数学13《算法案例---秦九韶算法》测试
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1.请简述秦九韶算法的原理和应用领域。（200字）
秦九韶算法是一种用于求解多项式的算法，其原理是利用多项式的迭代运算，通过不断累加、相乘的方式快速计算多项式的值。
在秦九韶算法中，我们可以将多项式表示为P(x) = a0 + a1 * x + a2 * x^2 + ... + an * x^n，其中a0、a1、a2 ... an分别为多项式的系数，n为多项式的最高次数。
秦九韶算法的关键在于利用迭代运算，通过反复累加和相乘的操作，将多项式的求解过程化简为一个简单的数值计算。具体来说，我们可以将多项式P(x)的求解过程表示为以下形式：P(x) = (...((an * x + an-1) * x + an-2) * x + ...) * x + a0。
秦九韶算法的应用领域十分广泛。在数学领域，它可以用于高等代数学、微积分和数值分析等方面的多项式计算。在计算机科学领域，秦九韶算法可以用于实现多项式的编程计算和求解，例如图像处理、信号处理、数据压缩等方面的应用。
2.请说明秦九韶算法的时间复杂度和空间复杂度，并分析其优势和劣势。（400字）
秦九韶算法的时间复杂度为O(n)，其中n为多项式的最高次数。它的空间复杂度为O(1)，因为该算法只需要少量的变量对计算过程进行临时存储，并不需要额外的空间。
秦九韶算法的优势在于其计算速度快，尤其适用于对多项式进行大量计算的情况。通过不断累加和相乘的运算，可以在较短的时间内得到多项式的值。相比传统的直接计算法，秦九韶算法具有更高的效率。
然而，秦九韶算法也存在一些劣势。首先，该算法需要事先知道多项式的系数，如果系数未知或需要动态获取，则无法使用该算法。其次，秦九韶算法对于多项式次数较高的情况，计算过程中可能会有较大的误差累积，从而影响计算结果的准确性。此外，秦九韶算法只适用于一维的多项式计算，对于多维的多项式计算并不适用。
综上所述，秦九韶算法是一种简单且高效的多项式计算方法，适用于多项式次数较低且系数已知的情况。它能够在短时间内快速计算多项式的值，具有较大的应用潜力。然而，在应用实践中，需要根据具体情况评估其可行性和适用性，避免出现误差累积和精度问题。
高一数学算法案例试题答案及解析
高一数学算法案例试题答案及解析 1.已知函数，用秦九韶算法计算__________； 【答案】4485 【解析】 则；故答案为：4485. 【考点】秦九韶算法. 2.用辗转相除法求两个数102、238的最大公约数是_________． 【答案】34 【解析】 238="2×102+34" , 102="3×34" , 故两个数102、238的最大公约数是34 故答案为：34 【考点】辗转相除法. 3.用秦九韶算法计算多项式f（x）=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1，当x=0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是（） A．6，6B．5，6C．5，5D．6，5 【答案】A 【解析】由秦九韶算法知：f（x）=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1 =（3x5+4x4+5x3+6x2+7x+8）x+1=[（3x4+4x3+5x2+6x+7）x+8]+1 ={{{[（3x+4）x+5]x+6}x+7}x+8}x+1∴需要做6次加法运算，6次乘法运算，故选Ａ． 【考点】秦九韶算法． 4.用辗转相除法求和的最大公约数为（） A．2B．9C．18D．27 【答案】B 【解析】，故和的最大公约数为9 【考点】辗转相除法 5.将二进制数101 101(2)化为八进制数，结果为__________． 【答案】 【解析】将二进制数改为十进制数为，因为，所以 【考点】进位制 6.用二分法求方程的近似根的算法中要用哪种算法结构（） A．顺序结构B．条件结构C．循环结构D．以上都用 【答案】D 【解析】我们在用二分法求方程的近似根的时候，要反复判断近似根所在的区间，因此要用到循环结构，同时也用到了条件结构和顺序结构。 【考点】算法的基本逻辑结构；二分法。 点评：一般情况下，用循环结构的程序框图，就一定会用条件结构，同时也会用顺序结构。 7. 2012年1月20日上午，财政部公布2011年全国公共财政收入为103740亿元，将103740亿元用科学记数法表示为元.（保留3个有效数字） 【答案】
