微积分基本定理综合测试题(有答案)
微积分基本定理综合测试题(有答案)
选修2-2 1.6 微积分基本定理
一、选择题 1.下列积分正确的是( ) [答案] A A.214
B.54
C.338
D.218 [答案] A [解析] 2-2x2+
1x4dx=2-2x2dx+2-21x4dx =13x32-2+-13x-32-2 =13(x3-x-3)2-2 =138-18-13-8+18=214. 故应选A. 3.1-1|x|dx 等于( ) A.1-1xdx B.1-1dx C.0-1(-x)dx+01xdx D.0-1xdx +01(-x)dx [答案] C [解析] ∵|x|=x (x≥0)-x (x<0) ∴1-1|x|dx=0-1|x|dx+01|x|dx =0-1(-x)dx+01xdx,故应选C. 4.设f(x)=x2 (0≤x<1)2-x (1≤x≤2),则02f(x)dx等于( ) A.34 B.45 C.56 D.不存在 [答案] C [解析] 02f(x)dx =01x2dx+12(2-x)dx 取F1(x)=13x3,F2(x)=2x-12x2,则
F′1(x)=x2,F′2(x)=2-x ∴02f(x)dx=F1(1)-F1(0)+F2(2)
-F2(1) =13-0+2×2-12×22-2×1-12×12=56.故应选C. 5.abf′(3x)dx=( ) A.f(b)-f(a) B.f(3b)-f(3a) C.13[f(3b)-f(3a)] D.3[f(3b)-f(3a)] [答案] C [解析] ∵13f(3x)′=f′(3x) ∴取F(x)=13f(3x),则abf′(3x)dx=F(b)-F(a)=
13[f(3b)-f(3a)].故应选C. 6.03|x2-4|dx=( ) A.213
B.223
C.233
D.253 [答案] C [解析] 03|x2-4|dx =02(4-x2)dx+23(x2-4)dx =4x-13x320+13x3-4x32=233. A.-32 B.-12 C.12 D.32 [答案] D [解析] ∵1-2sin2θ2=cosθ8.函数F(x)=0xcostdt的导数是( ) A.cosx B.sinx C.-cosx D.-sinx [答案] A [解析] F(x)=0xcostdt=sintx0=sinx -sin0=sinx. 所以F′(x)=cosx,故应选A. 9.若0k(2x-3x2)dx =0,则k=( ) A.0 B.1 C.0或1 D.以上都不对 [答案] C [解析] 0k(2x-3x2)dx=(x2-x3)k0=k2-k3=0,∴k=0或1. 10.函数F(x)=0xt(t-4)dt在[-1,5]上( ) A.有最大值0,无最小值 B.有最大值0和最小值-323 C.有最小值-323,无最大值 D.既无最大值也无最小值 [答案] B [解析] F(x)=0x(t2-
4t)dt=13t3-2t2x0=13x3-2x2(-1≤x≤5).F′(x)=x2-4x,由F′(x)=0得x=0或x=4,列表如下: x (-1,0) 0 (0,4) 4 (4,5)
F′(x) + 0 - 0 + F(x) ??极大值极小值??可见极大值F(0)=0,极小值F(4)=-323. 又F(-1)=-73,F(5)=-253 ∴最大值为0,最小值为-323. 二、填空题 11.计算定积分:①1-1x2dx=________ ②233x-2x2dx=________ ③02|x2-1|dx=
________ ④0-π2|sinx|dx=________ [答案] 23;436;2;1 [解析] ①1-1x2dx=13x31-1=23. ②233x-2x2dx=32x2+2x32=436. ③02|x2-1|dx=01(1-x2)dx+12(x2-1)dx =x-13x310+13x3-x21=2. [答案] 1+π2 13.(2010?陕西理,13)从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x,y),则点M取自阴影部分的概率为________. [答案] 13 [解析] 长方形的面积为S1=3,S阴=013x2dx=x310=1,则P=S1S阴=13. 14.已知f(x)=3x2+2x+1,若1-1f(x)dx=2f(a)成立,则a=________. [答案] -1或13 [解析] 由已知F(x)=x3+x2+x,F(1)=3,F(-1)=-1,∴1-
1f(x)dx=F(1)-F(-1)=4,∴2f(a)=4,∴f(a)=2. 即3a2+2a +1=2.解得a=-1或13. 三、解答题 15.计算下列定积分:(1)052xdx;(2)01(x2-2x)dx; (3)02(4-2x)(4-x2)dx;(4)12x2+2x-3xdx. [解析] (1)052xdx=x250=25-0=25. (2)01(x2-2x)dx=01x2dx-012xdx =13x310-x210=13-1=-23. (3)02(4-2x)(4-x2)dx=02(16-8x-4x2+2x3)dx =16x-4x2-43x3+12x420 =32-16-323+8=403. (4)12x2+2x-3xdx=12x+2-
