平面解析几何高考复习知识点
平面解析几何 高考复习知识点
一、直线的倾斜角、斜率 1、直线的倾斜角：
（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条及x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。当直线l 及x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0；
（2）倾斜角的范围[)π,0。 2、直线的斜率
（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率； （2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为
()212
12
1x x x x y y k ≠--=
；
（3）直线的方向向量(1,)a k =，直线的方向向量及直线的斜率有何关系？
（4）应用：证明三点共线： AB BC k k =。 例题：
例1．已知直线的倾斜角的变化范围为，求该直线斜率的变
化范围；
思路点拨：已知角的范围，通过正切函数的图像，可以求得斜率的范围，反之，已知斜率的范围，通过正切函数的图像，可以求得角的范围 解析： ∵， ∴．
总结升华：
在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围，或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范围时，可利用
在和上是增函
数分别求解.当时，；当时，；当时，；当不存在时，.反之，亦成立.
类型二：斜率定义
例2．已知△ABC为正三角形，顶点A在x轴上，A在
边BC的右侧，∠BAC的平分线在x轴上，求边AB及AC所
在直线的斜率.
思路点拨：
本题关键点是求出边AB及AC所在直线的倾斜角，利用斜率的定义求出斜率.
解析：
如右图，由题意知∠BAO=∠OAC=30°
∴直线AB的倾斜角为180°-30°=150°，直线AC的倾斜角为30°，
∴k AB=tan150°= k AC=tan30°=
总结升华：
在做题的过程中，要清楚倾斜角的定义中含有的三个条件①直线向上方向②轴正向③小于的角，只有这样才能正确的求出倾斜角.
类型三：斜率公式的应用
例3．求经过点，直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角．
思路点拨： 已知两点坐标求斜率，直接利用斜率公式即可. 解析： 且
，
经过两点的直线的斜率
，即
．
即当时，为锐角，当
时，为钝角．
例4、过两点，
的直线的倾斜角为
，求的值． 【答案】
由题意得：直线的斜率，
故由斜率公式，
解得
或
． 经检验不适合，舍去. 故．
例5．已知三点A(a ，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a 的值． 思路点拨：
如果过点AB ，BC 的斜率相等，那么A ，B ，C 三点共线. 解析：
∵A 、B 、C 三点在一条直线上， ∴k AB =k AC ．即
二、直线方程的几种形式
1、点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为
00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。
2、斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线。
3、两点式：已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点，则直线方程为
121
121x x x x y y y y --=
--，它不包括垂直于坐标轴的直线。 4、截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程
为1=+
b
y
a
x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。 5、一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=(A,B 不同时为0)
的形式。
提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等?直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数?直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等?直线的斜率为1±或直线过原点。如过点(1,4)A ，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条（答：3）
注：设直线方程的一些常用技巧：
（1）知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+；
（2）知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(它不适用于斜率为0的直线)；
（3）知直线过点00(,)x y ，当斜率k 存在时，常设其方程为00()y k x x y =-+，当斜率k 不存在时，则其方程为0x x =；
（4）及直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=； （5）及直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=. 提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。
三、两直线之间的位置关系 1、距离公式
（1）平面上的两点
间的距离
。特别地，原点O （0，0）及任意一点的P(x,y)
的距离
（2）点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离002
2
Ax By C
d A B
++=
+；
（3）两平行线1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=间的距离为
d =
。
2、直线1111:0l A x B y C ++=及直线2222:0l A x B y C ++=的位置关系： （1）平行?12210A B A B -=（斜率）且12210B C B C -≠（在y 轴上截距）； （2）相交?12210A B A B -≠；
（3）重合?12210A B A B -=且12210B C B C -=； （4）垂直?12120A A B B += 提醒： （1）
111222A B C A B C =≠、1122A B A B ≠、111222
A B C
A B C ==仅是两直线平行、相交、
重合的充分不必要条件！为什么？
（2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；
3、两直线夹角公式
（1）1l 到2l 的角是指直线1l 绕着交点按逆时针方向转到和直线2l 重合所转的角θ，θ()π,0∈且tan θ=
2
11
21k k k k +-(121k k ≠-)；
（2）1l 及2l 的夹角是指不大于直角的角,(0,]2
π
θθ∈且tan θ=︱
2
11
21k k k k +-︱(121k k ≠-)。
提醒：解析几何中角的问题常用到角公式或向量知识求解。如已知点M 是直线240x y --=及x 轴的交点，把直线l 绕点M 逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是______（答：360x y +-=） 例题：
例1、两条直线m y x m l 352)3(1-=++：
，16)5(42=++y m x l ：，求分别满足下列条件的m 的值．
(1) 1l 及2l 相交； (2) 1l 及2l 平行； (3) 1l 及
2l 重合；
(4) 1l 及2l 垂直； (5) 1l 及2l 夹角为?45． 解：由
m
m +=+5243得0782=++m m ，解得11-=m ，72-=m ．
由
16
3543m
m -=
+得1-=m ． (1)当1-≠m 且7-≠m 时，2
1
21b b a a ≠，1l 及2l 相交； (2)当7-=m 时，2
1
2121c c b b a a ≠=．21//l l ； (3)当1-=m 时，
2
1
2121c c b b a a ==，1l 及2l 重合； (4)当02121=+b b a a ，即0)5(24)3(=+?+?+m m ，3
11
-=m 时，21l l ⊥； (5) 231+-
=m k ，m
k +-=54
2．由条件有145tan 11212=?=+-k k k k ．
将1k ，2k 代入上式并化简得029142=++m m ，527±-=m ；
01522=-+m m ，35或-=m ．∴当527±-=m 或-5或3时1l 及2l 夹角
为?45．
例2当
a
为何值时，直线
1)1()2(1=--++y a x a l ：及直线
02)32()1(2=+++-y a x a l ：互相垂直？
解：由题意，直线21l l ⊥．
(1)若01=-a ，即1=a ，此时直线0131=-x l ：，0252=+y l ：显然垂直；
(2)若032=+a ，即2
3-=a 时，直线0251=-+y x l ：
及直线0452=-x l ：不垂直；
(3)若01≠-a ，且032≠+a ，则直线1l 、2l 斜率1k 、2k 存在，
a a k -+-
=12
1，3
212+--=a a k ． 当21l l ⊥时，121-=?k k ，即1)3
21
()12(-=+--
?-+-a a a
a ，∴1-=a . 综上可知，当1=a 或1-=a 时，直线21l l ⊥．
例3已知直线l 经过点)1,3(P ，且被两平行直线011=++y x l ：
和
062=++y x l ：截得的线段之长为
5，求直线l 的方程．
解法一：若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为3=x ，此时及1l 、
2
l 的交点分别为
)
4,3('-A 和
)
9,3('-B ，截得的线段AB 的长
594=+-=AB ，符合题意，
若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为1)3(+-=x k y ． 解方程组?
??=+++-=,01,1)3(y x x k y 得???
??+--+-114,123k k k k A ，
解方程组???=+++-=,
06,1)3(y x x k y 得???