(完整版)高中数学例题：秦九韶算法
高中数学例题：秦九韶算法 例4．利用秦九韶算法求2345()10.50.166630.041680.00835f x x x x x x =+++++在x=0.2时的值．写出详细计算过程． 【思路点拨】秦九韶算法是我国南宋的数学家秦九韶首先提出来的． （1）特点：它通过一次式的反复计算，逐步计算高次多项式的求值问题，即将一个n 次多项式的求值问题，归结为重复计算n 个一次式1()i i a x a -+．即1210()((()))n n n f x a x a x a x a x a --=++++L L ． （2）具体方法如下：已知一个一元n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++L 0．当x=x 0，我们可按顺序一项一项地计算，然后相加，求得0()f x ． 【答案】1.2214024 【解析】 v 0=0.00835， v 1=v 0x+0.04168=0.00835×0.2+0.04168=0.043 35， v 2=v 1x+0.16663=0.04335×0.2+0.16663=0.1753， v 3=v 2x+0.5=0.1753×0.2+0.5=0.53506， v 4=v 3x+1=0.53506×0.2+1=1.107012， v 5=v 4x+1=1.107012×0.2+1=1.2214024． 【总结升华】秦九韶算法的原理是 01(1,2,3,,) n k k n k v a v v x a k n --=??=+=?L ． 在运用秦九韶算法进行计算时，应注意每一步的运算结果，像这
种一环扣一环的运算，如果错一步，则下一步，一直到最后一步就会 全部算错．同学们在计算这种题时应格外小心． 举一反三： 【变式1】用秦九韶算法求多项式764 =++++当x=2时 f x x x x x ()85321 的值． 【答案】1397 【解析】 765432 =++?++?+?++=+++++++ ()85030021((((((85)0)3)0)0)2)1 f x x x x x x x x x x x x x x x ． v0=8， v1=8×2+5=21， v2=21×2 4-0=42， v3=42×2 4-3=87， v4=87×2+0=174， v5=174×2+0=348， v6=348×2+2=698， v7=698×2+1=1397， 所以，当x=2时，多项式的值为1397． 【变式2】用秦九韶算法计算多项式65432 f x x x x x x x =++++++ ()654327 在x=0.4时的值时，需做加法和乘法的次数和是（） A．10 B．9 C．12 D．8 【答案】C
高中数学必修三同步练习题库：算法案例(填空题：容易)
算法案例（填空题：容易） 1、372和684的最大公约数是 2、用秦九韶算法计算多项式当的值时，乘法运算的次数为 ________. 3、七进制数1234转换成十进制数是__________． 4、下列各数、、、中最小的数是____________。 5、__________． 6、用“秦九韶算法”计算多项式，当时的值的过程中，要经过____________次乘法运算和_________次加法运算. 7、用辗转相除法求240和288的最大公约数时，需要做____次除法；利用更相减损术求36和48的最大公约数时，需要进行______次减法。 8、将二进制数化为十进制数，结果为______． 9、生活中常用的十二进位制，如一年有12个月，时针转一周为12个小时，等等，就是逢12进1的计算制，现采用数字0～9和字母A、B共12个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表: 例如用十二进位制表示A+B＝19，照此算法在十二进位制中运算A×B＝ . 10、用辗转相除法求两个数102、238的最大公约数是_________． 11、用辗转相除法求得459和357的最大公约数是_________ ．[ 12、把89化成二进制数为 .
