证明秦九韶算法
证明秦九韶算法
秦九韶算法是一种将多项式相加的方法，它可以在 $n$ 次加法操作内完成 $n$ 项多项式的求和运算，时间复杂度为 $O(n)$。这个算法在代数学中有着重要的应用。
其基本思路是将多项式表示为对应项系数的一个向量，比如多项式 $f(x)=3x^3+2x^2+5x+1$ 可以表示为向量 $(3,2,5,1)$。然后秦九韶算法以 $\alpha$ 为基数，依次计算每个向量的值，并使用递归的方式进行计算。具体地，计算多项式 $f(x)$ 在 $\alpha$ 处的值可以使用以下公式：
$$
f(\alpha) = (\cdots ((3\alpha+2)\alpha + 5)\alpha + 1) $$
其中，每个 $\alpha$ 都是常数，仅仅是连续的乘法和加法，可以使用加减乘除运算来计算。由于每一次计算都只涉及一次乘法和一次加法，因此时间复杂度为 $O(n)$。
秦九韶算法在代数学中有着广泛的应用，特别是在计算机代数系统中。比如，在符号计算系统中求解多项式方程、微积分计算、概率论计算等问题中都会用到秦九韶算法。
计算方法的课后答案
《计算方法》习题答案 第一章 数值计算中的误差 1．什么是计算方法？（狭义解释） 答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。 2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？ 答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤： 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4．利用秦九韶算法计算多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。 解：400)(2345-+?+-?+=x x x x x x P ，从而 1 0 -1 0 1 -4 -3 -3 9 -24 72 -219 1 -3 8 -24 73 -223 所以，多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。 5．叙述误差的种类及来源。 答：误差的种类及来源有如下四个方面： （1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。 （2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。 （3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。 （4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。这样引起的误差称为舍入误差。 6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。 答：设* x 是某个量的精确值，x 是其近似值，则称差x x e -=* 为近似值x 的绝对误差（简称误差）。若存在一个正数ε使ε≤-=x x e * ，称这个数ε为近似值x 的绝对误差限（简称误差限或精度）。 把绝对误差e 与精确值* x 之比* **x x x x e e r -==称为近似值x 的相对误差，称
中世纪的中国数学及其数学家
中世纪的中国数学及其数学家 约公元前6、7世纪 陈子（公元前6-7世纪）对太阳的高和远进行了测量，这就是人们所乐于称道的“陈子测日”。 但是，由陈子受当时科学水平的限制，误把椭球形的地球当作平面。所以，求出的日高与实际距离相差很远。然而，他的测日法所反映的数学及测量水平却是在世界上遥遥领先的，而且他的测量方法（后来叫做重差术）至今仍被使用着。所以，人们称陈子为测量学之祖，毫不为过。 据《周髀算经》记载，有一次荣方和陈子问答，陈子说：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并开方而除之，得邪至日者。”（古汉语“邪”也作“斜”解）就是说，将勾、股各平方后相加，再开方，就得到弦长（图2）。陈子的这段话，不仅解决了日远的计算问题，而且还最早表述了勾股定理。这充分证明，我国至迟在陈子所处年代，已经发现并运用了勾股定理。 三国时期——公元3世纪 赵爽，又名婴，字君卿，中国数学家。东汉末至三国时代吴国人。他是我国历史上著名的数学家与天文学家。生平不详，约生活于公元3世纪初。 用面积的出入相补证明勾股定理，其基本思想是图形经过割补后，面积不变。刘徽在注释《九章算术》时更明确地概括为出入相补原理，这是后世演段术的基础。赵爽在注文中证明了勾股形三边及其和、差关系的24个命题。他还研究了二次方程问题，得出与韦达定理类似的结果，并得到二次方程求根公式之一。此外，使用“齐同术”，在乘除时应用了这一方法，还在‘旧高图论”中给出重差术的证明。 赵爽的数学思想和方法对中国古代数学体系的形成和发展有一定影响。 