中考数学专题复习——动态变化问题(经典题型)
中考数学专题复习——动态变化问题（经典题型）
【专题点拨】
动态型问题一般是指以几何知识和图形为背景，渗透运动变化观点的一类试题，常见的运动对象有点动、线动和面动；其运动形式而言就是平移、旋转、翻折和滚动等。
动态型试题其特点是集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性，题目灵活，多变，动中有静，动静结合，能够在运动变化中发展同学们的空间想象能力。
解答动态型试题的策略是：（1）动中求静，即在运动变化中探索问题中的不变性；（2）动静互化，抓住静的瞬间。找到导致图形或者变化规律发生改变的特殊时刻，同时在运动变化的过程中寻找不变性及其变化规律。
【典例赏析】
【例题1】（2017黑龙江佳木斯）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E、F是AD边上的两个动点，且AE=FD，连接BE、CF、BD，CF与BD交于点G，连接AG 交BE于点H，连接DH，下列结论正确的个数是（）
①△ABG∽△FDG ②HD平分∠EHG ③AG⊥BE ④S
△HDG ：S
△HBG
=tan∠DAG ⑤线段DH
的最小值是2﹣2．
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质；T7：解直角三角形．
【分析】首先证明△ABE≌△DCF，△ADG≌△CDG（SAS），△AGB≌△CGB，利用全等三角形的性质，等高模型、三边关系一一判断即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°，在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠ABE=∠DCF，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠DAG=∠DCF，
∴∠ABE=∠DAG，
∵∠DAG+∠BAH=90°，
∴∠BAE+∠BAH=90°，
∴∠AHB=90°，
∴AG⊥BE，故③正确，
同法可证：△AGB≌△CGB，
∵DF∥CB，
∴△CBG∽△FDG，
∴△ABG∽△FDG，故①正确，
∵S
△HDG ：S
△HBG
=DG：BG=DF：BC=DF：CD=tan∠FCD，
又∵∠DAG=∠FCD，
∴S
△HDG ：S
△HBG
=tan∠FCD，tan∠DAG，故④正确
取AB的中点O，连接OD、OH，
∵正方形的边长为4，
∴AO=OH=×4=2，
由勾股定理得，OD==2，
由三角形的三边关系得，O、D、H三点共线时，DH最小，DH
最小
=2﹣2．
无法证明DH平分∠EHG，故②错误，
故①③④⑤正确，
故选C．
【例题2】（2017黑龙江佳木斯）已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．
（1）如图1所示，易证：OH=AD且OH⊥AD（不需证明）
（2）将△COD绕点O旋转到图2，图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论．
【考点】R2：旋转的性质；KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形．【分析】（1）只要证明△AOD≌△BOC，即可解决问题；
（2）①如图2中，结论：OH=AD，OH⊥AD．延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，由△BEO≌△ODA即可解决问题；
②如图3中，结论不变．延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，延长EO交AD于G．由△BEO≌△ODA即可解决问题；
【解答】（1）证明：如图1中，
∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，
∴OC=OD，OA=OB，
∵在△AOD与△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴∠ADO=∠BCO，∠OAD=∠OBC，
∵点H为线段BC的中点，
∴OH=HB，
∴∠OBH=∠HOB=∠OAD，
又因为∠OAD+∠ADO=90°，
所以∠ADO+∠BOH=90°，
所以OH⊥AD
（2）解：①结论：OH=AD，OH⊥AD，如图2中，延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，
易证△BEO≌△ODA
∴OE=AD
∴OH=OE=AD
由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO
∴∠DAO+∠AOH=∠EOB+∠AOH=90°，
∴OH⊥AD．
②如图3中，结论不变．延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，延长EO交AD于G．
易证△BEO≌△ODA
∴OE=AD
∴OH=OE=AD
由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO
∴∠DAO+∠AOF=∠EOB+∠AOG=90°，
∴∠AGO=90°
∴OH⊥AD．
【例题3】（2017湖北江汉）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的边AD 在x轴上，点C在y轴的负半轴上，直线BC∥AD，且BC=3，OD=2，将经过A、B 两点的直线l：y=﹣2x﹣10向右平移，平移后的直线与x轴交于点E，与直线BC 交于点F，设AE的长为t（t≥0）．
（1）四边形ABCD的面积为20 ；
（2）设四边形ABCD被直线l扫过的面积（阴影部分）为S，请直接写出S关于t的函数解析式；
（3）当t=2时，直线EF上有一动点，作PM⊥直线BC于点M，交x轴于点N，将△PMF沿直线EF折叠得到△PTF，探究：是否存在点P，使点T恰好落在坐标轴上？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】FI：一次函数综合题．
【分析】（1）根据函数解析式得到OA=5，求得AC=7，得到OC=4，于是得到结论；（2）①当0≤t≤3时，根据已知条件得到四边形ABFE是平行四边形，于是得到S=AE•OC=4t；②当3≤t＜7时，如图1，求得直线CD的解析式为：y=2x﹣4，直线E′F′的解析式为：y=﹣2x+2t﹣10，解方程组得到G（，t﹣7），于是得
到S=S
四边形ABCD ﹣S
△DE′G
=20﹣×（7﹣t）×（7﹣t）=﹣t2+7t﹣，③当t≥7
时，S=S
四边形ABCD
=20，
（3）当t=2时，点E，F的坐标分别为（﹣3，0），（﹣1，﹣4），此时直线EF 的解析式为：y=﹣2x﹣6，设动点P的直线为（m，﹣2m﹣6），求得PM=|（﹣2m ﹣6）﹣（﹣4）|=2|m+1|，PN=（﹣2m﹣6|=2（m+3|，FM=|m﹣（﹣1）|=|m+1，①假设直线EF上存在点P，使点T恰好落在x轴上，如图2，连接PT，FT，②假设直线EF上存在点P，使点T恰好落在y轴上，如图3，连接PT，FT，根据全等三角形的判定性质和相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：（1）在y=﹣2x﹣10中，当y=0时，x=﹣5，
∴A（﹣5，0），
∴OA=5，
∴AC=7，
把x=﹣3代入y=﹣2x﹣10得，y=﹣4
∴OC=4，
∴四边形ABCD的面积=（3+7）×4=20；
故答案为：20；
（2）①当0≤t≤3时，∵BC∥AD，AB∥EF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴S=AE•OC=4t；
②当3≤t＜7时，如图1，∵C（0，﹣4），D（2，0），∴直线CD的解析式为：y=2x﹣4，
∵E′F′∥AB，BF′∥AE′
∴BF′=AE=t，
∴F′（t﹣3，﹣4），
直线E′F′的解析式为：y=﹣2x+2t﹣10，
解得，
∴G（，t﹣7），
∴S=S
四边形ABCD ﹣S
△DE′G
=20﹣×（7﹣t）×（7﹣t）=﹣t2+7t﹣，
③当t≥7时，S=S
四边形ABCD
=20，
综上所述：S关于t的函数解析式为：S=；
（3）当t=2时，点E，F的坐标分别为（﹣3，0），（﹣1，﹣4），
此时直线EF的解析式为：y=﹣2x﹣6，
设动点P的直线为（m，﹣2m﹣6），
∵PM⊥直线BC于M，交x轴于n，