??+--+-119,173k k k k B ．
由
5=AB ，得2
2
2
51191141731
23=??? ??+-++--+??? ??+--+-k k k k k k k k ． 解之，得0=k ，即欲求的直线方程为1=y ． 综上可知，所求l 的方程为3=x 或1=y ． 解法二：由题意，直线1l 、2l 之间的距离为1
2
5261=-=
d ，且直线l
被平等直线1l 、2l 所截得的线段AB 的长为5（如上图），设直线l 及直
线1l 的夹角为θ，则2
252
25
sin ==
θ，故∴?=45θ．
由直线011=++y x l ：的倾斜角为135°，知直线l 的倾斜角为0°或90°，又由直线l 过点)1,3(P ，故直线l 的方程为3=x 或1=y ．
解法三：设直线l 及1l 、2l 分别相交),(11y x A 、),(22y x B ，则：
0111=++y x ，0622=++y x ．
两式相减，得5)()(2121=-+-y y x x ． ① 又25)()(221221=-+-y y x x ②
联立①、②，可得??
?=-=-052121y y x x 或???=-=-5
2121y y x x
由上可知，直线l 的倾斜角分别为0°或90°． 故所求直线方程为3=x 或1=y ．
例4 已知直线082=+-y x l ：和两点)0,2(A 、)4,2(--B ． (1)在l 上求一点P ，使PB PA +最小； (2)在l 上求一点P ，使PA PB -最大． 解：(1)如图，设A 关于l 的对称点为),('n m A
则???????=+?-+-=-08222
2,22
n m m n
∴2-=m ，8=n ． ∴)8,2('-A
∴B A '的的是2-=x ，B A '及l 的交点是)3,2(-， 故所求的点为)3,2(-P ． (2)如下图，
AB 是方程)2()
2(2)
4(0-----=
x y ，
即2-=x y ．
代入l 的方程，得直线AB 及l 的交点)10,12(， 故所求的点P 为)10,12(．
四、对称问题——代入法（中心对称和轴对称）
1、 中心对称
(1)点关于点对称点P （00,y x ）关于（b a ,）对称的点为（002,2y b x a --）；
(2)线关于点对称：（转化为点点对称） 在已知直线上任意去两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再有两点式求出直线方程，或者求出一个点，再利用两直线平行（注：线关于点对称的另一条直线和已知直线平行），由点斜式求出直线方程。 特别的，直线x=a 关于点P （00,y x ）的对称直线为a x x -=02；直线y=b 关于点P （00,y x ）的对称直线为b y y -=02
2、 轴对称
（1）点关于直线的对称问题：
（1）点（00,y x ）关于x 轴对称的点为（00,y x -）； （2）点（00,y x ）关于y 轴对称的点为（00,y x -）； （3）点（00,y x ）关于原点对称的点为（00,y x --）； （4）点（00,y x ）关于x y =对称的点为（00,x y ）； （5）点（00,y x ）关于x y -=对称的点为（00,x y --）。 （6）设点P （00,y x ）关于直线y=kx+b 的对称点
则有
由此求出
特别的，点P （00,y x ）关于直线x=a 的对称点为；点P （00,y x ）关于直线y=b 的对称点为
。
（2）直线关于直线的对称问题：
它的一般解题步骤是：1. 在所求曲线上选一点),(y x M ；2. 求出这点关于中心或轴的对称点),(00'y x M 及),(y x M 之间的关系；3. 利用0),(00=y x f 求出曲线0),(=y x g 。直线关于直线的对称问题是对称问题中的较难的习题，但它的解法很多，现以一道典型习题为例给出几种常见解法，供大家参考。
例题：试求直线01:1=-+y x l 关于直线033:2=--y x l 对称的直线l 的方程。
解法1：（动点转移法）
在1l 上任取点
))(,(2''l P y x P ?，设点P 关于2l 的对称点为),(y x Q ，则 ?????-+=++-=????????-
=--=-+-+534359
343103223''''
''y x y y x x x x y y y y x x
又点P 在1l 上运动，所以01=-+y x ，所以0
153
435934=--++++-y x y x 。
即017=--y x 。所以直线l 的方程是017=--y x 。
解法2：（到角公式法）
解方程组??
?==??
??=--=-+01
03301y x y x y x 所以直线21,l l 的交点为A(1,0) 设所求直线l 的方程为)1(-=x k y ，即0=--k y kx ,由题意知，1l 到2l 及2
l 到l 的角相等，则71
31313113=
?+-=?-+k k
k .所以直线l 的方程是017=--y x 。
解法3：（取特殊点法）
解方程组??
?==??
??=--=-+01
03301y x y x y x 所以直线21,l l 的交点为A(1,0)
在1l 上取点P （2，1），设点P 关于2l 的对称点的坐标为
),(''y x Q ，则?????==????
????-
=--=-+-+5754
31210321223''''
''y x x y y x 而点A ，Q 在直线l 上，由两点式可求直线l 的方程是017=--y x 。 解法4：（两点对称法）
对解法3，在1l 上取点P （2，1），设点P 关于2l 的对称点的坐标为)
57
,54(Q ，在1l 上取点M （0，1），设点P 关于2l 的对称点的坐标为)
51
,512(N 而N ，Q 在直线l 上，由两点式可求直线l 的方程是017=--y x 。
解法5：（角平分线法）
解方程组???==??
?
?=--=-+01
03301y x y x y x 所以直线21,l l 的交点为A(1,0) 设所求直线l 的方程为：设所求直线l 的方程为)1(-=x k y ,即
0=--k y kx .由题意知，2l 为1,l l 的角平分线，在2l 上取点P （0，-3），
则点P 到1,l l 的距离相等，由点到直线距离公式，有：1
71
1|30|2|130|2
-==?+-+=--或k k k k
1-=k 时为直线1l ，故
71
=
k 。所以直线l 的方程是017=--y x
例题：
例1 ： 已知点A （－2，3），求关于点P （1，1）的对称点B （00y ,x ）。 分析：利用点关于点对称的几何特性，直接应用中点坐标公式求解。
解：设点A （－2，3）关于点P （1，1）的对称点为B （00y ,x ），则由中点坐标公式
得???????=+=+-,12
y 3,12
x 200
解得???-==1y ,4x 00所以点
A 关于点P （1，1）的对称点为
B （4，－1）。
评注：利用中点坐标公式求解完之后，要返回去验证，以确保答案的准确性。
例2 ： 求直线04y x 3=--关于点P （2，－1）对称的直线l 的方程。
分析：由已知条件可得出所求直线及已知直线平行，所以可设所求直线方程为
0b y x 3=+-。
解：由直线l 及04y x 3=--平行，故设直线l 方程为0b y x 3=+-。 由已知可得，点P 到两条直线距离相等，得
.1
3|b 16|1
3|416|2
2
+++=
+-+
解得10b -=，或4b -=（舍）。则直线l 的方程为.010y x 3=--
评注：充分利用直线关于点对称的特性：对称直线及已知直线平行且点P 到两条直线的距离相等。几何图形特性的灵活运用，可为解题寻找一些简捷途径。此题还可在直线04y x 3=--上取两个特殊点，并分别求其关于点P （2，－1）的对称点，这两个对称点的连线即为所求直线。
例3 ：求点A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点坐标。 利用点关于直线对称的性质求解。
解法1（利用中点转移法）：设点A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点为A ′（00y ,x ），则直线AA ′及已知直线垂直，故可设直线AA ′方程为0c y 2x 4=++，把A （2，2）坐标代入，可求得12c -=。
∴直线AA ′方程为06y x 2=-+。 由方程组?
?
?=-+=+-06y x 2,
09y 4x 2解得
AA ′中点M ??
?