13、不超过2012的只有三个正因数的正整数个数为 14、三个数72,120,168的最大公约数是_______________. 15、用秦九韶算法计算时的值时，需要运算次 16、设为正整数，若和除以的余数相同，则称和对同余.记，已知 ，，则的值可以是（写出以下所有满足条件的序号）①1007；②2013；③3003；④6002 17、用辗转相除法求得228和1995的最大公约数是 . 18、阅读右侧程序框图，输出的结果的值为___ _____． 19、 2012年1月20日上午，财政部公布2011年全国公共财政收入为103740亿元，将103740亿元用科学记数法表示为元.（保留3个有效数字） 20、把二进制数110 011化为十进制数为； 21、两个正整数840与1764的最大公约数为____ __．
高中数学之算法案例
算法案例（讲义） ? 知识点睛 典型算法举例： 1. 辗转相除法 ①方法概述：两数相除，较大数除以较小数，得商和余数，继而较小数除以余数，重复操作，直至除尽，此时除数即为最大公约数． ②原理：在a =bq +r 中，除数b 和余数r 能被同一个数整除，那么被除数a 也能被这个数整除．或者说，除数与余数的最大公约数，就是被除数与除数的最大公约数． 2. 秦九韶算法 把一个n 次多项式改写成如下形式： 1110 12110 2312101210 ()()(())((()))n n n n n n n n n n n n n n n f x a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a ----------=++++=++++=+++++==+++++………… …… 记0n v a =，11n n v a x a -=+，…，10n n v v x a -=+． 求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v 1，然后由内向外逐层计算． 3. 进位制 ①k 进制：若k 是一个大于1的整数，那么以k 为基数的k 进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式． 110()n n k a a a a -… 11011000n n n n a a a a N a k a a a k --∈<<<≤（，，…，，，，，…，，） ②进位制数相互转化： k 进制转十进制，计算k 进制数a 的右数第i 位数字i a 与1i k -的乘积1i i a k -?，再将其累加，重复操作求和． 十进制数转k 进制数（除k 取余法）： 如右图，十进制数化为二进制数， 89=1011001（2）． ? 精讲精练 1. 用“辗转相除法”求下列数的最大公约数： （1）459和357的最大公约数是____________； 余数2222 2220 12511224489
第2课时案例2秦九韶算法
第2课时案例2 秦九韶算法 导入新课 思路1（情境导入） 大家都喜欢吃苹果吧，我们吃苹果都是从外到里一口一口的吃，而虫子却是先钻到苹果里面从里到外一口一口的吃，由此看来处理同一个问题的方法多种多样.怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？方法也是多种多样的，今天我们开始学习秦九韶算法. 推进新课 新知探究 提出问题 （1）求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值有哪些方法？比较它们的特点. （2）什么是秦九韶算法？ （3）怎样评价一个算法的好坏？ 讨论结果： （1）怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？ 一个自然的做法就是把5代入多项式f(x)，计算各项的值，然后把它们加起来，这时，我们一共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算. 另一种做法是先计算x2的值，然后依次计算x2·x，（x2·x）·x，（（x2·x）·x）·x的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果，这时，我们一共做了4次乘法运算，5次加法运算. 第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能够提高运算效率，对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多，所以采用第二种做法，计算机能更快地得到结果. （2）上面问题有没有更有效的算法呢？我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202~1261）在他的著作《数书九章》中提出了下面的算法： 把一个n次多项式f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0改写成如下形式： f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0 =（a n x n-1+a n-1x n-2+…+a1）x+ a0 =（（a n x n-2+a n-1x n-3+…+a2）x+a1)x+a0 =… =（…（（a n x+a n-1）x+a n-2）x+…+a1）x+a0. 求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即 v1=a n x+a n-1， 然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即 v2=v1x+a n-2， v3=v2x+a n-3， … v n=v n-1x+a0， 这样，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值. 