∴M（m，﹣4），N（m，0），
∴PM=|（﹣2m﹣6）﹣（﹣4）|=2|m+1|，PN=（﹣2m﹣6|=2（m+3|，FM=|m﹣（﹣1）|=|m+1，
①假设直线EF上存在点P，使点T恰好落在x轴上，
如图2，连接PT，FT，则△PFM≌△PFT，
∴PT=PM=2|m+1|，FT=FM=|m+1|，∴=2，
作FK⊥x轴于K，则KF=4，
由△TKF∽△PNT得， =2，
∴NT=2KF=8，
∵PN2+NT2=PT2，
∴4（m+3）2+82=4（m+1）2，
解得：m=﹣6，∴﹣2m﹣6=﹣6，
此时，P（﹣6，6）；
②假设直线EF上存在点P，使点T恰好落在y轴上，
如图3，连接PT，FT，则△PFM≌△PFT，
∴PT=PM=2|m+1|，FT=FM=|m+1|，
∴=2，
作PH⊥y轴于H，则PH=|m|，
由△TFC∽△PTH得，，
∴HT=2CF=2，
∵HT2+PH2=PT2，
即22+m2=4（m+1）2，
解得：m=﹣，m=0（不合题意，舍去），
∴m=﹣时，﹣2m﹣6=﹣，
∴P（﹣，﹣），
综上所述：直线EF上存在点P（﹣6，6）或P（﹣，﹣）使点T恰好落在y轴上．
【能力检测】
1.（2017乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4且∠AF G=60°，GE=2BG，则折痕EF的长为（）
A．1 B．C．2 D．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．
【分析】由折叠的性质可知，DF=GF、HE=CE、GH=DC、∠DFE=∠GFE，结合∠AFG=60°即可得出∠GFE=60°，进而可得出△GEF为等边三角形，在Rt△GHE中，通过解含30度角的直角三角形及勾股定理即可得出GE=2EC、DC=EC，再由GE=2BG 结合矩形面积为4，即可求出EC的长度，根据EF=GE=2EC即可求出结论．【解答】解：由折叠的性质可知，DF=GF，HE=CE，GH=DC，∠DFE=∠GFE．
∵∠GFE+∠DFE=180°﹣∠AFG=120°，
∴∠GFE=60°．
∵AF∥GE，∠AFG=60°，
∴∠FGE=∠AFG=60°，
∴△GEF为等边三角形，
∴EF=GE．
∵∠FGE=60°，∠FGE+∠HGE=90°，
∴∠HGE=30°．
在Rt△GHE中，∠HGE=30°，
∴GE=2HE=CE，
∴GH==HE=CE．
∵GE=2BG，
∴BC=BG+GE+EC=4EC．
∵矩形ABCD的面积为4，
∴4EC•EC=4，
∴EC=1，EF=GE=2．
故选C．
2.（2017乌鲁木齐）如图，点A（a，3），B（b，1）都在双曲线y=上，点C，D，分别是x轴，y轴上的动点，则四边形ABCD周长的最小值为（）
A．B．C．D．
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；PA：轴对称﹣最短路线问题．【分析】先把A点和B点的坐标代入反比例函数解析式中，求出a与b的值，确定出A与B坐标，再作A点关于y轴的对称点P，B点关于x轴的对称点Q，根据对称的性质得到P点坐标为（﹣1，3），Q点坐标为（3，﹣1），PQ分别交x 轴、y轴于C点、D点，根据两点之间线段最短得此时四边形PABQ的周长最小，然后利用两点间的距离公式求解可得．
【解答】解：分别把点A（a，3）、B（b，1）代入双曲线y=得：a=1，b=3，
则点A的坐标为（1，3）、B点坐标为（3，1），
作A点关于y轴的对称点P，B点关于x轴的对称点Q，
所以点P坐标为（﹣1，3），Q点坐标为（3，﹣1），
连结PQ分别交x轴、y轴于C点、D点，此时四边形ABCD的周长最小，
四边形ABCD周长=DA+DC+CB+AB
=DP+DC+CQ+AB
=PQ+AB
=+
=4+2
=6，
故选：B．
3.（2017黑龙江鹤岗）如图，边长为4的正方形ABCD，点P是对角线BD上一动点，点E在边CD上，EC=1，则PC+PE的最小值是 5 ．
【考点】PA：轴对称﹣最短路线问题；LE：正方形的性质．
【分析】连接AC、AE，由正方形的性质可知A、C关于直线BD对称，则AE的长即为PC+PE的最小值，再根据勾股定理求出AE的长即可．
【解答】解：连接AC、AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴A、C关于直线BD对称，
∴AE的长即为PC+PE的最小值，
∵CD=4，CE=1，
∴DE=3，
在Rt△ADE中，
∵AE===5，
∴PC+PE的最小值为5．
故答案为：5．
4.（2017黑龙江鹤岗）在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若四边形ABCD是正方形如图1：则有AC=BD，AC⊥BD．
旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置，AC′与BD′有什么关系？（直接写出）
若四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt△COD至图3所示的位置，AC′与BD′又有什么关系？写出结论并证明．
【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；L8：菱形的性质；R2：旋转的性质．
【分析】图2：根据四边形ABCD是正方形，得到AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，根据旋转的性质得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，等量代换得到AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，根据全等三角形的性质得到AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，于是得到结论；
图3：根据四边形ABCD是菱形，得到AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，求得OB=OA，OD=OC，根据旋转的性质得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，求得
OD′=OC′，∠AOC′=∠BOD′，根据相似三角形的性质得到BD′=AC′，于是得到结论．
【解答】解：图2结论：AC′=BD′，AC′⊥BD′，
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，
∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，
∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，
∴AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，
在△AOC′与△BOD′中，，
∴△AOC′≌△BOD′，
∴AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，
∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，
∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，
∴AC′⊥BD′；
图3结论：BD′=AC′，AC′⊥BD’
理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，
∵∠ABC=60°，
∴∠ABO=30°，
∴OB=OA，OD=OC，
∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，
∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，
∴OD′=OC′，∠AOC′=∠BOD′，
∴=，
∴△AOC′∽△BOD′，
∴==，∠OAC′=∠OBD′，
∴BD′=AC′，
∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，
∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，
∴AC′⊥BD′．
5.如图，矩形AOCB的顶点A、C分别位于x轴和y轴的正半轴上，线段OA、OC 的长度满足方程|x﹣15|+=0（OA＞OC），直线y=kx+b分别与x轴、y轴交于M、N两点，将△BCN沿直线BN折叠，点C恰好落在直线MN上的点D处，且tan∠CBD=
