等比数列基础测试题题库

一、等比数列选择题

1．在流行病学中，基本传染数R 0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R 0个人，为第一轮传染，这R 0个人中每人再传染R 0个人，为第二轮传染，…….R 0一般由疾病的感染周期?感染者与其他人的接触频率?每次接触过程中传染的概率决定.假设新冠肺炎的基本传染数0 3.8R =，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为M ，则当M >1000时需要的天数至少为（ ）参考数据：lg38≈1.58 A ．34

B ．35

C ．36

D ．37

2．已知{}n a 是正项等比数列且1a ，312a ，22a 成等差数列，则91078

a a a a +=+（ ） A

1

B

1

C

．3-

D

．3+3．在等比数列{}n a 中，132a =，44a =．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （ ）

A ．有最大项，有最小项

B ．有最大项，无最小项

C ．无最大项，有最小项

D ．无最大项，无最小项

4．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11

0,,22

n n a a S >=<，则等比数列{}n a 的公比的取值范围是（ ） A ．30,4

?? ??

?

B ．20,3

?? ??

?

C ．30,4?? ???

D ．20,3?? ???

5．在等比数列{}n a 中，11a =，427a =，则352a a +=（ ） A ．45

B ．54

C ．99

D ．81

6．已知等比数列{}n a 满足12234,12a a a a +=+=，则5S 等于（ ） A ．40

B ．81

C ．121

D ．242

7．等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足11a >，10210310a a ->，

1021031

01

a a -<-，则使得1n T >成立的最大自然数n 的值为（ ）

A ．102

B ．203

C ．204

D ．205

8．一个蜂巢有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第六天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有（ ）只蜜蜂. A ．55989

B ．46656

C ．216

D ．36

9．已知正项等比数列{}n a 的公比不为1，n T 为其前n 项积，若20172021T T =，则2020

2021

ln ln a a =

（ ）

A ．1:3

B ．3:1

C ．3:5

D ．5:3

10．在数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-，若513n a >，则n 的最小值是（ ） A ．9

B ．10

C ．11

D ．12

11．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的中间一层共有灯（ ） A ．3盏

B ．9盏

C ．27盏

D ．81盏

12．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，121a a +=，344a a +=，则

5678a a a a +++=（ ）

A ．80

B ．20

C ．32

D ．

255

3

13．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，22

6598225a a a a ++=，则113a a 的最大值是

（ ） A ．25

B ．

254

C ．5

D ．

25

14．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积列”.若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2022积数列”，且a 1>1，则当其前n 项的乘积取最大值时，n 的最大值为（ ） A ．1009

B ．1010

C ．1011

D ．2020

15．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,)33，记为第一次操作；再将剩下的两个区间1[0,]3，2[,1]3

分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于

9

10

，则需要操作的次数n 的最小值为（ ）（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

16．古代数学名著《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：一女子善于织布，每天织的布是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问该女子每天分别织布多少？由此条件，若织布的总尺数不少于20尺，该女子需要的天数至少为 （ ） A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

17．设数列{}n a ，下列判断一定正确的是（ ）

A ．若对任意正整数n ，都有24n

n a =成立，则{}n a 为等比数列

B ．若对任意正整数n ，都有12n n n a a a ++=?成立，则{}n a 为等比数列

C ．若对任意正整数m ，n ，都有2m n

m n a a +?=成立，则{}n a 为等比数列

D ．若对任意正整数n ，都有312

11

n n n n a a a a +++=??成立，则{}n a 为等比数列

18．设b R ∈，数列{}n a 的前n 项和3n

n S b =+，则（ ）

A ．{}n a 是等比数列

B ．{}n a 是等差数列

C ．当1b ≠-时，{}n a 是等比数列

D ．当1b =-时，{}n a 是等比数列

19．已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项m a ，n a

14a =，则

14

m n

+的最小值为（ ） A ．

53

B ．

32

C ．

43

D ．

116

20．已知等比数列{}n a 的前n 项和的乘积记为n T ，若29512T T ==，则n T 的最大值为（ ） A ．152

B ．142

C ．132

D ．122

二、多选题21．题目文件丢失！

22．设数列{}n a 的前n 项和为*

()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是

（ ）

A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列

B ．若2

n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列

C ．若()11n

n S =--，则{}n a 是等比数列

D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*

32()n n S S n N -∈也成等差数列

23．若数列{}n a 的前n 项和是n S ，且22n n S a =-，数列{}n b 满足2log n n b a =，则下列选项正确的为（ ） A ．数列{}n a 是等差数列

B ．2n

n a =

C ．数列{}2n

a 的前n 项和为2122

3

n +-

D ．数列11n n b b +?