上述方法称为秦九韶算法.直到今天，这种算法仍是多项式求值比较先进的算法. （3）计算机的一个很重要的特点就是运算速度快，但即便如此，算法好坏的一个重要标志仍然是运算的次数.如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论的算法. 应用示例 例1 已知一个5次多项式为f（x）=5x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8， 用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值. 解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式： f(x)=（(((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8， 按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=5时的值： v0=5； v1=5×5+2=27; v2=27×5+3.5=138.5; v3=138.5×5-2.6=689.9; v4=689.9×5+1.7=3 451.2;
P037算法案例---秦九韶算法教案
算法案例---秦九韶算法 教学要求：了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数、提高计算效率的实质；理解数学算法与计算机算法的区别，理解计算机对数学的辅助作用. 教学重点：秦九韶算法的特点及其程序设计. 教学难点：秦九韶算法的先进性理解及其程序设计. 教学过程： 一、复习准备： 1. 分别用辗转相除法和更相减损术求出两个正数623和1513的最大公约数. 2. 设计一个求多项式 5 4 3 2 ()254367 f x x x x x x =--+-+当5x =时的值的算法. （学生自己提出一般的解决方案：将5x =代入多项式进行计算即可） 提问：上述算法在计算时共用了多少次乘法运算？多少次加法运算？此方案有何优缺点？(上述算法一共做了5＋4＋3＋2＋1＝15次乘法运算，5次加法运算. 优点是简单、易懂；缺点是不通用，不能解决任意多项式的求值问题，而且计算效率不高.) 二、讲授新课： 1. 教学秦九韶算法： ① 提问：在计算x 的幂值时，可以利用前面的计算结果，以减少计算量，即先计算2 x ， 然后依次计算2 x x ?，2 ()x x x ??，2 (())x x x x ???的值，这样计算上述多项式的值，一共需 要多少次乘法，多少次加法?（上述算法一共做了4次乘法运算，5次加法运算） ② 结论：第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能提高运算效率，而且对于计算机来说，做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多，因此第二种做法能更快地得到结果. ③ 更有效的一种算法是： 将 多 项 式 变 形 为 ： 5 4 3 2 ( ) 254367 f x x x x x x = - - + - + = ， 依次计算2555?-=，55421?-=，2153108?+=，10856534?-=， 534572677?+= 故(5)2677f =. ――这种算法就是“秦九韶算法”. （注意变形，强调格式）
算法案例---秦九韶算法
§1.3算法案例---秦九韶算法 高二数学组 梅 杰 一.教学目标 1.了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质； 2.能利用秦九韶算法进行一些多项式的计算，能用循环结构表示算法步骤。 二．教学重难点 1.理解秦九韶算法体现的思想； 2.用循环结构表示算法步骤。 三.教学过程 （一）创设情景，揭示课题 问题1 ：请同学们设计一个算法，计算8.07.16.25.324)(2345-+-++=x x x x x x f 当5=x 时的值。 学生可能会提出两种做法： 做法一：把5代入多项式的每一项，计算每一项的值，然后相加； 做法二：先计算x 的幂，可以利用前面的计算结果，以减少计算量，即先计算x 2,然后 依次计算x 2.x,( x 2.x).x,( ( x 2.x).x).x 的值，再各项相加。 结合学生的做法，进行比较点评： ①有哪些优点？哪些不足？ ②计算次数各是多少？有哪些计算种类？ [做法一有15次乘法运算，5次加法运算；做法二有9次乘法运算，5次加法运算] 对于计算机来说，做一次乘法运算所用时间要比做一次加法要长的多，所以算法好坏的一个重要标志仍然是运算的次数 问题2 ：上述问题1还有没有更有效的算法呢？ 老师引导学生从因式分解的角度，将多项式变形为： 8.0)7.1)6.2)5.3)24(((()(-+-++=x x x x x x f 思考：从内到外，如果把每一个括号都看成一个常数，那么变形后的式子中有哪些“一次式”？x 的系数依次是什么？ 思考：让学生回顾整个计算过程，用此种方法一共进行了多少次乘法、加法运算？ 点评：一共进行了5次乘法，5次加法运算，相比较前两种做法，此做法更快、更方便，而且在计算过程中，只与多项式的系数有关。 这种算法就是“秦九韶算法”，在此可以介绍下秦九韶生平。【见附页】 （二）研探新知 问题1：怎样用秦九韶算法求一般的多项式0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- 当 x=x 0时的值？
