等比数列基础测试题题库百度文库

一、等比数列选择题

1．等比数列{}n a 中，1234a a a ++=，4568a a a ++=，则789a a a ++等于（ ）

A ．16

B ．32

C ．64

D ．128

2．等比数列{}n a 中11a =，且14a ，22a ，3a 成等差数列，则()*n

a n N n

∈的最小值为（ ） A ．

16

25

B ．

49

C ．

12

D ．1

3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”你的计算结果是（ ） A ．80里

B ．86里

C ．90里

D ．96里

4．设a ，0b ≠，数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n n

n S a b n =---?+，*n N ∈，则

存在数列{}n b 和{}n c 使得（ ）

A ．n n n a b c =+，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列

B ．n n n a b c =+，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列

C ．·

n n n a b c =，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D ．·

n n n a b c =，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 5．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352

a a +=，245

4a a +=，则n n S =a （ ）

A ．14n -

B ．41n -

C ．12n -

D ．21n -

6．已知等比数列{}n a 的前5项积为32，112a <<，则35

124

a a a +

+的取值范围为（ ） A ．73,2??????

B ．()3,+∞

C ．73,2?? ???

D ．[

)3,+∞

7．正项等比数列{}n a 满足2

2

37610216a a a a a ++=，则28a a +=（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8

8．在流行病学中，基本传染数R 0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R 0个人，为第一轮传染，这R 0个人中每人再传染R 0个人，为第二轮传染，…….R 0一般由疾病的感染周期?感染者与其他人的接触频率?每次接触过程中传染的概率决定.假设新冠肺炎的基本传染数0 3.8R =，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为M ，则当M >1000时需要的天数至少为（ ）参考数据：lg38≈1.58 A ．34

B ．35

C ．36

D ．37

9．记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，若2415S S ==，，则7S =（ ）. A ．710S =

B ．723

S =

C ．7623

S =

D ．7127

3

S =

10．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，22

6598225a a a a ++=，则113a a 的最大值是

（ ） A ．25 B ．254

C ．5

D ．

2

5

11．题目文件丢失！

12．数列{a n }满足2

1

1232222

n n n

a a a a -+++?+=

(n ∈N *)，数列{a n }前n 和为S n ，则S 10等于（ ）

A ．55

12?? ???

B ．10

112??- ???

C ．9

112??- ??? D ．66

12?? ???

13．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积列”.若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2022积数列”，且a 1>1，则当其前n 项的乘积取最大值时，n 的最大值为（ ） A ．1009

B ．1010

C ．1011

D ．2020

14．已知等比数列{}n a 中，17a =，435a a a =，则7a =（ ） A ．

19

B ．

17

C ．

13

D ．7

15．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4

2

5S S =，则等比数列{}n a 的公比为（ ） A ．2 B ．1或2 C ．-2或2 D ．-2或1或2 16．已知1，a ，x ，b ，16这五个实数成等比数列，则x 的值为（ ）

A ．4

B ．－4

C ．±4

D ．不确定

17．在等比数列{}n a 中，12345634159,88

a a a a a a a a +++++=

=-，则123456

111111

a a a a a a +++++=（ ） A ．

35

B ．

35

C ．

53

D ．53

-

18．在等比数列{}n a 中，首项11,2a =11

,,232

n q a ==则项数n 为（ ） A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

19．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层

中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的中间一层共有灯（ ） A ．3盏

B ．9盏

C ．27盏

D ．81盏

20．正项等比数列{}n a 满足：241a a =，313S =，则其公比是（ ） A ．

14

B ．1

C ．

12

D ．

13

二、多选题21．题目文件丢失！

22．已知等差数列{}n a ，其前n 项的和为n S ，则下列结论正确的是（ ） A ．数列|n S n ??

?

???

为等差数列 B ．数列{}2

n

a 为等比数列

C ．若,()m n a n a m m n ==≠，则0m n a +=

D ．若,()m n S n S m m n ==≠，则0m n S += 23．若数列{}n a 的前n 项和是n S ，且22n n S a =-，数列{}n b 满足2log n n b a =，则下列选项正确的为（ ） A ．数列{}n a 是等差数列

B ．2n

n a =

C ．数列{}2n

a 的前n 项和为21

22

3

n +-

D ．数列11n n b b +??

