第四节泰勒级数与幂级数
第四节 泰勒级数与幂级数
教学目的：理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和；了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件、掌握,sin ,cos x
e x x ，ln(1)x +和(1)x α
+的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。
教学重点 ：幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；,sin ,cos x
e x x ，ln(1)x +和(1)a α
+的麦克劳林展开式。
教学难点：幂级数的收敛域及和函数。 教学时数：4 教学内容：
一、函数项级数的概念 1．函数项级数的定义
定义：设函数()(1,2,3)n u x n =L 都在D 上有定义，则称表达式
1
2
1
()()()n
n u x u x u x ∞
==++∑L
为定义在D 上的一个函数项级数，()n u x 称为通项，1
()()n k k S x u x ∞
==∑称为部分和函数．
2．收敛域 定义：设
1()n n u x ∞
=∑是定义在D 上的一个函数项级数，0
x
D ∈，若数项级数01
()n n u x ∞
=∑收敛，
则称0x 是
1
()n
n u x ∞
=∑的一个收敛点．所有收敛点构成的集合称为级数的收敛域．
3．和函数 定义：设函数项级数
1
()n n u x ∞
=∑的收敛域为I ，则任给x I ∈，存在唯一的实数()S x ，使得
1
()()n n S x u x ∞
==∑成立．定义域为I 的函数()S x 称为级数1
()n n u x ∞
=∑的和函数．
二、幂级数
1．幂级数的定义
定义：设{}(0,1,2,)n a n =L 是一实数列，则称形如0
()
n
n
n a x x ∞
=-∑的函数项级数为0x 处的
幂级数．
00x =时的幂级数为0
n n n a x ∞
=∑．
2．阿贝尔定理 定理：对幂级数
()
n
n
n a x x ∞
=-∑有如下的结论：
⑴ 如果该幂级数在点1x 收敛，则对满足010x x x x -<-的一切的x 对应的级数
()
n
n
n a x x ∞
=-∑都绝对收敛；
⑵ 如果该幂级数在点2x 发散，则对满足020x x x x ->-的一切的x 对应的级数
()
n
n
n a x x ∞
=-∑都发散．
例1：若幂级数
(2)
n
n n a x ∞
=-∑在1x =-处收敛，问此级数在4x =处是否收敛，若收敛，是
绝对收敛还是条件收敛 解：由阿贝尔定理知，幂级数
(2)
n
n n a x ∞
=-∑在1x =-处收敛，则对一切适合不等式
2123x -<--=（即15x -<<）的x 该级数都绝对收敛．故所给级数在4x =处收敛
且绝对收敛．
3.幂级数收敛半径、收敛区间
如果幂级数
()
n
n
n a x x ∞
=-∑不是仅在0x x =处收敛，也不是在整个数轴上收敛，则必定
存在一个正数R ，它具有下述性质： ⑴ 当0x x R -<时，
0()
n
n
n a x x ∞
=-∑绝对收敛；
⑵ 当0x x R ->时，
()
n
n
n a x x ∞
=-∑发散．
如果幂级数
()
n n n a x x ∞
=-∑仅在0x x =处收敛，定义0R =；如果幂级数
()
n
n
n a x x ∞
=-∑在
(,)-∞+∞内收敛，则定义R =+∞．
则称上述R 为幂级数
()
n
n
n a x x ∞
=-∑的收敛半径．称开区间00(,)x R x R -+为幂级数
()
n
n
n a x x ∞
=-∑的收敛区间．
4.幂级数收敛半径的求法 求幂级数
()
n
n
n a x x ∞
=-∑的收敛半径R
法一：⑴ 求极限1
1000()()lim ()n n n
n n a x x x x a x x ρ++→∞--=-
⑵ 令00()1x x x x m ρ-
法二：若n a 满足0n a ≠，则1
lim
n
n n a R a →∞
+=； 法三；⑴
求极限0()n x x ρ-=⑵ 令00()1x x x x m ρ-
例2： 求下列幂级数的收敛域
⑴12!n n n x n ∞
=∑
⑵n n ∞= ⑶22
1
212n n
n n x ∞
-=-∑ 解：⑴ 收敛半径11
12(1)!