高中数学第3课时 《秦九韶算法》教案新课标人教A版必修3
课题：§1.3 秦九韶算法 一．教学任务分析: （1）在理解了算法的三种不同表示方式的基础上，结合算法案例2----秦九韶算法，让学生经历设计算法解决问题的过程，体验算法在解决问题中的作用. (2)通过对具体实例的算法分析，画程序框图，编制程序，上机验证的方法理解掌握秦九韶算法. (3)通过秦九韶算法所蕴涵的算法思想,培养学生利用算法解决问题的意识. 提高逻辑思维能力.发展有条理的思考与数学表达的能力. 二．教学重点与难点： 教学重点：理解秦九韶算法求一元多项式的值的方法. 教学难点：把秦九韶算法的方法转换成程序框图与程序语言. 三．教学基本流程: 在初中所学多项式的基础上，从函数的观点认识多项式，求自 变量取某个值时多项式（函数）的值，对其算法进行比较. ↓ 秦九韶算法 ↓ 秦九韶算法举例 ↓ 秦九韶算法分析---程序框图及程序语言 ↓ 巩固练习，小结、作业 四.教学情境设计: 1．创设情景，揭示课题 我们在初中已经学过了多项式的有关知识,主要解决求多项式的值,那里是把多项式看作代数式,在这里我们用函数的观点考察多项式.因此,求自变量取某个实数时的函数值问题,即求多项式的值.那么: 怎样求多项式,当时的值? 1 / 6
教师引导学生交流讨论解决,归纳学生的解法,对解法的运算效率进行比较分析. 通过统计乘法和加法的运算次数来衡量算法的“好坏” 作法1：把x=5代入f（x），计算各项的值，然后把它们加起来. 一共作了1+2+3+4=10次乘法运算,5次加法运算. 作法2：先计算,然后依次计算的值,这样每次都可以利用上一次的计算结果, 即多项式变形为 一共作了4次乘法运算,5次加法运算. 显然作法2比作法1少了6次乘法运算,提高了运算效率.这种算法就叫秦九韶算法. 2.秦九韶算法 (1)秦九韶：（公元1202-1261年）南宋，数学家。他在1247年（淳佑七年）著成『数书九章』十八卷．全书共81道题，分为九大类：大衍类、天时类、田域类、测望类、赋役类、钱谷类、营建类、军旅类、市易类。这是一部划时代的巨著，它总结了前人在开方中所使用的列筹方法，将其整齐而有系统地应用到高次方程的有理或无理根的求解上去，其中对「大衍求一术」﹝一次同余组解法）和「正负开方术」﹝高次方程的数值解法）等有十分深入的研究. (2)秦九韶算法 x的值. 求多项式在x=时的值时，按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x= 2 / 6
山东省北镇中学高中数学《1.3 算法案例》教案2 新人教A版必修3
山东省北镇中学高中数学《1.3 算法案例》教案2 新人教A版必 修3 导入新课 思路1（情境导入） 大家都喜欢吃苹果吧，我们吃苹果都是从外到里一口一口的吃，而虫子却是先钻到苹果里面从里到外一口一口的吃，由此看来处理同一个问题的方法多种多样.怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？方法也是多种多样的，今天我们开始学习秦九韶算法. 思路2（直接导入） 前面我们学习了辗转相除法与更相减损术，今天我们开始学习秦九韶算法. 推进新课 新知探究 提出问题 （1）求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值有哪些方法？比较它们的特点. （2）什么是秦九韶算法？ （3）怎样评价一个算法的好坏？ 讨论结果： （1）怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？ 一个自然的做法就是把5代入多项式f(x)，计算各项的值，然后把它们加起来，这时，我们一共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算. 另一种做法是先计算x2的值，然后依次计算x2·x，（x2·x）·x，（（x2·x）·x）·x的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果，这时，我们一共做了4次乘法运算，5次加法运算. 第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能够提高运算效率，对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多，所以采用第二种做法，计算机能更快地得到结果. （2）上面问题有没有更有效的算法呢？我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202~1261）在他的著作《数书九章》中提出了下面的算法： 把一个n次多项式f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0改写成如下形式： f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0 =（a n x n-1+a n-1x n-2+…+a1）x+ a0 =（（a n x n-2+a n-1x n-3+…+a2）x+a1)x+a0 =… =（…（（a n x+a n-1）x+a n-2）x+…+a1）x+a0. 求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即 v1=a n x+a n-1， 然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即 v2=v1x+a n-2， v3=v2x+a n-3， … v n=v n-1x+a0， 这样，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值.