??3,23。 由中点坐标公式得
32
2
y ,2322x 00=+=+，解得.4y ,1x 00== ∴所求的对称点坐标为（1，4）。
评注：解题时，有时可先通过求中间量，再利用中间量求解结果。
分析：设B （a ，b ）是A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点，则直线AB 及l 垂直，线段AB 中点在直线09y 4x 2=+-上。
解法2（相关点法）：设B （a ，b ）是A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点，根据直线AB 及l 垂直，线段AB 中点在直线09y 4x 2=+-上，
则有???
????=++?-+?-=--?,0922b 422a 2,12
a 2
b 21
解得.4b ,1a ==
∴所求对称点的坐标为（1，4）。
评注：①中点在09y 4x 2=+-上；②所求点及已知点的连线及09y 4x 2=+-垂直。
例4 ： 求直线02y x :l 1=--关于直线03y x 3:l 2=+-对称的直线l 的方程。
分析：设所求直线l 上任一点为P （y ,x ''），利用“相关点法”求其对称点坐标，并将其对称点坐标代入直线1l 方程进行求解。
解：设所求直线l 上任意一点P （y ,x ''）（2l P ?）关于2l 的对称点为Q （11y ,x ），
则???
????-=-'-'=+'+-'+?,1x x y y ,032y y 2x x 31111解得???????+'+'=-'+'-=.53y 4x 3y ,59y 3x 4x 11
又因为点Q 在1l 上运动，则=--2y x 110。
025
3
y 4x 359y 3x 4=-+'+'--'+'-，解得022y x 7=+'+'。即直线l 的方程为022y x 7=++。
评注：直线关于直线对称实质是点关于线的对称。此题还可在直线1l 上任取一点（非两直线交点）并求其关于直线2l 的对称点，则该对称点及两直线交点的连线便是所求对称直线。
五、圆的方程：
1、圆的标准方程：()()22
2x a y b r -+-=。
2、①圆的一般方程：
22220(D E 4F 0)＋－x y Dx Ey F ++++=>
特别提醒：只有当22D E 4F 0＋－>时，方程220x y Dx Ey F ++++=才
表示圆，圆心为(,)22D E --的圆。 ②常见圆的方程
圆
心
在
原点：
()2220x y r r +=≠；过原点：
()()
()2
2
22220x a y b a b a b -+-=++≠；
圆心在x 轴上：()()2
220x a y r r -+=≠；圆心在y 轴上：
()()2
220x y b r r +-=≠；
圆心在x 轴上且过原点：()()2
220x a y a a -+=≠； 圆心在y 轴上且过原点：()()2
220x y b b b +-=≠；
及x 轴相切：()()()22
20x a y b b b -+-=≠;及y 轴相切：
()()
()22
20x a y b a a -+-=≠
及两坐标轴都相切：()()()2
2
20x a y b a a b -+-==≠
3、圆的参数方程：{
cos sin x a r y b r θθ
=+=+（θ为参数），其中圆心为(,)a b ，半径为r 。圆的参数方程的主要应用是三角换元：222cos ,sin x y r x r y r θθ+=→==；22x y t +≤
cos ,sin (0x r y r r θθ→==≤≤。
4、()()1122A ,,,x y B x y 为直径端点的圆方程
()()()()12120x x x x y y y y --+--=
例题
例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 及圆的关系．
解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-．
∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．
∴?????=+-=+-2
22
24)3(16)1(r
a r a 解之得：1-=a ，202=r ．
所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径）
因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13
12
4-=--=
AB k ，
故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．
又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C
∴半径204)11(22=++==AC r ．故所求圆的方程为
20)1(22=++y x ．
又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外．
例2 求半径为4，及圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．
解：则题意，设所求圆的方程为圆222)()(r b y a x C =-+-：
． 圆C 及直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或
)4,(2-a C ．
又已知圆042422=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3． 若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ．
(1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或2221)14()2(=-+-a (无解)，
故可得1022±=a ．
∴所求圆方程为
2
224)4()1022(=-+--y x ，或
2224)4()1022(=-++-y x ．
(2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ．
∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或
2224)4()622(=+++-y x ．
例 3 求经过点)5,0(A ，且及直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．
解：∵圆和直线02=-y x 及02=+y x 相切， ∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上，
又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的距离相等． ∴
5
25
2y x y x +=-．∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或
03=-y x ．
又∵圆过点)5,0(A ，∴圆心C 只能在直线03=-y x 上． 设圆心)3,(t t C
∵C 到直线02=+y x 的距离等于AC ， ∴
22)53(5
32-+=+t t t t ．
化简整理得0562=+-t t ．解得：1=t 或5=t
∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55． ∴所求圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x ．
例4、 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线
02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．
解：设圆心为),(b a P ，半径为r ． 则P 到x 轴、y 轴的距离分别为b 和a ．
由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为?90，故圆截x 轴所得弦长为r 2．
∴222b r =
又圆截y 轴所得弦长为2． ∴122+=a r ．
又∵),(b a P 到直线02=-y x 的距离为
5
2b a d -=
∴2
225b
a d -=
ab
b a 4422-+=)
(242222b a b a +-+≥1222=-=a b
当且仅当b a =时取“=”号，此时5
5min =
d ． 这时有???=-=1
222a b b
a
∴??
?==11b a 或???-=-=1
1
b a 又2222==b r
故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x
六、点、直线及圆的位置关系 1、点及圆的位置关系
已知点()00M ,x y 及圆()()()22
2C 0：x-a y b r r +-=>，
（1）点
M 在圆C 外()()2
2
200CM r x a y b r ?>?-+->；
（2）点M 在圆C 内?()()22
200CM r x a y b r
（3）点M 在圆C 上()20CM r x a ?=?-()2
20y b r +-=。 2、直线及圆的位置关系
（1）直线及圆的位置关系有相交、相切、相离三种情况，分别对应直线及圆有两个公共点、一个公共点、没有公共点。
相交
相切
相离
（两个公共点） （一个公共点） （没有公共点）
（2）直线及圆的位置关系的判断方法 ①几何法：
通过圆心到直线的距离及半径的大小比较来判断。
设直线l ：Ax+By+C=0 圆C ：(x-a )2+(y-b )2=r 2(r>0) 则圆半径为
r
设圆心到直线的距离为d ，则 则d >直线及圆相离 直线及圆相切 则d <直线及圆相交 ②代数法：
通过直线及圆的方程联立的方程组的解的个数来判断
2
2B A
C bB aA d +++=
直线方程及圆的方程联立方程组???=++++=++0
2
2
F Ey Dx y x C By Ax 求解，通
过解的个数来判断：
（1）当方程组有2个公共解时（直线及圆有2个交点），直线及圆相交；
（2）当方程组有且只有1个公共解时（直线及圆只有1个交点），直线及圆相切；
（3）当方程组没有公共解时（直线及圆没有交点），直线及圆相离； 即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为Δ，圆心C 到直线l 的距离为d,则直线及圆的位置关系满足以下关系：
相切?d=r ?Δ＝0； 相交?d
①
几何法：
弦心距d,半径r 及半弦l/2构成直角三角形的三边 ，利用垂径定理和勾股定理：222AB r d =-
（其中r 为圆的半径，d 直线到圆心的距离）.
