37

23

a a +=，则5a 的值可能是（ ） A ．2

B ．4

C ．85

D ．

83

24．已知等比数列{}n a 中，满足11a =，2q ，n S 是{}n a 的前n 项和，则下列说法正

确的是（ ）

A ．数列{}2n a 是等比数列

B ．数列1n a ??

?

???

是递增数列 C ．数列{}2log n a 是等差数列 D ．数列{}n a 中，10S ，20S ，30S 仍成等比

数列

25．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（ ） A ．此人第三天走了二十四里路

B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里

C ．此人第二天走的路程占全程的

14

D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍

26．已知数列{}n a 是等比数列，有下列四个命题，其中正确的命题有（ ） A ．数列{}

n a 是等比数列

B ．数列{}1n n a a +是等比数列

C ．数列{}2

lg n a 是等比数列

D ．数列1n a ??

????

是等比数列

27．记单调递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2410a a +=，23464a a a =，则（ ）

A ．1

12n n n S S ++-=

B ．12n n

a

C ．21n

n S =- D ．1

21n n S -=-

28．在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ） A ．此人第二天走了九十六里路

B ．此人第三天走的路程站全程的

18

C ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里

D ．此人后三天共走了42里路

29．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，22n n S a =-，若存在两项m a ，n a ，使得

64m n a a =，则（ ）

A ．数列{}n a 为等差数列

B ．数列{}n a 为等比数列

C ．2221

2

413n n

a a a -++

+= D ．m n +为定值

30．设数列{}n a 满足*12335(21)2(),n a a a n a n n ++++-=∈N 记数列{

}21

n

a n +的前n 项和为,n S 则（ ） A ．12a =

B ．2

21

n a n =

- C ．21

n n

S n =

+ D ．1n n S na +=

31．设数列{}n x ，若存在常数a ，对任意正数r ，总存在正整数N ，当n N ≥，有

n x a r -<，则数列{}n x 为收敛数列.下列关于收敛数列正确的有（ ）

A ．等差数列不可能是收敛数列

B ．若等比数列{}n x 是收敛数列，则公比(]1,1q ∈-

C ．若数列{}n x 满足sin cos 22n x n n ππ????

= ? ?????

，则{}n x 是收敛数列

D ．设公差不为0的等差数列{}n x 的前n 项和为()0n n S S ≠，则数列1n S ??

????

一定是收敛数

列

32．数列{}n a 为等比数列（ ）. A ．{}1n n a a ++为等比数列 B ．{}1n n a a +为等比数列 C ．{

}

22

1n n a a ++为等比数列

D ．{}n S 不为等比数列（n S 为数列{}n a 的前n 项）

33．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件

11a >，781a a >，

871

01

a a -<-.则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<

B ．791a a <

C ．n T 的最大值为7T

D ．n S 的最大值为7S

34．定义在()(),00,-∞?+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，数列

(){}n

f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在

()(),00,-∞?+∞上的四个函数中，是“保等比数列函数”的为（ ）

A ．()2

f x x =

B ．()2x

f x =

C ．()f x =

D ．()ln f x x =

35．已知等比数列{a n }的公比2

3

q =-，等差数列{b n }的首项b 1＝12，若a 9＞b 9且a 10＞b 10，则以下结论正确的有（ ） A ．a 9?a 10＜0

B ．a 9＞a 10

C ．b 10＞0

D ．b 9＞b 10

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、等比数列选择题 1．B 【分析】

根据题意得到2

212311

2222

n n n a a a a ---+++

+=

，（2n ≥），与条件两式作差，得到12n n a =

，（2n ≥），再验证112a =满足12n n a =，得到12n n

a =()*

n N ∈，进而可求出结果. 【详解】 因为数列{}n a 满足2

11232222

n n n a a a a -+++

+=

，

2212311

2222

n n n a a a a ---+++

+=

，（2n ≥） 则1

112

222--=

-=n n n n a ，则12

n n a =，（2n ≥）， 又112a =

满足12n n a =，所以12

n n a =()*

n N ∈， 因此1010210123101011111

11221122

2212

S a a a a ??- ?????++=

+++==- ?+?-=?.

