绝对值应用(去绝对值)(三)
绝对值应用（去绝对值）（三）
一、单选题(共10道，每道10分)
)
1.已知有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列结论正确的是(
A.b-a＞0
B.
C.a＞b
D.a+b＞0
2.已知有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列结论错误的是(
)
A.-b＞a
B.-a＞b
C. D.b＞a
)
3.已知有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则化简的结果为(
A.-a-2c
B.-a-2b-2c
C.-a
D.-a+2b
4.已知有理数a，b，c 在数轴上的对应点如图所示，则化简的结果为
)
(
A.-a+c
B.-a+c+2
C.-a+2b+c
D.-a+2b+c+2
5.已知，则化简的结果为( )
A.-1
B.1
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六年级绝对值应用(讲义及答案)精益版
绝对值应用（讲义） ? 课前预习 1. a 的相反数是_______，a b -的相反数是_______，a b c -+的相反数是 ________；若0a b c -+<，则a b c -+=________． 2. 已知0a c <<，0ab >，b c a <<，在下图数轴上标出b ，c 的大致位置． 3. 当a >0时，a =____，a a =____；当a <0时，a =____，a a =____． ? 知识点睛 1. 去绝对值： ①看_____，定_____；②依法则，留_____；③去括号，合并． 2. 分类讨论： ①_____________________________________________； ②_____________________________________________． 3. 绝对值的几何意义： a b -表示在数轴上数a 与数b 对应点之间的距离． ? 精讲精练 1. 小明得到了一个如图所示的数轴草图，他想知道一些式子的符号，请你帮他 完成． a -____0，a b +____0，a b -____0，b a -____0．（填“>”、“<”或“=”） a 2. 设有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示，则b -a ____0，a +c _____0．化简2b a c a c a -+-+-=____________． 3. 设有理数a ，b 在数轴上的对应点如图所示，化简1a b a b b +---+-． 01a b
4. 已知0a c <<，0ab >，b c a >>，化简b a b c a b c -++-++． 5. 已知0c a <<，0ab <，a c b >>，化简a a c b c b a -+----． 6. 已知0a b +<，化简13a b a b +----． 7. 若15x -=，1y =，则x y -的值为__________________． 8. 若24x +=，3y =，则x y +的值为_________________． 9. 若4a =，2b =，且a b a b +=+，则a b -的值是多少？
专项训练2 绝对值的八种常见应用
专项训练2 绝对值的八种常见应用 已知一个数求这个数的绝对值 1．化简： (1)|－(＋7)|； (2)－|－8|； (3)??? ?－????＋47； (4)－|－a|(a<0)． 已知一个数的绝对值求这个数 2.若|a|＝2，则a ＝________. 3．若|x|＝|y|，且x ＝－3，则y ＝________. 4．绝对值不大于3的所有整数为________． 5．若|－x|＝－(－8)，则x ＝________， 若|－x|＝|－2|，则x ＝________.
绝对值在求字母的取值范围中的应用 6．若|x|＝－x ，则x 的取值范围是________． 7．若|x －2|＝2－x ，则x 的取值范围是________． 8．如果|－2a|＝－2a ，则a 的取值范围是( ) A ．a>0 B ．a ≥0 C ．a ≤0 D ．a<0 绝对值在比较大小中的应用 9．把－(－1)，－23 ，－????－45，0，用“>”连接正确的是( ) A ．0>－(－1)>－????－45>－23 B ．0>－(－1)>－23 >－????－45 C ．－(－1)>0>－23 >－????－45 D ．－(－1)>0>－????－45>－23 绝对值的非负性在求字母值中的运用 10．若????a －12＋????b －13＋??? ?c －14＝0，求a ＋b －c 的值． 绝对值的非负性在求最值中的应用 11．根据|a|≥0这条性质，解答下列问题： (1)当a ＝________时，|a －4|有最小值，此时最小值为________； (2)当a 取何值时，|a －1|＋3有最小值？这个最小值是多少？
绝对值的意义及应用