lim
lim 2!1n n n n n n a n R a n +→∞→∞++==?=+∞， 所以收敛域为(,)-∞+∞；
⑵
收敛半径1lim
1n n n n a R a →∞
+=== 当51x -=-
时，对应级数为1
n
n ∞
=∑这是收敛的交错级数，
当51x -=
时，对应级数为
1
n ∞
=这是发散的P -级数，
于是该幂级数收敛域为[4,6)；
⑶ 由于22122212()lim 2(21)2
n
n n n n x n x x n x ρ+-→∞+=?=- 令()1x ρ<
，可得x <
，所以收敛半径为R =
当x =1
21
2n n ∞
=-∑
，此级数发散，
于是原幂级数的收敛域为(． 5.幂级数的性质
设幂级数
()
n
n
n a x x ∞
=-∑收敛半径为1R ；
()
n
n
n b x x ∞
=-∑收敛半径为2R ，则
1．
0000
()()()()n
n
n n
n
n
n n n n a x x b x x a
b x x ∞
∞
∞
===-±-=±-∑∑∑，收敛半径12min(,)R R R ≥；
2．0
000
1
[
()
][()]()()n
n
n
n n
n i n i n n n i a x x b x x a b x x ∞
∞
∞
-====-?-=-∑∑∑∑，收敛半径12min(,)R R R ≥；
3．幂级数
()
n
n
n a x x ∞
=-∑的和函数()S x 在其收敛域I 上连续；
4．幂级数在其收敛区间内可以逐项求导，且求导后所得到的幂级数的收敛半径仍为R ．即
有
1
1
()[
()][()]()
n
n
n n
n
n
n n n S x a x x a x x na x x ∞∞∞
-==='''=-=-=-∑∑∑．
5．幂级数在其收敛区间内可以逐项积分，且积分后所得到的幂级数的收敛半径仍为R ．即有
10000
01
()[()][()]()1
x
x
x
n
n
n n n n x x x n n n S x dx a x x dx a x x dx a x x n ∞∞
∞
+====-=-=-+∑∑∑
?
??
例3： 用逐项求导或逐项积分求下列幂级数在收敛区间内的和函数 ⑴
1
1
(11)n n nx
x ∞
-=-<<∑ ⑵41
1(11)41
n n x x n +∞
=-<<+∑ 解：⑴ 令1
1
()(11)n n S x nx
x ∞
-==
-<<∑，则
1
1
1
()()1x
x
n n n n x S x dx nx
dx x x
∞
∞
-=====
-∑∑?
?
所以22
11
(),(11)(1)(1)
x x S x x x x -+=
=-<<--； ⑵ 令41
1()(11)41
n n x S x x n +∞
==-<<+∑，则 41444
11
()()411n n
n n x x S x x n x +∞
∞
==''===+-∑∑ 所以4422
001111()(1)12121x
x x S x dx dx x x x ==-+?+?-+-?? 111
ln arctan 412
x x x x +=
+--，(11)x -<<． 例4：求幂级数
(21)n
n n x
∞
=+∑的收敛域，并求其和函数。
解：易求得收敛域为(1,1)-
因为0(21)n
n n x ∞
=+∑=02n
n nx ∞
=∑+0n
n x ∞
=∑=012()1n
n x x x ∞
='+-∑=0
12[]1n
n x x x ∞
='+-∑
2
1112()11(1)x
x x x x +'=+=---，(1,1)x ∈-。
所以和函数为2
1(),(1,1)(1)
x
s x x x +=
∈--。 三、函数展开成幂级数 1.函数展开成幂级数的定义
定义：设函数()f x 在区间I 上有定义，0x I ∈，若存在幂级数
()
n
n
n a x x ∞
=-∑，使得
()(),n
n
n f x a x x x I ∞
==
-?∈∑
则称()f x 在区间I 上能展开成0x 处的幂级数． 2.展开形式的唯一性
定理：若函数()f x 在区间I 上能展开成0x 处的幂级数 0
()(),n
n
n f x a x x x I ∞
==
-?∈∑
则其展开式是唯一的，且
()0()
(0,1,2,)!
n n f x a n n =
=L ．
3.泰勒级数与麦克劳林级数
⑴ 泰勒级数与麦克劳林级数的定义
定义：如果()f x 在0x 的某一邻域内具有任意阶导数，则称幂级数
()()00000000
()()()()()()()!1!!
n n n
n n f x f x f x x x f x x x x x n n ∞
='-=+-++-+∑
L L 为函数()f x 在0x 点的泰勒级数．
当00x =时，称幂级数
()()0
(0)(0)(0)(0)!1!!
n n n n
n f f f x f x x n n ∞
='=++++∑
L L 为函数()f x 的麦克劳林级数． ⑵ 函数展开成泰勒级数的充要条件
定理：函数()f x 在0x I ∈处的泰勒级数在I 上收敛到()f x 的充分必要条件是：()f x 在0x 处的泰勒公式
()000
()
()()()!
k n
k n k f x f x x x R x k ==
-+∑
的余项()n R x 在I 上收敛到零，即对任意的x I ∈，都有lim ()0n n R x →∞
=．
4.函数展开成幂级数的方法 ⑴ 直接法
利用泰勒级数的定义及泰勒级数收敛的充要条件，将函数在某个区间上直接展开成指定点的泰勒级数的方法． ⑵ 间接法
通过一定的运算将函数转化为其它函数，进而利用新函数的幂级数展开将原来的函数展开成幂级数的方法．所用的运算主要是四则运算、（逐项）积分、（逐项）求导、变量代换．利用的幂级数展开式是下列一些常用函数的麦克劳林展开公式．
幂级数常用的七个展开式
0,
(,)!
n
x
n x e x n ∞
==∈-∞+∞∑
21
0sin (1),
(,)(21)!n n
n x x x n +∞
==-∈-∞+∞+∑
20
cos (1),
(,)(2)!n
n
n x x x n ∞
==-∈-∞+∞∑
1
ln(1)(1),
111n n
n x x x n +∞
=+=--<≤+∑
2(1)
(1)(2)(1)
(1)1,(1,1)2!