魏晋南北朝——公元220年到581年 刘徽（生于公元250年左右），是中国数学史上一个非常伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是中国最宝贵的数学遗产刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观．他是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人．刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生．他虽然地位低下，但人格高尚．他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。 刘徽的数学成就大致为两方面： 一是清理中国古代数学体系并奠定了它的理论基础。这方面集中体现在《九章算术注》中。它实已形成为一个比较完整的理论体系。 二是在继承的基础上提出了自己的创见。这方面主要体现为以下几项有代表性的创见：①割圆术与圆周率。②他在用无限分割的方法解决锥体体积时，提出了关于多面体体积计算的刘徽原理。③“牟合方盖”说④方程新术在《九章算术?方程术》注中，他提出了解线性方程组的新方法，运用了比率算法的思想。 ⑤重差术在白撰《海岛算经》中，他提出了重差术，采用了重表、连索和 累矩等测高测远方法。他还运用“类推衍化”的方法，使重差术由两次测望，发展为“三望”、“四望”。而印度在7世纪，欧洲在15～16世纪才开始研究两次测望的问题。
勾股定理的国内外历史及证明方法
勾股定理的国内外历史及证明方法 勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。它是数学中最著名 的定理之一，历史悠久，证明方法繁多。以下是关于勾股定理的50条历史及证明方法的详细描述。 一、中国古代证明方法： 1.《周髀算经》：《周髀算经》是中国数学古籍之一，书中使用了勾股数（即满足勾 股定理的整数三元组）进行了一些计算和推理，但未给出具体的证明方法。 2. 秦九韶算法：秦九韶算法是中国古代算术的一种运算方法，其中包含了勾股定理 的运用，但没有给出详细的证明过程。 3. 宋元学派：宋元学派是中国古代数学发展的重要学派，其中许多数学家致力于勾 股定理的研究，并提出了一些新的证明方法。其中以秦九韶的《数书九章》和杨辉的《详 解九章算术》为代表。 4. 程大位的证明：程大位是唐代数学家，他在《数书精行补遗》中给出了一种用面积比较推导勾股定理的方法。 5. 刘徽的证明：刘徽是北魏时期的数学家，他在《九章算术注》中给出了几种勾股定理的证明方法，其中包括将直角三角形拆分为小三角形进行计算和证明的方法。 二、希腊古代证明方法： 1. 毕达哥拉斯的证明：毕达哥拉斯是公元前6世纪的希腊数学家，他提出了勾股定理，并给出了一种证明方法。他的证明是以面积比较为基础，通过构造一系列等面积的几何图形，最终推导出勾股定理。 2. 欧几里得的证明：欧几里得是古希腊数学家，他在《几何原本》中给出了多种证明勾股定理的方法，其中包括利用相似三角形、使用平行线、利用等腰直角三角形等方法。 三、其他国家的证明方法： 1. 美国证明方法：美国数学家海赛斯（Elisha S. Loomis）提出了一种利用向量的证明方法，通过向量的几何性质推导出勾股定理。 2. 俄罗斯证明方法：俄罗斯数学家齐契科夫（Pavel AlekseevichShekhotakov）提出了一种精确计算勾股定理的方法，通过将三角形划分为许多小三角形，利用面积比较进行 证明。
高二数学知识点及公式总结(通用10篇)
高二数学知识点及公式总结（通用10篇） 高二数学公式总结篇一 1、不等式证明的依据 （2)不等式的性质(略） （3）重要不等式：①|a|≥0;a2≥0;(a-b)2≥0(a、b∈R) ②a2+b2≥2ab（a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号） 2、不等式的证明方法 （1）比较法：要证明ab(a0(a-b0)，这种证明不等式的方法叫做比较法。 用比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——判断符号。 （2）综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法。 （3）分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条件，直到所需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法。 证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法等。 高二数学知识点及公式总结篇二 圆与圆的位置关系 1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系； 2、过程与方法 用坐标法解决几何问题的步骤： 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论。 