故选：B 2．D 【分析】

首先设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠，根据14a ，22a ，3a 成等差数列，列出等量关系式，求得2q ，比较

()*n

a n N n

∈相邻两项的大小，求得其最小值. 【详解】

在等比数列{}n a 中，设公比(0)q q ≠， 当11a =时，有14a ，22a ，3a 成等差数列，

所以21344a a a =+，即2

44q q =+，解得2q

，

所以1

2

n n

a ，所以1

2n n a n n

-=

， 1

2111n n a n n a n n

++=≥+，当且仅当1n =时取等号， 所以当1n =或2n =时，()*

n a n N n

∈取得最小值1，

故选：D. 【点睛】

该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，三个数成等差数列的条件，求数列的最小项，属于简单题目. 3．A 【分析】

设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意可得1q ≠．即可得到不等式1

102n q -?>，

1

(1)

221n q q

-<-，即可求出参数q 的取值范围；

【详解】

解：设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意可得1q ≠．

11

0,2

n a a >=

，2n S <， ∴1

102n q -?>，1

(1)221n q q

-<-， 10q ∴>>． 144q ∴-，解得3

4

q

． 综上可得：{}n a 的公比的取值范围是：30,4??

???

．

故选：A ． 【点睛】

等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程． 4．C 【分析】

根据等比数列的通项公式将53134a a a =+化为用基本量1,a q 来表示，解出q ，然后再由前4项和为30求出1a ，再根据通项公式即可求出3a ． 【详解】

设正数的等比数列{}n a 的公比为()0q q >，

因为53134a a a =+，所以4211134a q a q a =+，则42

340q q --=，

解得24q =或2

1q =-（舍），所以2q

，

又等比数列{}n a 的前4项和为30，

所以23

111130a a q a q a q +++=，解得12a =， ∴2

318a a q ==．

故选：C . 5．A 【分析】

根据已知条件计算12320182019a a a a a ????的结果为

2020

1

b b ，再根据等比数列下标和性质求解出2020b 的结果. 【详解】 因为1

n n n

b a b +=

，所以3201920202020

24

12320182019123

201820191

b b b b b b a a a a a b b b b b b ????=

????

?=，

因为数列{}n a 为等比数列，且10102a =， 所以()()

()123

201820191201922018100910111010a a a a a a a a a a a a ???=??????

2222019

201910101010

1010101010102a a a a a =???==

所以

20192020

12b b =，又114

b =，所以201720202b =， 故选：A. 【点睛】

结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若(

)*

2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈，

（1）当{}n a 为等差数列，则有2m n p q t a a a a a +=+=； （2）当{}n a 为等比数列，则有2

m n p q t a a a a a ?=?=.

6．B 【分析】

第n 天蜂巢中的蜜蜂数量为n a ，则数列{}n a 成等比数列．根据等比数列的通项公式，可以算出第6天所有的蜜蜂都归巢后的蜜蜂数量． 【详解】

设第n 天蜂巢中的蜜蜂数量为n a ，根据题意得 数列{}n a 成等比数列，它的首项为6，公比6q = 所以{}n a 的通项公式：1

66

6n n n a -=?=

到第6天，所有的蜜蜂都归巢后， 蜂巢中一共有66646656a =只蜜蜂． 故选：B ． 7．C 【分析】

根据题意，由等比数列的通项公式，以及题中条件，即可求出结果. 【详解】

因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，所以正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示，因为

11n n a a q -=

，所以q =

所以11

1

111k k n n k a a a a a ---?? ?

?== ?

?

?

1111

n k k n n n

a a

----==? 故选：C.

【分析】

根据等差数列的性质得到774a b ==，数列{}n b 是等比数列，故2

687b b b ==16.

【详解】

等差数列{}n a 中,31172a a a +=,故原式等价于2

7a -740a =解得70a =或74,a =

各项不为0的等差数列{}n a ,故得到774a b ==，

数列{}n b 是等比数列，故2

687b b b ==16.

故选：D. 9．D 【分析】 根据1a ，

312a ，22a 成等差数列可得3121

222

a a a ?=+，转化为关于1a 和q 的方程，求出q 的值，将

910

78

a a a a ++化简即可求解.