（1）求点B的坐标；
（2）求直线BN的解析式；
（3）将直线BN以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，求直线BN扫过矩形AOCB的面积S关于运动的时间t（0＜t≤13）的函数关系式．
【考点】FI：一次函数综合题．
【分析】（1）由非负数的性质可求得x、y的值，则可求得B点坐标；
（2）过D作EF⊥OA于点E，交CB于点F，由条件可求得D点坐标，且可求得=，结合DE∥ON，利用平行线分线段成比例可求得OM和ON的长，则可求得N 点坐标，利用待定系数法可求得直线BN的解析式；
（3）设直线BN平移后交y轴于点N′，交AB于点B′，当点N′在x轴上方时，可知S即为▱BNN′B′的面积，当N′在y轴的负半轴上时，可用t表示出直线
B′N′的解析式，设交x轴于点G，可用t表示出G点坐标，由S=S
﹣S
四边形BNN′B′
，可分别得到S与t的函数关系式．
△OGN′
【解答】解：
（1）∵|x﹣15|+=0，
∴x=15，y=13，
∴OA=BC=15，AB=OC=13，
∴B（15，13）；
（2）如图1，过D作EF⊥OA于点E，交CB于点F，
由折叠的性质可知BD=BC=15，∠BDN=∠BCN=90°，
∵tan∠CBD=，
∴=，且BF2+DF2=BD2=152，解得BF=12，DF=9，
∴CF=OE=15﹣12=3，DE=EF﹣DF=13﹣9=4，
∵∠CND+∠CBD=360°﹣90°﹣90°=180°，且∠ONM+∠CND=180°，
∴∠ONM=∠CBD，
∴=，
∵DE∥ON，
∴==，且OE=3，
∴=，解得OM=6，
∴ON=8，即N（0，8），
把N、B的坐标代入y=kx+b可得，解得，
∴直线BN的解析式为y=x+8；
（3）设直线BN平移后交y轴于点N′，交AB于点B′，
当点N′在x轴上方，即0＜t≤8时，如图2，
由题意可知四边形BN N′B′为平行四边形，且NN′=t，
∴S=NN′•OA=15t；
当点N′在y轴负半轴上，即8＜t≤13时，设直线B′N′交x轴于点G，如图3，
∵NN′=t，
∴可设直线B′N′解析式为y=x+8﹣t，
令y=0，可得x=3t﹣24，
∴OG=24，
∵ON=8，NN′=t，
∴ON′=t﹣8，
∴S=S
四边形BNN′B′﹣S
△OGN′
=15t﹣（t﹣8）（3t﹣24）=﹣t2+39t﹣96；
综上可知S与t的函数关系式为S=．
2020年中考数学动态问题-折叠中函数综合题型(含答案)
专题05 动点折叠类问题中函数及其综合题型 一、基础知识点综述 动点型问题是指题设中的图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线、直线、抛物线、双曲线、弧线等上运动的一类非常具有开放性的题目. 而从其中延伸出的折叠问题，更能体现其解题核心——动中求静，灵活运用相关数学知识进行解答，有时需要借助或构造一些数学模型来解答. 实行新课标以来，各省（市）的中考数学试卷都会有此类题目，这些题目往往出现在选择、填空题的压轴部分，题型繁多，题意新颖，具有创新力. 其主要考查的是学生的分析问题及解决问题的能力. 要求学生具备：运动观点；方程思想；数形结合思想；分类讨论思想；转化思想等等. （1）函数中的折叠问题 主要考查对函数性质的把握及综合运用知识的能力. （2）综合题型 此类题目困难重重，以2019年安徽省中考第10题而言，充分体现了数学思想的表达，解题中用到的有最短路径、三角函数、所求变量的变化规律等等，充分体现了新课标对考查学生数学素养的要求. 通过研究历年中考真题并结合2019年各省（市）的中考真题，特总结出此专题. 期望能给各位老师及同学以学习教学一些启发，一些指引，培养出学生的解题素养. 二、精品例题解析 题型一：折叠综合题型 例1.（2019·安徽）如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC=12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF=9的点P的个数是（） A.0 B.4 C.6 D.8 题型二：折叠与相似 例2.（2019·济宁）如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G．
2020年中考数学必考高分考点：动态问题(教师版)
专题34 动态问题 专题知识回顾 一、动态问题概述 1.就运动类型而言,有函数中的动点问题、图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。 2.就运动对象而言,几何图形中的动点问题,有点动、线动、面动三大类。 3.就图形变化而言,有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等。 4.动态问题一般分两类,一类是代数综合方面,在坐标系中有动点,动直线,一般是利用多种函数交叉求解。另一类就是几何综合题,在梯形,矩形,三角形中设立动点、线以及整体平移翻转,对考生的综合分析能力进行考察。所以说,动态问题是中考数学当中的重中之重,只完全掌握才能拿高分。 另一类就是几何综合题,在梯形,矩形,三角形中设立动点、线以及整体平移翻转,对考生的综合分析能力进行考察。所以说,动态问题是中考数学当中的重中之重,只完全掌握才能拿高分。 二、动点与函数图象问题常见的四种类型： 1.三角形中的动点问题：动点沿三角形的边运动,根据问题中的常量与变量之间的关系,判断函数图 2.四边形中的动点问题：动点沿四边形的边运动,根据问题中的常量与变量之间的关系,判断函数图象。 3.圆中的动点问题：动点沿圆周运动,根据问题中的常量与变量之间的关系,判断函数图象。 4.直线、双曲线、抛物线中的动点问题：动点沿直线、双曲线、抛物线运动,根据问题中的常量与变量之间的关系,判断函数图象。 三、图形运动与函数图象问题常见的三种类型： 1.线段与多边形的运动图形问题：把一条线段沿一定方向运动经过三角形或四边形,根据问题中的常量与变量之间的关系,进行分段,判断函数图象。 2.多边形与多边形的运动图形问题：把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过另一个多边形,根据问题中的常量与变量之间的关系,进行分段,判断函数图象。 3.多边形与圆的运动图形问题：把一个圆沿一定方向运动经过一个三角形或四边形,或把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过一个圆,根据问题中的常量与变量之间的关系,进行分段,判断函数图象。 四、动点问题常见的四种类型： 1.三角形中的动点问题：动点沿三角形的边运动,通过全等或相似,探究构成的新图形与原图形的边或角的
中考数学专题复习——动态变化问题(经典题型)
中考数学专题复习——动态变化问题（经典题型） 【专题点拨】 动态型问题一般是指以几何知识和图形为背景，渗透运动变化观点的一类试题，常见的运动对象有点动、线动和面动；其运动形式而言就是平移、旋转、翻折和滚动等。 动态型试题其特点是集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性，题目灵活，多变，动中有静，动静结合，能够在运动变化中发展同学们的空间想象能力。 解答动态型试题的策略是：（1）动中求静，即在运动变化中探索问题中的不变性；（2）动静互化，抓住静的瞬间。找到导致图形或者变化规律发生改变的特殊时刻，同时在运动变化的过程中寻找不变性及其变化规律。 【典例赏析】 【例题1】（2017黑龙江佳木斯）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E、F是AD边上的两个动点，且AE=FD，连接BE、CF、BD，CF与BD交于点G，连接AG 交BE于点H，连接DH，下列结论正确的个数是（） ①△ABG∽△FDG ②HD平分∠EHG ③AG⊥BE ④S △HDG ：S △HBG =tan∠DAG ⑤线段DH 的最小值是2﹣2． A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质；T7：解直角三角形． 【分析】首先证明△ABE≌△DCF，△ADG≌△CDG（SAS），△AGB≌△CGB，利用全等三角形的性质，等高模型、三边关系一一判断即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°，在△ABE和△DCF中， ， ∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴∠ABE=∠DCF， 在△ADG和△CDG中， ， ∴△ADG≌△CDG（SAS）， ∴∠DAG=∠DCF， ∴∠ABE=∠DAG， ∵∠DAG+∠BAH=90°， ∴∠BAE+∠BAH=90°， ∴∠AHB=90°， ∴AG⊥BE，故③正确， 同法可证：△AGB≌△CGB， ∵DF∥CB， ∴△CBG∽△FDG， ∴△ABG∽△FDG，故①正确， ∵S △HDG ：S △HBG =DG：BG=DF：BC=DF：CD=tan∠FCD， 又∵∠DAG=∠FCD， ∴S △HDG ：S △HBG =tan∠FCD，tan∠DAG，故④正确 取AB的中点O，连接OD、OH， ∵正方形的边长为4， ∴AO=OH=×4=2， 由勾股定理得，OD==2， 由三角形的三边关系得，O、D、H三点共线时，DH最小，DH 最小 =2﹣2．