绝对值的意义及应用 绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|. 一. 绝对值的实质： 正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即 也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。 总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。 二. 绝对值的几何意义： 一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。 例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( ) A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b (第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题) 解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0． 所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)． 三. 绝对值的性质： 1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。 2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。 3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。 4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。 四. 含绝对值问题的有效处理方法 1. 运用绝对值概念。即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例2. 已知：|x-2|+x-2＝0， 求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。 解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2) 根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零， ∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2 (1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4； (2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝4 2. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。 例3. 已知|x-2|+x与x-2+|x|互为相反数，求x的最大值． 解：由题意得(|x-2|+x)+(x-2+|x|)＝0，整理得|x-2|+|x|+2x-2＝0 令|x-2|＝0，得x＝2，令|x|＝0，得x＝0 以0，2为分界点，分为三段讨论： (1)x≥2时，原方程化为x-2+x+2x-2＝0，解得x＝1，因不在x≥2的范围内，舍去。 (2)0≤x＜2时，原方程化为2-x+x+2x-2＝0，解得x＝0 (3)x＜0时，原方程化为2-x-x+2x-2＝0，从而得x＜0 综合(1)、(2)、(3)知x≤0，所以x的最大值为0 3. 整体参与运算过程．即整体配凑，借用已知条件确定绝对值里代数式的正负，再用绝对值定义去掉绝对值符号进行运算。 例4. 若|a-2|＝2-a，求a的取值范围。 解：根据已知条件等式的结构特征，我们把a-2看作一个整体，那么原式变形为|a-2|＝-(a-2)，又由绝对值概念知a-2≤0，故a的取值范围是a≤2 4. 运用绝对值的几何意义．即通过观察图形确定绝对值里代数式的正负，再用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算． 例5. 求满足关系式|x-3|-|x+1|＝4的x的取值范围． 解：原式可化为|x-3|-|x-(-1)|＝4 它表示在数轴上点x到点3的距离与到点-1的距离的差为4 由图可知，小于等于-1的范围内的x的所有值都满足这一要求。
绝对值的性质及运用
知识精讲 绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离. 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值号. ②一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0. ④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5. 求字母a的绝对值： ① (0) 0(0) (0) a a a a a a > ? ? == ? ?-< ? ②(0) (0) a a a a a ≥ ? =? -< ? ③(0) (0) a a a a a > ? =? -≤ ? 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小. 绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0 a b c ++=，则0 a=，0 b=，0 c= 绝对值的其它重要性质： （1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-；（2）若a b =，则a b =或a b =-； （3）ab a b =?； a a b b =(0) b≠； （4）222 |||| a a a ==； a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离． a b -的几何意义：在数轴上，表示数a．b对应数轴上两点间的距离．【例题精讲】 模块一、绝对值的性质 【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（） A．±2 B．2 C．-2 D．4 绝对值
--绝对值的应用
