二次根式导学案

第二十一章 二次根式

21.1(1) 二次根式

【学习目标】：

1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式

2、理解二次根式有意义的条件，会判断被开方数中字母的取值范围。 【重点难点】：二次根式有意义的条件 【预习指导】

我们已经学习了平方根的意义,知道了式子16、2、a 的含义。同样地，我们也能理解2c 、

π

S

、

g

2h

等式子的实际意义。这些式子有什么共同特征？ 【基本概念】

1、已知x 2

= a ，那么a 是x 的______; x 是a 的________, 记为______, a 一定是_______数。

2、式子)0(0≥≥a a 的意义是 。

3、一般地，式子)0(0≥≥a a 叫做 ，a 叫做 。

4、计算 ： (1) 2

)4( = (2) =（3）2)5.0( = （4）2

)3

1(

= 根据计算结果，你能得出结论： ，其中0≥a , )0()(2≥=a a a 的意义是 。

5、当a 为正数时

指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只

有非负数a 才有算术平方根。所以，在二次根式中，字母a 必须满足 ,

才

有意义。 【典型例题】

例1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？

3，16-，345-)0(3≥a a

，12

+x

例2、x 是怎样的实数时，式子5-x 在实数范围内有意义？ 【课堂练习】

2)3(________)(2

=a

1、x 是怎样的实数时，下列式子在实数范围内有意义？ （1）5x + （2）4x 3-

（3）1x 5+

（4）x 101-

（5）1x 2

+

（6）2

x -

2、计算：

（1）

2

13）（ （2）

2

7

3）（ （3）2

8）（+2

2）（

（4）2

22b a ）

（+ 【知识梳理】

1．非负数a 的算术平方根a (a ≥0)叫做二次根式.

二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a 必须是非负数。 2．式子)0(≥a a 的取值是非负数。 【课后练习】

1、下列各式中，正确的是（ ）。 A. B

C

D

2、下列计算中，不正确的是 （ ）。

A 、3= 2

)3(

B 、0.5=2

)5.0(

C 、 2

)3.0(=0.3

D 、2

)75(=35

3、计算：

（1）

2

19

3）（=

（2）

2

32）（= 第二十一章 二次根式 21.1(2) 二次根式

【学习目标】：

1、掌握二次根式的基本性质：a a =2

2、能利用上述性质对二次根式进行化简.

【重点难点】：重点：二次根式的性质a a =2

．

4949+=+4994?=?2424-=-6

5

3625=

难点：综合运用性质a a =2

进行化简和计算。 【知识回顾】

1、什么是二次根式，它有哪些性质？

2、下列各式要在实数范围内有意义，说出x 的取值范围 （1）4-x

（2）5-x 2

（3）x 31-

（4）2x 2

+

3、在实数范围内因式分解：

x 2

-6= x 2

- （ ）2

= （x+ ____）(x-____)

【自主归纳】 计算：

=24 =22.0 =2)54(

=2

20 =-2

)4( =-2

)2.0( =-2)54

(

=-2

)20( =20

综上得：2a = = 【典型例题】 例1、计算： （1）4； （2）2

.51）

（-；

（3）2

1-x ）

（（x 》1） 1、判断正误：

（1）2

2=2

( ) （2）2

2）（-=-2 ( )

(3)2

43）（+=3+4 ( )

(4)2243+=3+4 ( )

【知识梳理】

二次根式的性质：

1、当a 》0时，

2

a ）（=a 2、??

???<-=>==0a a 0a 00

a a 2

　

a a

【课后练习】

1、填空：（1）、2)12(-x -2

)32(-x )2(≥x =_________.