?

?

????

的前n 项和为n T ，则

1n T <

24．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31a =，13511121

4

a a a ++=，则（ ） A ．{}n a 必是递减数列 B ．5314

S =

C ．公比4q =或

14

D ．14a =或

14

25．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1+14,()n n a S a n N *

==∈，数列12(1)n n n n a +??+??+?

?的

前n 项和为n T ，n *∈N ，则下列选项正确的是（ ） A ．24a =

B ．2n

n S =

C ．38

n T ≥

D ．12

n T <

26．关于递增等比数列{}n a ，下列说法不正确的是（ ） A ．10a >

B ．1q >

C ．1

1n

n a a +< D ．当10a >时，

1q >

27．设{}n a 是各项均为正数的数列，以n a ，1n a +为直角边长的直角三角形面积记为

n S ()n *∈N ，则{}n S 为等比数列的充分条件是（ ）

A ．{}n a 是等比数列

B ．1a ，3a ，??? ，21n a -，???或 2a ，4a ，??? ，2n a ，???是等比数列

C ．1a ，3a ，??? ，21n a -，???和 2a ，4a ，???，2n a ，???均是等比数列

D ．1a ，3a ，??? ，21n a -，???和 2a ，4a ，??? ，2n a ，???均是等比数列，且公比相同 28．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件

11a >，66771

1,

01

a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<

B ．681a a >

C ．n S 的最大值为7S

D ．n T 的最大值为6T

29．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，()

*

12n n a S n N +=∈，则有（ ） A ．1

3n n S -= B ．{}n S 为等比数列 C ．1

23n n a -=?

D ．2

1,

1,23,2n n n a n -=?=?

?≥?

30．已知数列{a n }，{b n }均为递增数列，{a n }的前n 项和为S n ，{b n }的前n 项和为T n ．且满足a n +a n +1＝2n ，b n ?b n +1＝2n （n ∈N *），则下列说法正确的有（ ） A ．0＜a 1＜1

B ．1＜b

1C ．S 2n ＜T 2n

D ．S 2n ≥T 2n

31．已知数列{}n a 的前n 项和为S ，11a =，121n n n S S a +=++，数列12n n n a a +??

?????

的前

n 项和为n T ，*n ∈N ，则下列选项正确的为（ ）

A ．数列{}1n a +是等差数列

B ．数列{}1n a +是等比数列

C ．数列{}n a 的通项公式为21n

n a =-

D ．1n T <

32．已知数列{a n }为等差数列，首项为1，公差为2，数列{b n }为等比数列，首项为1，公比为2，设n n b c a =，T n 为数列{c n }的前n 项和，则当T n ＜2019时，n 的取值可以是下面选项中的（ ） A ．8

B ．9

C ．10

D ．11

33．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（ ）

A ．若数列{}n a 的前n 项和2(n S an bn c a =++，b ，c 为常数）则数列{}n a 为等差数列

B ．若数列{}n a 的前n 项和1

22n n S +=-，则数列{}n a 为等差数列

C ．数列{}n a 是等差数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，?仍为等差数列

D ．数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，?仍为等比数列；

34．等比数列{}n a 中，公比为q ，其前n 项积为n T ，并且满足11a >.99100·10a a ->，991001

01

a a -<-，下列选项中，正确的结论有（ ） A ．01q << B ．9910110a a -< C ．100T 的值是n T 中最大的

D ．使1n T >成立的最大自然数n 等于198

35．已知等差数列{}n a 的首项为1，公差4d =，前n 项和为n S ，则下列结论成立的有( )

A ．数列n S n ??

????