-1 0 1 a b 2010年七年级上数学专题--绝对值的应用 1. 有理数a,b 在数轴上的对应点的位置如图所示： 化简：∣a+b ∣=_________ ∣a ∣－∣b ∣=_________ ∣a-1∣=_________ ∣1+b ∣=_________ 2、已知：b 是最小的正整数且a 、b 满足0)5(2=++-b a c ，试回答问题。 （1）请直接写出a 、b 、c 的值。 a = b = c = （2）a 、b 、c 所对应的点分别为A 、B 、C ，点P 为一动点，其对应的数为x ，点P 在0到2之间运动时（即0≤x ≤2时），请化简式子：5211-+--+x x x （请写出化简过程） （3）在（1）（2）的条件下，点A 、B 、C 开始在数轴上运动，若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点C 分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t 秒钟过后，若点B 与点C 之间的距离表示为BC ，点A 与点B 之间的距离表示为AB 。请问，BC —AB 的值是否随着时间t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值。 3、如图,C 为线段AB 上一点，且AC=2BC ，AC 的41比BC 小5. （1）求AC 、BC 的长； （2）点P 从A 点出发，以1个单位/秒的速度在线段AB 上向B 点运动，设运动时间为t 秒（t ＜10）,D 为PB 的中点,E 为PC 的中点,若CD=5 2DE,试求点P 运动时间t 的值; （3）若P 从A 点出发,以1个单位/秒的速度在线段AB 上向B 点运动,同时点Q 从B 点出发,以 6 5 个单位/秒的速度在AB 的延长线上与P 点同向运动,运动时间t ＜30,D 为PB 的中点,F 为DQ 的中点,且PB PE 3 1 =,当P 、Q 两点运动过程中，给出下面两个结论：①DE+DF 的值不变；②|DE －DF|的值不变，其中只有一个结论是正确的，请判断正确的结论并求其值． · · · C B A A B C
绝对值几何意义应用
仅供参考学习个人收集整理 绝对值几何意义应用 一、几何意义类型：0a?a?a 类型一、0：表示数轴上地点地距离；到原点 ab??b?a bb aa 地距离（或点；类型二、：表示数轴上地点到点到点地距离） )?baa?b??()?ab?(?b?b aa?地距离）：表示数轴上地点到点类型三、到点；地距离（点ax?ax ：表示数轴上地点地距离；到点类型四、)a?(?x?a?x xa?. 类型五、到点：表示数轴上地点地距离二、例题应用：4?xx?4x ，则、地几何意义是数轴上表示地点与表示地点之间地距离，若例1.（1）=2?x. 3x?1?x?3x ，则（2）地几何意义是数轴上表示地点与表示地点之间地距离，若、?x. 15??qm若3）、如图所示数轴上四个点地位置关系，且它们表示地数分别为m、n、p、q.，（1 n?q?n，pp?m?，15m???m?8np??q?n?1，qp3 ;若，则，n?p?.则 a?b?b?c?a?cc，，ba，，如果在数轴上地对应点为A，（4）、不相等地有理数B，C. 在数轴上地位置关系B，，C 则点A a?b?9，c?d?16且a?b?c?d?25da、cb、、，求均为有理数，拓展：已知 b?a?d?c的值. ??且a?b?c?d?25.25a?b?c?a (9b?)??16?ddc???解析： ?b?9?a，c?d?16?b?a?d?c?9?16??7. 3x??x?32?x?x时，取最大值，最大）（例2.1、①当取最小值；②时，当 值为. 1 / 8 个人收集整理仅供参考学习 x?3?x?2?7x?; 利用绝对值在数轴上地几何意义得（2）、①已知，
高中数学 含绝对值的函数图象的画法及其应用素材
含绝对值的函数图象的画法及其应用 一、三点作图法 三点作图法是画函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象的一种简捷方法（该函数图形形状似“V ”，故称V 型图）。 步骤是：①先画出V 型图顶点?? ? ?? - c a b ，； ②在顶点两侧各找出一点； ③以顶点为端点分别与另两个点画两条射线，就得到函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象。 例1. 作出下列各函数的图象。 （1）1|12|--=x y ；（2）|12|1+-=x y 。 解：（1）顶点?? ? ??-12 1 ，，两点（0，0） ，（1，0）。其图象如图1所示。 图1 （2）顶点?? ? ?? - 121 ，，两点（－1，0） ，（0，0）。其图象如图2所示。 图2 注：当k>0时图象开口向上，当k<0时图象开口向下。函数图象关于直线a b x -=对称。 二、翻转作图法 翻转作图法是画函数|)(|x f y =的图象的一种简捷方法。 步骤是：①先作出)(x f y =的图象；②若)(x f y =的图象不位于x 轴下方，则函数 )(x f y =的图象就是函数|)(|x f y =的图象； ③若函数)(x f y =的图象有位于x 轴下方的，则可把x 轴下方的图象绕x 轴翻转180°到x 轴上方，就得到了函数|)(|x f y =的图象。 例2. 作出下列各函数的图象。 （1）|1|||-=x y ；（2）|32|2 --=x x y ；（3）|)3lg(|+=x y 。 解：（1）先作出1||-=x y 的图象，如图3，把图3中x 轴下方的图象翻上去，得到图4。图4就是要画的函数图象。 图3 图4