高二数学公式总结篇三 1、辗转相除法是用于求公约数的一种方法，这种算法由欧几里得在公元前年左右首先提出，因而又叫欧几里得算法。 2、所谓辗转相法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将较小的数和余数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时的除数就是原来两个数的公约数。 3、更相减损术是一种求两数公约数的方法。其基本过程是：对于给定的两数，用较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数就是所求的公约数。 4、秦九韶算法是一种用于计算一元二次多项式的值的方法。 5、常用的排序方法是直接插入排序和冒泡排序。 6、进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统。“满进一”，就是k进制，进制的基数是k. 7、将进制的数化为十进制数的方法是：先将进制数写成用各位上的数字与k的幂的乘积之和的形式，再按照十进制数的运算规则计算出结果。 8、将十进制数化为进制数的方法是：除k取余法。即用k连续去除该十进制数或所得的商，直到商为零为止，然后把每次所得的余数倒着排成一个数就是相应的进制数。 1、重点：理解辗转相除法与更相减损术的原理，会求两个数的公约数；理解秦九韶算
河北省衡水金卷先享题2022-2023学年高三上学期理科模拟数学试卷及答案(二)
河北省衡水金卷先享题2022-2023学年高三上学期理科模拟数学试 题（二） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知复数1z 与32i z =-在复平面内对应的点关于实轴对称，则 11i z =+（ ） A ．1i 2-- B ．1i 2- C ．5i 2 -- D ．5i 2- 2．已知集合3{Z | Z}1A x x =∈∈-，2{Z |60}B x x x =∈--≤，则A B ⋃=（ ） A ．{2} B ．}{2,0,2- C ．{}2,1,0,1,2,3,4-- D ．}{3,2,0,2,4-- 3．根据第七次全国人口普查结果，居住在城镇的人口为90199万人，占全国人口的63.9%，与第六次全国人口普查相比，城镇人口比重上升14.2个百分点．随着我国新型工业化、信息化和农业现代化的深入发展和农业转移人口市民化政策落实落地，10年来我国新型城镇化进程稳步推进，城镇化建设取得了历史性成就．如图所示的是历次全国人口普查城乡居住人口及城镇居住人口比重的统计图，根据图中信息，下列说法错误的是（ ） A ．这七次全国人口普查乡村居住人口先增加后减少 B ．城镇居住人口的比重的中位数为26.44% C ．乡村居住人口的极差不超过25000万 D ．这七次全国人口普查乡村居住人口的平均数超过城镇居住人口的平均数 4．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>经过点2P ⎫⎪⎪⎝⎭ ，且右焦点F 到其渐近线的距离为4，双曲
线C 的离心率为（ ） A ．53 B ．43 C ．54 D ．259 5．已知 cos 2sin cos ααα=+，则3πsin 4a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A B ．13 C ．D ．13 - 6．生物学家采集了一些动物体重和脉搏率对应的数据，并经过研究得到体重和脉搏率的对数型关系：ln ln ln 3 W f k =-（其中f 是脉搏率（心跳次数/min)，体重为()g W ，k 为正的常数），则体重为300g 的豚鼠和体重为8100g 的小狗的脉搏率之比为（ ） A ．32 B ．43 C ．3 D ．27 7．已知三棱锥S ABC -中，SC ⊥平面ABC ，120ABC ∠=︒，且2AB BC SC ==，D ，E 分别为SA ，BC 的中点，则异面直线DE 与AC 所成角的余弦值为（ ） A B C D 8．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法， 已知()2020201822022202042f x x x x =++++，程序框图设计的是求()0f x 的值，则在①②处应填 的执行语句是（ ） A ．20S S x =⋅，2022n i =- B ．20S S x =⋅，20222n i =- C ．0S S x =⋅，2022n i =- D ．0S S x =⋅，20222n i =- 9．已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，ABC 2b =，cos 1c a B =-，则=a （ ）
全国高二数学课时练习(2022年上半期)带参考答案与解析
全国高二数学课时练习（2022年上半期）带 参考答案与解析 选择题 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的，，依次输入的为2，2，5，则输出的（） A. 7 B. 12 C. 17 D. 34 【答案】C 【解析】