的前10项和为100

B ．若1,a 3,a m a 成等比数列，则21m =

C ．若

11

16

25n

i i i a a =+>∑，则n 的最小值为6 D ．若210m n a a a a +=+，则

116m n

+的最小值为25

12

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一、等比数列选择题

1．D 【分析】

假设第n 轮感染人数为n a ，根据条件构造等比数列{}n a 并写出其通项公式，根据题意列出关于n 的不等式，求解出结果，从而可确定出所需要的天数. 【详解】

设第n 轮感染人数为n a ，则数列{}n a 为等比数列，其中1 3.8a =，公比为0 3.8R =，

所以 3.81000n

n a =>，解得 3.8333

log 1000 5.17lg3.8lg3810.58

n >=

=≈≈-， 而每轮感染周期为7天，所以需要的天数至少为5.17736.19?=． 故选：D . 【点睛】

关键点点睛：解答本题的关键点有两个：（1）理解题意构造合适的等比数列；（2）对数的计算. 2．D 【分析】 根据1a ，

312a ，22a 成等差数列可得3121

222

a a a ?=+，转化为关于1a 和q 的方程，求出q 的值，将

910

78

a a a a ++化简即可求解.

【详解】

因为{}n a 是正项等比数列且1a ，31

2

a ，22a 成等差数列， 所以

3121

222

a a a ?=+，即21112a q a a q =+，所以2210q q --=，

解得：1q =+

1q =

(

22

2

2910787878

13a a a q a q q a a a a ++====+++，

故选：D 3．B 【分析】

首先求得数列的通项公式，再运用等差数列的求和公式求得n T ，根据二次函数的性质的指数函数的性质可得选项. 【详解】

设等比数列{}n a 为q ，则等比数列的公比414141328a q a -=

==，所以12

q =，

则其通项公式为：1

1

6113222n n n n a a q ---??

=?=?= ?

??

，

所以()

()

561154

2

2

12

622

2

22

n

n +n n n n n T a a

a ---==?==，

令()11t n n =-，所以当5n =或6时，t 有最大值，无最小值，所以n T 有最大项，无最小项. 故选：B. . 4．A 【分析】

设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意可得1q ≠．即可得到不等式1

102n q -?>，

1

(1)

221n q q

-<-，即可求出参数q 的取值范围；

【详解】

解：设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意可得1q ≠． 11

0,2

n a a >=

，2n S <， ∴1

102n q -?>，1

(1)221n q q

-<-， 10q ∴>>． 144q ∴-，解得3

4

q

． 综上可得：{}n a 的公比的取值范围是：30,4

?? ??

?

．

故选：A ． 【点睛】

等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程． 5．C 【分析】

利用等比数列的通项与基本性质，列方程求解即可 【详解】

设数列{}n a 的公比为q ，因为3

41a a q =，所以3q =，所以24

352299a a q q +=+=.

故选C 6．C

【分析】

根据已知条件先计算出等比数列的首项和公比，然后根据等比数列的前n 项和公式求解出

5S 的结果.

【详解】

因为12234,12a a a a +=+=，所以23

12

3a a q a a +=

=+，所以1134a a +=，所以11a =， 所以()5515113121113

a q S q

--===--， 故选：C. 7．C 【分析】

由题意可得1021031a a >，1021031,1a a ><，利用等比数列的性质即可求解. 【详解】

由10210310a a ->，即1021031a a >，则有2

1021a q ?>，即0q >。

所以等比数列{}n a 各项为正数， 由

1021031

01

a a -<-，即102103(1)(1)0a a --<， 可得：1021031,1a a ><， 所以10220412203204102103()1T a a a a a a =??

?=?>，

103205122032042051031T a a a a a a =??

??=<，

故使得1n T >成立的最大自然数n 的值为204，

故选：C 【点睛】

关键10220412203204102103()1T a a a a a a =??

?=?>点点睛：在分析出1021031a a >，

1021031,1a a ><的前提下，由等比数列的性质可得102204102103()1T a a ==?>，

1032051031T a =<，即可求解，属于难题.