绝对值应用(绝对值的几何意义)(北师版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题 问题1：绝对值的几何意义： ①表示在数轴上，x所对应的点与_______的距离． ②表示在数轴上____________________________对应点之间的距离． ③表示____________________________对应点之间的距离． 绝对值应用（绝对值的几何意义）（北师版）一、单选题(共10道，每道10分) 1.已知，则a，b的值分别为( ) A.a=3，b=5 B.a=-3，b=5 C.a=3，b=-5 D.a=-3，b=-5 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：绝对值的非负性 2.若，则ab=( )
A.0 B.3 C.-3 D.±3 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：绝对值的非负性 3.若与互为相反数，则a+b=( ) A.-1 B.1 C.5 D.-5 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：绝对值的非负性 4.若x为有理数，则的最小值为( )
C.3 D.5 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：绝对值的几何意义 5.若x为有理数，则的最小值为( ) A.1 B.3
答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：绝对值的几何意义 6.若x为有理数，则的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：绝对值的几何意义
7.若x为有理数，则的最小值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：绝对值的几何意义 8.当x=____时，有最_____值，是_____．( ) A.0，小，6 B.0，大，6 C.0，小，0 D.0，大，0 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：利用绝对值的非负性求最值 9.当x=____时，有最_____值，是_____．( ) A.4，小，3 B.4，大，-3 C.4，小，-3 D.0，大，3 答案：C
绝对值应用(分类讨论)(北师版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题 问题1：什么是绝对值，绝对值法则是什么？ 问题2：|x|=2表示在数轴上，x所对应的点与_______的距离为______，因此x=______．问题3：有关绝对值的分类讨论： ①__________，分类； ②根据__________，筛选排除． 绝对值应用（分类讨论）（北师版） 一、单选题(共9道，每道11分) 1.若，则的值为( ) A.4 B. C.-4 D.0 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：去绝对值 2.若，则的值为( ) A.1 B.±1 C.±7 D.1或7 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：去绝对值 3.若，则( ) A.4 B.8 C.4或8 D.4或-8 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：去绝对值 4.若，，则( ) A.8 B.±8 C.8或-2 D.±2 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：去绝对值 5.若，，则( ) A.-3 B.-3或7 C.3或-7 D.±3或±7 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：去绝对值 6.已知，，且，则a+b的值为( ) A.±3 B.±13 C.3或-13 D.-3或13 答案：A 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：去绝对值 7.若，，且，则x与y的值分别为( ) A.或 B.或或 C.或或 D.或或或 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：去绝对值 8.已知，，且，则的值为( ) A.±3 B.-3或-7 C.-3或7 D.或 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：去绝对值 9.若，则的取值共有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 答案：C 解题思路：
绝对值的性质及运用
基本要求：借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值 略高要求：会利用绝对值的知识解决简单的化简问题 【知识点整理】 绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号. ②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0. ④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5. 求字母a 的绝对值： ①(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??-?=?-≤? 