【详解】

因为{}n a 是正项等比数列且1a ，31

2

a ，22a 成等差数列， 所以

3121

222

a a a ?=+，即21112a q a a q =+，所以2210q q --=，

解得：1q =+

1q =

(

22

2

2910787878

13a a a q a q q a a a a ++====+++，

故选：D 10．D 【分析】

假设第n 轮感染人数为n a ，根据条件构造等比数列{}n a 并写出其通项公式，根据题意列出关于n 的不等式，求解出结果，从而可确定出所需要的天数. 【详解】

设第n 轮感染人数为n a ，则数列{}n a 为等比数列，其中1 3.8a =，公比为0 3.8R =， 所以 3.81000n

n a =>，解得 3.8333

log 1000 5.17lg3.8lg3810.58

n >=

=≈≈-， 而每轮感染周期为7天，所以需要的天数至少为5.17736.19?=． 故选：D . 【点睛】

关键点点睛：解答本题的关键点有两个：（1）理解题意构造合适的等比数列；（2）对数的计算.

【分析】

本题首先可设公比为q ，然后根据132185k a a a ++++=得出()2284k q a a ++=，再

然后根据24242k a a a +++=求出2q

，最后根据等比数列前n 项和公式即可得出结

果. 【详解】

设等比数列{}n a 的公比为q ， 则132112285k k a a a a a a q q +++++++==，

即()2285184k q a a +

+=-=，

因为24242k a a a +++=，所以2q

，

则()21123

221112854212712

k k k a a a a a ++?-+++++=+==

-，

即211282k +=，解得3k =， 故选：B. 【点睛】

关键点点睛：本题考查根据等比数列前n 项和求参数，能否根据等比数列项与项之间的关系求出公比是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题. 12．A 【分析】

由等比数列的性质可得2

315a a a =?，且1a 与3a 同号，从而可求出3a 的值

【详解】

解：因为等比数列{}n a 中，11a =，54a =，

所以2

3154a a a =?=，

因为110a =>，所以30a >， 所以32a =， 故选：A 13．C 【分析】

设等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列的前n 项和公式运算即可得解. 【详解】

设等比数列{}n a 的公比为q ， 当1q =时，

41

21

422S a S a ==，不合题意；

当1q ≠时，()

()4142422

2111115111a q S q q q S q

a q q

---===+=---，解得2q =±. 故选：C. 14．C 【分析】

根据等比数列的性质，由题中条件，求出72a =，即可得出结果. 【详解】

因为数列{}n a 是等比数列，由17138a a a =，得3

78a =，

所以72a =，因此2

31174a a a ==.

故选：C. 15．B 【分析】

根据等比中项的性质求出3a ，从而求出1a ，最后根据公式求出3S ； 【详解】

解：因为正项等比数列{}n a 满足241a a =，由于2243a a a =，所以2

31a =. 所以31a =，2

11a q ∴=，因为1

3

q =

，所以19a =. 因此()3131131a q S q

-==-.

故选：B 16．D 【分析】

利用等比数列下标和相等的性质有162534a a a a a a ==，而目标式可化为

162534

162534

a a a a a a a a a a a a +++++结合已知条件即可求值. 【详解】

162534123456162534

111111a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++=++， ∵等比数列{}n a 中349

8

a a =-，而162534a a a a a a ==， ∴123456111111a a a a a a +++++=12345685()93

a a a a a a -+++++=-， 故选：D 17．C

【分析】

取特殊值可排除A ，根据等比数列性质与基本不等式即可得C 正确，B ，D 错误. 【详解】

解：设等比数列的公比为q ，

对于A 选项，设1231,2,4a a a =-==-，不满足1322a a a +≥，故错误；

对于B 选项，若13a a =，则2

11a a q =，则1q =±，所以12a a =或12a a =-，故错误； 对于C 选项，由均值不等式可得222

1313222a a a a a +≥?=，故正确；

对于D 选项，若31a a >，则()2110a q ->，所以()

1422

1a a a q q -=-，其正负由q 的符

号确定，故D 不确定. 故选：C. 18．C 【分析】

利用等比数列的求和公式进行分项求和，最后再求总和即可 【详解】

因为1192110

21119n n n n a n --?≤≤=?≤≤?