8．B 【分析】

第n 天蜂巢中的蜜蜂数量为n a ，则数列{}n a 成等比数列．根据等比数列的通项公式，可以算出第6天所有的蜜蜂都归巢后的蜜蜂数量． 【详解】

设第n 天蜂巢中的蜜蜂数量为n a ，根据题意得 数列{}n a 成等比数列，它的首项为6，公比6q = 所以{}n a 的通项公式：1

66

6n n n a -=?=

到第6天，所有的蜜蜂都归巢后， 蜂巢中一共有66646656a =只蜜蜂． 故选：B ． 9．A 【分析】

由20172021T T =得20182019202020211a a a a =，由等比数列性质得20182021201920201a a a a ==，这样可把2020a 和2021a 用q 表示出来后，可求得2020

2021

ln ln a a ． 【详解】

{}n a 是正项等比数列，0n a >，0n T ≠，*n N ∈，

所以由2017202120172018201920202021T T T a a a a ==?，得20182019202020211a a a a =， 所以20182021201920201a a a a ==，设{}n a 公比为q ，1q ≠，

22021201820213()1a a a q ==，2

202020192020()1a a a q

==，即322021a q =，122020a q =，

所以

12

2020

3

2021

2

1ln ln ln 123

ln 3ln ln 2

q

a q a q q ===． 故选：A ． 【点睛】

本题考查等比数列的性质，解题关键是利用等比数列性质化简已知条件，然后用公比q 表示出相应的项后可得结论． 10．C 【分析】

根据递推关系可得数列{}1n a -是以1为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项

公式可得1

21n n a -=+，即求.

【详解】

因为121n n a a +=-，所以()1121n n a a +-=-，即

11

21

n n a a +-=-， 所以数列{}1n a -是以1为首项，2为公比的等比数列.

则112n n a --=，即1

21n n a -=+.

因为513n a >，所以121513n -+>，所以12512n ->，所以10n >. 故选：C 11．C 【分析】

根据题意，设塔的底层共有x 盏灯，分析可得每层灯的数目构成以x 为首项，1

3

为公比的等比数列，由等比数列的前n 项和公式可得x 的值，即可得答案． 【详解】

根据题意，设塔的底层共有x 盏灯，则每层灯的数目构成以x 为首项，1

3

为公比的等比数列，

则有51(1)

3363

1

13

x S ?-

=

=-， 解可得：243x =，

所以中间一层共有灯2

1243()273

?=盏. 故选：C 【点睛】

思路点睛：要求中间一层的灯的数量，只需求等比数列的首项，根据等比数列的和求出数列的首项即可. 12．A 【分析】

由条件求出公比q ，再利用前4项和和公比求5678a a a a +++的值. 【详解】

根据题意，由于{}n a 是各项均为正数的等比数列，

121a a +=，()234124a a q a a +==+，∴24q =，0q >，2q

则()()4

56781234161480a a a a q a a a a +++=+++=+=.

故选：A 13．B 【分析】

由等比数列的性质，求得685a a +=，再结合基本不等式，即可求得113a a 的最大值，得到答案. 【详解】

由等比数列的性质，可得()2

2222

65986688682225a a a a a a a a a a ++=++=+=，

又因为0n a >，所以685a a +=，所以2

6

8113682524a a a a a a +??=≤= ???

，

当且仅当685

2

a a ==时取等号． 故选：B . 14．C

【分析】

根据数列的新定义，得到122021...1a a a =，再由等比数列的性质得到2

10111a =，再利用

11,01a q ><<求解即可.

【详解】

根据题意：2022122022...a a a a =， 所以122021...1a a a =，

因为{a n }等比数列，设公比为q ，则0q >，

所以2

12021220201011...1a a a a a ====，

因为11a >，所以01q <<， 所以1010101110121,1,01a a a >=<<，

所以前n 项的乘积取最大值时n 的最大值为1011. 故选：C. 【点睛】

关键点睛：本题主要考查数列的新定义以及等比数列的性质，数列的最值问题，解题的关

键是根据定义和等比数列性质得出2

10111a =以及11,01a q ><<进行判断.

15．C 【分析】

依次求出第次去掉的区间长度之和，这个和构成一个等比数列，再求其前n 项和，列出不等式解之可得． 【详解】

第一次操作去掉的区间长度为13；第二次操作去掉两个长度为19

的区间，长度和为2

9；第

三次操作去掉四个长度为

127的区间，长度和为427；…第n 次操作去掉12n -个长度为1

3

n 的区间，长度和为1

23

n n -，

于是进行了n 次操作后，所有去掉的区间长度之和为1

122213933n

n n n S -??=++???+=- ???