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小. 绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c = 绝对值的其它重要性质： （1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-； （2）若a b =，则a b =或a b =-； （3）ab a b =?；a a b b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==； a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离． a b -的几何意义：在数轴上，表示数a ．b 对应数轴上两点间的距离． 【例题精讲】 模块一、绝对值的性质 【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（ ） A ．±2 B ．2 C ．-2 D ．4 【例2】下列说法正确的有（ ） ①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相绝对值
绝对值的性质及运用
绝对值 基本要求：借助数轴理解绝对值得意义，会求实数得绝对值 略高要求：会利用绝对值得知识解决简单得化简问题 【知识点整理】 绝对值得几何意义:一个数得绝对值就就是数轴上表示数得点与原点得距离、数得绝对值记作、 绝对值得代数意义:一个正数得绝对值就是它本身；一个负数得绝对值就是它得相反数;0得绝对值就是０、注意:①取绝对值也就是一种运算，运算符号就是“”,求一个数得绝对值,就就是根据性质去掉绝对值符号、 ②绝对值得性质：一个正数得绝对值就是它本身；一个负数得绝对值就是它得相反数;得绝对值就是、 ③绝对值具有非负性,取绝对值得结果总就是正数或0、 ④任何一个有理数都就是由两部分组成:符号与它得绝对值,如:符号就是负号,绝对值就是、 求字母得绝对值: ①②③ 利用绝对值比较两个负有理数得大小:两个负数,绝对值大得反而小、 绝对值非负性:如果若干个非负数得与为0,那么这若干个非负数都必为０、 例如:若,则，， 绝对值得其它重要性质： (1)任何一个数得绝对值都不小于这个数,也不小于这个数得相反数，即,且； (2)若,则或; （3）;; (4)； 得几何意义:在数轴上,表示这个数得点离开原点得距离． 得几何意义:在数轴上,表示数.对应数轴上两点间得距离. 【例题精讲】 模块一、绝对值得性质 【例1】到数轴原点得距离就是２得点表示得数就是( ) A.±2 Ｂ．2 C.-2 D.4 【例2】下列说法正确得有() ①有理数得绝对值一定比0大;②如果两个有理数得绝对值相等,那么这两个数相等;③互为相反数 得两个数得绝对值相等；④没有最小得有理数,也没有绝对值最小得有理数；⑤所有得有理数都可以用数轴上得点来表示;⑥符号不同得两个数互为相反数. A.②④⑤⑥B．③⑤C.③④⑤D．③⑤⑥ 【例3】如果a得绝对值就是2,那么ａ就是() A.2 B.-2 C.±2 D. 【例4】若ａ<0，则4a＋7|a｜等于（）
绝对值的性质及运用
知识精讲 绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离. 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值 号. ②一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0. ④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5. 求字母a 的绝对值： ①(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??-?=?-≤? 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小. 绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c = 绝对值的其它重要性质： （1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-； （2）若a b =，则a b =或a b =-； （3）ab a b =?；a a b b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==； a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离． a b -的几何意义：在数轴上，表示数a ．b 对应数轴上两点间的距离． 绝对值
【例题精讲】 模块一、绝对值的性质 【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（ ） A ．±2 B．2 C ．-2 D ．4 【例2】下列说法正确的有（ ） ①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数． A ．②④⑤⑥ B ．③⑤ C ．③④⑤ D ．③⑤⑥ 【例3】如果a 的绝对值是2，那么a 是（ ） A ．2 B ．-2 C ．±2 D．12 ± 【例4】若a ＜0，则4a +7|a |等于（ ） A ．11a B ．-11a C ．-3a D ．3a 【例5】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ） A ．1，0 B ．正数 C ．非正数 D ．非负数 【例6】已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y 的值等于（ ） A ．7或-7 B ．7或3 C ．3或-3 D ．-7或-3 【例7】若1-=x x ，则x 是（ ） A ．正数 B ．负数 C ．非负数 D ．非正数 【例8】已知：a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ） A ．1-b ＞-b ＞1+a ＞a B ．1+a ＞a ＞1-b ＞-b