，，，

所以，410

4

9104561022222212

a a a -++

+=+

+==--，

49

8

4

4

8

941112152222222212

a a a -+++=+

+=+

+==--，

该数列从第5项到第15项的和为

10494465422222(2121)2(64322)16941504-+-=?-+-=?+-=?=

故选：C 【点睛】

解题关键在于利用等比数列的求和公式进行求解，属于基础题 19．B 【分析】

首先利用等比数列的性质求3a 和公比q ，再根据公式求5S . 【详解】

正项等比数列{}n a 中，

2432a a a =+∴，

2332a a =+∴，

解得32a =或31a =-（舍去） 又11

2

a =

，

23

1

4a q a =

=， 解得2q

，

5

151

(132)

(1)312112

a q S q --∴===--，

故选：B 20．A 【分析】

根据29T T =得到7

61a =，再由2121512a a a q ==，求得1,a q 即可.

【详解】

设等比数列{}n a 的公比为q ，

由29T T =得：7

61a =，

故61a =，即5

11a q =. 又2

121512a a a q ==，

所以9

1

512

q =， 故12

q =

， 所以()()21112

2

123411...2n n n n n n n T a a a a a a q

--??=== ???

,

所以n T 的最大值为15

652T T ==.

故选：A.

二、多选题

21．BCD 【分析】

利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】

选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错; 选项B:

2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;

选项C: ()11n

n S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==?-≥,当1n =时也成立，

12(1)n n a -∴=?-是等比数列，故对;

选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*

32()n n S S n N -∈是等差数

故选：BCD 【点睛】

熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键. 22．ABC 【分析】

由题意，设数列{}n a 的公比为q ，利用等比数列{}n a 单调递增，则

111(1)0n n n a a a q q -+-=->，分两种情况讨论首项和公比，即可判断选项.

【详解】

由题意，设数列{}n a 的公比为q ，

因为1

1n n a a q -=，

可得1

11(1)0n n n a a a q

q -+-=->，

当10a >时，1q >，此时1

01n

n a a +<<， 当10a <时，1

01,1n

n a q a +<<>， 故不正确的是ABC. 故选：ABC. 【点睛】

本题主要考查了等比数列的单调性.属于较易题. 23．ABD 【分析】

根据基本不等式的相关知识，结合等比数列中等比中项的性质，求出5a 的范围，即可得到所求． 【详解】

解：依题意，数列是{}n a 是正项等比数列，30a ∴>，70a >，50a >，

∴2

373752323262a a a a a +

=， 因为50a >，

所以上式可化为52a ，当且仅当3a =，7a = 故选：ABD ． 【点睛】

本题考查了等比数列的性质，考查了基本不等式，考查分析和解决问题的能力，逻辑思维能力．属于中档题． 24．AC

由已知得12n n

a 可得以2122n n a -=，可判断A ；又1

111122n n n a --??== ???

，可判断B ；由

122log log 21n n a n -==-，可判断C ；求得10S ，20S ，30S ，可判断D.

【详解】

等比数列{}n a 中，满足11a =，2q

，所以12n n a ，所以2122n n a -=，所以数列

{}2n a 是等比数列，故A 正确；

又1

111122n n n a --??

== ???

，所以数列1n a ??

?

???

是递减数列，故B 不正确； 因为1

22log log 2

1n n a n -==-，所以{}2log n a 是等差数列，故C 正确；

数列{}n a 中，101010111222

S -==--，202021S =-，30

3021S =-，10S ，20S ，30S 不成

等比数列，故D 不正确； 故选：AC . 【点睛】

本题综合考查等差、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式，以及数列的单调性的判定，属于中档题. 25．BD 【分析】

根据题意，得到此人每天所走路程构成以1

2

为公比的等比数列，记该等比数列为{}n a ，公比为1

2

q =

，前n 项和为n S ，根据题意求出首项，再由等比数列的求和公式和通项公式，逐项判断，即可得出结果. 【详解】

由题意，此人每天所走路程构成以1

2

为公比的等比数列， 记该等比数列为{}n a ，公比为1

2

q =

，前n 项和为n S ， 则16611163

237813212

a S a ?

?- ?