!
n n x x x x x n αααααααα----++=++
++
+∈-L L L
1
,(1,1)1n n x x x ∞
==∈--∑
1
(1),(1,1)1n n n x x x ∞
==-∈-+∑．
例5：将()ln
1x
f x x
=+展开成1x -的幂级数。 解：由于()ln ln(1)f x x x =-+，而
1
1
11
(1)ln ln[1(1)](1)
(111);1(1)1
ln(1)ln[2(1)]ln 2ln(1)ln 2(1)(11)222n
n n n
n n n x x x x n
x x x x x n ∞
-=∞
-=-=+-=--<-≤---+=+-=++
=+--<≤∑∑
所以11
11()ln 2(1)(1)(1)(02)2n n
n
n f x x x n ∞
-==-+
---<≤∑。 例6：将函数2
1
()32
f x x x =-+展开成x 的幂级数。并指出其收敛域。 解：因为111
()(1)(2)12f x x x x x
=
=-----而
01
11(1);()(2)1222
n n
n n x x x x x x ∞
∞===<=<--∑∑ 所以2
1
()32f x x x =-+10
1(1),2n n n x ∞
+==-∑收敛域为(1,1)-。
3幂级数展开 (1)
第三章幂级数展开 函数有精确表示和近似表示： 精确表示（解析表示） 表示为初等函数通过四则运算； 近似表示： 逼近 -近似表示为初等函数通过四则运算；级数表示 -表示为一个函数级数。
函数级数表示的意义： 利用级数计算函数的近似值； 级数法求解微分方程； 以级数作为函数的定义； 奇点附近函数的性态。
§3.1 复数项级数 （一）复数项级数的概念 ++++=∑∞ =k k k w w w w 210 k k k v u w i +=级数是无穷项的和, 复无穷级数 ()∑∑∑∑∞ =∞ =∞ =∞=+=+=0 k k k k k k k k k v i u iv u w 原级数成为 ∑∞ =0 k k w ∑∞ =0k k u ∑∞ =0k k v 这样复级数 归结为两个实级数 与 ， 实级数的一些性质可移用于复级数。
（二）收敛性问题 1、收敛定义： 2、柯西收敛判据 （级数收敛的充分必要条件）： 对于任给的小正数 ε 必有N 存在，使得 n>N 时， , 1 ε<∑++=p n n k k w ,0∑==n k k n w S 前n+1项和 当n → ∞，有确定的极限， 便称级数收敛， S 称为级数和；若极限不存在， 则称级数发散。 n n S S ∞ →=lim
3、绝对收敛级数 若 收敛，则 绝对收敛. ∑ ∑ ∞ =∞ =+=1 220 ||k k k k k v u w ∑∞ =0 k k w , ,0 B q A p k k k k ==∑∑∞ =∞ =AB c q p q p n n k l l k k k k k ===?∑∑∑∑∑∞ =∞=∞=∞=∞=0 00 ∑-=n k n k n q p c 绝对收敛级数改变先后次序，和不变. 两个绝对收敛级数逐项相乘，其和收敛，为两级数和之 积.
幂级数求和函数方法概括与总结
常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3)n u x n =L 是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++∈L L 为定义在E 上的函数项级数，简记为1()n n u x ∞ =∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 200102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-++-+∑L L
第四节-泰勒级数与幂级数
第四节 泰勒级数与幂级数 教学目的：理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；了解幂级数在其收敛区间的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和；了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件、掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)x α +的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。 教学重点 ：幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α +的麦克劳林展开式。 教学难点：幂级数的收敛域及和函数。 教学时数：4 教学容： 一、函数项级数的概念 1．函数项级数的定义 定义：设函数()(1,2,3 )n u x n =都在D 上有定义，则称表达式 1 2 1 ()()()n n u x u x u x ∞ ==++ ∑ 为定义在D 上的一个函数项级数，() n u x 称为通项，1 ()()n k k S x u x ∞ ==∑称为部分和函数． 2．收敛域 定义：设 1()n n u x ∞ =∑是定义在D 上的一个函数项级数，0 x D ∈，若数项级数01 ()n n u x ∞ =∑收敛， 则称0x 是 1 ()n n u x ∞ =∑的一个收敛点．所有收敛点构成的集合称为级数的收敛域． 3．和函数 定义：设函数项级数 1 ()n n u x ∞ =∑的收敛域为I ，则任给x I ∈，存在唯一的实数()S x ，使得 1 ()()n n S x u x ∞ ==∑成立．定义域为I 的函数()S x 称为级数1 ()n n u x ∞ =∑的和函数． 二、幂级数 1．幂级数的定义