中考数学专题——动态问题(非常全面)
（中考数学专题3） 动态几何问题 【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）． D N C M B A （1）当MN AB ∥时，求t 的值； （2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形． 【例3】在△ABC 中，∠ACB=45º．点D （与点B 、C 不重合）为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ． （1）如果AB=AC ．如图①，且点D 在线段BC 上运动．试判断线段CF 与BD 之间的位置关系，并证明你 的结论． （2）如果AB ≠AC ，如图②，且点D 在线段BC 上运动．（1）中结论是否成立，为什么？ （3）若正方形ADEF 的边DE 所在直线与线段CF 所在直线相交于点P ，设AC ＝42，3=BC ，CD=x ，求线段CP 的长．（用含x 的式子表示） 【例4】已知如图，在梯形ABCD 中，24AD BC AD BC ==∥，，，点M 是AD 的中点，MBC △是等边三角形． （1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形； （2）动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且60MPQ =︒∠保持不变．设PC x MQ y ==，，求y 与x 的函数关系式； （3）在（2）中，当y 取最小值时，判断PQC △的形状，并说明理由． 【例5】已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF BD ⊥交BC 于F ，连接DF ，G 为 DF 中点，连接EG CG ， ． （1）直接写出线段EG 与CG 的数量关系； （2）将图1中BEF ∆绕B 点逆时针旋转45︒，如图2所示，取DF 中点G ，连接EG CG ，， ． 你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． （3）将图1中BEF ∆绕B 点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍 然成立？（不要求证明） A D C B P M Q 60
动态问题复习
1 / 4 中考数学复习专题 动态探究题 这种题型包括有动点问题，动线问题和动圆问题三类。主要是考查学生对几何元素的运动变换的性质，它主要揭示“运动”与“静止”，“一般”与“特殊”的内在联系，以及在一定条件下可以相互转化的唯物辨证关系。 几何动态题的解题策略： 第一：全面阅读题目，了解运动的方式与形式，全方位考察运动中的变与不变的量及其位置关系。这是解题的关键，审题一定要清楚和仔细，真正全面地了解这是什么类型的运动？怎样运动？沿什么方运动？甚至速度是多少都要彻底搞清楚。理解在运动、变化的过程中哪些量在变？哪些量保持不变？理解变量之间的位置、数量关系。在考试中很多同学往往就是因为审题不清而导致失误，甚至不少同学根本连题目都还没有读清楚就望而怯步。 第二：要按给定条件画出不同状态下的图形，将运动的点用静态的图去分析，探索在运动变化中问题的不变性，抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊情形，找到“动”与“静”的关系，做到动中觅静，以静制动，动静互化。同时，通过建立运动中两个变量的函数关系，用联系发展的观点来研究变动元素之间的关系，达到以动制动。 第三：应用分类讨论思想，将动态问题划分为若干既不重复，也不遗漏的几个小问题加以一一解决，从而使复杂、难于解决的问题简单化，特别是当问题条件不具体而模棱两可时，通过分类讨论可以确定准确的答案。同学们在进行分类解题时，关键是要有分类意识，克服想当然的错误习惯。特别是应用分类讨论时要将在运动过程中导致图形本质发生变化时的各种时刻的图形分类画出，变“动”为“静”，运用相关知识如方程、相似形进行探索，寻找各个相关几何量之间的关系，建立相应的数学模型进行求解。 （一）动点型动态探究题 1．（09包头）如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点． （1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后， BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 2．（09齐齐哈尔）直线3 64 y x =- +与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1） 直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当48 5 S = 时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标． 3．（09哈尔滨） 如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（－3，4）， 点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ． （1）求直线AC 的解析式； （2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S （S ≠0），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值． 4.（09济南）如图，在梯形ABCD 中，3545AD BC AD DC AB B ====?∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长． （2）当MN AB ∥时，求t 的值． （3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形． C M
中考数学专题：例+练——第9课时 动态型问题(含答案)
第9课时动态型问题 动态型试题比较侧重图形的旋转、平移、对称、翻折，在这里重点考察学生几何图形的认识，对称、全等、相似，是对数学综合能力的考察动态型试题.对学生的思维要求比较高，对题目的理解要清晰，明确变化的量之间的关系，同时还要明确不变的量有那些，抓住关键，理清思路。 动态几何型问题体现的数学思想方法是数形结合思想，这里常把函数与方程、函数与不等式联系起来，实际上是一般化与特殊化方法．当求变量之间关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解；当求特殊位置关系和值时，常建立方程模型求解． 类型之一探索性的动态题 探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断。探索型问题一般没有明确的结论，没有固定的形式和方法，需要学生自己通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需要的结论或方法或条件，用考察学生的分析问题和解决问题的能力和创新意识。 1.（宜昌市）如图，在Rt△ABC中，AB=AC，P是边AB（含端点）上的动点，过P作BC的垂线PR，R为垂足，∠PRB的平分线与AB相交于点S，在线段RS上存在一点T，若以线段PT为一边作正方形PTEF，其顶点E、F恰好分别在边BC、AC上. （1）△ABC与△SBR是否相似？说明理由； （2）请你探索线段TS与PA的长度之间的关系； （3）设边AB=1，当P在边AB（含端点）上运动时，请你探索正方形PTEF的面积y的最小值和最大值.