（2）、2

)4(-π=

2、化简下列各式：

______=______

=

_______

=

_____a 0=（<）

第二十一章 二次根式 21.2(1) 二次根式的乘除

【学习目标】：

1、掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。

2、熟练进行二次根式的乘法运算及化简。 【重点难点】：

重点： 掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。

难点： 正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。【预习指导】 1、计算：

（1）4×9=______ 94?=_______ （2）16 ×25 =_______ 2516?=_______ （3）100 ×36 =_______ 36100?=_______ 2、根据上题计算结果，用“>”、“<”或“=”填空： （1）4×9_____94? （2）16×25____2516? （3） 100×36__36100? 【新知概括】

二次根式的乘法法则：

【典型例题】 例1、计算： （1）2×32； （2）

2

1

×8；

（3）a 2a 8（a 》0）

例2、计算 （1）12；

（2）3a （a 》0）；

（3）32b a 4（a 》0，b 》0）

注意：一般地，二次根式运算的结果中，被开方数应不含有 。 例3：思维拓展 （1）2

36；

（2）

2

1a 23a 8

二次根式乘法运算的拓展： 【课堂练习】 计算：

（1）20×5； （2）32×28； （3）8×18； （4）3a 6×

2

a 3 【知识梳理】

a ·

b =ab （a ≥0，b ≥0）

ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）

【课后作业】

1、化简：

（1（2（3

（4（5 （6 2、计算：

⑴xy ·y x 3·2xy ⑵18·24·27 （3

第二十一章 二次根式 21.2(2) 二次根式的乘除

【学习目标】：

1、进一步理解二次根式的乘法法则，能熟练地进行二次根式的乘法运算

2、能熟练地进行二次根式的化简及变形

【重点难点】：

重点：熟练地进行二次根式的化简、乘法运算 难点：熟练地进行二次根式的化简、乘法运算 【知识回顾】

1、二次根式乘法运算的法则：

a ·

b =ab （a ≥0，b ≥0） ab =a ·b （a ≥0，b ≥0） 2、化简：

（1）200 （2）y x 3

(x ≥0，y ≥0) （3）y x x 23+(x ≥0，x+y ≥0)【典型例

题】 例1：计算：

⑴6·15 ⑵2

1·24 ⑶3

a ·a

b （a ≥0，b ≥0） 【课堂练习】 1、化简 （1）54；

（2）160；

（3）3

5y x （x ≥0，y ≥0）；

（4）2

2

3

xy y x 2x ++（x ≥0，y ≥0）； 2、计算： （1）3×7；

（2）3×18；

（3）

3

2

×12； 3、求下列根式的值：

（1）22b a +，其中a=23，b=32； （2）22b a -，其中a=320，b=-18 【课后练习】

化简：

（1（2（3

（4（5 （6

第二十一章 二次根式 21.2(3) 二次根式的乘除

【学习目标】：

1、经历二次根式除法法则的探究过程，进一步理解除法法则

2、能运用法则

b

a =

b

a

（a ≥0，b ＞0）进行二次根式的除法运算 3、理解商的算术平方根的性质b a =b

a （a ≥0，

b ＞0），并能运用于二次根式的化简和计算 【重点难点】：

1、二次根式的除法法则及商的算术平方根的性质

2、二次根式的除法法则及商的算术平方根的性质的理解与运用 【预习指导】 填空：

（1

（2=________

（3=________【新知概括】

二次根式的除法法则： 【典型例题】 例1、计算：

⑴

3

12 ⑵

7

56 ⑶27÷3 ⑷321

÷3

1 想一想：你还有其它的方法来解决上面的问题吗？ 思考：由

b

a =

b a （a ≥0，b ＞0）反过来可得: b

a

= （ ） 利用这个等式可以化简一些二次根式. 例2：化简：

⑴2516 ⑵971 ⑶163 ⑷2

2

94a

b （a ＞0，b ≥0） 【知识梳理】

1、二次根式的除法法则： 。

2、 把这个法则反过来，得到商的算术平方根性质 。 【课堂练习】 1、计算： （1）

15

60； （2）

8

72；

（3）18÷6； （4）322

÷3

1

1； 2、化简：

（1）94； （2）953； （3）493； （4）2

2

2c

16b a 9（a ≥0，b ≥0，c ＞0）； 点拨：当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的系数，被开方数之商为被开方数。