幂级数求和函数方法概括与总结
幂级数求和函数方法概括与总结
常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3 )n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++ ∈ 为定义在E 上的函数项级数，简记为1 ()n n u x ∞=∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 2 00102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+ +-+ ∑
幂级数及泰勒展开习题解答电子版本
幂级数及泰勒展开习 题解答
幂级数及泰勒展开 一、求下列幂级数的收敛区间 1. 1 2(21)n n x n n ∞ =-∑ 解：12(21) lim lim 12(1)(21) n n n n a n n a n n +→∞ →∞-==++ 1R ?= 当1x =时，因 2111 2(21)2(1)n n n n n n =<-+-， 所以1 12(21)n n n ∞ =-∑收敛， 当1x =-时， 1(1)2(21) n n n n ∞ =--∑绝对收敛， ? 收敛区间为[1,1]-。 2. 1 1 n n n -∞ = 解：11lim 2n n n n a a +→∞== 2R ?= 当2x = 时，1 n n ∞ =为收敛的交错级数， 当2x =-时， 111 n n n n -∞ ∞===- ? 收敛区间为(2,2]-。 3. 1(1)32n n n n n n x x ∞ =?? -+???? ∑ 解：11 1 1 (1)32lim lim 3(1)32 n n n n n n n n n n a a ++++→∞ →∞-+==-+ 13R ?=， 当13x =±时，通项不趋于零，? 收敛区间为11,33??- ??? 。
4. 1 (23)(1)21n n n x n ∞ =---∑ 解：121lim lim 121 n n n n a n a n +→∞ →∞-==+ 1R ?= 故当231x -<，即12x <<时级数绝对收敛。 当1x =时， 11(1)(1)11 1, 21212-1 2n n n n n n n n ∞ ∞==--??=> ?--??∑∑发散， 当2x =时， 1 (1)21n n n ∞ =--∑为收敛的交错级数， ? 收敛区间为(1,2]。 5. 1 ln(1) (1)1n n n x n ∞ =+-+∑ 解：1ln(2)(1) lim lim 1(2)ln(1) n n n n a n n a n n +→∞ →∞++==++ 1R ?= 故当11x -<，即02x <<时级数绝对收敛。 当0x =时，因为 1 ln(1)ln lim lim lim 01 1n x x n x x n x →∞→+∞→+∞+===+，2 ln 1ln ln(2)ln(1) ()()0() 3 21 x x n n f x f x x e n x x n n -++'=?=<>?≥<++时， 所以 1 (1)ln(1) 1n n n n ∞ =-++∑收敛， 当2x =时，因为当2n ≥时ln(1)11 112n n n n +>>++ 所以1 ln(1)1n n n ∞ =++∑发散， ? 收敛区间为[0,2)。 6. 21 1(1)(1)4 n n n n x n ∞ -=--∑
幂级数求和函数方法概括与汇总
幂级数求和函数方法概括与汇总
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常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3 )n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++ ∈ 为定义在E 上的函数项级数，简记为1 ()n n u x ∞=∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 2 00102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+ +-+ ∑
幂级数求和函数方法概括与总结-幂级数总结
幂级数求和函数方法概括与总结-幂级数总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3 )n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++ ∈ 为定义在E 上的函数项级数，简记为1 ()n n u x ∞=∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 2 00102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+ +-+ ∑
幂级数求和法的归纳总结与推广