O A C B x y 2.（南京市）如图，已知O 的半径为6cm ，射线PM 经过点O ，10cm OP =，射线PN 与O 相切于点Q ．A B ，两点同时从点P 出发，点A 以5cm/s 的速度沿射线PM 方向运动，点B 以4cm/s 的速度沿射线PN 方向运动．设运动时间为t s ． （1）求PQ 的长； （2）当t 为何值时，直线AB 与O 相切？ 类型之二 存在性动态题 存在性动态题运用几何计算进行探索的综合型问题，要注意相关的条件,可以先假设结论成立，然后通过计算求相应的值，再作存在性的判断. 3.如图，直线43 4+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）． （1）试说明△ABC 是等腰三角形； （2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ． ① 求S 与t 的函数关系式； ② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S =4的情形？若存在， 求出对应的t 值；若不存在请说明理由； ③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．
初中数学中考复习动态型问题(动点动线动面)专项练习及答案解析(50道)
初中数学中考复习动态型问题（动点动线动面）专项练习及答 案解析（50道） 一、选择题 1、如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C=，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B 以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（） A．18cm2B．12cm2C．9cm2D．3cm2 2、如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（） A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不改变D．线段EF的长不能确定 3、如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC 上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（） A．B． C． D．
4、数轴上一动点A向左移动3个单位长度到达点B，再向右移动4个单位长度到达点C，若点C表示的数为1，则点A表示的数为（） A．7 B．1 C．0 D．﹣1 5、如图，正方形ABCD边长为4个单位，两动点P、Q分别从点A、B处，以1单位/s、2单位/s的速度逆时针沿边移动．记移动的时间为x（s），△PBQ面积为y（平方单位），当点Q移动一周又回到点B终止，则y与x的函数关系图象为（） A． B． C． D． 6、如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（） A．B．
2014年数学中考二轮专题复习讲义：动态型问题
2014年数学中考二轮专题复习讲义：动态型问题 【考纲要求】 动态几何问题就是研究在几何图形的运动中伴随着一定的图形位置、数量关系的 “变”与 “不变”性．就其运动对象而言，有 “点动” “线动”和“面动”；就其运动形式而言，有“移动”“滚动”“旋转”和“翻折”等． 【命题趋势】 动态几何问题常集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性，题目灵活多变，动中有静，动静结合，能够在运动变化过程中发展学生思维和空间想象能力，是中考热点，常在中考中以压轴题的形式出现． 题型分类 、深度剖析： 考点一、点动型问题 例1、（2013·黄冈）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO 是梯形，其中A(6，0)，B(3，3)，C(1，3)，动点P 从点O 以每秒2个单位的速度向点A 运动，动点Q 也同时从点B 沿B →C →O 的线路以每秒1个单位的速度向点O 运动，当点P 到达A 点时，点Q 也随之停止，设点P 、Q 运动的时间为t(秒)． (1)求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； (2)当点Q 在CO 边上运动时，求△OPQ 的面积S 与时间t 的函数关系式； (3)以O 、P 、Q 为顶点的三角形能构成直角三角形吗？若能，请求出t 的值，若不能，请说明理由； (4)经过A 、B 、C 三点的抛物线的对称轴、直线OB 和PQ 能够交于一点吗？若能，请求出此时t 的值(或范围)，若不能，请说明理由． 解：(1)设所求抛物线的解析式为y ＝ax 2 ＋bx ＋c ，把A (6，0)，B (3，3)，C (1，3)三点坐标代入得???36a ＋6b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝3，a ＋b ＋c ＝3， 解得a ＝－315，b ＝4 315，c ＝4 35. 即所求抛物线的解析式为y ＝－ 315x 2＋4 315x ＋4 35 .