§75秦九韶算法
§75秦九韶算法 §75秦九韶算法──求多项式的值一、泰勒定理简介二、求多项式值的求法三、秦九韶算法1.直接法2.累乘法3.秦九韶算法 1.步骤 2.编程复杂函数多项式函数泰勒定理先改后算两大步降幂提因○补缺由内到外逐层算人工递推系数表4. 其他法递推公式法人工系数表法三大语言三结构五种语句三案例高考主流是框图循环结构是重点辗转相除法与更相减损术进位制秦九韶算法注4：注1：自然语言框图程序设计语言注2：顺序结构条件结构循环结构输入语 句注3：赋值语句输出语句条件语句循环语句───求最大公约数───求多项式的值框图的画法是次要的重点是要能 看懂框图2.辗转相除法1.短除法求最大公约数的方法3.更相减损术数字较小短除法公质因数连续除除到所有商 互质除数连乘是答案大除小余换大辗转除何时停0或11互质0除数即答案大减小差换大 连续减何时停两相等即答案若可半可省功注：辗转相除法与更相减损术的异同点1.辗转相除法以除法运算为主3. 两法本质上都是递推，都可用循环结构编程更相减损术以减法运算为主2.辗转相除法当除法运算余数为O或1时终止运算更相减损术当减 法运算差为O时终止运算§75秦九韶算法──求多项式的值一、泰勒定理简介二、求多项式值的求法三、秦九韶算法1. 直接法2.累乘法3.秦九韶算法1.步骤2.编程复杂函数多项式函数泰勒定理先改后算两大步降幂提因○补缺 由内到外逐层算人工递推系数表4.其他法递推公式法人工系数表法常见的多项式（整式）函数我省的大压轴题，每年都是以三次函数来说事2013年的全国Ⅰ卷的小压轴题，是四次函数泰勒中值定理一、泰勒定理简介复杂函数多项式函数泰勒定理②n越 大越精确①阶乘的概念：参课本P：32练习2麦克劳林公式一、
秦九韶算法11
案例3秦九韶算法 1．学习目标： 通过阅读中国古代数学中的算法案例——秦九韶算法，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。 2．方法技巧：秦九韶算法的算法步骤： 设1110()n n n n n P x a x a x a x a --=++++ ，将其改写为 12110 2 3 1210 1210 ()()(())((()))n n n n n n n n n n n n P x a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a --------=++++=+++++=+++++ 第一步：计算最内层1n n a x a -+的值，将1n n a x a -+的值赋给一个变量1v （为方便将n a 赋予变量0v ）； 第二步：计算12()n n n a x a x a --++的值，可以改写为12n v x a -+，将12n v x a -+的值赋给一个变量2v ； 依次类推，既每一步的计算之后都赋予一个新值k v ，即从最内层的括号到最外层括号的值依次赋予变量123,,,,,k n v v v v v 。第n 步所求值10n n v v x a -=+即为所求多项式的值。上述求值过程应用了以下公式： 01. ,1,2,,.n k k n k v a k n v xv a --=⎧ =⎨ =+⎩ 3．误区警示：当多项式中有几项不存在时，可将这几项看做0n x ⨯。 能力提升 1．用秦九韶算法计算多项式6 5 4 3 2 ()34567810.4f x x x x x x x x =++++++=当时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是（ ） A ．6，6 B ．5，6 C ．5，5 D ．6，5
2018届高中数学苏教版 算法与程序框图、基本算法语句、算法案例 单元测试 Word版 含答案
温馨提示： 此题库为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭Word文档返回原板块。 考点37 算法与程序框图、基本算法语句、 算法案例 一、选择题 1.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T10)同(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T9)执行如图的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y的值满足() A.y=2x B.y=3x C.y=4x D.y=5x 【解析】选C.如表所示:
输出x=3 ,y=6,满足y=4x. 2 2.(2016·全国卷Ⅱ文科·T9)同(2016·全国卷Ⅱ理科·T8)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,如图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的s=() A.7 B.12 C.17 D.34 【解题指南】根据循环控制条件k>2,依次执行循环,满足控制条件时结束循环.【解析】选C.第一次运算:s=0×2+2=2,k=1; 第二次运算:s=2×2+2=6,k=2; 第三次运算:s=6×2+5=17,k=3,结束循环. 3.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T8)与(2016·全国卷3·理科·T7)相同 执行如图所示的程序框图,如果输入的a=4,b=6,那么输出的n=()