绝对值的几何意义--实际应用问题
绝对值的几何意义--实际应用问题 【知识点】 一个数的绝对值越小，距离原点越近 【练习题】 1.四只毛毛虫在数轴上的位置如下，则距离原点最近的是______ 2.一只蚂蚁在数轴上来回爬行，记录的位置分别为：-2、-1、4、-3则距离原点 最远的位置是______ 3.矿井下A、B、C三处的高度分别为-35.2m，-129.1m，-72.6m，最深的是______ （填“A、B、C”） 4.记录1、2、3号3个零件的长度，大于标准值为+，小于标准值为-，记录结 果（单位：mm）分别为+0.10、-0.07、-0.02，则最接近标准值的是______号 5.某班测量身高，超过平均身高记为正数，低于平均身高记为负数，甲、乙两 位同学的记录情况分别为+3，-5。最接近平均身高的是______（填“甲、乙”）6.某商店全年第一、第二、第三、第四季度盈亏情况（盈利为正，亏损为负）
依次是：68万元、-140万元、-95万元、145万元，则亏损最多的是第______季度（填“一、二、三、四”） 7.检验4个工件，其中超过标准质量的克数记作正数，不足标准质量的克数记 作负数。从轻重的角度看，最接近标准的工件是（） A.-2 B.-3 C.3 D.7 8.某次数学单元测试，1班第1小组4位同学的平均成绩达到80分，组长在登 记成绩时，以80分为基准，超过80分的分数登记为正数，低于80分的分数登记为负数，甲、乙、丙、丁4位同学的分数记录情况为：10、-2、5、-13。 则最接近80分的是______同学。（填“甲、乙、丙、丁”） 9.某公路养护小组若干人各自乘车沿南北方向公路巡视维修，某天早晨他们从 A地出发，约定A地以北为正方向，A地以南为负方向，他们几人当天相对与A地的行驶记录分别如下（单位：千米）：+18，+9，-2，-14，+5，-19。 当天距离A地最远的距离是______千米。 10.某市监管部门抽查一商店4个水果罐头的质量，超出标准质量记为正，不足 质量记为负，则最接近标准质量的罐头是（） A.-3 B.4 C.2 D.1
绝对值的应用
-1 0 1 a b 2010年七年级上数学专题--绝对值的应用 1. 有理数a,b 在数轴上的对应点的位置如图所示： 化简：∣a+b ∣=_________ ∣a ∣－∣b ∣=_________ ∣a-1∣=_________ ∣1+b ∣=_________ 2、已知：b 是最小的正整数且a 、b 满足0)5(2=++-b a c ，试回答问题。 （1）请直接写出a 、b 、c 的值。 a = b = c = （2）a 、b 、c 所对应的点分别为A 、B 、C ，点P 为一动点，其对应的数为x ，点P 在0到2之间运动时（即0≤x ≤2时），请化简式子：5211-+--+x x x （请写出化简过程） （3）在（1）（2）的条件下，点A 、B 、C 开始在数轴上运动，若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点C 分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t 秒钟过后，若点B 与点C 之间的距离表示为BC ，点A 与点B 之间的距离表示为AB 。请问，BC —AB 的值是否随着时间t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值。 3、如图,C 为线段AB 上一点，且AC=2BC ，AC 的4 1比BC 小5. （1）求AC 、BC 的长； （2）点P 从A 点出发，以1个单位/秒的速度在线段AB 上向B 点运动，设运动时间为t 秒（t ＜10）,D 为PB 的中点,E 为PC 的中点,若CD=2DE,试求点P 运动时间t 的值; （3）若P 从A 点出发,以1个单位/秒的速度在线段AB 上向B 点运动,同时点Q 从B 点出发,以6 5个单位/秒的速度在AB 的延长线上与P 点同向运动,运动时间t ＜30,D 为PB 的中点,F 为DQ 的中点,且PB PE 3 1=,当P 、Q 两点运动过程中，给出下面两个结论：①DE+DF 的值不变；②|DE －DF|的值不变，其中只有一个结论是正确的，请判断正确的结论并求其值． 4．在一条长为a 米的马路AB 上，有一个男孩在玩长为b 米的滑板CD ，滑板的高度忽略不计．（不考虑调头） 如图所示，建立一个数轴，并以A 为原点． （1）当滑板的端点C 与A 重合时，试用a 、b 表示BD 的中点N 对应的数． （2）当滑板在A 、B 之间滑动时，线段AC 、BD 的中点M 和N 之间的距离是否改变呢？试说明理由． （3）当滑板从A 滑动到B 处后仍向前滑动．线段AC 、BD 的中点M 和N 之间的距离是否改变呢？试说明理由． · · · C B A A B C D M N A D N B A B C
绝对值几何意义知识点经典例题及练习题带答案