2020年中考数学二轮复习重要考点精析--动态型问题
中考数学二轮复习重要考点精析 动态型问题 一、中考专题诠释 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. “动点型问题” 题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。 二、解题策略和解法精讲 解决动点问题的关键是“动中求静”. 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 三、中考考点精讲 考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像） 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系. 例1 如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（） A．B．C．D． 思路分析：分析动点P的运动过程，采用定量分析手段，求出S与t的函数关系式，根据关系式可以得出结论． 解：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则： （1）当点P在A→B段运动时，PB=1-t，S=π（1-t）2（0≤t＜1）； （2）当点P在B→A段运动时，PB=t-1，S=π（t-1）2（1≤t≤2）． 综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=π（t-1）2（0≤t≤2）， 这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B符合要求． 故选B．
中考专题复习——动态问题
2013中考专题复习——动态问题 【学习目标】 1、能够对点、线、面在运动变化过程中相伴随的数量关系、图形位置关系等进行观察研究。 2、进一步发展探究性学习能力。 【学习过程】 一、运动型问题的特点： 用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题称为运动型问题。这类问题的显著特点是：图形中的某个元素（如点、线、角等）或整个几何图形按某种规律运动。图形的各个元素在运动变化的过程中互相依存。这类命题与一般试题有所区别，可能条件不够完备，也可能结论需要探究，且问题呈现的形式有所开放性。解答这类问题时，在观察几何图形运动变化的过程中要善于探索并发现一些几何性质、相互关系及规律。解答这类问题时往往需要综合运用转化思想、数形结合思想、方程函数思想及分类讨论等各种数学思想。 二、“运动型问题”分类 （一）、点动型试题 例1. 如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A 停止， 设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则△ABC的面积是多少？ 分析填空：
（1）当P在BC上运动时y的值逐渐____________，此时x的取值范围是 ______________. （2）当P在CD上运动时y的值____________，此时x的取值范围是 ______________. （3）由函数图象可以知，从x=_______开始，y开始减少； （4）结合以上信息函数图象可以得出BC=______cm,CD=_____cm,所以△ABC 的面积是_______cm2 反思本题的解题思路和解题方法，你认为解决动点问题的关键在哪里？主要步骤是什么？ 例2. （2012贵州遵义）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D． （1）当∠BQD=30°时，求AP的长； （2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由． （二）、线动型试题
中考数学专题动态几何变化问题
中考数学专题动态几何变化问题 中考数学专题复习七动态几何变化问题 动态几何题已成为中考试题的一大热点题型。在近几年各地的中考试卷中，以动点问题、平面图形的平移、翻折、旋转、剪拼问题等为代表的动态几何题频频出现在填空、选择、解答等各种题型中，考查同学们对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力。解决动态几何题的策略是：把握运动规律，寻求运动中的特殊位置；在“动”中求“静”，在“静”中探求“动”的一般规律。通过探索、归纳、猜想，获得图形在运动过程中是否保留或具有某种性质。 下面就动点型、动线型、动面型等几何题作一简要分析。 一. 动点型 1. 单动点型 例1. 如图1，在矩形ABCD 中，AD=12，AB=5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，E ，F 分别是垂足，求PE+PF 的长。 分析与略解：P 是AD 边上任意一点，不妨考虑特殊点的情况，即在“动”中求“静”。当P 点在D （或A ）处时，过D 作DG ⊥AC ，垂足为G ， 则PE=0，PF=DG ， 故PE+PF=DG ， 在Rt △ADC 中，13512DC AD AC 2222=+=+= 由面积公式有：13 60AC DC AD DG =?=，再有“静”寻求“动”的一般规律，得到PE+PF=DG= 1360。
图1 2. 双动点型 例2. （2003年吉林省）如图2，在矩形ABCD 中，AB=10cm ，BC=8cm ，点P 从A 出发，沿A →B →C →D 路线运动，到D 点停止；点Q 从D 点出发，沿D →C →B →A 路线运动，到A 停止。若点P 、Q 同时出发，点P 的速度为每秒1cm ，点Q 的速度为每秒2cm ，a 秒时点P 、点Q 同时改变速度，点P 的速度变为每秒bcm ，点Q 的速度为每秒dcm 。图3是点P 出发x 秒后△APD 的面积)cm (S 21与x （秒）的函数关系图象，图4是点Q 出发x 秒后△AQD 的面积)cm (S 22与x （秒）的函数关系图象。 图2 图3 图4 （1）参照图3，求a 、b 及图3中c 的值。 （2）求d 的值。 （3）设点P 离开点A 的路程为)cm (y 1，点Q 到点A 还需走的路程为)cm (y 2，请分别写出动点P 、Q 改变速度后，1y 、2y 与出发后的运动时间x （秒）的函数关系式。并求出P 、Q 相遇时x 的值。 （4）当点Q 出发________秒时，点P 、点Q 在运动路线上相距的路程为25cm 。分析与略解：解决此类问题的关键是应注意图形位置变化及动点运动的时间和速度，用分类讨论的思想来求解。
2020中考数学冲刺练习-第12讲 动态变化型问题-
2020数学中考冲刺专项练习 专题12 动态变化型问题 【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破； 动态型问题是指以三角形、四边形、圆等几何图形或函数图象为载体，设计动态变化，并对变化过程中伴随着的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行实验、观察、猜想和归纳，进行推理的一类问题，这类问题信息量大，灵活多变，出现的结果往往有多种情况．涉及到平行线、相似三角形的性质，锐角三角函数，方程、不等式及函数的知识，以及几何变换，数形结合，分类讨论，函数与方程，特殊与一般的思想. 解决此类问题需要运用运动和变化的观点，把握运动和变化的全过程，动中取静，静中求动，抓住运动中的某一瞬间，抓住变化过程中的特殊情形，确定运动变化过程中的数量关系、图形位置关系，从而建立方程、不等式、函数、几何模型，找到解决问题的途径. 由点运动产生的问题，解题的关键是从运动图与描述图中获取信息，根据图象确定x的运动时间与面积的关系，同时关注图象不同情况的讨论．这类问题往往探究点在运动变化过程中的变化规律，如等量关系、图形的特殊位置、图形间的特殊关系等，且体现分类讨论和数形结合的思想． 由线运动产生的问题，解答这类问题时要用运动与变化的观点去观察和研究图形，把握直线或曲线变化的全过程，本题中PQ∥OA，PM∥OB，涉及相似三角形的判定与性质，抓住等量关系，特别注意一些不变量、不变关系或特殊关系． 由图形运动产生的问题，由图形变化产生的问题包括由点引起的图形变化，图形的平移、旋转、翻转等；图形在变化过程中，抓住不变的图形和量；以三角形、四边形和圆的变化为常见的一种题型．本题的关键是添加辅助线构造特殊三角形以及平行四边形． 解决此类动点几何问题常用的是“类比发现法”，也就是通过对两个或几个相类似数学研究对象的异同，进行观察和比较，从一个容易探索的研究对象所具有的性质入手，去猜想另一个或几个类似图形所具有的类似性质，从而获得相关结论．类比发现法大致可遵循如下步骤： （1）根据已知条件，先从动态的角度去分析观察可能出现的情况；（2）结合某一相应图形，以静制动，运用所学知识(常见的有三角形全等、三角形相似等)得出相关结论；（3）类比猜想出其他情况中的图形所具有的性质． 【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题； 【原创1】如图所示，在矩形ABCD中，点E、F是边AD上的两个三等分点，点P是对角线AC上的一动
(全国通用)中考数学难点攻克：动态题型分类解析(动点、动线、动面)
中考数学重难考点突破一动态题型分类解析解决动态几何问题的关键是要善于运用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住变化中的不变，以不变应万变从结论入手，分析结论要成立需具备的典型特征条件是什么？然后利用函数与方程的思想和方法将这个需具备的典型特征条件（或所求图形面积）直接转化为函数或方程。 类型一点动型动态题 1.如图1,在△ ABC 中，/ B = 90°, AB = 12 mm, BC = 24 mm,动点P 从点A 开始沿边AB向B以2 mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4 mm/s 的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过 ^一秒，四边形APQC的面积最小. 图1 解：设经过x秒四边形APQCD面积最小由题意得：AP=2x, BQ=4x, WJ PB=12—2x, △ PBQ勺面积=1/2 XBQ< PB =1/2 X4xX(12—2x) =—4(x—3)2+36 当x=3时，△ PBQ勺面积的最大值是36mm, 此时四边形APQC勺面积最小。 点评：本题中由于四边形APQCE动点运动中，无法确定其形态，也就无法应用面积公式。而 P、R Q三点，根据题意始终组成一个直角三角形△ PBQ故从求直角三角形面积入手便可解决问题。
2.如图2,已知△ ABC中,AB= AG= 10厘米，BG= 8厘米，点D为AB的中点. (1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA 上由C 点向A点运动. ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPDf z\CQ旺否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使4BPD 与4CQ障等？ (2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在哪条边上相遇？ 解：（1）①.「t=1 秒，... BP = CQ = 3X1=3（厘米）. .「AB=10厘米，点D为AB的中点，「. BD = 5厘米. 又PC = BC—BP, BC = 8 厘米，.. PC = 8 —3 = 5（厘米），..PC=BD.