， 由题意，90

2131n

??-≥ ???，即21lg lg

1031n ≤=-，即()lg3lg21n -≥，解得：11

5.679lg3lg 20.47710.3010

n ≥

=≈--，

又n 为整数，所以n 的最小值为6. 故选：C . 【点睛】

本题以数学文化为背景，考查等比数列通项、前n 项和等知识及估算能力，属于中档题.

16．B 【分析】

设女子第一天织布1a 尺，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，由题意得

515(12)

512a S -==-，解得1

531

a =，由此能求出该女子所需的天数至少为7天． 【详解】

设女子第一天织布1a 尺，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，

由题意得515(12)

512a S -==-，解得1531a =

， 5

(12)

3120

12

n n S -∴=-，解得2125n ． 因为6264=，72128=

∴该女子所需的天数至少为7天．

故选：B 17．C 【分析】

根据等比数列的定义和判定方法逐一判断. 【详解】

对于A ，若24n n a =，则2n

n a =±，+1+12n n a =±，则

1

2n n

a a +=±，即后一项与前一项的比不一定是常数，故A 错误；

对于B ，当0n a =时，满足12n n n a a a ++=?，但数列{}n a 不为等比数列，故B 错误； 对于C ，由2

m n

m n a a +?=可得0n a ≠，则+1

+12

m n m n a a +?=，所以1+1

222

n n m n m n a a +++==，故{}n a 为公比为2的等比数列，故C 正确；

对于D ，由

312

11

n n n n a a a a +++=??可知0n a ≠，则312n n n n a a a a +++?=?，如1，2，6，12满

足312n n n n a a a a +++?=?，但不是等比数列，故D 错误. 故选：C. 【点睛】

方法点睛：证明或判断等比数列的方法，

（1）定义法：对于数列{}n a ，若()1

0,0n n n

a q q a a +=≠≠，则数列{}n a 为等比数列； （2）等比中项法：对于数列{}n a ，若()2

21

0n n n n a a a a ++=≠，则数列{}n a 为等比数列；

（3）通项公式法：若n n a cq =（,c q 均是不为0的常数），则数列{}n a 为等比数列；

（4）特殊值法：若是选择题、填空题可以用特殊值法判断，特别注意0n a =的判断. 18．D 【分析】

根据n S 与n a 的关系求出n a ，然后判断各选项． 【详解】

由题意2n ≥时，1

1

1(3)(3

)23

n

n n n n n a S S b b ---=-=+-+=?，1

3n n

a a +=(2)n ≥， 113a S

b ==+，

若

212333a a b

?==+，即1b =-，则{}n a 是等比数列，否则不是等比数列，也不是等差数列， 故选：D ． 【点睛】

关键点点睛：本题考查等比数列的定义．在由1n n n a S S -=-求通项时，2n ≥必须牢记，

11a S =它与(2)n a n ≥的求法不相同，因此会影响{}n a 的性质．对等比数列来讲，不仅要

求

34

23

a a a a ==，还必须满足

3

212

a a a a =． 19．B 【分析】

设正项等比数列{}n a 的公比为0q >，由7652a a a =+，可得2

2q q =+，解得2q

，

根据存在两项m a 、n a

14a =

14a =，6m n +=．对m ，n 分类讨论即可得出． 【详解】

解：设正项等比数列{}n a 的公比为0q >， 满足：7652a a a =+，

22q q ∴=+，

解得2q

，

存在两项m a 、n a

14a =，

∴14a =，

6m n ∴+=，

m ，n 的取值分别为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，

则

14m n

+的最小值为143242+=．

故选：B ． 20．A

【分析】

根据29T T =得到7

61a =，再由2121512a a a q ==，求得1,a q 即可.

【详解】

设等比数列{}n a 的公比为q ，

由29T T =得：7

61a =， 故61a =，即5

11a q =. 又2

121512a a a q ==，

所以9

1

512

q =， 故12

q =

， 所以()()21112

2

123411...2n n n n n n n T a a a a a a q

--??=== ???

,

所以n T 的最大值为15

652T T ==.

故选：A.

