GM(1,1)模型应用及残差修正

一．GM(1,1)预测模型应用举例

灰色预测是基于GM(1,1)预测模型的预测，按其应用的对象可有四种类型： (1) 数列预测。这类预测是针对系统行为特征值的发展变化所进行的预测。 (2) 灾变预测。这类预测是针对系统行为的特征值超过某个阙值的异常值将在何时出现的预测。

(3) 季节灾变预测。若系统行为的特征有异常值出现或某种事件的发生是在一年中的某个特定的时区，则该预测为季节性灾变预测。

(4) 拓扑预测。这类预测是对一段时间内系统行为特征数据波形的预测。例1（数列预测）：设原始序列

)679.3,390.3,337.3,278.3,874.2())5(),4(),3(),2(),1(()0()0()0()0()0()0(==x x x x x X 试用GM(1,1)模型对)0(X 进行模拟和预测，并计算模拟精度。解：第一步：对)0(X 进行一次累加，得

)558.16,897.12,489.9,152.6,874.2()1(=X 第二步：对)0(X 作准光滑性检验。由

)

1()()()1()0(-=k x k x k ρ

得5.029.0)5(,5.036.0)4(,54.0)3(<≈<≈≈ρρρ。当k>3时准光滑条件满足。

第三步：检验)1(X 是否具有准指数规律。由

)(1)

1()

()()1()1()

1(k k x k x k ρσ+=-=

得29.1)5(,36.1)4(,54.1)3()1()1()1(≈≈≈σσσ

当k>3时，5.0],5.1,1[)()1(<=∈δσk ，准指数规律满足，故可对)1(X 建立GM(1,1)模型。

第四步：对)1(X 作紧邻均值生成，得

)718.14,184.11,820.7,513.4()1(=Z

于是

??????

??????=??????

????????=??

????????

??----=??????????????----=679.3390.3337.3278.3)5()4()3()2(,1718.141184.111820.71513

.41)5(1)4(1)

3(1)2()0()0()0()0()

1()

1()1(x x x x Y z z z z B 第五步：对参数列T b a ],[?=α

进行最小二乘估计。得 ??????-==-0653.30372

.0)(?1Y B B B T T α 第六步：确定模型

0653.30372.0)

1()1(=-x dt

dx 及时间响应序列

402151

.82276151.85))1(()1(?0372.0)0()1(-=+-=+-k ak e a

e a b x k x 第七步：求)1(X 的模拟值

)5558

.16,9422.12,4605.9,1060.6,8704.2())5(?),4(?),3(?),2(?),1(?(?)1()1()1()1()1()1(==x x x x x X

第八步：还原求出)0(X 的模拟值。由

)(?)1(?)1(?)1(?)1()1()1()1()0(k x k x k x a k x

-+=+=+ 得

)6136

.3,4817.3,3545.3,2320.3,8740.2())5(?),4(?),3(?),2(?),1(?(?)0()0()0()0()0()0(==x x x x x X

第九步：检验误差。由下表可算出残差平方和：误差检验表

第十步：预测)1(?)0(+k x

......

8928.3)7(?1991.24402151.82276151.85)7(?7505.3)6(?3063.20402151.82276151.85)6(?)0(60372.0)1()0(50372.0)1(==-===-=??x

e x

e x 例2 （灾变预测）：某企业生产用原料属受自然灾害影响较大的农产品。一般来说，自然灾害的发生有其偶然性，但对历史数据的整理，仍可发现一定的规律性。为尽量减少生产不受自然灾害的影响，该企业希望了解影响原料供应的规律性并提前做好原料储备，所收集数据见下表，并规定每亩平均收获量小于320千克时为欠收年份，将影响原料的正常供应，现应用灰色灾变预测来预测下次发生欠收的年份。

初始序列)0(ω。

本例初始序列：)17,14,10,8,3()0(=ω 一次累加生成序列：)52,35,21,11,3()1(=ω

)1(ω的紧邻均值生成序列：)5.43,28,16,7()1(=Z 第二步：按)1(Z 建GM(1,1)模型。

?????

??????=??????????????=??

????????

??----=??????????????----=1714108)5()4()3()2(,15

.4312811617

5(1)4(1)3(1)2()0()0()0()0()1()

1()

1()1(ωωωωY z z z z B

????-==-25834.625361.0)(?1Y B B B a T

67702.2467702.27])([)1(25361.0)0()1(-=+-=+-t at e a

e a b t t ωω 第三步：预测

当t=6时，684.73)6(?)1(=ω

6848.21)6(?)0(=ω

因此，下次发生收获量小于320千克的年份为：2011年至2012年，即四至五年后

将出现欠收年份。

其他预测类型见参考书。

二．残差GM(1,1)模型

当GM(1,1)模型精度不符合要求时，可使用残差序列建立GM(1,1)模型，对原来模型进行修正，以提高精度。

定义4 设

))(),...,2(),1(()0()0()0()0(n εεεε=

其中，)()()0(k x k =ε-)(?)1(k x

为)1(X 的残差序列。若存在k 0，满足 1.的符号一致；)(,)0(0k k k ε≥? 2.40≥-k n ，则称

|))(||,...,)1(||,)((|)0(0)0(0)0(n k k εεε+ 为可建模残差尾段，仍记为

))(),...,1(),(()0(0)0(0)0()0(n k k εεεε+=

命题1 设))(),...,1(),(()0(0)0(0)0()0(n k k εεεε+=为可建模残差尾段，其一次累加序列

))(),...,1(),(()1(0)1(0)1()1(n k k εεεε+= 的GM(1,1)模型的时间响应式为

0)]([0)0()1(,))(()1(?0k k a b e a b k k k k a ≥+-=+--ε

εεεεε

则残差尾段的模拟序列为

))(?),...,1(?),(?(?)0(0)0(0)0()0(n k k εεεε+= 其中

0)]

([0)0()0(,))()(()1(?0k k e a b k a k k k a ≥--=+--εε

εεεε

定义5 若用)0(?ε

修正)1(?X 则称修正后的时间响应式 ???