初中数学中考八大题型典中典专题复习试题八动态变化问题
专题复习（八）——动态变化问题 。 类型1：动点问题 （1）因动点产生的相似三角形问题 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P与点B、C 都不重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（） A． B．C．D． 【变式练习】 如图：把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC面积的一半，若AB=，则此三角形移动的距离AA′是（） A．﹣1 B．C． 1 D． （2）因动点产生的特殊三角形问题： 如图，已知△ABC为等边三角形，AB=2，点D为边AB上一点，过点D作DE∥AC，交BC于E点；过E点作EF⊥DE，交AB的延长线于F点．设AD=x，△DEF的面积为y，则能大致反映y与x函数关系的图象是（）
A． B．C．D． 变式练习： 已知：抛物线l 1 ：y=﹣x2+bx+3交x轴于点A，B，（点A在点B的左侧），交y轴 于点C，其对称轴为x=1，抛物线l 2 经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0）， 交y轴于点D（0，﹣5 2）． （1）求抛物线l 2 的函数表达式； （2）P为直线x=1上一动点，连接PA，PC，当PA=PC时，求点P的坐标； （3）M为抛物线l 2上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l 1 于点N，求 点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．
（3）因动点产生的特殊四边形问题 如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC ﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ 的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（） A． B． C ． D ． 【变式练习】 如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为（） A ． B．2C．2D ． （4）因动点产生的相切问题： 已知如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x－23与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是直线AB上一动点，⊙P的半径为1． （1）判断原点O与⊙P的位置关系，并说明理由； （2）当⊙P过点B时，求被y轴所截得的劣弧的长； （3）当⊙P与x轴相切时，求出切点的坐标． 【思路分析】（1）判断点与圆的位置关系，须明确点与圆 的三种位置关系与数量关系的转换。须求出点O到直 线AB的距离，先求出点A、B的坐标，然后可利用三 角函数或相似形或面积法求出AB边上的高即可。 （2）求弧长，须明确弧长公式：l＝nπR 180 ，根据公式须求出劣弧所对的圆心角
浙江省中考数学专题复习专题七动态型问题训练
专题七动向型问题种类一点的运动型问题 ( 2018·四川宜宾中考 ) 在△ ABC中，若 O为 BC边的中点，则必有： 2 2 2 2 建立．依照AB ＋ AC＝2AO＋ 2BO 以上结论，解决以下问题：如图，在矩形DEFG中，已知 DE＝ 4，EF＝ 3，点 P 在以 DE为直径的半圆上运动， 2 2 则 PF ＋ PG的最小值为 () A. 10 19 C． 34 D． 10 B. 2 【剖析】设点 M为 DE的中点，点 N 为 FG的中点，连接MN，则 MN，PM的长度是定值，利用三角形的三边 关系可得出 NP的最小值，再利用 2 2 2 2 即可求出结论．PF ＋ PG＝ 2PN＋ 2FN 【自主解答】 这种问题就是在几何图形上或在函数图象上，设计一个动点或几个动点，研究这些点在运动变化过程中陪伴着的变化规律，如等量关系、变量关系、图形的特别地点、图形间的特别关系等．动点在运动过程中，惹起图形或图象的变化，解决问题的重点是掌握量与量之间的关系，常与三角函数、直角三角形、矩形等几何知识综合． 1．( 2017·山东泰安中考 ) 如图，在△ ABC 中，∠ C＝90°， AB＝ 10 cm， BC＝
( 点 Q运动到点 B 停止 ) ，在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为( ) A． 19 2 B． 16 2 cm cm C． 15 2 D． 12 2 cm cm 种类二直线的运动型问题 ( 2018·江苏盐城中考) 如图 1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 y＝ax2＋ bx＋ 3 经过点 A( － 1，0) ， B(3 ， 0) 两点，且与y 轴交于点 C. (1)求抛物线的表达式； (2)如图 2，用宽为 4 个单位长度的直尺垂直于 x 轴，并沿 x 轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛 物线订交于P， Q两点 ( 点 P在点 Q的左边 ) ，连接 PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接 DP， DQ. 1 ( Ⅰ) 若点 P的横坐标为－2 ，求△DPQ面积的最大值，并求此时点 D 的坐标； ( Ⅱ) 直尺在平移过程中，△ DPQ 面积能否有最大值？如有，求出头积的最大值；若没有，请说明原因． 【剖析】 (1) 依据点 A， B 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式； (2)( Ⅰ) 由点 P 的横坐标可得出点 P，Q的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ的表达式，过点D作 DE∥y 2 5 轴交直线 PQ于点 E，设点 D 的坐标为 (x ，－ x ＋ 2x ＋3) ，则点 E 的坐标为 (x ，－ x＋4) ，从而即可得出 DE 的长度，利用三角形的面积公式可得出 △DPQ 2 7 S ＝－ 2x ＋ 6x ＋2，再利用二次函数的性质即可解决最值问题； ( Ⅱ) 假定存在，设点 P 的横坐标为t ，则点 Q 的横坐标为4＋ t ，从而可得出点 P，Q 的坐标，利用待定系 数法可求出直线 PQ的表达式，设点 D 的坐标为 (x ，－ x2＋ 2x＋ 3) ，则点 E 的坐标为 (x ，－ 2(t ＋ 1)x ＋ t 2＋4t ＋ 3) ，从而即可得出 DE的长度，利用三角形的面积公式可得出S△DPQ＝－ 2x2＋ 4(t ＋ 2)x － 2t 2－ 8t ，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 【自主解答】
中考数学《动态问题》专题复习试题含解析