二、多选题 21．无

22．BCD 【分析】

利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】

选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错; 选项B:

2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;

选项C: ()11n

n S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==?-≥,当1n =时也成立，

12(1)n n a -∴=?-是等比数列，故对;

选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*

32()n n S S n N -∈是等差数

列，故对; 故选：BCD 【点睛】

熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键. 23．BD 【分析】

根据22n n S a =-，利用数列通项与前n 项和的关系得1,1

,2n n

S n a S n =?=?≥?，求得通项n a ，然

后再根据选项求解逐项验证. 【详解】

当1n =时，12a =，

当2n ≥时，由22n n S a =-，得1122n n S a --=-， 两式相减得：12n n a a -=， 又212a a =，

所以数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列， 所以2n n a =，24n

n a =，数列{}2n

a

的前n 项和为()14144414

3

n n n

S +--'=

=

-， 则22log log 2n

n n b a n ===，

所以()11111

11

n n b b n n n n +==-??++，

所以 1111111

(11123411)

n T n n n =-+-++-=-<++， 故选：BD 【点睛】

方法点睛：求数列的前n 项和的方法 (1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()

11122

n n n a a n n S na d +-=

=+②等比数列的前n 项和公式()

11,1

1,11n

n na q S a q q q =??=-?≠?

-?

；

(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．

(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．

(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.

(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 24．BD

【分析】

设设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，由已知得11121

14

a a ++=，解方程计算即可得答案. 【详解】

解：设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，

因为2

153

1a a a ==，2311a a q == ， 所以

511151351515111111121

11114

a a a a a a a a a a a a a ++=++=++=+=+++=， 解得1412a q =???=??或1142.

a q ?=??

?=?， 当14a =，12q =时，5514131

21412

S ?

?- ?

??==-，数列{}n a 是递减数列；

当11

4

a =

，2q 时，531

4

S =

，数列{}n a 是递增数列； 综上，5314

S =. 故选：BD. 【点睛】

本题考查数列的等比数列的性质，等比数列的基本量计算，考查运算能力.解题的关键在于结合等比数列的性质将已知条件转化为11121

14

a a ++=，进而解方程计算. 25．ACD 【分析】

在1+14,()n n a S a n N *

==∈中，令1n =，则A 易判断；由3

2122S a a =+=，B 易判断；

令12(1)n n n b n n a ++=

+，13

8

b =，

2n ≥时，()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++=

==-++?+?，裂项求和3182

n

T ≤<，则CD 可判断. 【详解】

解：由1+14,()n n a S a n N *

==∈，所以2114a S a ===，故A 正确；

32212822S a a =+==≠，故B 错误；

+1n n S a =，12,n n n S a -≥=，所以2n ≥时，11n n n n n a S S a a -+=-=-，

1

2n n

a a +=，

所以2n ≥时，2422n n

n a -=?=，

令12(1)n n n b n n a ++=

+，12123

(11)8

b a +==+，

2n ≥时，()()11

12211

(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++=

==-++?+?，

113

8

T b ==，2n ≥时，

()()2334

113111111111

8223232422122122

n n n n T n n n ++=+-+-+

+

-=-

82

n T ≤<，故CD 正确；

故选：ACD. 【点睛】

方法点睛：已知n a 与n S 之间的关系，一般用()11,12n n

n a n a S S n -=?=?-≥?递推数列的通项，注

意验证1a 是否满足()12n n n a S S n -=-≥；裂项相消求和时注意裂成的两个数列能够抵消求和. 26．ABC 【分析】

由题意，设数列{}n a 的公比为q ，利用等比数列{}n a 单调递增，则

111(1)0n n n a a a q q -+-=->，分两种情况讨论首项和公比，即可判断选项.

【详解】

由题意，设数列{}n a 的公比为q ，

因为1

1n n a a q -=，

可得1

11(1)0n n n a a a q

q -+-=->，

当10a >时，1q >，此时1

01n

n a a +<<， 当10a <时，1

01,1n

n a q a +<<>， 故不正确的是ABC. 故选：ABC. 【点睛】

本题主要考查了等比数列的单调性.属于较易题. 27．AD 【分析】

根据{}n S 为等比数列等价于2

n n

a a +为常数，从而可得正确的选项. 【详解】

{}n S 为等比数列等价于

1n n S S +为常数，也就是等价于12

+1n n n n a a a a ++即2n n

a a +为常数.