幂级数求和法的归纳总结与推广 摘要：本文研究的是如何对幂级数进行求和，主要从数学专业中的三个学科（常微分方程、初等数学、高等代数），分别通过微分方程法、初等数学中的杨辉三角法以及矩阵法对幂级数进行求和。对那些能用这三种方法进行求和的幂级数进行了一定的归纳和总结，并展开了一定的推广。通过对这三类方法的典型例题的求解，加深对方法的了解和运用，完善级数求和的知识体系。 关键词：级数求和，微分方程，矩阵，杨辉三角 引言 级数是高等数学的一个重要组成部分, 其理论是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期杰出的数学家刘徽于公元263 年创立了“割圆术”, 其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆, 从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已建立了级数的思想方法, 即无限多个数的累加问题。而今, 级数的理论已发展的相当丰富和完整, 在工程实践中有着广泛的应用, 可用来表示函数、研究函数的性质, 也是其进行数值计算的一种工具。 同时级数也是研究函数的一个重要工具，在理论上和实际应用中都处于重要地位，这是因为：一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数，微分方程的解就常用级数表示；另一方面又可将函数表为级数，从而借助级数去研究函数。在各种有力的解析工具中按其简单.灵活.明确以及使用的方便而言，毫无疑问第一位应属于函数级数。这个最重要的解析工具的思想很简单：我们想要研究的函数可以表示为其它的更为简单的。容易研究的函数的系列（即表示此函数为级数的部分和的极限。如果这个部分和在整个所研究的区间上完全趋近于所研究的函数，则我们就有理由从整个近似的部分和的性质来估计所研究函数的一些性质——尽管只是近似的研究。特别地，会对自变量的某个值近似计算这些部分和的值，我们同时也有办法近似计算所研究函数的相应的值。 用什么样的函数作为我们的展开式的元素最方便.最适合呢？即选什么函数作为表示所研究函数级数的项，最便于帮助我们研究函数？对此问题，当然不指望有唯一的答案适用于所有情形。这几乎完全取决于所研究的函数的性质以及我们对函数所提出的问题的性质，只是必须指出，有一种最重要的函数级数类值得推荐起作用，因为每一步都可以应用它们，这样就自然地要求创立相应的一般理论。这种函数级数就是幂级数（其中展开式的元素是自变量的整数次数幂——首先是非整数次幂）。 在幂级数收敛性的判断，求和问题等性质中，求和问题不免也是一处重要的知识点。幂级数求和的求解是一类难度较大技巧性较高的问题，更好地了解和掌握幂级数求和的方法和技巧对于学习幂级数具有更好的指导意义和学习价值。 幂级数求和，包括求某些数项级数的和，利用技术性质，展开定理、收敛定理等求函数项级数的和函数，函数的幂级数展开式、Fourier级数等，无疑是级数理论学习中的重要内容，在一定意义上对这部分知识掌握的程度，也是衡量学生数学能力、数学素质的一项检验指标。 而作为特殊函数项级数的幂级数，由于具有结构形式简单和近似表达函数的灵活性的优点，而作为一个极为有用的计算工具，数项级数的求和就是一个重要的应用。它的基本理论依据是在一致收敛条件下，函数项级数的和函数连续，可导、可积，即求和运算与极限运算求积运算、求导运算可以换序。而幂级数更具有收敛半径易求，在（-R，R）上内闭一致收敛以及在逐项求导或逐项积分收敛
幂级数展开的多种方法
幂级数展开的多种方法 摘要：本文通过举例论证的说明方法，系统地对幂级数展开的多种解法进行了详细地概括、分类及总结 关键词：幂级数;泰勒展式;洛朗展式;展开 在复变函数的学习过程中，我们涉及了对解析函数幂级数展开的学习.由课本的知识知道，任意一个具有非零收敛半径的幂级数在其收敛圆内收敛于一个解析函数.这个性质是很重要的，但在解析函数的研究上，幂级数之所以重要，还在于这个性质的逆命题也是成立的.即有下面的泰勒定理和洛朗定理： 定理 1（泰勒定理）设()z f 在区域D 内解析，D a ∈，只要圆R a z K <-:含于D ，则()z f 在K 内能展成幂级数()()∑∞ =-= n n n a z c z f ，其中系数 () () () () ! 21 1n a f d a f i c n n n = -= ?Γ+ζζζ π.（ρ=-Γa z : R <<ρ0 n=0,1,2 )且展式唯 一. 定理2（洛朗定理）在圆环R a z r H <-<: （0≥r +∞≤R ）内解析的函数 ()z f 必可展成双边幂级数()() ∑ ∞ -∞ =-= n n n a z c z f ，其中系数() () ζζζ πd a f i c n n ?Γ+-= 121 ( 2,1,0±±=n ρ=-Γa z : R r <<ρ) 且展式唯一. 这两个定理的存在，使得在函数解析的范围内，我们可以通过幂级数展开的方法来更好的研究解析函数的性质.而这两个定理，也是我们后面研究幂级数展开的基础和前提. 接下来，我们将着重开始讨论幂级数展开问题的多种解法： 1、直接法. 即按照泰勒定理和洛朗定理中所给的幂级数展开的公式，直接将函数展开. 例1 求()z z f tan =在4 0π =z 点处的泰勒展开式. 解：用公式 () () ! 0n z f c n n = 求n c ：;14tan 0==π c ()2 ,24 sec | tan 12 4 ==='= c z z π π ；
第四节泰勒级数与幂级数