第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；结束循环，输出，选C. 解答题 某升学考试成绩公布后，考生如果认为公布的考试成绩与本人估算的成绩有误差，可以在规定的时间内申请查分： （1）本人填写《查分登记表》，交县（区）招办申请查分，县（区）招办呈交市招办，再报省招办． （2）省招办复查，无误，则查分工作结束后通知市招办；有误，则再具体认定，并改正，也在查分工作结束后通知市招办． （3）市招办接通知，再由县（区）招办通知考生． 试画出该事件的流程图． 【答案】见解析 【解析】 根据题意流程图为一直线型结构加上一个条件判断结构即可实现. 流程图如图所示：
解答题 某市环境保护局信访工作流程如下： （1）信访办受理来访，一般信访填单转办；重大信访报局长批示后转办． （2）及时转送有关部门办理、督办，如特殊情况未能按期办理完毕，批准后可延办，办理完毕后反馈． （3）信访办理情况反馈后，归档备查，定期通报． 据上画出该局信访工作的流程图． 【答案】答案见解析． 【解析】 由题意完成本流程，需要两个条件分支结构即可解决. 流程图如图所示．
解答题 设计一个结构图，来表示“推理与证明”这一章的知识结构． 【答案】见解析 【解析】 根据这一章知识体系，分推理和证明两部分，然后分别写出推理和证明所含知识结构. “推理与证明”的知识结构图如图所示： 解答题
对秦九韶算法教学的几点思考
对秦九韶算法教学的几点思考 为解决一个问题而采取的方法和步骤，称为算法.算法是数学的重要组成部分，是计算机理论和技术的基础.随着现代信息技术的飞速发展，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养，新课标已将算法列为高中数学的必修内容.根据新课标中算法的内容和要求，结合学生已有的认知结构和学习能力，本文就秦九韶算法的教学中如何既体现新课程、新理念、新课标，又注意结合旧知识，调动学生的积极性，培养学生的自主探索能力及学习兴趣提出几点思考，供交流学习. 数学是一门思维的学科，而逻辑思维能力是数学学科能力的核心，是数学的“灵魂”.在新的课程标准中，对《算法初步》加以要求和考查，是提高学生思维素质和能力的又一重要途径.但是，多数教师都没有算法的教学经验，该内容具有很大的挑战性. 我们学校使用人教A 版教材，《算法初步》一章内容的教学已经结束.还存在两个突出的问题：一是教师不注重挖掘教材中隐含的数学思想方法，对数学逻辑思维在教材中的层次性缺乏深度的思考和认识，缺乏教学的整体规划和安排.二是只注重数学思想方法结论的解析和证明，忽视了对数学思想方法的抽象、概括或探索推理的心智活动过程.其结果就是学生没有体会到对问题的探究从而形成认知的过程，更未形成建立和发展分析模式、应用模式、建构模式与鉴赏模式的能力.“知其然而不知其所以然”，不能够举一反三，欠缺站在巨人的肩头去研究、分析新的问题的能力.这无疑与数学新课标的目的是相去甚远的. 以下以秦九韶算法的教学，谈谈自己的几点思考 从一道已学过的习题出发在求解过程中引概念，并且把算法思想方法渗透在高中数学课程及其有关内容中，鼓励学生运用算法解决有关问题. 以下是教材（人教版高中《数学》必修3，第39页“秦九韶算法”中的内容 怎样求多项式5432()1f x x x x x x =+++++当x=5时的值呢？ 一个自然的做法是把5代入多项式()f x ，计算各项的值，然后把它们加起来，这时一共做了1234+++=10次乘法运算、5次加法运算. 1 逐渐渗透算法意识，为算法学习铺路 对数学概念的认识，既要呈现知识，又要使学生体会人类认识数学经历的一切，因此很多时候教材中只能看到漂亮的结论和严格的证明。由此产生的认识困难问题必须通过教师的教学加以解决.这就需要教师首先了解清楚所教的内容的发生发展过程，在教学过程中，有意识有目的的设置一些情境，从具体事例和事实中帮助学生发现、抽象、概括；并能加强自身的综合素养，这就需要教师采用数学探究性课堂教学. 思考1 对计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长的多，所以能否找到其他的做法，减少乘法的运算次数，从而提高运算效率？ 教师引导学生分析、推理：另外一种做法是先计算2x 的值，然后依次计算2x x *，2(*)*x x x ，2((*)*)*x x x x 的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果.这时，我们一共做了4次乘法运算，5次加法运算. 思考2 我们知道，这是只对求多项式5432()1f x x x x x x =+++++当x=5时的值而 言的，那么再举一例如下：求多项式543223245y x x x x x =+++++当x=2时的值？ 教师引导学生解答：利用思考1总结出来的方法，每次计算利用上一次结果.所以解决办法如下：
高一数学高中数学人教B版旧试题答案及解析