?????

的前n 项和为n T ，则

1n T <

24．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a p =，122n n S S p --=（2n ≥，p 为非零常数），则下列结论正确的是（ ） A ．{}n a 是等比数列 B ．当1p =时，4158

S =

C ．当1

2

p =

时，m n m n a a a +?= D ．3856a a a a +=+

25．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31a =，13511121

4

a a a ++=，则（ ） A ．{}n a 必是递减数列 B ．531

4

S =

C ．公比4q =或

14

D ．14a =或

14

26．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1+14,()n n a S a n N *

==∈，数列12(1)n n n n a +??+??+?

?的

前n 项和为n T ，n *∈N ，则下列选项正确的是（ ） A ．24a =

B ．2n

n S =

C ．38

n T ≥

D ．12

n T <

27．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）

A ．数列2

{}n a 是等比数列 B ．若4123,27,a a ==则89a =± C ．若123,a a a <<则数列{}n a 是递增数列 D ．若数列{}n a 的前n 和13,n n S r -=+则r =-1

28．关于递增等比数列{}n a ，下列说法不正确的是（ ） A ．10a >

B ．1q >

C ．

1

1n

n a a +< D ．当10a >时，

1q >

29．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，满足13a =，且1a ，22a -，34a 成等差数列，则下列结论正确的是（ ） A ．1

13()2

n n a -=?-

B ．36n

n S a =+

C ．若数列{}n a 中存在两项p a ，s a

3a =，则19p s +的最小值为83

D ．若1

n n t S m S ≤-

≤恒成立，则m t -的最小值为116

30．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（ ） A ．此人第三天走了二十四里路

B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里

C ．此人第二天走的路程占全程的

1

4

D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍

31．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件

11a >，66771

1,

01

a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<

B ．681a a >

C ．n S 的最大值为7S

D ．n T 的最大值为6T

32．已知数列{}n a 前n 项和为n S .且1a p =，122(2)n n S S p n --=≥（p 为非零常数）测下列结论中正确的是（ ） A ．数列{}n a 为等比数列 B ．1p =时，41516

S =

C ．当12

p =

时，()*

,m n m n a a a m n N +?=∈ D ．3856a a a a +=+

33．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，22n n S a =-，若存在两项m a ，n a ，使得

64m n a a =，则（ ）

A ．数列{}n a 为等差数列

B ．数列{}n a 为等比数列

C ．22

212413

n

n a a a -++

+=

D ．m n +为定值

34．已知数列{a n }，{b n }均为递增数列，{a n }的前n 项和为S n ，{b n }的前n 项和为T n ．且满足a n +a n +1＝2n ，b n ?b n +1＝2n （n ∈N *），则下列说法正确的有（ ）

A ．0＜a 1＜1

B ．1＜b 1

C ．S 2n ＜T 2n

D ．S 2n ≥T 2n

35．已知正项等比数列{}n a 满足12a =，4232a a a =+，若设其公比为q ，前n 项和为

n S ，则（ ）

A ．2q

B ．2n

n a = C ．102047S = D ．12n n n a a a +++<

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、等比数列选择题 1．A 【分析】

由()4633512a a a a a a q +++=+，求得3

q ，再由()3

7s 94s 6a a a a a a q ++=++求解.

【详解】

1234a a a ++=，4568a a a ++=.

∴3

2q =，

∴()3

78945616a a a a a a q ++=++=.