A.3 B.4 C.5 D.6 【解题指南】注意a,b的变化. 【解析】选B.执行第一次循环的情况是:a=2,b=4,a=6,s=6,n=1;执行第二次循环的情况是:a=-2,b=6,a=4,s=10,n=2,执行第三次循环的情况 是:a=2,b=4,a=6,s=16,n=3,执行第四次循环的情况是:a=-2,b=6,a=4,s=20,n=4.根据走出循环体的判断条件可知执行完第四次走出循环体,输出n值,n值为4. 4.(2016·四川高考文科·T8)同(2016·四川高考理科·T6)秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法,如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n,x的值分别为3,2.则输出v的值为()
人教版高中数学必修3第一章算法初步-《1.3算法案例：秦九韶算法》教案
1.3算法案例：秦九韶算法 1、利用秦九韶算法求多项式1153723+-+x x x 在23=x 的值时，在运算中下列哪个值用不到（ ） A 、164 B 、3767 C 、86652 D 、85169 2、利用秦九韶算法计算多项式1876543x f(x)23456++++++x x x x x ＝ 当x=4的值的时候，需要做乘法和加法的次数分别为（ ） A 、6，6 B 、5，6 C 、5，5 D 、6，5 3、利用秦九韶算法求多项式1352.75.38123)(23456-++-++=x x x x x x x f 在6=x 的值，写出详细步骤。 4、下图的框图是一古代数学家的一个算法的程序框图，它输出的 结果s 表示（ ） A 、3210a a a a +++的值 B 、30 0201032x a x a x a a +++的值 C 、30 3202010x a x a x a a +++的值 D 、以上都不对
5、已知n 次多项式1011()n n n n n P x a x a x a x a --=++++, 如果在一种算法中，计算0k x （k ＝2，3，4，…，n ）的值需要k －1次 乘法， （1）计算30()P x 的值需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算0()n P x 的值需要多少次运算？ （2）若采取秦九韶算法：0011(),()()k k k P x a P x xP x a ++==+（k ＝0， 1，2，…， n －1），计算30()P x 的值只需6次运算，那么计算0()n P x 的值共需要多少次运算？ （3）若采取秦九韶算法，设a i =i+1，i=0，1，…，n ，求P 5（2）（写出采取秦九韶算法的计算过程）
福建省永安第十二中学高中数学人教B版必修三：1.3.2秦九韶算法 (教案)
《秦九韶算法》教案 永安十二中 罗上尧 2016.11.25（星期五） 课题 秦九韶算法 课型 新授课 授课班级 高二（ ）班 教学目标 知识与技能目标： 1.了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质. 2.能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序． 过程与方法目标：模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙. 情感、态度、价值观目标：通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久. 重点：秦九韶算法的特点，对秦九韶算法的先进性理解. 教学资源： PPT 难点：秦九韶算法思想的理解及用循环结构表示算法步骤. 教学互动内容 设计意图 一、创设情景，揭示课题 1.秦九韶人物简介 2.问题是数学的心脏，带着问题思考数学的智慧 二、新课探究 知识探究(一):秦九韶算法的基本思想 思考1：怎样求多项式1)(2 345+++++=x x x x x x f 当5=x 时的值呢？ 算法1：将5=x 代入1)(2 3 4 5 +++++=x x x x x x f 计算得(5)3906f =，并统计所做的计算的种类及计算次数。（共需要10次乘法运算，5次加法运算） 算法2：在计算x 的幂值时，可以利用前面的计算结果，以减少计算量，即 先计算2 x ，然后依次计算2x x ⋅，2 ()x x x ⋅⋅，2 (())x x x x ⋅⋅⋅的值，这样计算上 述多项式的值，一共需要多少次乘法，多少次加法?（上述算法一共做了4次乘法运算，5次加法运算） 结论：第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能提高运算效率，而且对于计算机来说，做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长 了解数学史及中国古代数学对世界数学的贡献，激发学生的爱国主义 情怀. 通过学生的操作认识算法1的算法种类和计算次数. 帮助学生建立改进算法，提高计算效率的意识.