高一数学高中数学人教B版旧试题答案及解析 1.用秦九韶算法求多项式f（x）=7x5+12x4－5x3－6x2+3x－5在 x=7时的值. 【答案】144468 【解析】由已知。 ，，， ， 即多项式f（x）=7x5+12x4－5x3－6x2+3x－5在 x=7时的值是144468。 【考点】本题主要考查运用秦九韶算法求多项式的值。 点评：秦九韶算法求多项式的值是中国古代数学的辉煌成就，理清思路，细心计算。 2.下列程序运行后，a，b，c的值各等于什么？ （1）a="3" b=－5 c="8" a="b" b="c" PRINT a，b，c END （2）a=3 b=－5 c=8 a=b b=c c=a PRINT a，b，c END 【答案】根据赋值语句知道，最终（1）a=－5，b=8，c=8；（2）a=－5，b=8，c=－5. 【解析】（1）a=－5，b=8，c=8；（2）a=－5，b=8，c=－5. 【考点】本题主要考查程序语言中的赋值语句。 点评：赋值运算符右侧的值由表达式生成，而表达式则由文本、常数、变量、属性、数组元素、其他表达式或函数调用的任意组合所构成。 3.指出下列语句的错误，并改正： （1）A=B=50 （2）x=1，y=2，z=3 （3）INPUT “How old are you” x （4）INPUT ，x （5）PRINT A+B=；C （6）PRINT Good-bye! 【答案】见解析 【解析】（1）变量不能够连续赋值.可以改为 A=50 B=A （2）一个赋值语句只能给一个变量赋值.可以改为 x=1 y=2 z=3 （3）INPUT语句“提示内容”后面有个分号（；）改为INPUT “How old are you?”；x （4）INPUT语句可以省略“提示内容”部分，此时分号（；）也省略，也不能有其他符号.改为INPUT x （5）PRINT语句“提示内容”部分要加引号（“”）.改为PRINT “A+B=”；C （6）PRINT语句可以没有表达式部分，但提示内容必须加引号（“”）.改为 PRINT “Good-bye！”
2016年高考真题——数学理(四川卷)(正式版) 含解析
2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数学（理工类) 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。 1.【题设】设集合,Z为整数集,则中元素的个数是 （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 【答案】C 【解析】 试题分析：由题意，，故其中的元素个数为5，选C。考点:集合中交集的运算。 2。【题设】设i为虚数单位,则的展开式中含x4的项为（A)－15x4（B）15x4（C）－20i x4（D）20i x4 【答案】A 考点：二项展开式，复数的运算. 3。【题设】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点 （A）向左平行移动个单位长度（B）向右平行移动个单位长度 （C）向左平行移动个单位长度（D）向右平行移动个单位长度
【答案】D 【解析】 试题分析:由题意，为得到函数,只需把函数 的图像上所有点向右移个单位,故选D。 考点:三角函数图像的平移。 4。【题设】用数字1，2,3,4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 (A)24 （B）48 （C)60 （D)72 【答案】D 【解析】 试题分析：由题意，要组成没有重复的五位奇数,则个位数应该为1、3、5,其他位置共有，所以其中奇数的个数为，故选D。学科。网 考点：排列、组合 5. 【题设】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入。若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 （参考数据:lg 1.12≈0。05,lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30） （A）2018年（B）2019年（C）2020年（D）2021年【答案】B
第25讲 数学文化性问题-2019年中考数学总复习(解析版)
2019年中考数学总复习 专题25 数学文化性问题 【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破； 数学文化指数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展。数学作为一种文化现象，早已是人们的常识。在近几年的中考中，以数学文化为载体的数学题越来越多，只要我们平时注意积累和了解这方面的常识，解题时注意审题，实现载体与考点的有效转化，透过现象看本质，问题便可迎刃而解． 此类问题涉及到古代数学名著中关于数学计算的典例事例分析，或者典型问题展示，也会涉及到古代著名数学家提出的相关问题，首先理解问题内容，再转化为数学语言进行解答即可，难度一般不大。 主要类型有以科技或数学时事为题材、以数学名著为题材、以数学名人为题材. 