3xdx =12x2+2x-3lnx21=72-3ln2. 16.计算下列定积分: [解析] (1)取F(x)=12sin2x,则F′(x)=cos2x =121-32=14(2-3). (2)取F(x)=x22+lnx+2x,则F′(x)=x+1x+2. ∴23x+1x2dx=23x+1x+2dx =F(3)-F(2) =92+ln3+6-12×4+ln2+4 =92+ln32. (3)取F(x)=32x2-cosx,则F′(x)=3x+sinx 17.计算下列定积分: (1)0-4|x+2|dx; (2)已知f(x)=,求3-1f(x)dx的值. [解析] (1)∵f(x)=|x+2|=∴0-4|x+2|dx =--4-2(x+2)dx+0-2(x+2)dx =-12x2+2x-2-4+12x2+2x0-2 =2+2=4. (2)∵f(x)=∴3-1f(x)dx=0-1f(x)dx+
01f(x)dx+12f(x)dx+23f(x)dx=01(1-x)dx+12(x-1)dx =x-x2210+x22-x21 =12+12=1. 18.(1)已知f(a)=01(2ax2-
a2x)dx,求f(a)的最大值; (2)已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且f(-1)=2,f′(0)=0,01f(x)dx=-2,求a,b,c的值. [解析] (1)取F(x)=23ax3-12a2x2 则F′(x)=2ax2-a2x ∴f(a)=
01(2ax2-a2x)dx =F(1)-F(0)=23a-12a2 =-12a-232+29 ∴当a=23时,f(a)有最大值29. (2)∵f(-1)=2,∴a-b+c=2① 又∵f′(x)=2ax+b,∴f′(0)=b=0② 而01f(x)dx=01(ax2+bx+c)dx 取F(x)=13ax3+12bx2+cx 则F′(x)=ax2+bx+c
∴01f(x)dx=F(1)-F(0)=13a+12b+c=-2③ 解①②③得a=6,b=0,c=-4.
1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版
定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =?? ?0 1(x 2-x )d x B .S =?? ?0 1 (x -x 2)d x C .S =?? ?0 1 (y 2-y )d y D .S =??? 1 (y - y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图 形的面积S =?? ?0 1 (x -x 2)d x . 2.如图,阴影部分面积等于( ) A .2 3 B .2-3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为
S =??? -3 1 (3-x 2 -2x )d x =(3x -1 3x 3-x 2)|1 -3=32 3. 4-x 2d x =( ) A .4π B .2π C .π [答案] C [解析] 令y =4-x 2,则x 2+y 2=4(y ≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积, ∴S =1 4×π×22=π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( ) A .在t 1时刻,甲车在乙车前面 B .在t 1时刻,甲车在乙车后面 C .在t 0时刻,两车的位置相同 D .t 0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在t 0,t 1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积
选修2-2 1.6 微积分基本定理练习题
选修2-2 1.6 微积分基本定理 一、选择题 1.下列积分正确的是( ) A. 1227 1 3 =? x dx B.e e dx x e x -=? 2 1 21 C.() 316122ln 0=+?dx e e x x 222 =?-ππxdx D. [答案] A [解析] 122 3 27232 3 32 271 3 227 1 3 127 1 3 =-?===? ? - x dx x x dx 2. =??? ? ?+?-dx x x 2 2421 A. 21 4 B.54 C.33 8 D.21 8 [答案] A [解析] ??2-2? ????x 2+1x 4d x =??2-2x 2 d x +??2-21x 4d x =13x 3| 2-2+? ????-13x -3| 2 -2 =13 (x 3-x -3)| 2 -2 =13? ????8-18-13? ? ???-8+18=214. 故应选A. 3. ? -1 1 |x |d x 等于( ) A.??1-1x d x B.??1-1d x C.? ?0-1(-x )d x +??0 1x d x D.? ?0-1x d x +??0 1(-x )d x [答案] C [解析] ∵|x |=??? ?? x (x ≥0) -x (x <0) ∴??1-1|x |d x =? ?0-1|x |d x +??0 1|x |d x =? ?0-1(-x )d x +??0 1x d x ,故应选C. 4.设f (x )=? ?? ?? x 2 (0≤x <1) 2-x (1≤x ≤2),则??0 2f (x )d x 等于( ) A.3 4 B.4 5 C.56 D .不存在 [答案] C