高二数学算法案例试题答案及解析
高二数学算法案例试题答案及解析 1. 两个二进制数101(2)与110(2)的和用十进制数表示为( ) A ．12 B ．11 C ．10 D ．9 【答案】B 【解析】101(2)＝22＋0×21＋1×20＝5,110(2)＝1×22＋1×21＋0×20＝6. 【考点】二进制数与十进制数的互相转化． 2. 用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】B 【解析】由辗转相除法可知：，所以需要做除法的次数是2. 【考点】算法的应用. 3. 将十进制数102转化为三进制数结果为： 【答案】10210. 【解析】将十进制数转化为3进制数的方法为除3取余法，再把各步所得的余数从下到上排列即得10210. 【考点】算法的应用. 4. 设、、为整数（），若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为 （）。已知，则的值可以是（ ） A ．2015 B ．2011 C ．2008 D ．2006 【答案】B 【解析】因为 的余数为1, 的值可以是2011，故选B. 【考点】新定义的应用 点评：主要是理解同余的概念，然后借助于二项式定理来得到结论，属于基础题。 5. （本题满分12分）将101111011（2）转化为十进制的数； 【答案】379 【解析】解： 101111011（2）=1×28+0×27+1×26+1×25+1×24+1×23+0×22+1×21+1=379. 【考点】本试题考查了进位制的转换运算。 点评：将k 进位制转化内十进制，只要将各个数位上的数乘以k 的次幂即可，注意n 位数的最好次幂为n-1次幂，然后依次类推相加得到结论。属于基础题。 6. 阅读上图的程序框图, 若输出的值等于,那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是（ ）
1.4.1算法案例(1)―辗转相除法、更相减损术与秦九韶算(精)
1.4.1 算法案例（1）——辗转相除法、更相减损术与秦九韶算法 目标：理解并掌握辗转相除法、更相减损术与秦九韶算法 一.辗转相除法 实例1.求8251与6105的最大公约数.（辗转相除法思想的应用） 第一步：用较大的数除以较小的数，得. 分析：6105与2146的公约数一定是8251与6105的公约数；反之8251与6105的公约数也一定是6105与2146的公约数。因此， 求8251与6105的最大公约数等同于求6105与2146的最大公约数. 第二步：用较大的数除以较小的数，得. 分析：同理6105与2146的最大公约数等同于2146与1813的最大公约数. 第三步：用较大的数除以较小的数，得. 分析：同理2146与1813的最大公约数等同于1813与333的最大公约数. 第四步：用较大的数除以较小的数，得. 分析：…………. 第五步：用较大的数除以较小的数，得. 分析：…………. 第六步：用较大的数除以较小的数，得. 分析：148与37的最大公约数是37， 所以，8251与6105的最大公约数就是37. 这个问题的解决，应用的就是辗转相除法，反复进行除法运算，直到余数为0，最大公约数也就出来了，反复相除的运算在计算机里我们可以应用循环语句来实现. 实例2.设计一个算法，求两个正整数的最大公约数. 解：问题的算法如下：
第一步：输入. 第二步：计算除以的余数. 第三步：. 第四步：如果，则与的最大公约数为，否则返回第二步. 其相应的程序框图如下： 相应的计算机程序如下： INPUT m, n DO r=m MOD n m=n n=r
LOOP UNTIL r=0 PRINT m END 二.更相减损术 《九章算术》是我们中国古代的数学专著，其中介绍了另一种求两个数的最大公约数的有效方法，即更相减损术. 其具体算法如下： 第一步：任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数。如果是，用2 约简；如果不是，执行第二步. 第二步：用较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到某一步减数与差相等为止，则这个数或这个数与约简的数的积就是所求的最大公约数. 实例3.用更相减损术求98与63的最大公约数. 98－63=35 63－35=28 35－28=7 28－7=21 21－7=14 14－7=7 所以98与63的最大公约数是7. 三.秦九韶算法 问题的引入： 如何求多项式当时的值. 方法一：一个自然的做法是把5带入多项式，计算各项的值，然后把它们加起来，这时，我们一共做了次乘法运算，次加法运算.
高中数学之算法案例
算法案例（讲义） ➢ 知识点睛 典型算法举例： 1. 辗转相除法 ①方法概述：两数相除，较大数除以较小数，得商和余数，继而较小数除以余数，重复操作，直至除尽，此时除数即为最大公约数． ②原理：在a =bq +r 中，除数b 和余数r 能被同一个数整除，那么被除数a 也能被这个数整除．或者说，除数与余数的最大公约数，就是被除数与除数的最大公约数． 2. 秦九韶算法 把一个n 次多项式改写成如下形式： 1110 12110 2312101210 ()()(())((()))n n n n n n n n n n n n n n n f x a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a ----------=++++=++++=+++++==+++++………… …… 记0n v a =，11n n v a x a -=+，…，10n n v v x a -=+． 求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v 1，然后由内向外逐层计算． 3. 进位制 ①k 进制：若k 是一个大于1的整数，那么以k 为基数的k 进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式． 110()n n k a a a a -… 11011000n n n n a a a a N a k a a a k --∈<<<≤（，，…，，，，，…，，） ②进位制数相互转化： k 进制转十进制，计算k 进制数a 的右数第i 位数字i a 与1i k -的乘积1i i a k -⋅，再将其累加，重复操作求和． 十进制数转k 进制数（除k 取余法）： 如右图，十进制数化为二进制数， 89=1011001（2）． ➢ 精讲精练 1. 用“辗转相除法”求下列数的最大公约数： （1）459和357的最大公约数是____________； 余数2222 2220 12511224489