第四节 泰勒级数与幂级数 教学目的：理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和；了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件、掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)x α +的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。 教学重点 ：幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和 (1)a α+的麦克劳林展开式。 教学难点：幂级数的收敛域及和函数。 教学时数：4 教学内容： 一、函数项级数的概念 1．函数项级数的定义 定义：设函数()(1,2,3 )n u x n =都在D 上有定义，则称表达式 1 2 1 ()()()n n u x u x u x ∞ ==++ ∑ 为定义在D 上的一个函数项级数， () n u x 称为通项，1 ()()n k k S x u x ∞ ==∑称为部分和函数． 2．收敛域 定义：设 1()n n u x ∞ =∑是定义在D 上的一个函数项级数，0 x D ∈，若数项级数01 ()n n u x ∞ =∑收 敛，则称0x 是1 ()n n u x ∞ =∑的一个收敛点．所有收敛点构成的集合称为级数的收敛域． 3．和函数 定义：设函数项级数 1 ()n n u x ∞ =∑的收敛域为I ，则任给x I ∈，存在唯一的实数()S x ， 使得1 ()()n n S x u x ∞ == ∑成立．定义域为I 的函数()S x 称为级数1 ()n n u x ∞ =∑的和函数．
幂级数及泰勒展开习题解答
一、求下列幂级数的收敛区间 1. 12(21) n n x n n ∞ =-∑ 解：12(21) lim lim 12(1)(21)n n n n a n n a n n +→∞ →∞-==++ 1R ?= 当1x =时，因 2111 2(21)2(1)n n n n n n =<-+-， 所以112(21) n n n ∞ =-∑收敛， 当1x =-时， 1 (1)2(21)n n n n ∞ =--∑绝对收敛， ? 收敛区间为[1,1]-。 2. 1 n n n -∞ = 解：11 lim 2n n n n n a a -+→∞== 2R ?= 当2x = 时，1 n n ∞ =为收敛的交错级数， 当2x =-时， 111 n n n n -∞ ∞===-发散， ? 收敛区间为(2,2]-。 3. 1(1)32n n n n n n x x ∞ =?? -+???? ∑ 解：11 1 1 (1)32lim lim 3(1)32n n n n n n n n n n a a ++++→∞ →∞-+==-+ 13R ?=， 当13x =±时，通项不趋于零，? 收敛区间为11,33?? - ??? 。
4. 1 (23)(1)21n n n x n ∞ =---∑ 解：121lim lim 121 n n n n a n a n +→∞ →∞-==+ 1R ?= 故当231x -<，即12x <<时级数绝对收敛。 当1x =时， 11(1)(1)11 1, 21212-1 2n n n n n n n n ∞ ∞==--??=> ?--??∑∑发散， 当2x =时， 1 (1)21n n n ∞ =--∑为收敛的交错级数， ? 收敛区间为(1,2]。 5. 1 ln(1) (1)1n n n x n ∞ =+-+∑ 解：1ln(2)(1)lim lim 1(2)ln(1) n n n n a n n a n n +→∞ →∞++==++ 1R ?= 故当11x -<，即02x <<时级数绝对收敛。 当0x =时，因为 1 ln(1)ln lim lim lim 01 1n x x n x x n x →∞→+∞→+∞+===+， 2 ln 1ln ln(2)ln(1) ()()0() 3 21 x x n n f x f x x e n x x n n -++'=?=<>?≥<++时， 所以 1 (1)ln(1) 1n n n n ∞ =-++∑收敛， 当2x =时，因为当2n ≥时ln(1)11 112n n n n +>> ++ 所以1 ln(1)1n n n ∞ =++∑发散， ? 收敛区间为[0,2)。 6. 21 1 (1)(1)4n n n n x n ∞ -=--∑
第三节 幂级数
第三节 幂级数 一、选择题 1. 幂级数 ∑ ∞ -1 ! n n n x 的和函数为 ( ) A . e x - 1; B . e x ; C . e x + 1; D . sin x . 2. 若幂级数 ∑∞ =1 n n n x a 在x = -2处收敛, 则该级数在x = 1处 ( ) A . 发散; B . 条件收敛; C . 绝对收敛; D . 敛散性无法确定. 3. 幂级数∑ ∞ =-+1 ])3(2 1[ n n n n x 的收敛半径是 ( ) A . 3 1; B . 2 1; C . 2 ; D . 3. 4. 幂级数 ∑ ∞ =?-1 3)3(n n n n x 的收敛域是 ( ) A . (-3, 3); B . (-3, 3); C . [-3, 3] ; D . [0, 6]. 二、填空题 1. 幂级数 ∑∞ =1 2 n n n x 的收敛半径为R = . 2. 当|x |<1时, 幂级数1 - x 2 + x 4 - x 6 + …的和函数为 . 三、解答题 1. 求下列幂级数的收敛域: (1) ∑∞ =----1 1 21 1 2) 1(n n n n x ; (2) ∑ ∞ =-12)3(n n n x ; (3) ∑ ∞ =--1 2 22 12n n n x n ; (4) ∑∞=++++1 )1 31 21 1(n n x n . 2. 求幂级数∑∞ =1 n n nx 在其收敛区间内的和函数. 3. 求幂级数 ∑ ∞ =--1 1 2121n n x n 在其收敛区间内的和函数, 并以此求数项级数∑ ∞ =?-12 )12(1n n n 的和.