??===-，解得1192a =， 所以此人第三天走的路程为23148a a q =?=，故A 错；

此人第一天走的路程比后五天走的路程多()1611623843786a S a a S --=-=-=里，故B 正确；

此人第二天走的路程为21378

9694.54

a a q =?=≠

=，故C 错；

此人前三天走的路程为31231929648336S a a a =++=++=，后三天走的路程为

6337833642S S -=-=，336428=?，即前三天路程之和是后三天路程之和的8倍，D 正

确； 故选：BD. 【点睛】

本题主要考查等比数列的应用，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型. 26．ABD 【分析】

分别按定义计算每个数列的后项与前项的比值，即可判断. 【详解】

根据题意，数列{}n a 是等比数列，设其公比为q ，则

1

n n

a q a +=， 对于A ，对于数列{}n a ，则有1

||n n

a q a ，{}n a 为等比数列，A 正确； 对于B ，对于数列{}1n n a a +，有

21

1n n n n

a a q a a +-=，{}1n n a a +为等比数列，B 正确； 对于C ，对于数列{}

2lg n a ，若1n a =，数列{}n a 是等比数列，但数列{}

2

lg n a 不是等比数

列，C 错误；

对于D ，对于数列1n a ??????

，有11

1

11n n n n a a a q a --==，1n a ??

????为等比数列，D 正确. 故选：ABD . 【点睛】

本题考查用定义判断一个数列是否是等比数列，属于基础题. 27．BC 【分析】

先求得3a ，然后求得q ，进而求得1a ，由此求得1,,n n n n a S S S +-，进而判断出正确选项. 【详解】

由23464a a a =得33

34a =，则34a =．设等比数列{}n a 的公比为()0q q ≠，由

2410a a +=，得4

410q q

+=，即22520q q -+=，解得2q

或1

2q =

．又因为数列{}n a 单调递增，所以2q

，所以112810a a +=，解得11a =．所以12n n

a ，

()

1122112

n n n S ?-=

=--，所以()1121212n n n

n n S S ++-=---=.

故选：BC

【点睛】

本题考查等比数列的通项公式、等比数列的性质及前n 项和，属于中档题. 28．ACD 【分析】

若设此人第n 天走n a 里路，则数列{}n a 是首项为1a ，公比为1

2

q =

的等比数列，由6378S =求得首项，然后分析4个选项可得答案.

【详解】

解：设此人第n 天走n a 里路，则数列{}n a 是首项为1a ，公比为1

2

q =

的等比数列， 因为6378S =，所以16

61(1)2=

378112

a S -

=-，解得1

192a =，

对于A ，由于21

192962a =?=，所以此人第二天走了九十六里路，所以A 正确； 对于B ，由于 31481

19248,

43788

a =?=>，所以B 不正确； 对于C ，由于378192186,1921866-=-=，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程

多六里，所以C 正确； 对于D ，由于45611

11924281632a a a ??++=?++= ???

，所以D 正确， 故选：ACD 【点睛】

此题考查等比数的性质，等比数数的前项n 的和，属于基础题. 29．BD 【分析】

由n S 和n a 的关系求出数列{}n a 为等比数列，所以选项A 错误，选项B 正确；利用等比数

列前n 项和公式，求出 1

22

212443

n n a a a +-++

+=，故选项C 错误，由等比数列的通项公式

得到62642m n +==，所以选项D 正确. 【详解】

由题意，当1n =时，1122S a =-，解得12a =， 当2n ≥时，1122n n S a --=-，

所以()111222222n n n n n n n a S S a a a a ----=-=---=，

所以1

2n

n a a -=，数列{}n a 是以首项12a =，公比2q 的等比数列，2n n a =，

故选项A 错误，选项B 正确；

数列{}2

n

a 是以首项214a

=，公比14q =的等比数列，

所以()

()21

1122

2

121

141444114

3

n n n n a q a a a q +-?--+++=

=

=--，故选项C 错误；

6222642m n m n m n a a +====，所以6m n +=为定值，故选项D 正确.