【课外练习】

1、下列计算中正确的是（ ）

3218D 23

1

322C 5122514B 3595＝、 ＝、 ＝、 ＝、÷÷A

2如果一个三角形的面积为（ ），那么这边上的高为　，一边长为312

22D 2C 2B 4A 、 、 、 、

第二十一章 二次根式

21.2(4) 二次根式的乘除

【学习目标】：

1、能运用法则

b a

=b

a （a ≥0，

b ＞0）化去被开方数的分母或分母中的根号 2、进一步明确二次根式化简结果中的被开方数应不含有能开得尽方的因数或因式，也不含有分母，根式运算的结果中分母不含有根号 【重点难点】：

重点：商的算术平方根的性质及二次根式的除法法则的应用 难点：商的算术平方根的性质的理解与运用 【知识回顾】

b

a = （a__，b__）,

b

a

= （a__，b__） 【探索与归纳】

1、思考：如何化去3

1的被开方数中的分母呢?

猜想： 2、 思考：如果上面

31

首先化成3

1,那么该怎样化去分母中的根号呢? 猜想： 【典型例题】

例1、化去根号内的分母:

（1）

32 （2）312 （3）)0,0(32≥>y x x

y

例2、化去分母中根号:

（1）

32

（2）51 （3）)0,0(32≥>y x x

y

点拨：化简二次根式（最简二次根式）达到的要求： 1、被开方数中不含能开得尽的因数或因式 2、被开方数中不含分母 3、分母中不含有根号

【课堂练习】

1、化去根号内的分母： （1）

5

2；

（2）5

13

； （3）

a

5b

3（a ＞0，b ≥0）； 2、化去分母中的根号： （1）

5

3； （2）

8

1； （3）

3

a

12b 5（a ＞0，b ≥0）

【课外练习】 1、化去根号内的分母：

（1（2（3（4）

（5（6（7（82、化去分母中根号：

（1

（2（3

（4

（5（6

第二十一章 二次根式 21.3(1) 二次根式的加减

【学习目标】：

1、了解同类二次根式的概念，掌握判断同类二次根式的方法

2、能正确合并同类二次根式，进行二次根式的加减运算 【重点难点】：

重点：同类二次根式的概念及掌握合并同类二次根式的方法 难点：同类二次根式的概念 【预习指导】 1、什么是同类项？

2、如何进行整式的加减运算？

3、计算：（1）2x-3x+5x

（2）22

23a b ba ab +-

4、下列3组二次根式，各有什么共同特征？

（1）2，23，22 ，215，

23

2

…… （2）3，35 ，36，317，

313

2

…… （3）2，8，18，32，

2

1

…… ，称为同类二次根式。 思考：（1）要进行二次根式加减运算,它们具备什么特征才能进行合并？

（2）怎样合并同类二次根式： （3）二次根式加减运算的步骤: 【典型例题】 例1 ：计算：

1、23 + 32 － 22 + 3

2、12 + 18 － 8 － 32

3、40 － 10

1

5 + 10 【课堂练习】 1、计算： （1）36-5-2

16+25+2；

（2）27-45-20+75；

2、计算： （1）（2271-3

218）-（

43-42

1）； （2）5

51+35-21

5

12

+125

【课外练习】 1、计算：

（1）23-35-5+55+73；

（2）12-27-20+50；

（3）x 4+2x 2-2

1

x 8-4x （x ≥0）；

第二十一章 二次根式 21.3(1) 二次根式的加减

【学习目标】：

1、掌握二次根式的运算方法，明确数的运算顺序、运算律及乘法公式在二次根式的运算中仍然适用

2、正确运用二次根式的性质及运算法则进行二次根式的混合运算 【重点难点】：

重点：熟练进行二次根式的混合运算。 难点：混合运算的顺序、乘法公式的综合运用。 【知识回顾】 填空 ：

（1）整式混合运算的顺序是： （2）二次根式的乘除法法则是： （3）二次根式的加减法法则是： （4）回顾整式的乘法公式：

多项式乘法公式： 平方差公式： 完全平方公式：

注：在进行二次根式的混合运算时，我们曾学过的整式运算的运算律和乘法公式仍然适用。 【典型例题】

例1、计算： （1）（12

5

+23）×15；

（2）（3+10）（2-5）；

例2、计算：

（1）（3+2）（3-2）；

（2）

2

523）（

【课堂练习】 1、计算：

（1）（3+22）×6； （2）5×（10-5）； （3）（6-3+1）×23

2、计算：

（1）（3-22）（23-2）；

（2）（