第四章 解析函数的幂级数表示法解剖
第四章 解析函数的幂级数表示法 级数也是研究解析函数的一个重要工具，这部分内容大都是数学分析中的内容的平移推广。 第一节 复级数的基本性质（1） 教学课题：第一节 复级数的基本性质（1） 教学目的：1、理解复级数敛、散、和的定义并掌握收敛性的刻画定理； 2、掌握复级数的绝对收敛性的概念及其判别法； 3、切实了解复函数项级数收敛与一致收敛的定义； 4、掌握柯西—一致收敛准则和优级数准则； 5、掌握复连续函数项级数的性质，并充分了解复函数级数的内闭一致收敛性。 6、了解关于解析函数项级数的威尔斯特拉斯定理。 教学重点：复级数敛、散、和的定义并掌握收敛性的刻画定理； 教学难点：复函数级数的内闭一致收敛性。 教学方法：启发式 教学手段：多媒体与板书相结合 教材分析：复级数也是研究解析函数的一种重要工具，它是我们根据原来函数项级数的内闭一致收敛对级数进行分析性质的研究。 教学过程： 1、复数项级数和复数序列： 1.1复数序列及其敛散性 复数序列就是： ,...,...,,222111n n n ib a z ib a z ib a z +=+=+=在这里， n z 是复数， , Im ,Re n n n n b z a z ==一般简单记为 } {n z 。按照 |} {|n z 是有界或无界序列，我们也称 } {n z 为有 界或无界序列。 设0z 是一个复常数。如果任给0>ε，可以找到一个正数N ，使得当n>N 时 ε <-||0z z n ,
那么我们说}{n z 收敛或有极限0z ，或者说}{n z 是收敛序列，并且收敛于0z ，记作 lim z z n n =+∞ →。 如果序列}{n z 不收敛，则称}{n z 发散，或者说它是发散序列。 令ib a z +=0，其中a 和b 是实数。由不等式 ||||||||||0b b a a z z b b a a n n n n n -+-≤-≤--及 容易看出，0lim z z n n =+∞ →等价于下列两极限式： ,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞ →+∞ → 因此，有下面的注解： 注解1、序列}{n z 收敛（于0z ）的必要与充分条件是：序列}{n a 收敛（于a ）以及序列}{n b 收敛（于b ）。 注解2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列}{n z 收敛于0z ，或者说有极限点0 z 的定义用几何语言可以叙述为：任给0z 的一个邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n>N 时，n z 在这个邻域内。 注解3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。 1.2 复数项级数及其敛散性 复数项级数就是 ......21++++n z z z 或记为∑∞+=1 n n z ，或∑n z ，其中n z 是复数。定义其部分和序列为： n n z z z +++=...21σ 如果序列{}n σ收敛，那么我们说级数∑n z 收敛；如果 {}n σ的极限是σ， 那么说∑n z 的和是σ， 或者说 ∑n z 收敛于σ，记作 σ =∑∞ +=1 n n z ，
函数的幂级数展开
教案 函 数 的 幂 级 数 展 开 复 旦 大 学 陈纪修 金路 1． 教学内容 函数的幂级数（Taylor 级数）展开是数学分析课程中最重要的内容之一，也是整个分析学中最有力的工具之一。通过讲解将函数展开成幂级数的各种方法，比较它们的优缺点，使学生在充分认识函数的幂级数展开的重要性的基础上，掌握如何针对不同的函数选择最简单快捷的方法来展开幂级数，提高学生的计算与运算能力。 2．指导思想 （1）函数的幂级数（Taylor 级数）展开作为一个强有力的数学工具，在分析学中占有举足轻重的地位。通常的数学分析教科书往往注重于讲解幂级数的理论，而忽视了讲解将函数展开成幂级数的方法，这样容易造成学生虽然掌握了幂级数的基本理论，但在实际计算中，即使对于一个很简单的函数，在求它的幂级数展开时也会感到很困难，这种状况必须加以改变。 （2）求函数的幂级数展开是每个数学工作者时时会碰到的问题，虽然我们有函数的幂级数展，但一般来说，直接利用（*）式来求函数的幂级数展开往往很不因此有必要向学生介绍一些方便而实用的幂级数展开方法，提高学生的实际计算能力， 3. f (x )在 x 0 的某个邻域O (x 0, r )中能级数： （*).,(0r x O (1) x ∈(-∞, +∞)。 (2) =+0 !)12(n n )!12() 1(!5!31253+-+-+-=+n x x x x n n + …, x ∈(-∞, + ∞)。 (3) f (x ) = cos x = ∑∞ =-02! )2()1(n n n x n )! 2()1(!4!21242n x x x n n -+-+-= + …, x ∈(-∞, + ∞)。
幂级数及泰勒展开习题解答
幂级数及泰勒展开 一、求下列幂级数的收敛区间 1. 1 2(21)n n x n n ∞ =-∑ 解：12(21) lim lim 12(1)(21) n n n n a n n a n n +→∞ →∞-==++ 1R ?= 当1x =时，因 2111 2(21)2(1)n n n n n n =<-+-， 所以1 12(21)n n n ∞ =-∑收敛， 当1x =-时， 1(1)2(21) n n n n ∞ =--∑绝对收敛， ? 收敛区间为[1,1]-。 2. 1 n n n -∞ = 解：11 lim 2n n n n a a +→∞== 2R ?= 当2x = 时，1 n n ∞ =为收敛的交错级数， 当2x =-时， 111 n n n n -∞ ∞===-发散， ? 收敛区间为(2,2]-。 3. 1(1)32n n n n n n x x ∞ =?? -+???? ∑ 解：11 1 1 (1)32lim lim 3(1)32 n n n n n n n n n n a a ++++→∞ →∞-+==-+ 13R ?=， 当13x =±时，通项不趋于零，? 收敛区间为11,33?? - ??? 。