7.微积分基本定理练习题
7、微积分基本定理 一、选择题 1.??0 1(x 2 +2x )d x 等于( ) A.13 B.23 C .1 D.43 2.∫2π π(sin x -cos x )d x 等于( ) A .-3 B .-2 C .-1 D .0 3.自由落体的速率v =gt ,则落体从t =0到t =t 0所走的路程为( ) A.13gt 20 B .gt 2 0 C.12gt 20 D.16gt 20 4.曲线y =cos x ? ????0≤x ≤3π2与坐标轴所围图形的面积是( ) A .4 B .2 C.5 2 D .3 5.如图,阴影部分的面积是( ) A .2 3 B .2- 3 C.323 D.35 3 6.??0 3|x 2-4|d x =( ) A.213 B.223 C.233 D.25 3 7.??241 x d x 等于( ) A .-2ln2 B .2ln2 C .-ln2 D .ln2 8.若??1a ? ?? ??2x +1x d x =3+ln2,则a 等于( ) A .6 B .4 C .3 D .2 9.(2010·山东理,7)由曲线y =x 2 ,y =x 3 围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.7 12 10.设f (x )=??? ?? x 2 0≤x <12-x 1 11.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ,y ),则点M 取自阴影部分的概率为________. 12.一物体沿直线以v =1+t m/s 的速度运动,该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________. 13.求曲线y =sin x 与直线x =-π2,x =5 4π,y =0所围图形的面积为________. 14.若a =??02x 2 d x ,b =??02x 3 d x ,c =??0 2sin x d x ,则a 、b 、c 大小关系是________. 三、解答题 15.求下列定积分: ①??0 2(3x 2+4x 3 )d x ; ② sin 2 x 2 d x . 17.求直线y =2x +3与抛物线y =x 2 所围成的图形的面积. 18.(1)已知f (a )=??0 1(2ax 2 -a 2 x )d x ,求f (a )的最大值; (2)已知f (x )=ax 2 +bx +c (a ≠0),且f (-1)=2,f ′(0)=0,??0 1f (x )d x =-2,求a ,b ,c 的值. DBCDCCDDAC 11. 13 12. 23(1132-1) 13.4-2 2 [解析] 所求面积为 =1+2+? ?? ?? 1-22=4-22. 14.[答案] c 微积分基本定理 编稿:赵雷 审稿:李霞 【学习目标】1.理解微积分基本定理的含义。 2.能够利用微积分基本定理求解定积分相关问题。 【要点梳理】 要点一、微积分基本定理的引入 我们已学过过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法,也是比较一般的方法。 (1)导数和定积分的直观关系: 如下图:一个做变速直线运动的物体的运动规律是s=s (t ),由导数的概念可知,它在任意时刻t 的速度v (t )=s '(t )。设这个物体在时间段[a ,b]内的位移为s ,你能分别用 s (t )、v (t )表示s 吗? 一方面,这段路程可以通过位置函数S (t )在[a ,b]上的增量s (b )-s (a )来表达, 即 s=s (b )-s (a )。 另一方面,这段路程还可以通过速度函数v (t )表示为 ()d b a v t t ? , 即 s = ()d b a v t t ? 。 所以有: ()d b a v t t =? s (b )-s (a ) (2)导数和定积分的直观关系的推证: 上述结论可以利用定积分的方法来推证,过程如下: 如右图:用分点a=t 0<t 1<…<t i -1<t i <…<t n =b , 将区间[a ,b]等分成n 个小区间: [t 0,t 1],[t 1,t 2],…,[t i ―1,t i ],…,[t n ―1,t n ], 每个小区间的长度均为 1i i b a t t t n --?=-= 。 当Δt 很小时,在[t i ―1,t i ]上,v (t )的变化很小,可以认为物体近似地以速度v (t i ―1)做匀速运动,物体所做的位移 111()'()'()i i i i i b a s h v t t s t t s t n ----?≈=?=?= 。 ② 从几何意义上看,设曲线s=s (t )上与t i ―1对应的点为P ,PD 是P 点处的切线,由导数的几何意义知,切线PD 的斜率等于s '(t i ―1),于是 1tan '()i i i s h DPC t s t t -?≈=∠??=??。 结合图,可得物体总位移 111 1 1 1 ()'()n n n n i i i i i i i i s s h v t t s t t --=====?