故选：A 2．D 【分析】

首先设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠，根据14a ，22a ，3a 成等差数列，列出等量关系式，求得2q ，比较

()*n

a n N n

∈相邻两项的大小，求得其最小值. 【详解】

在等比数列{}n a 中，设公比(0)q q ≠， 当11a =时，有14a ，22a ，3a 成等差数列，

所以21344a a a =+，即2

44q q =+，解得2q

，

所以1

2

n n

a ，所以1

2n n a n n

-=

， 1

2111n n a n n a n n

++=≥+，当且仅当1n =时取等号， 所以当1n =或2n =时，()*

n a n N n

∈取得最小值1，

故选：D. 【点睛】

该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，三个数成等差数列的条件，求数列的最小项，属于简单题目. 3．D 【分析】

由题意得每天行走的路程成等比数列{}n a 、且公比为1

2

，由条件和等比数列的前项和公式求出1a ，由等比数列的通项公式求出答案即可． 【详解】

由题意可知此人每天走的步数构成

1

2

为公比的等比数列， 由题意和等比数列的求和公式可得611[1()]

2378

1

12a -=-， 解得1192a =，∴此人第二天走1

192962

?

=里， ∴第二天走了96里，

故选：D ． 4．D 【分析】

由题设求出数列{}n a 的通项公式，再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征，逐项判断，即可得出正确选项. 【详解】 解：

(21)[(2)22](2)2(2)n n n n S a b n a b bn a b =---?+=+-?-+，

∴当1n =时，有110S a a ==≠；

当2n ≥时，有1

1()2n n n n a S S a bn b --=-=-+?， 又当1n =时，0

1()2a a b b a =-+?=也适合上式，

1()2n n a a bn b -∴=-+?，

令n b a b bn =+-，1

2n n c -=，则数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列，

故n n n a b c =，其中数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列；故C 错，D 正确；

因为11

()22n n n a a b bn --+=-??，0b ≠，所以{

}1

2

n bn -?即不是等差数列，也不是等比数

列，故AB 错. 故选：D. 【点睛】 方法点睛：

由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11

,2

,1n n n S S n a a n --≥?=?=?求解，考查学生的计算能

力. 5．D 【分析】

根据题中条件，先求出等比数列的公比，再由等比数列的求和公式与通项公式，即可求出结果. 【详解】

因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352

a a +=

，245

4a a +=，

所以2

4135

1

452

2

q a a a a =++==， 因此()()11

1

1111112

21112n n

n

n n n n n n

a q S q q a a q q q ---??- ?

--??=

=

==--?? ???

. 故选：D. 6．C 【分析】

由等比数列性质求得3a ，把35

124

a a a ++表示为1a 的函数，由函数单调性得取值范围． 【详解】

因为等比数列{}n a 的前5项积为32，所以53

32a =，解得32a =，则23511

4a a a a =

=，35

124

a a a +

+ 1111a a =++

，易知函数()1

f x x x

=+在()1,2上单调递增，所以35173,242a a a ??+

+∈ ???，

故选：C ． 【点睛】

关键点点睛：本题考查等比数列的性质，解题关键是选定一个参数作为变量，把待求值的表示为变量的函数，然后由函数的性质求解．本题蝇利用等比数列性质求得32a =，选1a 为参数． 7．C 【分析】

利用等比数列的性质运算求解即可. 【详解】

根据题意，等比数列{}n a 满足2

2

37610216a a a a a ++=， 则有22

2

288216a a a a ++=，即()2

2816a a +=， 又由数列{}n a 为正项等比数列，故284a a +=． 故选：C ． 8．D 【分析】

假设第n 轮感染人数为n a ，根据条件构造等比数列{}n a 并写出其通项公式，根据题意列出关于n 的不等式，求解出结果，从而可确定出所需要的天数. 【详解】

设第n 轮感染人数为n a ，则数列{}n a 为等比数列，其中1 3.8a =，公比为0 3.8R =，

所以 3.81000n

n a =>，解得 3.8333

log 1000 5.17lg3.8lg3810.58

n >=

=≈≈-， 而每轮感染周期为7天，所以需要的天数至少为5.17736.19?=． 故选：D . 【点睛】

关键点点睛：解答本题的关键点有两个：（1）理解题意构造合适的等比数列；（2）对数的计算. 9．D 【分析】

利用等比数列前n 项和公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出这个数列的前7项和． 【详解】

n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，21S =，45S =，

∴21410(1)

11(1)51q a q q

a q q ?

?>?

?-?=?