4. 1 (23)(1)21n n n x n ∞ =---∑ 解：121lim lim 121 n n n n a n a n +→∞ →∞-==+ 1R ?= 故当231x -<，即12x <<时级数绝对收敛。 当1x =时， 11(1)(1)11 1, 21212-1 2n n n n n n n n ∞ ∞==--??=> ?--??∑∑发散， 当2x =时， 1 (1)21n n n ∞ =--∑为收敛的交错级数， ? 收敛区间为(1,2]。 5. 1 ln(1) (1)1n n n x n ∞ =+-+∑ 解：1ln(2)(1)lim lim 1(2)ln(1) n n n n a n n a n n +→∞ →∞++==++ 1R ?= 故当11x -<，即02x <<时级数绝对收敛。 当0x =时，因为 1 ln(1)ln lim lim lim 01 1n x x n x x n x →∞→+∞→+∞+===+， 2 ln 1ln ln(2)ln(1) ()()0() 3 21 x x n n f x f x x e n x x n n -++'=?=<>?≥<++时， 所以 1 (1)ln(1) 1n n n n ∞ =-++∑收敛， 当2x =时，因为当2n ≥时ln(1)11 112n n n n +>>++ 所以1 ln(1)1n n n ∞ =++∑发散， ? 收敛区间为[0,2)。 6. 211(1)(1)4 n n n n x n ∞ -=--∑
第六节 泰勒公式与泰勒级数
§7.6 泰勒公式与泰勒级数 教学目的：掌握泰勒公式与TaylorTh ，了解函数的Taylor 级数与 Taylor 展式的关系. 重点：泰勒公式与泰勒定理成立的条件,理解泰勒公式的推导方法. 难点: 理解泰勒公式的推导方法. 教学方法：启发式讲授与指导练习相结合 教学过程： O 、近似表达函数的多项式的特性 无论是函数的性态还是近似计算，多项式函数总是比较简单.为此可以考虑在一个局部范围内用多项式来近似表示一个复杂函数 引例：当x 很小时，1x e x ≈+，设()x f x e =，1()1P x x =+，则 11(0)(0)1,(0)(0)1f P f P ''==== 若将2 1222()()1,(0)(0)1,()2 x x P x P x x f P P x e ''''=+==换成＋ 则与在0x =更为接近.猜想将1()()n P x P x 换成则在0x x =处两函数有 直到n 阶相同的导数，其在0x x =处接近的程度更高，即2 12! n x x x e x n ≈++ ++ .为用多项式表示更复杂的函数：设有函数 )(x f 在0x x =的某一邻域内有直到1n +阶的导数，令 )(x f ≈0100()()()n n n P x a a x x a x x =+-++- ，再令 )()(1 I D x f n +∈,),(0b a I x =∈, 若 () () 00()()k k n f x P x =,n k ,,1,0 =. （(0) (0) 00()()n f x P x =表示0k =的函数值相等）则 )(!10) (x f k a k k = （n k ,,1,0 =），于是 )(x f ≈0100()()()n n n P x a a x x a x x =+-++- . 证明：因0100()()()n n n P x a a x x a x x =+-++- , 10()()(1)n P x a x x O '=+-,20()2!()(1)n P x a x x O ''=+-…… , () 0()!()(1)k n k P x k a x x O =+- …… , () ()!n n n P x n a =,
第四节 泰勒级数与幂级数
第四节泰勒级数与幂级数 教学目得:理解幂级数收敛半径得概念,并掌握幂级数得收敛半径、收敛区间及收敛域得求法;了解幂级数在其收敛区间内得一些基本性质(与函数得连续性、逐项微分与逐项积分),会求一些幂级数在收敛区间内得与函数,并会由此求出某些常数项级数得与;了解函数展开为泰勒级数得充分必要条件、掌握,与得麦克劳林展开式,会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。教学重点:幂级数得收敛半径、收敛区间及收敛域;,与得麦克劳林展开式。 教学难点:幂级数得收敛域及与函数。 教学时数:4 教学内容: 一、函数项级数得概念 1.函数项级数得定义 定义:设函数都在上有定义,则称表达式 为定义在上得一个函数项级数,称为通项,称为部分与函数. 2.收敛域 定义:设就是定义在上得一个函数项级数,,若数项级数收敛,则称就是得一个收敛点.所有收敛点构成得集合称为级数得收敛域. 3.与函数 定义:设函数项级数得收敛域为,则任给,存在唯一得实数,使得成立.定义域为得函数称为级数得与函数. 二、幂级数 1.幂级数得定义 定义:设就是一实数列,则称形如得函数项级数为处得幂级数. 时得幂级数为. 2.阿贝尔定理 定理:对幂级数有如下得结论: ⑴如果该幂级数在点收敛,则对满足得一切得对应得级数都绝对收敛; ⑵如果该幂级数在点发散,则对满足得一切得对应得级数都发散. 例1:若幂级数在处收敛,问此级数在处就是否收敛,若收敛,就是绝对收敛还就是条件收敛？解:由阿贝尔定理知,幂级数在处收敛,则对一切适合不等式 (即)得该级数都绝对收敛.故所给级数在处收敛且绝对收敛. 3、幂级数收敛半径、收敛区间 如果幂级数不就是仅在处收敛,也不就是在整个数轴上收敛,则必定存在一个正数,它具有下述性质: ⑴当时,绝对收敛; ⑵当时,发散. 如果幂级数仅在处收敛,定义;如果幂级数在内收敛,则定义. 则称上述为幂级数得收敛半径.称开区间为幂级数得收敛区间. 4、幂级数收敛半径得求法 求幂级数得收敛半径 法一:⑴求极限