② 代数法（解析法）
利用弦长计算公式：设直线y kx b =+及圆相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，
则弦
()()22
1212AB x x y y =
-+-=||1212x x k -+=
（4）切线：①过圆222x y R +=上点00(,)P x y 圆的切线方程是：200xx yy R +=过圆
222
()()x a y b R -+-=上点
00(,)
P x y 圆的切线方程是：
200()()()()x a x a y a y a R --+--=
②从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，
再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；过两切点的直线（即“切点弦”）方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆及已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程；
③切线长：过圆220x y Dx Ey F ++++=（222()()x a y b R -+-=）
外一点
00(,)
P x y 所引圆的切线的长为
220000x y Dx Ey F
++++22200()()x a y b R -+--；
例题：
1．已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过A 且及圆O 相切的直线及两坐标轴围成的三角形的面积等于________．
解析：依题意，过A (1,2)作圆x 2＋y 2＝5的切线方程为x ＋2y ＝5，
在x 轴上的截距为5，在y 轴上的截距为5
2
，切线及坐标轴围成的三
角形面积S ＝12×52×5＝254.答案：25
4
2．过原点O 作圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0的两条切线，设切点分别为P 、Q ，则线段PQ 的长为________．
解析：∵圆的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝5，可知圆心为(3,4)，半径为 5.如图可知，|CO |＝5，
∴OP ＝25－5＝25.∴tan∠POC ＝PC OP ＝1
2
.在Rt△POC
中，OC ·PM ＝OP ·PC ，∴PM ＝25×5
5
＝2.∴PQ ＝2PM ＝4.答案：4
3．若直线3x ＋4y ＋m ＝0及圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0没有公共点，则
平面解析几何-高考复习知识点
平面解析几何 高考复习知识点 一、直线的倾斜角、斜率 １、直线的倾斜角: （1）定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α,那么α就叫做直线的倾斜角。当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0； (2)倾斜角的范围[)π,0。 ２、直线的斜率 （1）定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ,即k ＝α（α≠９0°)；倾斜角为９０°的直线没有斜率； （2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212 12 1x x x x y y k ≠--=; (3)直线的方向向量(1,)a k =,直线的方向向量与直线的斜率有何关系? (4)应用:证明三点共线： AB BC k k =。 例题： 例1．已知直线的倾斜角的变化范围为,求该直线斜率的变化范围； 思路点拨:已知角的范围,通过正切函数的图像，可以求得斜率的范围，反之,已知斜率的 范围,通过正切函数的图像,可以求得角的范围? 解析: ∵, ∴ .? 总结升华： 在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围，或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范 围时，可利用在和上是增函数分别求解.当时，; 当时，;当时,;当不存在时，．反之,亦成立. 类型二：斜率定义 例2．已知△为正三角形，顶点A 在ｘ轴上,A 在边的右侧,∠的平分线在x 轴上，求边与所在直线的斜率． 思路点拨： 本题关键点是求出边与所在直线的倾斜角，利用斜率的定义求出斜率． 解析：? 如右图,由题意知∠∠3０°? ∴直线的倾斜角为180°-30°=1５ ０°,直线的倾斜角为30°，? ∴15０°= 30°=? 总结升华: 在做题的过程中，要清楚倾斜角的定义中含有的三个条件①直线向上方向②轴正向③小
(整理)届高三数学总复习平面解析几何练习题目汇总
第8章 第1节 一、选择题 1．(2010·崇文区)“m ＝－2”是“直线(m ＋1)x ＋y －2＝0与直线mx ＋(2m ＋2)y ＋1＝0相互垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m ＝－2时，两直线－x ＋y －2＝0、－2x －2y ＋1＝0相互垂直；两直线相互垂直时，m(m ＋1)＋2m ＋2＝0，∴m ＝－1或－2，故选A. 2．(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0 [答案] A [解析] 解法1：所求直线斜率为12，过点(1,0)，由点斜式得，y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0. 解法2：设所求直线方程为x －2y ＋b ＝0， ∵过点(1,0)，∴b ＝－1，故选A. (理)设曲线y ＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( ) A ．1 B.12 C ．－12 D ．－1 [答案] A [解析] y′＝2ax ，在(1，a)处切线的斜率为k ＝2a ， 因为与直线2x －y －6＝0平行，所以2a ＝2，解得a ＝1. 3．点(－1,1)关于直线x －y －1＝0的对称点是( ) A ．(－1,1) B ．(1，－1) C ．(－2,2) D ．(2，－2) [答案] D [解析] 一般解法：设对称点为(x ，y)，则
????? x －12－y ＋12－1＝0 y －1x ＋1＝－1，解之得????? x ＝2y ＝－2， 特殊解法：当直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的系数满足|A|＝|B|＝1时，点A(x0，y0)关于l 的对称 点B(x ，y)的坐标，x ＝－By0－C A ，y ＝－Ax0－C B . 4．(2010·惠州市模考)在平面直角坐标系中，矩形OABC ，O(0,0)，A(2,0)，C(0,1)，将矩形折叠，使O 点落在线段BC 上，设折痕所在直线的斜率为k ，则k 的取值范围为( ) A ．[0,1] B ．[0,2] C ．[－1,0] D ．[－2,0] [答案] D [解析] 如图，要想使折叠后点O 落在线段BC 上，可取BC 上任一点D 作线段OD 的垂直平分线l ，以l 为折痕可使O 与D 重合，故问题转化为在线段CB 上任取一点D ，求直线OD 的斜率的取值范围问题， ∵kOD≥kOB ＝12，∴k ＝－1kOD ≥－2，且k<0， 又当折叠后O 与C 重合时，k ＝0，∴－2≤k≤0. 5．(文)已知点(3,1)和点(1,3)在直线3x －ay ＋1＝0的两侧，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，10) B ．(10，＋∞) C.??? ?－∞，43∪(10，＋∞) D.??? ?43，10 [答案] D [解析] 将点的坐标分别代入直线方程左边，所得两值异号，∴(9－a ＋1)(3－3a ＋1)<0，∴43 第二章平面解析几何初步章末总结（附解 析苏教版必修2） 【金版学案】2015-2016高中数学第二章平面解析几何初步章末知识整合苏教版必修2 一、数形结合思想的应用 若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且 ∠POQ＝120°(其中O为原点)，则k的值为________． 解析：本小题考查直线与圆的位置关系和数形结合的方法． y＝kx＋1恒过点(0，1)，结合图知，直线倾斜角为120°或60°. ∴k＝3或－3. 答案：3或－3 规律总结：根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将抽象的数学语言和直观的图形相结合，使抽象思维和 形象思维相结合． 1．以形助数，借助图形的性质，使有关“数”的问题直接形象化，从而探索“数”的规律．比如，研究两曲线 的位置关系，借助图形使方程间关系具体化；过定点的 直线系与某确定的直线或圆相交时，求直线系斜率的范 围，图形可帮助找到斜率的边界取值，从而简化运算；对于一些求最值的问题，可构造出适合题意的图形，解题中把代数问题几何化． 2．以数助形，借助数式的推理，使有关“形”的问题数量化，从而准确揭示“形”的性质． ►变式训练 1．若过定点M(－1，0)且斜率为k的直线与圆x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是________． 解析：∵x2＋4x＋y2－5＝0，∴(x＋2)2＋y2＝9是以(－2，0)为圆心，以3为半径的圆．如图所示：令x＝0得y＝±5. ∴点C的坐标为(0，5)． 又点M的坐标为(－1，0)， ∴kMC＝5－00－（－1）＝5. 结合图形得0k5. 答案：(0，5) 2．当P(m，n)为圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点时，若不等式m＋n＋c≥0恒成立，则c的取值范围是________．