-??-?=-??，解得113a =，2q ，

771

(12)

1273123

S -∴==

-．

故选：D ． 10．B 【分析】

由等比数列的性质，求得685a a +=，再结合基本不等式，即可求得113a a 的最大值，得到答案. 【详解】

由等比数列的性质，可得()2

2222

65986688682225a a a a a a a a a a ++=++=+=，

又因为0n a >，所以685a a +=，所以2

68113682524a a a a a a +??=≤=

???

， 当且仅当685

2

a a ==时取等号． 故选：B .

11．无

12．B 【分析】

根据题意得到2

212311

2222

n n n a a a a ---+++

+=

，（2n ≥），与条件两式作差，得到12n n a =

，（2n ≥），再验证112a =满足12n n a =，得到12n n

a =()*

n N ∈，进而可求出结果. 【详解】 因为数列{}n a 满足2

11232222

n n n a a a a -+++

+=

， 2212311

2222

n n n a a a a ---+++

+=

，（2n ≥） 则1

112

222--=

-=n n n n a ，则12

n n a =，（2n ≥）， 又112a =

满足12n n a =，所以12

n n a =()*

n N ∈，

因此101021012310101111111221122

2212

S a a a a ??- ???

??++=

+++==- ?+?-=?.

故选：B 13．C 【分析】

根据数列的新定义，得到122021...1a a a =，再由等比数列的性质得到2

10111a =，再利用

11,01a q ><<求解即可.

【详解】

根据题意：2022122022...a a a a =， 所以122021...1a a a =，

因为{a n }等比数列，设公比为q ，则0q >，

所以2

12021220201011...1a a a a a ====，

因为11a >，所以01q <<， 所以1010101110121,1,01a a a >=<<，

所以前n 项的乘积取最大值时n 的最大值为1011. 故选：C. 【点睛】

关键点睛：本题主要考查数列的新定义以及等比数列的性质，数列的最值问题，解题的关

键是根据定义和等比数列性质得出2

10111a =以及11,01a q ><<进行判断.

14．B 【分析】

根据等比中项的性质可求得4a 的值，再由2

174a a a =可求得7a 的值. 【详解】

在等比数列{}n a 中，对任意的n *∈N ，0n a ≠，

由等比中项的性质可得2

4354a a a a ==，解得41a =， 17a =，2

1741a a a ==，因此，71

7

a =

. 故选：B. 15．C 【分析】

设等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列的前n 项和公式运算即可得解. 【详解】

设等比数列{}n a 的公比为q ，

当1q =时，

41

21

422S a S a ==，不合题意； 当1q ≠时，()

()4142

4222111115111a q S q q q S q

a q q

---===+=---，解得2q =±. 故选：C. 16．A 【分析】

根据等比中项的性质有216x =，而由等比通项公式知2

x q =，即可求得x 的值. 【详解】

由题意知：216x =，且若令公比为q 时有2

0x q =>，

∴4x =， 故选：A 17．D 【分析】

利用等比数列下标和相等的性质有162534a a a a a a ==，而目标式可化为

162534

162534

a a a a a a a a a a a a +++++结合已知条件即可求值. 【详解】

162534123456162534

111111a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++=++， ∵等比数列{}n a 中349

8

a a =-，而162534a a a a a a ==， ∴123456111111a a a a a a +

++++=12345685()93

a a a a a a -+++++=-， 故选：D 18．C 【分析】

根据等比数列的通项公式求解即可. 【详解】

由题意可得等比数列通项5

1

11122n

n n a a q -????

=== ? ?????

，则5n = 故选：C 19．C 【分析】

根据题意，设塔的底层共有x 盏灯，分析可得每层灯的数目构成以x 为首项，1

3

为公比的等比数列，由等比数列的前n 项和公式可得x 的值，即可得答案． 【详解】

根据题意，设塔的底层共有x 盏灯，则每层灯的数目构成以x 为首项，1

3

为公比的等比数列，

则有51(1)

3363

1

13

x S ?-

=

=-， 解可得：243x =，

所以中间一层共有灯2

1243()273

?=盏. 故选：C 【点睛】

思路点睛：要求中间一层的灯的数量，只需求等比数列的首项，根据等比数列的和求出数列的首项即可. 20．D 【分析】

根据241a a =，由2

243a a a =，解得31a =，再根据313S =求解.