绝对值的几何意义 【考纲说明】 1、 理解绝对值的几何意义，了解绝对值的表示法，会计算有理数的绝对值； 2、 能够利用数形结合思想来理解绝对值的几何意义，根据绝对值的意义及性质进行简单应用。 【趣味链接】 正式篮球比赛所用球队质量有严格的规定,下面是6个篮球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数，检测结果为：-20，+10、+12、-8、-11 请指出那个篮球的质量好一些,并用绝对值的知识进行说明。 【知识梳理】 1、绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。 2、绝对值的性质： （1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质； a （a ＞0） （2） |a|= 0 （a=0） （代数意义） -a (a ＜0) （3） 若|a|=a ，则a≥0；若|a|=-a ，则a≤0； （4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a ， 且|a|≥-a ； （5） 若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义） （6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=| |||b a （b≠0）； （7） |a|2=|a 2|=a 2 ； （8） |a+b|≤|a|+|b| |a -b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a -b|
【经典例题】 【例1】（2011青岛）若ab<|ab|，则下列结论正确的是（ ） A.a ＜0，b ＜0 B.a ＞0，b ＜0 C.a ＜0，b ＞0 D.ab ＜0 【例2】（2011莱芜）下列各组判断中，正确的是（ ） A ．若|a|=b ，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a ＞b C. 若|a|＞b ，则一定有|a|＞|b| D.若|a|=b ，则一定有a 2=(-b) 2 【例3】（2011日照）有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( ) A ．2a+3b-c B ．3b-c C ．b+c D ．c-b 【例4】（2009淮安）如果a a -=||，下列成立的是（ ） A ．0>a B ．0 绝对值几何意义应用 绝对值几何意义应用 一、几何意义类型： 类型一、0-=a a ：表示数轴上的点a 到原点0的距离； 类型二、 a b b a -=-：表示数轴上的点a 到点b 的距离（或 点b 到点a 的距离）； 类型三、)(b a b a --=+)(a b --=：表示数轴上的点a 到点b -的距离（点b 到点a -的距离）； 类型四、a x -：表示数轴上的点x 到点a 的距离； 类型五、)(a x a x --=+：表示数轴上的点x 到点a -的距离. 二、例题应用： 例1.（1）、4-x 的几何意义是数轴上表示x 的点与表示 的点之间的距离，若4-x =2，则 = x . （2）、3+x 的几何意义是数轴上表示x 的点与表示 的点之间的距离，若13=+x ，则 = x . （3）、如图所示数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为m 、n 、p 、q.若15=-q m ， 8 10=-=-m p n q ，，则=-p n ;若15=-q m ， ，，q n n p m p -= -=-3 1 8 则=-p n . 的几何意义得; ③已知4 + -x x，利用绝对值在数轴上 + 3= 2 的几何意义得; 拓展：若8 1 +a a，则整数a的个数是 - + 2= 2 7 4 . ④当x满足条件时，利用绝对值在数轴上的几何意义2 3+ -x x取得最小值， + 这个最小值是. 由上题③图可知，5 +x + x，故而当 - 3 2≥≤ -x时，最小值是5. 3 2≤ ⑤若a -2 + 3时，探究a为何值，方程有 x= x + 解？无实数解？ 档案：5≥a ；a <5. 特别要注意的是：当x 在32≤≤-x 这个范围内任取一个数时，都有523=++-x x . 例题拓展：①若23++-x x >a 恒成立，则a 满足什么条件？答案：a <5. ②若23++-x x a 恒成立，则a 满足什么条件？答案：a ＜5-. 由上图当x ≤2-时， 2 3+--x x 5=；当x ≥3时， 23+--x x 5 -=；当2-＜x ＜3， 5 -＜23+--x x ＜5，所以5-≤23+--x x ≤5.则a ＜5-. ④若23+--x x 5. 拓展应用：已知()()()36131221=++-++--++z z y y x x ，求z y x 32++ 巧用绝对值的“几何意义”求多个绝对值之和的最小值问题 【例1】求 y=｜x+3｜+｜x+2｜+｜x+1｜+｜x｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜的最小值，并指出y为最小值时，x的值为多少 初一引进绝对值的概念，但多数学生对绝对值的问题只是浅尝辄止。绝对值有两个方面的意义，一个是代数意义，另一个几何意义，但一般教学往往侧重于代数意义而忽略了其几何意义。 绝对值的代数意义：｜a｜=a, (a≥0)；｜a｜=－a, (a＜0)。 绝对值的几何意义：｜a｜是数轴上表示数a的点到原点的距离。 众所周知，如果数轴上有两点A,B，它们表示的数分别为a, b（a≤b)，则A,B之间的距离：｜AB｜=｜a-b｜（如图1）。 设点X在数轴上表示的点为x,则｜x-a｜+｜x-b｜表示点X到点A和点B的距离之和：｜XA｜+｜XB｜， 由图2可以看出，如果X在A，B两点之间，那么｜XA｜+｜XB｜可以取到最小值｜AB｜，即：当a≤x≤b时，｜x-a｜+｜x-b｜取最小值｜a-b｜； 同样，设点C在数轴上表示的点为c，（a≤b≤c)，则｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜表示点X到点A、点B和点C的距离之和：｜XA｜+｜XB｜+｜XC｜， 由图3可以看出，如果X落在B点，那么｜XA｜+｜XB｜+｜XC｜可以取到最小值｜AC｜，即：当x=b时，｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜取最小值｜a-c｜。 