解析：方法一∵P(m，n)在已知圆x2＋(y－1)2＝1上，且使m＋n＋c≥0恒成立，即说明圆在不等式x＋y＋c≥0 专题05 平面解析几何 1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为 A ．2 212 x y += B ．22 132x y += C ．22 143 x y += D ．22 154 x y += 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=． 在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233 n n n F AB n n +-∠==??． 在12AF F △中，由余弦定理得2 2 14422243n n n n +-??? = ，解得n = 2 2 2 24312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22 132 x y +=，故选B ． 法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=． 在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得222122 2144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n ?+-???∠=?+-???∠=?， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠, ，得 平面解析几何 例题 1.已知圆()()22 :341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点 P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为 2.如何理解：“直线1x y a b +=通过点(cos sin )M αα，”？ 3. 如果圆C:22()(2)4x m y m -+-=总存在两点到原点距离为1，求实数m 的取值范围. 4.在平面直角坐标系xOy 中，点()03A ,，直线24l y x =-：.设圆C 的半径为1，圆心在l 上.若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围. 5.过定点M （4，2）任作互相垂直的两条直线1l 和2l ，分别与x 轴、y 轴交于A,B 两点， 线段AB 中点为P ，求OP 的最小值. 6. 满足条件BC AC AB 2,2==的三角形ABC 的面积的最大值 7.直线12=+by ax 与圆122=+y x 相交于A 、B 两点（其中b a ,是实数），且AOB ?是 直角三角形(O 是坐标原点)，则点(,)P a b 与点)1,0(之间距离的最大值为（ ） A ． 12+ B ． 2 C ． 2 D ． 12- 8.如图，线段=8AB ，点C 在线段AB 上，且=2AC ，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设=CP x ， CPD △的面积为()f x .则()f x 的定 义域为 ； '()f x 的零点是 . 9.已知点()0,2A ,()2,0B . 若点C 在函数2y x =的图象上，则使得ABC △的面积为2的点C 的个数为 10. 直线=+1y kx 与圆0422=-+++my kx y x 交于,M N 两点，且,M N 关于直线+=0x y 对称.求+m k 的值. C B D 平面解析几何初步测试题 一、选择题:(包括12个小题，每题5分,共60分) １．已知直线l 过（１,2),（１，3),则直线l 的斜率（) A. 等于0 B ． 等于1 C ． 等于21 D. 不存在 2. 若)0,(),4,9(),2,3(x C B A --三点共线，则x 的值是( ） Ａ．1 B ．-1 C ．０ D.７ 3. 已知A （x 1，y 1)、Ｂ（ｘ2,y 2）两点的连线平行y 轴,则｜ＡB ｜=（ ) Ａ、｜x 1－x 2|B 、|y 1-y 2|Ｃ、 x 2-ｘ1D 、 y 2-y 1 4. 若0ac >，且0bc <,直线0ax by c ++=不通过( ) A.第三象限Ｂ.第一象限 Ｃ．第四象限Ｄ．第二象限 5. 经过两点（3,９）、（-1，1）的直线在ｘ轴上的截距为（) A.23- B ．32- C ．32 D ．２ 6.直线2x －y=７与直线３ｘ+2ｙ-7＝0的交点是（ ） A (3,-１) B (－１，3) C (-3，-1) D (３,１) 7．满足下列条件的1l 与2l ,其中12l l //的是（ ） (1)1l 的斜率为２，2l 过点(12)A ，，(48)B ，; （２)1l 经过点(33)P ，,(53)Q -，,2l 平行于x 轴，但不经过P ，Q 两点; (３)1l 经过点(10)M -，，(52)N --，,2l 经过点(43)R -，，(05)S ，． A.(1)（2)B ．(２)(３) Ｃ.(1)(3)D.(１）(２）（3) ８．已知直线01:1=++ay x l 与直线22 1:2+=x y l 垂直,则a 的值是( ) Ａ 2 B －２ Ｃ．21 D ．2 1- ９. 下列直线中,与直线10x y +-=的相交的是 A 、226x y += B 、0x y += C 、3y x =-- D 、1y x =- 2021年新高考数学总复习第九章《平面解析几何》 复习试卷及答案解析 一、选择题 1．已知椭圆C ：16x 2＋4y 2＝1，则下列结论正确的是( ) A ．长轴长为12 B ．焦距为34 C ．短轴长为14 D ．离心率为 32 答案 D 解析 由椭圆方程16x 2＋4y 2＝1化为标准方程可得 x 2116＋y 214 ＝1，所以a ＝12，b ＝14，c ＝34 ， 长轴2a ＝1，焦距2c ＝32，短轴2b ＝12， 离心率e ＝c a ＝32 .故选D. 2．双曲线x 23－y 2 9 ＝1的渐近线方程是( ) A ．y ＝±3x B ．y ＝±13x C ．y ＝±3x D ．y ＝±33 x 答案 C 解析 因为x 23－y 2 9 ＝1， 所以a ＝3，b ＝3，渐近线方程为y ＝±b a x ， 即为y ＝±3x ，故选C. 3．已知双曲线my 2－x 2＝1(m ∈R )与抛物线x 2＝8y 有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±3x B ．y ＝±3x C ．y ＝±13 x D ．y ＝±33x 答案 A 解析 ∵抛物线x 2＝8y 的焦点为(0,2)， ∴双曲线的一个焦点为(0,2)，∴1m ＋1＝4，∴m ＝13 ， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，故选A. 4．(2019·河北衡水中学模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和直线l ：x 4＋y 3 ＝1，若过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行，则椭圆C 的离心率为( ) A.45 B.35 C.34 D.15 答案 A 解析 直线l 的斜率为－34，过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行，所以b c ＝34 ， 又b 2＋c 2＝a 2?????34c 2＋c 2＝a 2?2516c 2＝a 2， 所以e ＝c a ＝45 ，故选A. 5．(2019·洛阳、许昌质检)若双曲线x 2－y 2 b 2＝1(b >0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(1,2] B ．[2，＋∞) C ．(1，3] D ．[3，＋∞) 答案 A 解析 双曲线x 2－y 2 b 2＝1(b >0)的一条渐近线方程是bx －y ＝0，由题意圆x 2＋(y －2)2＝1的圆心(0,2)到bx －y ＝0的距离不小于1，即 2b 2＋1≥1，则b 2≤3，那么离心率e ∈(1,2]，故选A. 6．(2019·河北武邑中学调研)已知直线l ：y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|F A |＝2|FB |，则k 等于( ) A.13 B.23 C.23 D.223 答案 D 解析 由????? y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，消去y 得 k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0， Δ＝(4k 2－8)2－16k 4>0，又k >0，解得0 个性化简案 个性化教案（真题演练） 个性化教案 平面解析几何初步 知识点一：直线与方程 1. 直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角.倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. 2. 直线的斜率：αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 3．直线方程的五种形式 【典型例题】 例1：已知直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m)y ＝4m －1．① 当m ＝ 时，直线的倾斜角为45°．②当m ＝ 时，直线在x 轴上的截距为1．③ 当m ＝ 时，直线在y 轴上的截距为－2 3．④ 当m ＝ 时，直线与x 轴平行．⑤当m ＝ 时，直线过原点． 【举一反三】 1. 直线3y ＋ 3 x ＋2=0的倾斜角是 （ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 2. 设直线的斜率k=2，P 1（3，5），P 2（x 2，7），P （－1，y 3)是直线上的三点，则x 2，y 3依次是 （ ） A ．－3，4 B ．2，－3 C ．4，－3 D ．4，3 3. 