山东省济南第一中学2017届高三数学上学期期末考试试题理

2 侧视图

俯视图 第3题图

正视图

1

1 济南一中2016—2017学年度第一学期期末考试

高三数学试题（理科）

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟， 注意事项：

1． 选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、

笔迹清楚.

2． 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、

试题卷上答题无效.

3． 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.

第I 卷（选择题共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的．

1．已知集合2{230},{ln(2)}A x x x B x y x =--≤==-，则A

B =( )

A ．(1,3)

B ．(1,3]

C ．[1,2)-

D ．(1,2)- 2．若复数z 满足(1)42(z i i i +=-为虚数单位），则||z =( ) A.

2 B.

3 C. 5 D. 10

3．某几何体的三视图（单位：cm ）如右图所示，其中侧视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是( ) A. 3

2cm B.

33cm C. 333cm D. 33cm

4．已知函数()sin()(0,)2

f x x π

ω?ω?=+><

的最小正周期为π，且其图像向左平移

3

π

个单位后得到函数()cos g x x ω=的图像，则函数()f x 的图像( ) A ．关于直线12

x π

=

对称 B ．关于直线512

x π

=

对称 C ．关于点(,0)12π对称 D ．关于点5(,0)12

π

对称

5．甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为( ) A ．

1

10

B ．23

C ．

1

3

D ．1

4

6．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(1)(1)f x f x +=-，且当[0,1]

x ∈时,2()log (1f x x =+）,则(31)f = ( )

A ．0

B ．1

C ．1-

D ．2 7.下列说法正确的是( )

A. “0x <”是“ln(1)0x +<”的充要条件

B. “2x ?≥，2

320x x -+≥”的否定．．

是“2,x ?<2

320x x -+<” C. 采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5,16,27,38,49的同学均被选出，则该班学生人数可能为60

D. 在某项测量中，测量结果X 服从正态分布2

(1,)(0)N σσ>，若X 在(0,1)内取值的概率为

0.4，则X 在(0,2)内取值的概率为0.8 8．设12,F F 为椭圆

22195

x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，则

21

PF PF 的值

为( ) A ．

514

B ．

5

13

C ．

4

9

D ．5

9

9．已知变量,x y 满足48050,10x y x y y +-+--??

???

≥≤≥若目标函数(0)z ax y a =+>取到最大值6，则a 的值为( )

A ．2

B ．54

C ．5

24或

D ．2-

10．已知函数21

3,10()132,01x g x x x x x ?- -<≤?

=+??-+<≤?

，若方程()0g x mx m --=有且仅有两个不等的实根，

则实数m 的取值范围是( )

A ．9(,2][0,2]

4

--

B ．11

(,2][0,2]4

-

- C ．9(,2][0,2)

4

--

D ．11

(,2][0,2)4

-

-

第Ⅱ卷（非选择题共100分）

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分． 11.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为_______. 12．()(

)

5

1x x a +

+的展开式中2x 项的系数是15，则展开式的所有

项系数的和是_______.

13．在Rt△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝2，点D 为AC 中点，点E 满足1

3BE BC =，则AE BD ?＝．

14.如图，长方形的四个顶点为)2,0(),2,4(),0,4(),0,0(C B A O ， 曲线x y =

经过点B ．现将一质点随机投入长方形OABC 中，

则质点落在图中阴影区域的概率是__________. 15．已知双曲线2

2221(0,0)y x a b a b

-=>>

22650x y x +-+=截得的弦长为2__________.

三、解答题：本大题共6小题，共75证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）

已知向量2

2cos m x =（，1,sin 2n x =（），函数()f x m n =?．

（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；

（Ⅱ）在?ABC 中，c b a ,,分别是角,,A B C 的对边，且()3,1f C c ==，32=ab ，且b a >，

第11题图

第18题图

求b a ,的值．

17．（本小题满分12分）

已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且

1

13

n n S a +=)

(*∈N n ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设41log (1)n n b S +=-)(*∈N n ，1223

1

111

n n n T b b b b b b +=+++

，求n T 的取值范围. 18．（本小题满分12分）

如图，在三棱锥C PAB -中，,,AB BC PB BC ⊥⊥5,PA PB ==64,AB BC ==，点M 是

PC 的中点，点N 在线段AB 上,且MN AB ⊥．

（Ⅰ）求AN 的长；

（Ⅱ）求二面角M NC A --的余弦值．

19．（本小题满分12分）

甲乙两个地区高三年级分别有33000人，30000人，为了了解两个地区全体高三年级学生在该地区二模考试的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个地区一共抽取了 105名学生的数学成绩，并作出了如下的频数分布统计表，规定考试成绩在[120，150]内为优秀． 甲地区：