【详解】

因为正项等比数列{}n a 满足241a a =，

由于2

243a a a =，

所以2

31a =，31a =，211a q =.

因为313S =， 所以1q ≠. 由()()31231111a q S a q q q

-=

=++-

得2

2

131q q q =++， 即2

1210q q --=， 解得13q =，或1

4

q =-（舍去）. 故选：D

二、多选题 21．无

22．ABC 【分析】

设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d , ()11n a a n d +-=，其前n 项和为

()

112

n n n S na d -=+

，结合等差数列的定义和前n 项的和公式以及等比数列的定义对选项进行逐一判断可得答案. 【详解】 设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d , ()11n a a n d +-= 其前n 项和为()

112

n n n S na d -=+ 选项A.

112n S n a d n -=+，则+1111+1222

n n S S n n d a d a d n n -?

???-=+-+

= ? ?????（常数） 所以数列|n S n ??

????为等差数列，故A 正确. 选项B. ()1122

n

a n d

a +-=,则112222n n n n

a a a d a ++-==（常数），所以数列{}

2n a

为等比数列，故B

正确.

选项C. 由,m n a n a m ==，得()()1111m n

a a m d n

a a n d m ?=+-=??

=+-=?? ，解得11,1a m n d =+-=- 所以()()()111110m n a a n m d n m n m +=++-=+-++-?-=，故C 正确. 选项D. 由,m n S n S m ==，则()112

n n n n S a d m -=+=，()112

m m m m S a d n -=+

=

将以上两式相减可得：()()()2212d

m n a m m n n n m ??-+

---=-?

?

()()()112

d

m n a m n m n n m -+-+-=-，又m n ≠

所以()1112d a m n +

+-=-，即()1112

d

m n a +-=-- ()()()()()()()1

11112

m n m n m n d S m n a m n a m n a m n +++-=++

=+++--=-+，所

以D 不正确. 故选：ABC 【点睛】

关键点睛：本题考查等差数列和等比数列的定义的应用以及等差数列的前n 项和公式的应

用，解答本题的关键是利用通项公式得出()()1111m n

a a m d n a a n d m ?=+-=?

?

=+-=??，从中解出1,a d ，从而

判断选项C ，由前n 项和公式得到()112

n n n n S a d m -=+

=，

()112

m m m m S a d n -=+

=，然后得出

()1112

d

m n a +-=--，在代入m n S +中可判断D ，属于中档题. 23．BD 【分析】

根据22n n S a =-，利用数列通项与前n 项和的关系得1,1

,2n n

S n a S n =?=?≥?，求得通项n a ，然

后再根据选项求解逐项验证. 【详解】

当1n =时，12a =，

当2n ≥时，由22n n S a =-，得1122n n S a --=-， 两式相减得：12n n a a -=， 又212a a =，

所以数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列， 所以2n n a =，24n

n a =，数列{}2

n

a

的前n 项和为()14144414

3

n n n

S +--'=

=

-， 则22log log 2n

n n b a n ===，

所以()11111

11

n n b b n n n n +==-??++，

所以 1111111

(11123411)

n T n n n =-+-++-=-<++， 故选：BD 【点睛】

方法点睛：求数列的前n 项和的方法 (1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()

11122

n n n a a n n S na d +-=

=+②等比数列的前n 项和公式()

11,1

1,11n

n na q S a q q q =??=-?≠?

-?

；

(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．

(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．

(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.

(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 24．ABC 【分析】

由122(2)n n S S p n --=≥和等比数列的定义，判断出A 正确；利用等比数列的求和公式判断B 正确；利用等比数列的通项公式计算得出C 正确，D 不正确． 【详解】

由122(2)n n S S p n --=≥，得22

p a =

. 3n ≥时，1222n n S S p ---=，相减可得120n n a a --=，

又

2112a a =，数列{}n a 为首项为p ，公比为1

2

的等比数列，故A 正确； 由A 可得1p =时，441

11521812

S -

==-，故B 正确； 由A 可得m n m n a a a +?=等价为212

1122

m n m n p p ++?=?，可得12p =，故C 正确；

38271133||||22128a a p p ??+=+=? ???，56451112||||22128a a p p ??