直线l 1与l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7 ，则l 2的斜率是 （ ） A ．7 B ．－ 77 C ．77 D ．－7 4. 直线l 经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是 ． 例2：已知三点A （1，-1），B （3，3），C （4，5）.求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上. 练习：设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3）、B （b ，b 3）、C （c ，c 3）在同一直线上，求证：a+b+c=0. 例3：已知实数x,y 满足y=x 2-2x+2 (-1≤x≤1).试求：2 3 ++x y 的最大值与最小值. 数学《平面解析几何》复习知识要点 一、选择题 1．已知,A B 两点均在焦点为F 的抛物线()2 20y px p =>上，若4AF BF +=，线段 AB 的中点到直线2 p x = 的距离为1，则p 的值为 （ ） A ．1 B ．1或3 C ．2 D ．2或6 【答案】B 【解析】 4AF BF +=1212442422 p p x x x x p x p ?+ ++=?+=-?=-中 因为线段AB 的中点到直线2 p x = 的距离为1，所以121132 p x p p - =∴-=?=中或 ，选B. 点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若 00(,)P x y 为抛物线22(0)y px p =>上一点，由定义易得02 p PF x =+ ；若过焦点的弦AB AB 的端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则弦长为1212,AB x x p x x =+++可由根与系 数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到． 2．已知双曲线2 2x a －22y b ＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4， 且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( ) A ． B ． C ． D ．【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1）， 即点（-2，-1）在抛物线的准线上，又由抛物线y 2＝2px 的准线方程为2 p x =-，则p=4， 则抛物线的焦点为（2，0）； 则双曲线的左顶点为（-2，0），即a=2； 点（-2，-1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为1 2 y x =±， 由双曲线的性质，可得b=1； 高考数学：平面解析几何知识点 1．数量积表示两个向量的夹角 【知识点的知识】 我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量与不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：cosθ＝．通过这公式，我们就可以求出两向量之间的夹角了． 【典型例题分析】 例：复数z＝+i与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为60°． 解：＝＝＝＝＝cos60°+i sin60°． ∴复数z＝+i与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为60°． 故答案为：60°． 点评：这是个向量与复数相结合的题，本题其实可以换成是用向量（，1）与向量（，﹣1）的夹角． 【考点点评】 这是向量里面非常重要的一个公式，也是一个常考点，出题方式一般喜欢与其他的考点结合起来，比方说复数、三角函数等，希望大家认真掌握． 2．直线的一般式方程与直线的性质 【直线的一般式方程】 直线方程表示的是只有一个自变量，自变量的次数为一次，且因变量随着自变量的变化而变化．直线的一般方程的表达式是ay+bx+c＝0． 【知识点的知识】 1、两条直线平行与垂直的判定 对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有： （1）l1∥l2?k1＝k2；（2）l1⊥l2?k1?k2＝﹣1． 2、直线的一般式方程： （1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0） 化为斜截式方程y＝﹣x﹣，表示斜率为﹣，y轴上截距为﹣的直线． （2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C ＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0． （3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： ①l1⊥l2?A1A2+B1B2＝0； ②l1∥l2?A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0； ③l1与l2重合?A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0； ④l1与l2相交?A1B2﹣A2B1≠0． 如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2?；l1与l2重合?；l1与l2相交?． 3．圆的标准方程 【知识点的认识】 1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径． 2．圆的标准方程： （x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）， 其中圆心C（a，b），半径为r． 特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为： x2+y2＝r2． 其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件． 【解题思路点拨】 已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a，b，r的值再代入．一般求圆的标准方程主要使用待定系数法．步骤如下： （1）根据题意设出圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2； （2）根据已知条件，列出关于a，b，r的方程组； （3）求出a，b，r的值，代入所设方程中即可． 直线测试题 一．选择题（每小题5分共40分） 1. 下列四个命题中的真命题是（ ） A.经过定点P 0（x 0，y 0）的直线都可以用方程y －y 0=k （x －x 0）表示； B.经过任意两个不同的点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）的直线都可以用方程 （y －y 1）·（x 2－x 1）=（x －x 1）（y 2－y 1）表示； C.不经过原点的直线都可以用方程 1=+b y a x 表示； D.经过定点A （0， b ）的直线都可以用方程y =kx +b 表示。 【答案】B 【解析】A 中过点P 0（x 0，y 0）与x 轴垂直的直线x =x 0不能用y －y 0=k （x －x 0）表示，因为其斜率k 不存在；C 中不过原点但在x 轴或y 轴无截距的直线y =b （b ≠0）或x =a （a ≠0）不能用方程b y a x +=1表示；D 中过A （0， b ）的直线x =0不能用方程y =kx +b 表示. 评述：本题考查直线方程的知识，应熟练掌握直线方程的各种形式的适用范围. 2. 图1中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则（ ） A.k 1＜k 2＜k 3 B.k 3＜k 1＜k 2 C.k 3＜k 2＜k 1 D.k 1＜k 3＜k 2 【答案】D 【解析】直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2、α3 均为锐角， 且α2＞α3，所以k 2＞k 3＞0，因此k 2＞k 3＞k 1，故应选D. 3. 两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是（ ） A. A 1A 2＋B 1B 2＝0 B.A 1A 2－B 1B 2＝0 C.12121-=B B A A D.2 121A A B B =1 【答案】A 【解析】法一：当两直线的斜率都存在时，－ 11B A ·（2 2B A -）＝－1，A 1A 2＋B 1B 2＝0. 当一直线的斜率不存在，一直线的斜率为0时，???==???==0 001221B A B A 或， 苏教版《第二章平面解析几何初步综合小结》 w o r d教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 数学同步测试—第二章章节测试 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分. 第Ⅰ卷（选择题，共50分） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把 正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．方程x 2 + 6xy + 9y 2 + 3x + 9y –4 =0表示的图形是 （ ） A ．2条重合的直线 B ．2条互相平行的直线 C ．2条相交的直线 D ．2条互相垂直的直线 2．直线l 1与l 2关于直线x +y = 0对称，l 1的方程为y = ax + b ，那么l 2的方程为 （ ） A ．a b a x y -= B ．