对于A ，因为{}n a 是等比数列，故

22

n n

a q a +=（q 为{}n a 的公比）为常数，故A 满足； 对于B ，取21221,2n

n n a n a -=-=，此时满足2a ，4a ，??? ，2n a ，???是等比数列，

1a ，3a ，??? ，21n a -，???不是等比数列，

21

21

n n a a +-不是常数，故B 错. 对于C ，取2123,2n n

n n a a -==，此时满足2a ，4a ，??? ，2n a ，???是等比数列，

1a ，3a ，??? ，21n a -，???是等比数列，21213n n a a +-=，2222n n

a

a +=，两者不相等，故C 错. 对于D ，根据条件可得2

n n

a a +为常数.

故选：AD. 【点睛】

本题考查等比数列的判断，此类问题应根据定义来处理，本题属于基础题. 28．AD 【分析】

分类讨论67,a a 大于1的情况，得出符合题意的一项. 【详解】

①671,1a a >>, 与题设

671

01

a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意. ③671,1,a a <<与题设

671

01

a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.

得671,1,01a a q ><<<，则n T 的最大值为6T .

∴B ，C ，错误.

故选：AD. 【点睛】

考查等比数列的性质及概念. 补充：等比数列的通项公式：()1

*

1n n a a q n N -=∈.

29．ABD 【分析】

根据,n n a S 的关系，求得n a ，结合等比数列的定义，以及已知条件，即可对每个选项进行

逐一分析，即可判断选择. 【详解】

由题意，数列{}n a 的前n 项和满足(

)*

12n n a S n N +=∈，

当2n ≥时，12n n a S -=，

两式相减，可得112()2n n n n n a a S S a +-=-=-， 可得13n n a a +=，即

1

3,(2)n n

a a n +=≥， 又由11a =，当1n =时，211222a S a ===，所以

2

1

2a a =， 所以数列的通项公式为2

1,

123

2

n n n a n -=?=??≥?；

当2n ≥时，1

1123322

n n n n a S --+?===，

又由1n =时，111S a ==，适合上式，

所以数列的{}n a 的前n 项和为1

3n n S -=；

又由11333

n

n n n S S +-==，所以数列{}n S 为公比为3的等比数列， 综上可得选项,,A B D 是正确的. 故选：ABD. 【点睛】

本题考查利用,n n a S 关系求数列的通项公式，以及等比数列的证明和判断，属综合基础题. 30．ABC 【分析】

利用代入法求出前几项的关系即可判断出a 1，b 1的取值范围，分组法求出其前2n 项和的表达式，分析，即可得解. 【详解】

∵数列{a n }为递增数列；∴a 1＜a 2＜a 3； ∵a n +a n +1＝2n ，

∴1223

24a a a a +=??+=?；

∴12123

212244a a a a a a a +??+=-?＞＞

∴0＜a 1＜1；故A 正确．

∴S 2n ＝（a 1+a 2）+（a 3+a 4）+…+（a 2n ﹣1+a 2n ）＝2+6+10+…+2（2n ﹣1）＝2n 2； ∵数列{b n }为递增数列；

∴b 1＜b 2＜b 3； ∵b n ?b n +1＝2n ∴12232

4

b b b b =??

=?；

∴21

32

b b b b ??

?＞＞； ∴1＜b

1B 正确． ∵T 2n ＝b 1+b 2+…+b 2n

＝（b 1+b 3+b 5+…+b 2n ﹣1）+（b 2+b 4+…+b 2n ）

(

)()()()

12

1

2

12122

12

2

n

n

n

b b b b ?--=

+=+-

))

2121n n ≥-=-；

∴对于任意的n ∈N*，S 2n ＜T 2n ；故C 正确，D 错误． 故选：ABC 【点睛】

本题考查了分组法求前n 项和及性质探究，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题. 31．BCD 【分析】

由数列的递推式可得1121n n n n a S S a ++=-=+，两边加1后，运用等比数列的定义和通项公

式可得n a ，1112211

(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----，由数列的裂项相消求和可得n T ． 【详解】

解：由121n n n S S a +=++即为1121n n n n a S S a ++=-=+，

可化为112(1)n n a a ++=+，由111S a ==，可得数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，

则12n

n a +=，即21n n a =-，

又1112211

(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----，可得22311111111

111212*********

n n n n T ++=-

+-+?+-=-<------， 故A 错误，B ，C ，D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】

本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，以及数列的裂项相消法求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题． 32．AB