≈=?=?∑∑∑∑。 显然,n 越大,即Δt 越小,区间[a ,b]的分划就越细,1 11 1 ()'()n n i i i i v t t s t t --==?=?∑∑与s 的近似程度就越好。由定积分的定义有 11lim ()n i n i b a s v t n -→∞=-=∑11 lim '()n i n i b a s t n -→∞=-=∑()d '()d b b a a v t t s t t ==??。 结合①有 ()d '()d ()()b b a a s v t t s t t s b s a ===-??。 上式表明,如果做变速直线运动的物体的运动规律是s=s (t ),那么v (t )=s '(t )在 区间[a ,b]上的定积分就是物体的位移s (b )―s (a )。 一般地,如果()f x 是区间[a ,b]上的连续函数,并且'()()F x f x =,那么 ()d ()()b a f x x F b F a =-? 。 这个结论叫做微积分基本定理。 要点二、微积分基本定理的概念 微积分基本定理: 一般地,如果'()()F x f x =,且()f x 在[a ,b]上可积,则()d ()()b a f x x F b F a =-? 。 这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿-莱布尼兹公式。 其中,()F x 叫做()f x 的一个原函数。为了方便,我们常把()()F b F a -记作()b a F x ,即 ()d ()()()b b a a f x x F x F b F a ==-? 。 1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A .a 1.6 微积分基本定理 周;使用时间17年 月 日 ;使用班级 ;姓名 一、选择题 1.若F ′(x )=x 2,则F (x )的解析式不正确的是( ) A .F (x )=13x 3 B .F (x )=x 3 C .F (x )=13x 3+1 D .F (x )=13x 3+c (c 为常数) 2.?0-4|x +2|d x 等于( ) A .?0-4(x +2)d x B .?0-4(-x -2)d x C .?- 2-4(x +2)d x +?0-2(-x -2)d x D .?- 2-4(-x -2)d x +?0-2(x +2)d x 3.若S 1=?21x 2d x ,S 2=?211x d x ,S 3=?21e x d x ,则S 1,S 2,S 3的大小关系为( ) A .S 1 微积分基本定理 一:教学目标 知识与技能目标 通过实例,直观了解微积分基本定理的内容,会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法 通过实例探求微分与定积分间的关系,体会微积分基本定理的重要意义 情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培养学生辩证唯物主义观点,提高理性思维能力。 二:教学重难点 重点:通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系,使学生直观了解微积分基 本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点:了解微积分基本定理的含义 三:教学过程: 1、知识链接: 定积分的概念: 用定义计算的步骤: 2、合作探究: ⑴导数与积分的关系; 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般方法。有没有计算定积分的更直接方法,也是比较一般的方法呢? 下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例: 设一物体沿直线作变速运动,在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)(()v t o ≥), 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为2 1()T T v t dt ?。 另一方面,这段路程还可以通过位置函数S (t )在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达,即 2 1()T T v t dt ?=12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 说出你的发现 ⑵ 微积分基本定理 对于一般函数()f x ,设()()F x f x '=,是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-?? 若上式成立,我们就找到了用()f x 的原函数(即满足()()F x f x '=)的数值差知识讲解_微积分基本定理
定积分及微积分基本定理练习题及答案
人教新课标版数学高二-2-2限时练 1.6 微积分基本定理
微积分基本定理 教案
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