a b a x y += C ．b a x y 1+= D ．b a x y += 3．过点A (1,－1)与B (－1，1)且圆心在直线x+y －2=0上的圆的方程为 （ ） A ．(x －3)2+(y ＋1)2=4 B ．(x ＋3)2+(y －1)2=4 C ．4(x ＋1)2+(y ＋1)2=4 D ．(x －1)2+(y －1)2= 4．若A(1，2)，B(－2，3)，C(4，y )在同一条直线上，则y 的值是 （ ） A ．2 1 B ．23 C ．1 D ．－1 5．直线1l 、2l 分别过点P （－1，3），Q （2，－1），它们分别绕P 、Q 旋转，但始终保持平 行，则1l 、2l 之间的距离d 的取值范围为 （ ） A ．]5,0( B ．（0，5） C ．),0(+∞ D ．]17,0( 6．直线1x y a b +=与圆222(0)x y r r +=>相切，所满足的条件是 （ ） A ．ab r =B ．2222()a b r a b =+ C ．22||ab r a b =+ D ．22ab r a b =+ 7．圆2223x y x +-=与直线1y ax =+的交点的个数是 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．随a 值变化而变化 2019真题汇编--平面解析几何 1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与 C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为 A ．2 212 x y += B ．22 132x y += C ．22 143 x y += D ．22 154 x y += 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y 2 =2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y p p + =的一个焦 点，则p = A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F 为双曲线C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点，O 为 坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222 x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为 A B ．2 D 4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C ：22 42 x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐 近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为 A ． 4 B ．2 C ． D ．5．【2019年高考北京卷理数】已知椭圆22 22 1x y a b +=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则 A ．a 2 =2b 2 B ．3a 2 =4b 2 C ．a =2b D ．3a =4b 6．【2019年高考北京卷理数】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ： 221||x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论： ①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C ； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是 平面解析几何初步测试题 一、选择题：（包括12个小题，每题5分，共60分） 1．已知直线l 过（1，2），（1，3），则直线l 的斜率（ ） A. 等于0 B. 等于1 C. 等于21 D. 不存在 2. 若)0,(),4,9(),2,3(x C B A --三点共线，则x 的值是（ ） A ．1 B ．-1 C ．0 D ．7 3. 已知A （x 1,y 1）、B （x 2，y 2）两点的连线平行y 轴，则|AB|=（ ） A 、|x 1-x 2| B 、|y 1-y 2| C 、 x 2-x 1 D 、 y 2-y 1 4. 若0ac >，且0bc <，直线0ax by c ++=不通过（ ） Ａ．第三象限 Ｂ．第一象限 Ｃ．第四象限 Ｄ．第二象限 5. 经过两点（3，9）、（-1，1）的直线在x 轴上的截距为（ ） A ．23 - B ．32- C ．32 D ．2 6．直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（ ） A (3,-1) B (-1,3) C (-3,-1) D (3,1) 7．满足下列条件的1l 与2l ，其中12l l //的是（ ） （１）1l 的斜率为２，2l 过点(12)A ，，(48)B ，； （２）1l 经过点(33)P ，，(53)Q -，，2l 平行于x 轴，但不经过P ，Q 两点； （３）1l 经过点(10)M -，，(52)N --，，2l 经过点(43)R -，，(05)S ，． Ａ．（１）（２） Ｂ．（２）（３） Ｃ．（１）（３） Ｄ．（１）（２）（３） 8.已知直线01:1=++ay x l 与直线221 :2+=x y l 垂直，则a 的值是（ ） A 2 B －2 C ．21 D ．21 - 9. 下列直线中，与直线10x y +-=的相交的是 A 、226x y += B 、0x y += C 、3y x =-- D 、1 y x =- 平面解析几何初步 §7.1直线和圆的方程 经典例题导讲 ［例1］直线l 经过P （2,3）,且在x,y 轴上的截距相等,试求该直线方程. 解：在原解的基础上,再补充这样的过程:当直线过(0,0)时,此时斜率为:2 3 0203=--= k , ∴直线方程为y= 2 3x 综上可得:所求直线方程为x+y-5=0或y= 2 3 x . ［例2］已知动点P 到y 轴的距离的3倍等于它到点A(1,3)的距离的平方,求动点P 的轨迹方程. 解： 接前面的过程,∵方程①化为(x-52 )2+(y-3)2 = 214 ,方程②化为(x+12 )2+(y-3)2 = - 34 , 由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点P 的轨迹方程为: (x-52 )2+(y-3)2 = 214 (x ≥ 0) ［例3］m 是什么数时，关于x,y 的方程（2m 2+m-1）x 2+（m 2-m+2）y 2 +m+2=0的图象表示一个 圆？ 解：欲使方程Ax 2+Cy 2 +F=0表示一个圆，只要A=C ≠0， 得2m 2+m-1=m 2-m+2，即m 2 +2m-3=0，解得m 1=1，m 2=-3， (1) 当m=1时，方程为2x 2+2y 2 =-3不合题意，舍去. (2) 当m=-3时，方程为14x 2+14y 2=1,即x 2+y 2=1 14 ,原方程的图形表示圆. ［例4］自点A(-3，3)发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2 -4x-4y+7＝0相切，求光线L 所在的直线方程. 解：设反射光线为L ′,由于L 和L ′关于x 轴对称，L 过点A(-3，3)，点A 关于x 轴的对称点A ′(-3，-3)， 于是L ′过A(-3，-3). 设L ′的斜率为k ，则L ′的方程为y-(-3)＝k ［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0， 已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2 ＝1，圆心O 的坐标为(2，2)，半径r ＝1 因L ′和已知圆相切，则O 到L ′的距离等于半径r ＝1 即 1 1k 5 k 51k 3 k 32k 22 2 =+-= +-+- 整理得12k 2 -25k+12＝0 解得k ＝ 34或k ＝4 3 L ′的方程为y+3＝34(x+3);或y+3＝4 3 (x+3)。 即4x-3y+3＝0或3x-4y-3＝0 因L 和L ′关于x 轴对称 故L 的方程为4x+3y+3＝0或3x+4y-3＝0. ［例5］求过直线042=+-y x 和圆01422 2 =+-++y x y x 的交点，且满足下列条件之一的圆的方程： 高考数学真题分类汇编专题 18：平面解析几何（综合题） 4. （10 分） (2018 高二下·遂溪月考) 已知椭圆 点到两焦点 ， 的距离之和为 4. 第五章直线与圆 直线与圆是几何中最基础和最重要的两种图形，是代数方法在几何研究中的应用的开始. 对于这部分内容，学生应该深刻领会并熟练应用数形结合的思想方法，既要注重代数运算的简洁，也要充分利用几何图形的性质，还要认真考虑代数式的几何意义，在对参数的讨论过程中不要遗漏某些特殊值所表示的特殊情况. 近年来，这一部分内容在高考试题中通常属于基础题，难度中等，但解答问题使用的方法会直接影响到运算量的多少以及问题解答的正确率. 第一节直线与圆的位置关系 1. 直线的x-截距与y-截距之间的关系 例1 （09华南师大附中3月）已知直线l在x轴、y轴上截距的绝对值相等， 且到点（1，2）的距离为2，求直线l的方程. 【动感体验】 要全面考虑可能成立的各种情况. 已知直线l在x轴、y轴上截距的绝对值相等的条件应考虑截距可能为零或不为零两种情况. 如图5.1.1所示，点P在以A（1，2）为圆心、半径为2的圆上，直线（记为l）经过点P且与圆A相切. 则该l到点（1，2）的距离为恒为2. 打开文件“09华南师大附中3月.zjz”，拖动点P，观察可能出现直线l在x轴、y轴上截距的绝对值相等的情况. 图5.1.1 【思路点拨】 对于满足条件的直线其截距为零和不为零两种情况分别讨论. 【动态解析】 图5.1.2-5.1.7所示六种情况下，经过点P的直线在x轴、y轴上截距的绝对值均相等. 