故选：BD 【点睛】

本题主要考查由n S 和n a 的关系求数列的通项公式，等比数列通项公式和前n 项和公式的应用，考查学生转化能力和计算能力，属于中档题. 30．ABD 【分析】

由已知关系式可求1a 、n a ，进而求得{}21

n

a n +的通项公式以及前n 项和,n S 即可知正确选项. 【详解】

由已知得：12a =，令12335...(21)2n n T a a a n a n =++++-=， 则当2n ≥时，1(21)2n n n T T n a --=-=，即2

21n a n =-，而122211

a =

=?-也成立， ∴2

21n a n =

-，*n N ∈，故数列{}21

n a n +通项公式为211(21)(21)2121n n n n =-+--+，

∴111111111121 (133557232121212121)

n n

S n n n n n n =-

+-+-++-+-=-=---+++，即有1n n S na +=， 故选：ABD 【点睛】

关键点点睛：由已知12335...(21)2n n T a a a n a n =++++-=求1a 、n a ，注意验证1a 是否符合n a 通项，并由此得到{}21

n

a n +的通项公式，利用裂项法求前n 项和n S . 31．BCD 【分析】

根据等差数列前n 和公式以及收敛数列的定义可判断A ；根据等比数列的通项公式以及收敛的定义可判断B ；根据收敛的定义可判断C ；根据等差数列前n 和公式以及收敛数列的定义可判断D. 【详解】

当0n S >时，取2111222

222n d d d

d d d S n a n n n a n a ????=

+-=+-≥+- ? ?????，

为使得1n S r >，所以只需要1122d d n a r

+->1112222

d a ra dr r

n N d dr -+

-+?>==. 对于A ，令1n x =，则存在1a =，使0n x a r -=<，故A 错； 对于B ，1

1n n x x q

-=，若1q >，则对任意正数r ，

当11log 1q r n x ??

+>+ ? ???

时， 1n x r >+，所以不存在正整数N 使得定义式成立，

若1q =，显然符合；若1q =-为摆动数列()1

11n n x x -=-，

只有1x ±两个值，不会收敛于一个值，所以舍去；

若()1,1q ∈-，取0a =，1log 11q r N x ??=++????

，

当n N >时，1

11

1

0n n r

x x q x r x --=<=，故B 正确； 对于C ，()1

sin cos sin 0222

n x n n n πππ????===

? ?????，符合； 对于D ，()11n x x n d =+-，2122n d d S n x n ??

=

+- ??

?， 当0d >时，n S 单调递增并且可以取到比

1

r

更大的正数，

当n N

>=时，110n n r S S -=<，同理0d <，所以D 正确. 故选：BCD 【点睛】

关键点点睛：解题的关键是理解收敛数列的定义，借助等差数列前n 和公式以及等比数列

的通项公式求解，属于中档题. 32．BCD 【分析】

举反例，反证，或按照等比数列的定义逐项判断即可. 【详解】

解：设{}n a 的公比为q ，

A. 设()1n

n a =-，则10n n a a ++=，显然{}1n n a a ++不是等比数列.

B.

221

1

n n n n a a q a a +++=，所以{}1n n a a +为等比数列.

C. ()()

242222212222

11n n n n n n a q q a a q a a a q +++++==++，所以{}

221n n a a ++为等比数列. D. 当1q =时，n S np =，{}n S 显然不是等比数列； 当1q ≠时，若{}n S 为等比数列，则()2

2

2

112n n n S S n S -+=≥，

即()

(

)()2

11

111

111111n n n a q a q a q q q q

-+??????---

?

???= ? ???---?

??

??

?

，所以1q =，与1q ≠矛盾，

综上，{}n S 不是等比数列. 故选：BCD. 【点睛】

考查等比数列的辨析，基础题. 33．ABC 【分析】

由11a >，781a a >，

871

01

a a -<-，可得71a >，81a <．由等比数列的定义即可判断A ；运用等比数列的性质可判断B ；由正数相乘，若乘以大于1的数变大，乘以小于1的数变小，可判断C; 因为71a >，801a <<，可以判断D. 【详解】

11a >，781a a >，

871

01

a a -<-， 71a ∴>，801a <<，

∴A.01q <<，故正确；

B.2

798

1a a a =<，故正确； C.7T 是数列{}n T 中的最大项，故正确．

D. 因为71a >，801a <<，n S 的最大值不是7S ，故不正确. 故选：ABC ． 【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式及其性质、递推关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 34．AC 【分析】

直接利用题目中“保等比数列函数”的性质，代入四个选项一一验证即可. 【详解】

设等比数列{}n a 的公比为q .