一般说来，设f(x)=｜x-a?｜+｜x-a?｜+｜x-a?｜+???+｜x-a n｜， 其中a?≤a?≤…≤a n，那么： 当n为偶数时，f min(x)=f(a)，其中a n/2≤a≤a n/2+1； 且f(a)=(a n-a1)+(a n-1-a2)+???+(a n/2+1-a n/2) =(a n+a n-1+??? a n/2+1)-(a1+a2+???+a n/2) 当n为奇数时，f min(x)=f(a（n+1）/2)； 且f(a)=(a n-a1)+(a n-1-a2)+???+【a(n+1）/2+1-a(n+1）/2-1】 =【a n+a n-1+??? a(n+1）/2+1】-【a1+a2+???+ a(n+1）/2-1】 也就是说，偶数个绝对值相加，当x处于最中间的两个点所表示的数之间时，其值为最小，x可能有无数个取值；奇数个绝对值相加，当x等于最中间那个点所表示的数时，其值为最小，x只有一个取值。利用这个原理来解决【例1】的问题将非常容易地得到结论：y=｜x-（-3）｜+｜x-（-2）｜+｜x-（-1）｜+｜x-0｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜，所以x=0时y最小，最小值为12。 下面我们利用这一原理解决更多的问题。 【例2】已知y=?｜x+1｜+2｜x-1｜+｜x-2｜，求y的最小值。 【解】y=?(2｜x+1｜+6｜x-1｜+3｜x-2｜)=?（｜x-（-1）｜+｜x-（-1）｜+｜x-1｜+｜x-1｜+｜x-1｜+｜x-1｜+｜x-1｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-2｜+｜x-2｜） ∵有11个绝对值相加，11为奇数，∴当x=a5，即x=1时，y最小为：?(2｜1+1｜+3｜1-2｜)=?（4+3）=7/3 【例3】已知｜a+3｜+｜a-5｜=8，求a的取值范围。 【解】∵当-3≤a≤5时，｜a+3｜+｜a-5｜的最小值为8，∴a的取值范围是 -3≤a≤5 图 1图 2 与绝对值有关的综合应用 【课前导读——知识要点】 一、数轴与运动：起点、方向、运动量?终点 1．如图1，点A 对应的数为a ，若点A 向右运动m 单位到达点B，则点B 对应的数为a m +； 2．如图2，点A 对应的数为a ，若点A 向左运动m 单位到达点B，则点B 对应的数为a m -； 注意：右加左减； 二、数轴上两点间的距离：求距离，大减小 如图，A 点对应的数为a ，B 点对应的数为b ，则线段AB 的长度为b a -； 三、数轴两点对应线段的中点：求中点，平均数 如图，A 点对应的数为a ，B 点对应的数为b ，则线段AB 的中点M 对应的数为 2 a b +； 解：设M 点对应的数为x （如图）. 则有：MA= ，BM= ， ∵M 为线段AB 的中点，∴MA=BM，∴ ， ∴x = ，即点M 对应的数为 . （a 、b 的平均数） 四、利用绝对值性质解绝对值方程： 1．若x a =（0a ≥），则x a =±?若()f x a =（0a ≥），则()f x a =±； 2．若a b =，则a b =或0a b +=?若()()f x g x =，则()()f x g x =或()()f x g x =； 3．若()()f x g x =，则()()f x g x =或()()f x g x =，但需要检验()0g x ≥； 4．若()()f x g x a ±=，零点分段讨论法分别去掉两个绝对值符号； 【新知讲授】 例一、已知数轴上A、B 两点对应的数分别为-2和4，P 点为数轴上的一点，若P 点到A 点的距离是P 点到 B 点距离的2倍，求P 点对应的数. x 绝对值的性质及运用 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020 基本要求：借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值 略高要求：会利用绝对值的知识解决简单的化简问题 【知识点整理】 绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉 绝对值符号. ②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0. ④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5. 求字母a 的绝对值： ①(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??-?=?-≤? 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小. 绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c = 绝对值的其它重要性质： （1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-； （2）若a b =，则a b =或a b =-； （3）ab a b =?；a a b b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==； a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离． a b -的几何意义：在数轴上，表示数a ．b 对应数轴上两点间的距离． 绝对值绝对值几何意义应用
巧用绝对值的“几何意义”求多个绝对值之和的最小值问题
七年级动点问题与绝对值有关的综合运用
绝对值的性质及运用