【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题； 【原创】《河妇荡杯》是《孙子算经》中著名的趣题之一。原题是：妇女河上荡杯，津吏问“杯何以多？” 妇人曰：“有客。”津吏曰：“客几何？” 妇人曰：“两人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五。不知客几何？” 大意为：一个妇女在河边洗碗，河官问：“洗多少碗？有多少客？”妇女答：“洗65 只碗，客人二人共用一只饭碗，三人共用一只汤碗，四人共用一只肉碗。你说有多少客人用餐？” 【解析】根据题意，要想知道一共有多少人用餐，只要知道每一位客人用掉的碗数就可以了，显然，每一 位客人用去的碗的数量是：饭碗1 2 、汤碗 1 3 、肉碗 1 4 ，据此，可以列出方程得： 例如：设来了x位客人，根据题意：1 2 x+ 1 3 x+ 1 4 x=65 ； 13 12 x=65；x=60 答：有60位客人用餐. 【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三； 【例题1】《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九2x＝﹣6章算术》中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？” 译文：“假设有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱； 如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：有几个人共同出钱买鸡？鸡的价钱是多少？” 设有x个人共同买鸡，根据题意列一元一次方程，正确的是（）
黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
鹤岗一中2018-2019学年度上学期期末考试 高二数学试卷（理科） 一、单选题。 1.命题“，使”的否定为（） A. ，使 B. ，使 C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 因为命题“”的否定为“”,所以命题“，使”的否定为，，选D. 点睛：1.命题的否定与否命题区别 “否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论. 2命题的否定的注意点(1)注意命题是全称命题还是存在性命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；(3)注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，且”的否定为“或”. 2. “a＞0”是“|a|＞0”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 试题分析：本题主要是命题关系的理解，结合|a|＞0就是{a|a≠0}，利用充要条件的概念与集合的关系即可判断． 解：∵a＞0⇒|a|＞0，|a|＞0⇒a＞0或a＜0即|a|＞0不能推出a＞0， ∴a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件 故选A 考点：必要条件． 3.有50件产品，编号为0，1，2，…，49，现从中抽取5个进行检验，用系统抽样的方法抽取样本的编号可以为( ) A. 5，10，15，20，25 B. 5，13，21，29，37 C. 8，22，23，1，20 D. 1，11，21，31，41
【解析】 试题分析：系统抽样首先按照一定顺序分成5组每组10个个体，在每组中抽取样本抽取的样本间隔为10；所以选D. 考点：系统抽样. 4.已知x、y的取值如下表所示： 若从散点图分析，y与x线性相关，且，则的值等于（） A. 2.6 B. 6.3 C. 2 D. 4.5 【答案】A 【解析】 试题分析：若与线性相关，则样本点中心必在回归直线上，由表中数据，， ，将点代入回归方程，得，解得，故选A． 考点：线性回归方程中，样本点中心在回归直线上． 5.与二进制数相等的十进制数是（） A. 6 B. 7 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 由题意，110（2）=1×22+1×21+0×20=6，故选A． 6.下列说法中，正确的是（） A. 数据5,4,4,3,5,2的众数是4 B. 一组数据的标准差是这组数据的方差的平方 C. 数据2,3,4,5的标准差是数据4,6,8,10的标准差的一半 D. 频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数 【答案】C 【解析】 试题分析：A选项众数为4、5；B选项应该是方差是标准差的平方；C正确；D选项频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频率.
