高考数学培优专题14

【题型综述】

利用导数解决不等式恒成立问题的策略：

构造差函数()()()h x f x g x =-．根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式．

具体做法如下：

首先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应含参不等式，从而求出参数的取值范围，也可以分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

证明()()f x g x <，(),x a b ∈时，可以构造函数()()()F x f x g x =-，如果()0F x '<，则()F x 在(),a b 上是减函数，同时若()0F a ≤，由减函数的定义可知，当(),x a b ∈时，有()0F x <，即证明()()f x g x <． 【典例指引】

例1．已知函数()()2112ln 2

f x a x a ax x =--+，()'f x 为其导函数. (1) 设()()1

g x f x x

=+，求函数()g x 的单调区间； (2) 若0a >，设()()11,A x f x ，()()22,B x f x 为函数()f x 图象上不同的两点，且满足()()121f x f x +=，

设线段AB 中点的横坐标为0,x 证明：01ax >.

【思路引导】

（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，()'0f x >得增区间，()'0f x <得减区间即可；（2）问题转化为证明()()2221*f x f x a ??->- ???令()()21F x f x f x a ??=-+- ??? ()222112ln 22ln 2a x a ax a x a ax a x x a

??=----+-- ???-，根据函数单调性证明即可

.

(2) 法一：120121212x x ax x x a a +>?

>?>- ()222121'0a f x a a x x x ??=+-=-≥ ???

，故()f x 在定义域()0,+∞上单调递增. 只需证： ()122f x f x a ??>- ???，即证()2221f x f x a ??->- ???

(*) 注意到()()12111,,2f x f x f a ??+==

??? 不妨设1210x x a <<<. 令()()()22221112ln 22ln 2F x f x f x a x a ax a x a ax a a x x a

????=-+-=----+-- ? ?????-， 则()()()()

322222241122'0222ax a a a F x x x ax ax x ax -=--+=-≤--- 1x a ?≥，从而()F x 在1,a ??+∞????上单减， 故()210F x F a ??<= ???

， 即得(*)式. 法二：(2) ()2

22121'0a f x a a x x x ??=+-=-≥ ???

故()f x 在定义域()0,+∞上单调递增. 注意到1'0f a ??= ???且11.2

f a ??= ???