乙地区：

第20题图

（Ⅰ）计算x ，y 的值；

（Ⅱ）根据抽样结果分别估计甲地区和乙地区的优秀率；若将此优秀率作为概率，现从乙地区

所有学生中随机抽取3人，求抽取出的优秀学生人数的数学期望；

（Ⅲ）根据抽样结果，从样本中优秀的学生中随机抽取3人，求抽取出的甲地区学生人数η的

分布列及数学期望．

20．（本小题满分13分）

如图所示，已知椭圆C 1和抛物线C 2有公共焦点

)0,1(F ,C 1的中心和C 2的顶点都在坐标原点，过点M

（4,0）的直线l 与抛物线C 2分别相交于A 、B 两点. （Ⅰ）写出抛物线C 2的标准方程；

（Ⅱ）求证：以AB 为直径的圆过原点；

（Ⅲ）若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线C 2上，直线l 与椭圆C 1有公共点，求椭圆

C 1的长轴长的最小值．

21．（本小题满分14分）

已知函数)1,0(,2

)1ln()(2

≠≥+

-+=k k x k x x x f 且． （Ⅰ）当2=k 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程；

（Ⅱ）求

)(x f 的单调减区间；

（Ⅲ）当0=k 时，设)(x f 在区间)](,0[*N n n ∈上的最小值为n b ，令n n b n a -+=)1ln(，

求证：

)(,112*2421231423

121N n a a a a a a a a a a a a a n n

n ∈-+

济南一中2016—2017学年度第一学期期末考试

高三数学试题（理科）答案

一、 选择题

1-5 CDBCD 6-10 CDBBC 二、 填空题

13.2-14.3

215.2

三、解答题

16.（1）22

()(2cos ,(1,sin 2)2cos 2f x m n x x x x =?=?=+

cos 2122sin(2)16x x x π

=++=++. ……………………3分

故最小正周期22

T π

π=

=……………………5分 (2）31)6

2sin(2)(=++

=π

C C f ，1)6

2sin(=+

∴π

C ，

C 是三角形内角，∴2

6

2π

π

=

+

C 即：.6

π

=

C (7)

分

2

32cos 222=-+=∴ab c a b C 即：72

2=+b a ． ……………………9分

将32=ab 代入可得：7122

2

=+

a a ，解之得：

32

=a 或4, 23或=∴a ，32或=∴b ……………………11分 3,2,==∴>b a b a ……………………12分

17.（1） 当1n =时，11a s =，由11113

134

S a a +

=?=， ……………………1分

当2n ≥时，11111113()0131

3n n n n n n n n S a S S a a S a ----?+=???-+-=??+=??

114n

n a a -?= ∴{}n a 是以34为首项，1

4

为公比的等比数列． ……………………4分 故1311

()3()444

n n n a -=

=)(*∈N n …………………6分 （2）由（1）知11111

1()34

n n n S a +++-=

=， 14141

log (1)log ()(1)4

n n n b S n ++=-==-+………………8分

11111

(1)(2)12n n b b n n n n +==-

++++

n T =1223

111111111111()()()23341222n n b b b b b b n n n +++???+=-+-+???+-=-

+++

所以

11

62

n T ≤<. ………………12分 18.解：（1）方法一、如图，分别取AB 、AC 的中点O 、Q,连接OP 、OQ ，设AN a =

以O 为坐标原点，OP 为x 轴，OA 为y 轴，OQ 为z 轴建立空间直角坐标系，

则3

(400),(0,34),(2,2),(0)2

P C M N a -，

，，，-，3-,0 设0(00)N x ，

，，则9(00),(),2

AB MN a ==，-6，-2，-，-2 由MN AB ⊥得()990,6200=22AB MN a a a ??=+--?? ???

即-2-

所以2

9

=

AN …………………6分 方法二：如图，取AB 的中点为O ，PB 的中点为Q ，连接MQ 、NQ ，

M 、Q 分别为PB 、PC 的中点

∴MQ BC 又 AB BC ⊥∴AB MQ ⊥

又 MN AB ⊥∴AB MNQ ⊥平面