2021年沈阳市大东区高考数学一模试卷(文科)含答案解析
2021年辽宁省沈阳市大东区高考数学一模试卷〔文科〕 一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 1．设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2＞0}，那么M∩〔∁R N〕=〔〕 A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2} 2．a为正实数，i为虚数单位，，那么a=〔〕 A．2 B．C．D．1 3．向量，，那么3|=〔〕 A．83 B．63 C．57 D．23 4．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，假设a1=2a8﹣3a4，那么=〔〕 A．B．C．D． 5．如图是秦九韶算法的一个程序框图，那么输出的S为〔〕 A．a1+x0〔a3+x0〔a0+a2x0〕〕的值B．a3+x0〔a2+x0〔a1+a0x0〕〕的值 C．a0+x0〔a1+x0〔a2+a3x0〕〕的值D．a2+x0〔a0+x0〔a3+a1x0〕〕的值 6．如图〔1〕，将水平放置且边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使C到C′位置．折叠后三棱锥C′﹣ABD的俯视图如图〔2〕所示，那么其主视图是〔〕
A．等边三角形B．直角三角形 C．两腰长都为的等腰三角形D．两腰长都为的等腰三角形 7．设变量x，y满足约束条件，那么目标函数z=3x﹣4y的取值范围是〔〕 A．[﹣11，3〕B．[﹣11，3]C．〔﹣11，3〕D．〔﹣11，3] 8．x、y取值如表： x 0 1 4 5 6 8 y 1 3 5 6 7 8 从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且=bx+0.6，那么b=〔〕 A．0.95 B．1.00 C．1.10 D．1.15 9．设函数f〔x〕=，假设f〔x〕的值域为R，那么实数a的 取值范围是〔〕 A．〔﹣∞，﹣1]∪[2，+∞〕B．[﹣1，2] C．〔﹣∞，﹣2]∪[1，+∞〕D．[﹣2，1] 10．一个正四棱柱的顶点均在半径为1的球面上，当正四棱柱的侧面积取得最大值时，正四棱柱的底面边长为〔〕 A．B．C．D．1 11．设函数f〔x〕=e x+x﹣2，g〔x〕=lnx+x2﹣3，假设实数a，b满足f〔a〕=0，g〔b〕=0，那么〔〕 A．0＜g〔a〕＜f〔b〕B．f〔b〕＜g〔a〕＜0 C．f〔b〕＜0＜g〔a〕D．g〔a〕＜0＜f〔b〕12．F1、F2分别是双曲线C：=1〔a＞0，b＞0〕的左、右焦点，过点F1的直线 与双曲线C的左、右两支分别交于P、Q两点，|F1P|、|F2P|、|F1Q|成等差数列，且∠ F1PF2=120°，那么双曲线C的离心率是〔〕 A．B．C．D． 二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在答题纸中横线上．13．过原点向圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0引切线，那么切线方程为． 14．在△ABC中，AC=AB=4，BC=6，假设点M在△ABC的三边上移动，那么线段AM的长度不小于的概率为． 15．假设，那么=． 16．{a n}为各项为正数的等比数列，其中S5=3，S15=21，那么S20=． 三、解答题：本大题共5小题，共70分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且〔a+b+c〕〔a+b﹣c〕=3ab．
重庆市北碚区2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题(含解析)
重庆市北碚区2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题（含解析） 一、选择题。 1.已知集合{|25}A x x =-≤≤，{|121}B x m x m =+≤≤-若B A ⊆，则实数m 的取值范围为（ ） A. 3m ≤ B. 23m ≤≤ C. 2m ≥ D. m 3≥ 【答案】A 【解析】 【分析】 将B 集合分为空集和非空集两种情况进行计算得到答案. 【详解】解：当B 为空集时，121m m +>-，可得2m < 当B 不是空集时，2m ≥且12 215m m +≥-⎧⎨-≤⎩ ，可得23m ≤≤ 所以：3m ≤ 故选：A ． 【点睛】本题考查集合的包含关系判断及应用，考查学生分析问题解决问题的能力． 2.若直线220(0,0)ax by a b -+=>>被圆22 2410x y x y ++-+=截得弦长为4，则 41 a b +的最小值是（ ） A. 9 B. 4 C. 1 2 D. 14 【答案】A 【解析】 圆2 2 x y 2x 4y 10++-+=的标准方程为：（x+1）2+（y ﹣2）2 =4， 它表示以（﹣1，2）为圆心、半径等于2的圆； 设弦心距为d ，由题意可得 22+d 2=4，求得d=0， 可得直线经过圆心，故有﹣2a ﹣2b+2=0， 即a+b=1，再由a ＞0，b ＞0，可得
41a b +=（41a b + ）（a+b ）=5+4b a a b + 9= 当且仅当 4b a =a b 时取等号，∴41 a b +的最小值是9． 故选：A ． 点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值. 3.若函数()1sin 2sin 3 f x x x a x =-+在R 上单调递增，则a 的 取值范围是( ) A. []1,1- B. 11,3 ⎡⎤-⎢⎥⎣ ⎦ C. 11,33 ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. 11,3⎡ ⎤--⎢⎥⎣⎦ 【答案】C 【解析】 试题分析：()2 1cos 2cos 03 f x x a x =- +'对x R ∈恒成立， 故() 2212cos 1cos 03x a x --+，即245cos cos 033a x x -+恒成立， 即245033t at -++ 对[]1,1t ∈-恒成立，构造()245 33 f t t at =-++，开口向下的二次函数()f t 的最小值的可能值为端点值，故只需保证()()1 10 3 {110 3 f a f a -=-=+，解得1133a -．故选C ． 【考点】三角变换及导数的应用 【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解的关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,即注意正、余弦函数的有界性.