+=+=? ???

，

则3856a a a a +>+，即D 不正确； 故选：ABC. 【点睛】 方法点睛：

由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11

,2

,1n n n S S n a a n --≥?=?=?求解，考查学生的计算能

力. 25．BD 【分析】

设设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，由已知得11121

14

a a ++=，解方程计算即可得答案.

【详解】

解：设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，

因为2

153

1a a a ==，2311a a q == ， 所以

51115135151511111112111114

a a a a a a a a a a a a a ++=++=++=+=+++=， 解得1412a q =???=??或1142.

a q ?=??

?=?， 当14a =，12q =时，5514131

21412

S ?

?- ?

??==-，数列{}n a 是递减数列；

当11

4

a =

，2q 时，531

4

S =

，数列{}n a 是递增数列； 综上，5314

S =. 故选：BD. 【点睛】

本题考查数列的等比数列的性质，等比数列的基本量计算，考查运算能力.解题的关键在于结合等比数列的性质将已知条件转化为11121

14

a a ++=，进而解方程计算. 26．ACD 【分析】

在1+14,()n n a S a n N *

==∈中，令1n =，则A 易判断；由3

2122S a a =+=，B 易判断；

令12(1)n n n b n n a ++=

+，13

8

b =，

2n ≥时，()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++=

==-++?+?，裂项求和3182

n

T ≤<，则CD 可判断. 【详解】

解：由1+14,()n n a S a n N *

==∈，所以2114a S a ===，故A 正确；

32212822S a a =+==≠，故B 错误；

+1n n S a =，12,n n n S a -≥=，所以2n ≥时，11n n n n n a S S a a -+=-=-，

1

2n n

a a +=， 所以2n ≥时，2422n n

n a -=?=，

令12(1)n n n b n n a ++=

+，12123

(11)8

b a +==+，

2n ≥时，()()11

12211

(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++=

==-++?+?，

113

8

T b ==，2n ≥时，

()()2334

1131111111118223232422122122

n n n n T n n n ++=+-+-+

+

-=-

82

n T ≤<，故CD 正确；

故选：ACD. 【点睛】

方法点睛：已知n a 与n S 之间的关系，一般用()11,12n n

n a n a S S n -=?=?-≥?递推数列的通项，注

意验证1a 是否满足()12n n n a S S n -=-≥；裂项相消求和时注意裂成的两个数列能够抵消求和. 27．AC 【分析】

根据等比数列定义判断A;根据等比数列通项公式判断B,C;根据等比数列求和公式求项判断D. 【详解】

设等比数列{}n a 公比为,(0)q q ≠

则2

221

12(

)n n n n

a a q a a ++==，即数列2{}n a 是等比数列；即A 正确； 因为等比数列{}n a 中4812,,a a a 同号，而40,a > 所以80a >，即B 错误；

若123,a a a <<则12

1

1101a a a q a q q >?<<∴?>?或1001a q

，即数列{}n a 是递增数列，C 正确； 若数列{}n a 的前n 和13,n n S r -=+则111221313231,2,6a S r r a S S a S S -==+=+=-==-= 所以32211

323(1),3

a a q r r a a =

==∴=+=-，即D 错误 故选：AC 【点睛】

等比数列的判定方法

(1)定义法：若1

(n n

a q q a +=为非零常数)，则{}n a 是等比数列； (2)等比中项法：在数列{}n a 中，0n a ≠且2

12n n a a a a ++=，则数列{}n a 是等比数列；

(3)通项公式法：若数列通项公式可写成(,n

n a cq c q =均是不为0的常数)，则{}n a 是等比

数列；

(4)前n 项和公式法：若数列{}n a 的前n 项和(0,1,n

n S kq k q q k =-≠≠为非零常数)，则

{}n a 是等比数列.

28．ABC 【分析】

由题意，设数列{}n a 的公比为q ，利用等比数列{}n a 单调递增，则

111(1)0n n n a a a q q -+-=->，分两种情况讨论首项和公比，即可判断选项.