????≥-±+-<+-=+----0)]([0)

0()0(0

)

0()1(,))(())1((,))1(()1(?0k k e

a b k a a b e a b x k k a b e a b x k x k k a ak ak εεεεε 为残差修正GM(1,1)模型，简称残差GM(1,1)。其中残差修正值

)]

([0)0()0(0))()(()1(?k k a e

a b k a k ----=+εε

εεεε

的符号应与残差尾段)0(ε的符号保持一致。

定义6 若)1()0()1()1()0())1()(1()1(?)(?)(?----=--=k a a e a

x e k x k x k x

则相应的残差修正时间响应式

???

????≥-±--<--=+----0)]([0)

0()0(0

)

0()0(,))(())1()(1(,))1()(1()1(?0k k e

a b k a e a b x e k k e a b x e k x k k a ak a ak a εεεεε 称为累减还原式的残差修正模型。

例题湖北省云梦县油菜发病率数据为

)

15,17,5.15,18,14,21,35,45,40,25,40,20,6())

13(),...,8(),7(),6(),5(),4(),3(),2(),1(()0()0()0()0()0()0()0()0()0()0(==x x x x x x x x x X

建立GM(1,1)模型，得时间响应式为

999.573999.567)1(?06486.0)1(+-=+-k e k x

作累减还原，得 )4768.176478.188974.192307.216534.221719.247900.255192.273682.293308.314303.336704.35()}(?{?132

)0()0(，，，，，，，，，，，==k x X

检验其精度：列出误差检验表

误差检验表

)4768

.2,6478.1,3974.4,2307.3,6534.8())

13(),12(),11(),10(),9(()0()0()0()0()0()0(-----==εεεεεε

此为可建模残差尾段，去绝对值，得

)4768.2,6478.1,3974.4,2307.3,6534.8()0(=ε

建立GM(1,1)模型，得)0(ε的一次累加序列)1(ε的时间响应式：

7.3224)1(?)9(16855.0)1(+-=+--k e k ε

其导数还原值为

)9(16855.0)9(16855.0)0(0452.4)24)(16855.0()1(?----=--=+k k e e k ε

由k ak a e e a

b x e k x k x k x

06486.0)0()1()1()0(0614.38))1()(1()(?)1(?)1(?--=--=-+=+可得累减还原式残差修正模型为

???≥-<=+----9,0452.40614

.389

,0614.38)1(?)

9(16855.006486.006486.0)

0(k e e k e k x k k k 其中，)1(?)0(+k ε

的符号与原始残差序列的符号一致。按此模型，可对k=10,11,12,13四个模拟值进行休整，修正后的精度如下表：

模要求，若对残差精度仍不满意，就只有考虑采用其它模型或对原始数据序列进行适当取舍。

三．GM(1,1)模型群

在实际建模中，原始数据序列的数据不一定全部用来建模。我们在原始数据序列中取出一部分数据，就可以建立一个模型。一般来说，去不同的数据，建立的模型也不一样，即使都建立同类的GM(1,1)模型，选择不同的数据，参数a,b 的值也不一样。这种变化，正是不同情况、不同条件对系统特征的影响在模型中的反映。例如我国的

粮食产量，若采用建国以来的数据建立GM(1,1)模型，发展系数-a 偏小；而舍去1978年以前的数据，用剩余的数据建模，发展系数-a 明显增大。定义1 设序列))(),...,2(),1(()0()0()0()0(n x x x X =

将)()0(n x 取为时间轴的原点，则称tn 为未来。

定义2 设序列))(),...,2(),1(()0()0()0()0(n x x x X =，

ak a e a

x e k x ---=+))1()(1()1(?)0()0(，为其GM(1,1)时间相应式的累减还原值，则：

1.当n t ≤时，称)(?)0(t x

为模型模拟值； 2.当n t >时，称)(?)0(t x

为模型预测值。建模的主要目的是预测，为提高预测精度，首先要保证有充分高的模拟精度，尤其是t=n 时的模拟精度。因此建模数据一般应取为包括)()0(n x 在内的一个等时距序列。定义3 设原始数据序列))(),...,2(),1(()0()0()0()0(n x x x X =

1.用))(),...,2(),1(()0()0()0()0(n x x x X =建立的GM(1,1)模型称为全数据GM(1,1)；

2.10>?k ，用))(),...,1(),(()0(0)0(0)0()0(n x k x k x X +=建立的GM(1,1)模型称为部分数据GM(1,1)；

3.设)1()0(+n x 为最新信息，将)1()0(+n x 置入)0(X ，称用

))1(),(),...,2(),1(()0()0()0()0()0(+=n x n x x x X 建立的模型为新信息GM(1,1)；