动态问题 一.选择题 1．，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（） A．4.8 B．5 C．6 D．7.2 【考点】矩形的性质． 【分析】首先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，可求得OA=OD=5 ，△AOD的面积，然后由S△A O D=S△A O P+S△D O P=OA•PE+OD•PF求得答案． 【解答】解：连接OP， ∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8， ∴S矩形A B C D=AB•BC=48，OA=OC，OB=OD，AC=BD=10， ∴OA=OD=5， ∴S△A C D=S矩形A B C D=24， ∴S△A O D=S△A C D=12， ∵S△A O D=S△A O P+S△D O P=OA•PE+OD•PF=×5×PE+×5×PF=（PE+PF）=12，解得：PE+PF=4.8． 故选：A． 2.）如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（）
A．B．C．D． 【考点】动点问题的函数图象． 【分析】△ADP的面积可分为两部分讨论，由A运动到B时，面积逐渐增大，由B运动到C时，面积不变，从而得出函数关系的图象． 【解答】解：当P点由A运动到B点时，即0≤x≤2时，y=×2x=x， 当P点由B运动到C点时，即2＜x＜4时，y=×2×2=2， 符合题意的函数关系的图象是A； 故选：A． 3.）如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角△AB C，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）
2020年中考数学专题复习卷：几何图形的动态问题精编(含解析)
几何图形的动态问题精编 1.如图，平行四边形ABCD中，AB= cm，BC=2cm，∠ABC=45°，点P从点B出发，以1cm/s的速度沿折线BC→CD→DA运动，到达点A为止，设运动时间为t(s)，△ABP的面积为S(cm2)，则S与t的大致图象是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】：分三种情况讨论： ①当0≤t≤2时，过A作AE⊥BC于E．∵∠B=45°，∴△ABE是等腰直角三角形．∵AB= ，∴AE=1，∴S= BP×AE= ×t×1= t； ②当2＜t≤ 时，S= = ×2×1=1； ③当＜t≤ 时，S= AP×AE= ×（-t）×1= （-t）． 故答案为：A． 【分析】根据题意分三种情况讨论：①当0≤t≤2时，过A作AE⊥BC于E；②当2＜t≤ 2 +时；③当 2 + ＜t≤ 4 +时，分别求出S与t的函数解析式，再根据各选项作出判断，即可得出答案。
2.如图，边长为a的菱形ABCD中,∠DAB=60°,E是异于A、D两点的动点,F是CD上的动点,满足AE+CF=a,△BEF的周长最小值是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】：连接BD ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD， ∵∠DAB=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴AB=DB，∠BDF=60° ∴∠A=∠BDF 又∵AE+CF=a， ∴AE=DF， 在△ABE和△DBF中， ∴△ABE≌△DBF（SAS）， ∴BE=BF，∠ABE=∠DBF， ∴∠EBF=∠ABD=60°， ∴△BEF是等边三角形． ∵E是异于A、D两点的动点,F是CD上的动点,
要使△BEF的周长最小，就是要使它的边长最短 ∴当BE⊥AD时，BE最短 在Rt△ABE中，BE== ∴△BEF的周长为 【分析】根据等边三角形的性质及菱形的性质，证明∠A=∠BDF，AE=DF，AB=AD，就可证明△ABE≌△DBF，根据全等三角形的性质，可证得BE=BF，∠ABE=∠DBF，再证明△BEF是等边三角形，然后根据垂线段最短，可得出当BE⊥AD时，BE最短，利用勾股定理求出BE的长，即可求出△BEF的周长。 3.如图,菱形的边长是4厘米, ,动点以1厘米/秒的速度自点出发沿方向 运动至点停止,动点以2厘米/秒的速度自点出发沿折线运动至点停止若点同时出 发运动了秒,记的面积为,下面图象中能表示与之间的函数关系的是( ) A. B.
中考专题训练中考压轴题(二)---动态问题(动点)
中考专题训练中考压轴题（二）------动态问题（动点） 1.(07河北省)26. 如图16，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从点B出发沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C 出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD-DA-AB于点E．点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）． （1）当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长； （2）当点P运动到AD上时，t为何值能使PQ∥DC ？ （3）设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时，S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围） （4）△PQE能否成为直角三角形？若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由． 解：（1）t =（50＋75＋50）÷5=35（秒）时，点P到达终点C． 此时，QC=35×3=105，∴BQ的长为135－105=30． （2）如图8，若PQ∥DC，又AD∥BC，则四边形PQCD 为平行四边形，从而PD=QC，由QC=3t，BA+AP=5t 得50＋75－5t=3t，解得t=125 8 ． 经检验，当t=125 8 时，有PQ∥DC． （3）①当点E在CD上运动时，如图9．分别过点A、D 作AF⊥BC于点F，DH⊥BC于点H，则四边形 ADHF为矩形，且△ABF≌△DCH，从而 FH= AD=75，于是BF=CH=30．∴DH=AF=40． 又QC=3t，从而QE=QC·tan C=3t· CH DH=4t． （注：用相似三角形求解亦可） ∴S=S⊿QCE =1 2 QE·QC=6t2； ②当点E在DA上运动时，如图8．过点D作DH⊥BC于点H，由①知DH=40，CH=30，又QC=3t，从而ED=QH=QC－CH=3t－30． ∴S= S梯形QCDE =1 2 (ED＋QC)DH =120 t－600． （4）△PQE能成为直角三角形． 当△PQE为直角三角形时，t的取值范围是0＜t≤25且t≠155 8 或t=35． （注：（4）问中没有答出t≠155 8 或t=35者各扣1分，其余写法酌情给分） 图16 C 图 9 H 图8