【详解】

由题意，设数列{}n a 的公比为q ，

因为1

1n n a a q -=，

可得1

11(1)0n n n a a a q

q -+-=->，

当10a >时，1q >，此时1

01n

n a a +<<， 当10a <时，1

01,1n

n a q a +<<>， 故不正确的是ABC. 故选：ABC. 【点睛】

本题主要考查了等比数列的单调性.属于较易题. 29．ABD 【分析】

根据等差中项列式求出1

2

q =-

，进而求出等比数列的通项和前n 项和，可知A ，B 正确；

3a =求出15p s =??=?或24p s =??=?或42p s =??=?或5

1

p s =??=?，可知19p s +的最小值为114

，C 不正确；利用1n

n y S S =-关于n S 单调递增，求出1n n S S -的最大、最小值可得结果. 【详解】

设等比数列{}n a 的公比为q ，

由13a =，21344a a a -=+得2

43343q q -?=+?，解得1

2

q =-

，所以11

3()2

n n a -=?-，

1221()121()2

n n S ??==-- ???--；

1111361()66()63()63222n n n n n S a -?

?=--=--=+?-=+ ??

?；所以A ，B 正确；

3a =，则23p s a a a ?=，1122111()p s p s a a a q a q a q --?==，

所以11

4p s q q

q --=，所以6p s +=，

则15p s =??

=?或24p s =??=?或42p s =??=?或51p s =??=?

，此时19145p s +=或114或194或465；C 不正确，

122,2121()2122,2n

n n n

n S n ???

+? ?????

?=--=? ?????

?- ?????

为奇数为偶数， 当n 为奇数时，(2,3]n S ∈，当n 为偶数时，3

[,2)2

n S ∈，

又1n n y S S =-

关于n S 单调递增，所以当n 为奇数时，138

(,]23

n n S S -

∈，当n 为偶数时，153

[,)62n n S S -

∈，所以83

m ≥，56t ≤，所以8511366m t -≥-=，D 正确， 故选：ABD . 【点睛】

本题考查了等差中项的应用，考查了等比数列通项公式，考查了等比数列的前n 项和公式，考查了数列不等式恒成立问题，属于中档题. 30．BD 【分析】

根据题意，得到此人每天所走路程构成以1

2

为公比的等比数列，记该等比数列为{}n a ，公比为1

2

q =

，前n 项和为n S ，根据题意求出首项，再由等比数列的求和公式和通项公式，逐项判断，即可得出结果. 【详解】

由题意，此人每天所走路程构成以1

2

为公比的等比数列， 记该等比数列为{}n a ，公比为1

2

q =

，前n 项和为n S ，

则6163

237813212

S a ??===-，解得1192a =，

所以此人第三天走的路程为23148a a q =?=，故A 错；

此人第一天走的路程比后五天走的路程多()1611623843786a S a a S --=-=-=里，故B 正确；

此人第二天走的路程为21378

9694.54

a a q =?=≠

=，故C 错； 此人前三天走的路程为31231929648336S a a a =++=++=，后三天走的路程为

6337833642S S -=-=，336428=?，即前三天路程之和是后三天路程之和的8倍，D 正

确； 故选：BD. 【点睛】

本题主要考查等比数列的应用，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型. 31．AD 【分析】

分类讨论67,a a 大于1的情况，得出符合题意的一项. 【详解】

①671,1a a >>, 与题设

671

01

a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意. ③671,1,a a <<与题设

671

01

a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.

得671,1,01a a q ><<<，则n T 的最大值为6T .

∴B ，C ，错误.

故选：AD. 【点睛】

考查等比数列的性质及概念. 补充：等比数列的通项公式：()1

*

1n n a a q n N -=∈.

32．AC 【分析】

由122(2)n n S S p n --=≥和等比数列的定义，判断出A 正确；利用等比数列的求和公式判断B 错误；利用等比数列的通项公式计算得出C 正确，D 不正确． 【详解】

由122(2)n n S S p n --=≥，得22

p a =

.