2

2

-3）（3+2）；

（3）（5-6）（3+2）；

（4）（a+ab +b ）（a -b ）（a ≥0，b ≥0）；

点拨、二次根式在进行运算时要注意：

1、二次根式四则混合运算的顺序和整式的四则混合运算的顺序是一样的，含相同二次根式的项要合并

2、运算律同样适用于二次根式的运算

3、计算结果要最简

【课外练习】 1、计算：

（1）（23-6）×12； （2）53×（15+6）； （3）（18-12+2）×26；

《二次根式》复习

【学习目标】：

1、了解二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条件和性质。

2、熟练进行二次根式的乘除法运算。

3、理解同类二次根式的定义，熟练进行二次根式的加减法运算。

4、了解最简二次根式的定义，能运用相关性质进行化简二次根式。 【重点难点】：

重点：二次根式的计算和化简。

难点：二次根式的混合运算，正确依据相关性质化简二次根式。 【知识回顾】

知识点1、二次根式的概念：形如 的式子叫做二次根式。 知识点2、二次根式的性质：

1.=2

)(a （a ≥0）,

≥0)

3. ??

???<=>==)0___()0___()0___(____2

a a a a

知识点3：二次根式的乘除：

1.计算公式：{

??

???>≥=≥≥=?)

0,0___()

0,0___(b a b a

b a b a 除法运算：乘法运算： 2.化简公式：???

??>≥=≥≥=?)0,0___()

0,0___(b a b

a b a b a

知识点4：二次根式的加减： 1.法则： 2.概念：??

?同类二次根式：

最简二次根式：.2.1

知识点5：二次根式化简求值步骤：

1．“一分”：分解因数（因式）、平方数（式）；

2.“二移”：根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；

3.“三化”：化去被开方数中的分母。 知识点6：二次根式的加减步骤： 1.化简；2.判断；3分类；

4.合并。 【课堂练习】 1、填空

（1）当a______

有意义；当a______

没有意义。 （2

________

=______=

（3）________1872_______;4814=÷=? （4）_______20125_______;2712=-=+

2、式子

5

45

4

--=--x x x x 成立的条件是什么?

3、计算： (1) 25341122÷?

3．

(2) 2

(-

点拨：在二次根式的计算、化简及求值等问题中，常运用以下几个式子：

（1

）22

(0)(0)a a a a =≥=≥与

（2）??

???<-=>==0a a 0a 00a a 2

　

a a （3

0,0)0,0)a b a b =

≥≥=≥≥

（4

0,0)0,0)a b a b =≥>=≥>

（5）22222

()2()()a b a ab b a b a b a b ±=±++-=-与 【课外练习】 1、选择题： （1）化简

()25-的结果是（ ）

A 5

B -5

C 士5

D 25 （2）代数式

2

4-+x x 中，x 的取值范围是（ ）

A 4-≥x

B 2>x

C 24≠-≥x x 且

D 24≠->x x 且 （3）下列各运算，正确的是（ ） A 、565352=?

B 、532592519==

??

?

??-

?- C 、()12551255-?-=

-?-

D 、y x y x y x +=+=+2222

（40)y >是二次根式，化为最简二次根式是（ ）

A 0)y >

B 、

0)y >

C 0)y >

D 、以上都不对

（5）化简

27

23-的结果是（ ）

3

A B C D -

（6）5

5

,5

1=

=b a ，则（ ） A a,b 互为相反数 B a,b 互为倒数 C 5=ab D a=b （7）在下列各式中，化简正确的是（ ） A

15335= B 22

121±=

C b a b a 24=

D 123-=-x x x x

（8

）把(a -中根号外的(1)a -移人根号内得（ ）

A B C

D

2、计算． (1)453227+

-

(3)2)

(4)2

3)

3、计算： （1）5426

362+-

- （2）

（3

）22

(-

4、数轴上点A 表示的实数为a ，化简2

2)3()2(-+-a a 。