图5.1.2 图5.1.3 图5.1.4 图5.1.5 图5.1.6 图5.1.7 可设满足条件的直线的方程为b kx y +=. 当0=b 时，由点到直线的距离公式得： 21|2|2 =+-k k ，解得62+-=k 或 62--=k . 当0≠b 时，则直线l 的斜率k 为1或者-1，由点到直线的距离公式得： 21|2|2 =+-+k b k ，当1=k 时，解得1-=b 或3=b ；当1-=k 时，解得5=b 或 1=b . 因此所求直线的方程为：x y )62(+-=，或x y )62(--=，或1-=x y ，或3+=x y ，或5+-=x y ，或1+-=x y . 【简要评注】 从本题的题设条件，很容易选择利用直线的截距式方程表示直线进行求解，但要注意避免遗漏直线经过原点的情况. 在这里我们首先考虑到直线到点A 的距离为 2，再寻找满足要求的直线，就容易分类了. 有时候利用直线的截距式在绘制直线时非常方便，但答案通常写成斜截式. 2. 直线与圆的位置关系 例2 （06湖南理10）若圆010442 2 =---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22,则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）。 1．(本小题满分12分)已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0. (1)当a为何值时，直线l与圆C相切； (2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝22时，求直线l的方程． 2．设椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A、B两点，点C是AB的中点，若|AB|＝22，OC的斜 率为 2 2 ，求椭圆的方程． 3．(本小题满分12分)(2010·南通模拟)已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线l：y＝－2相切． (1)求动圆圆心的轨迹C的方程； (2)若AB是轨迹C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q， 证明：AQ⊥BQ . 4．已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝20 3 ，椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)的离心率为 2 2 ，若圆与椭圆相交于A、B， 且线段AB是圆的直径，求椭圆的方程． 5．已知m 是非零实数，抛物线)0(2:2 >=p px y C 的焦点F 在直线2 :02 m l x my --=上. （I ）若m=2，求抛物线C 的方程 （II ）设直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，F AA 1?，F BB 1?的重心分别为G,H. 求证：对任意非零实数m,抛物线C 的准线与x 轴的焦点在以线段GH 为直径的圆外。 6． (本小题满分14分)(2010·东北四市模拟)已知O 为坐标原点，点A 、B 分别在x 轴，y 轴上运动，且|AB | ＝8，动点P 满足AP u u u r ＝35 PB u u u r ，设点P 的轨迹为曲线C ，定点为M (4,0)，直线PM 交曲线C 于另外一 点Q . (1)求曲线C 的方程； (2)求△OPQ 面积的最大值． 7．(文)有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量各自都是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水、不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示，若40分钟后只放水不进水，求y 与x 的函数关系． 1直线的倾斜角与斜率： (1 )直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着 交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做 直线的倾斜角? 倾斜角[0,180 ), 90斜率不存在■ (2)直线的斜率：k y2 X2 —^(为X2), k X1 tan . ( R(X1, yj、巳佑y：)) 2 ?直线方程的五种形式: (1)点斜式: 注：当直 y y1 k(x X1)(直线1过点R(X1,y1)，且斜率为k ). 1■线斜率不存在时，不冃匕用点斜式表示，此时万程为X X0 . (2)斜截式：y kx b ( b为直线1在y轴上的截距). (3)两点式： y y1 x X1 ( (% y2, X1 X2). y2 y1 X2 X1 注：①不能表示与x轴和y轴垂直的直线； ②方程形式为：(x2 x1)(y y1) (y2y1 )(x x1) 0时，方程可以表示任意直线. (4)截距式： X y 1 ( a,b分别为x轴y轴上的截距，且a 0,b 0). a b 注：不能表示与x轴垂直的直线，也不能表示与y轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线. (5) —般式：Ax By C 0 (其中A、B不同时为0). AC A 一般式化为斜截式：y x ，即，直线的斜率：k B B B 注：(1)已知直线纵截距b，常设其方程为y kx b或x 0. 已知直线横截距x0,常设其方程为x my x0(直线斜率k存在时，m为k的倒数)或y 0 . 已知直线过点(X。，y°)，常设其方程为y k(x x°) y或x x°. (2)解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合. 3.直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. (1 )直线在两坐标轴上的截距相等直线的斜率为1或直线过原点. (2 )直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点. (3 )直线两截距绝对值相等直线的斜率为1或直线过原点. 4.两条直线的平仃和垂直: (1 )若11 : y k1x b1,12 ： y k2X b2 ① 11//12k1k2,b1 b2 ;② 1112k1k2 1 (2 )若11 : A1x B1y C1 0, 1 2 : A Q X B2 y C2 0,有 ① 11 //12 A i B2 A2 B i 且 A C? A2C1.② 11 12 A i A2 B i B2 0 . 5.平面两点距离公式：第二章平面解析几何初步章末总结附解析苏教版必修
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班级:________
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一、 平面解析几何 (共 13 题；共 110 分)
1. （10 分） (2019·鞍山模拟) 在直角坐标系 于 、 两点．
（1） 求 的取值范围；
中，过点
且斜率为 的直线交椭圆
（2） 当
时，若点 关于 轴的对称点为 ，直线 交 轴于 ，证明：
为定值．
2. （10 分） (2017·舒城模拟) 如图，O 为坐标原点，点 F 为抛物线 C1：x2=2py（p＞0）的焦点，且抛物线 C1 上点 M 处的切线与圆 C2：x2+y2=1 相切于点 Q．
（Ⅰ）当直线 MQ 的方程为
时，求抛物线 C1 的方程；
（Ⅱ）当正数 p 变化时，记 S1 ， S2 分别为△FMQ，△FOQ 的面积，求 的最小值．
3. （10 分） (2018 高二上·蚌埠期末) 已知抛物线 ：
的焦点为 ，直线
交于点 ，抛物线 交于点 ，且
.
（1） 求抛物线 的方程；
（2） 过原点 作斜率为 和 的直线分别交抛物线 于 是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是，则说明理由.
两点，直线 过定点
与轴 ，
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的长轴与短轴之和为 6，椭圆上任一
（1） 求椭圆的标准方程；
（2） 若直线 ：
与椭圆交于 ， 两点， ， 在椭圆上，且 ， 两点关于直线
对称，问：是否存在实数 ，使
，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
5. （10 分） (2017·晋中模拟) 已知椭圆 C：
的右焦点在直线 l： x﹣y﹣3=0 上，且
椭圆上任意两个关于原点对称的点与椭圆上任意一点的连线的斜率之积为﹣ ．
（1）
求椭圆 C 的方程；
（2）
若直线 t 经过点 P（1，0），且与椭圆 C 有两个交点 A，B，是否存在直线 l0：x=x0（其中 x0＞2）使得 A，B 到
l0 的距离 dA，dB 满足
恒成立？若存在，求出 x0 的值，若不存在，请说明理由．
6. （10 分） (2018·全国Ⅲ卷理) 在平面直角坐标系
中，
过点
且倾斜角为 的直线 与
交于
两点
的参数方程为
( 为参数)，
（1） 求 的取值范围
（2） 求 中点 的轨迹的参数方程
7. （5 分） (2017·莆田模拟) 已知点 P 是圆 F1：（x﹣1）2+y2=8 上任意一点，点 F2 与点 F1 关于原点对称， 线段 PF2 的垂直平分线分别与 PF1 ， PF2 交于 M，N 两点．
（1） 求点 M 的轨迹 C 的方程；
（2） 过点
的动直线 l 与点 M 的轨迹 C 交于 A，B 两点，在 y 轴上是否存在定点 Q，使以 AB 为直径的
圆恒过这个点？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
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