山西省长治市2019-2020学年高三上学期九月份统一联考数学(理)试题(解析版)
长治市2019年高三年级九月份统一联考 数学试题（理科） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置。 3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.本试题满分150分，考试时间120分钟。 5.考试范围：高考全部内容。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A. {|0}A B x x =< B. A B R = C. {|1}A B x x => D. A B =∅ 【答案】A 【解析】 ∵集合{|31}x B x =< ∴{}|0B x x =< ∵集合{|1}A x x =< ∴{}|0A B x x ⋂=<，{}|1A B x x ⋃=< 故选A 2.已知i 为虚数单位，若 1 i(,)1i a b a b =+∈-R ，则b a =（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2
【答案】C 【解析】 【分析】 根据复数的除法运算得到 1112i a bi i +==+-，再由复数相等的概念得到参数值，进而得到结果. 【详解】i 为虚数单位，若1(,)1a bi a b R i =+∈-，1112 i a bi i +==+- 根据复数相等得到1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ .121()22b a == 故答案为：C. 【点睛】这个题目考查了复数除法运算，以及复数相等的概念，复数a bi +与i c d +相等的充要条件是a c =且b d =．复数相等的充要条件是化复为实的主要依据，多用来求解参数的值或取值范围．步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解． 3.已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a c b << B. a b c << C. b c a << D. c a b << 【答案】A 【解析】 【分析】 利用1 0,,12 等中间值区分各个数值的大小。 【详解】551log 2log 2 a =<< ， 0.50.5log 0.2log 0.252b =>=， 10.200.50.50.5<<，故 1 12 c <<， 所以a c b <<。
【助力高考】2019年高考数学专题复习第74讲《算法与程序框图》(含详细答案和教师用书)
♦♦♦学生用书（后跟详细参考答案和教师用书）♦♦♦ 把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！ 【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料 第十三章 推理与证明、算法、复数 第74讲 算法与程序框图 ★★★核心知识回顾★★★ 知识点一、算法与程序框图 (1)算法 ①算法通常是指按照 解决某一类问题的明确和有限的步骤． ②应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题． (2)程序框图 定义：程序框图又称流程图，是一种用 、 及文字说明来表示算法的图形． 知识点二、三种基本逻辑结构 知识点三、算法语句 (1)输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能
(2)条件语句 ①程序框图中的与条件语句相对应． ②条件语句的格式 a．IF—THEN格式 b．IF—THEN—ELSE格式 (3)循环语句 ①程序框图中的与循环语句相对应． ②循环语句的格式 a．UNTIL语句 b．WHILE语句
★★★高考典例剖析★★★ 考点一、算法的基本结构 例1： (2018·新余模拟)执行如图所示的程序框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n 等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 答案 C 解析 执行程序： S ＝12，m ＝1 4，n ＝1，S >t ； S ＝14，m ＝1 8，n ＝2，S >t ； S ＝18，m ＝1 16，n ＝3，S >t ； S ＝116，m ＝1 32，n ＝4，S >t ； S ＝132，m ＝1 64，n ＝5，S >t ； S ＝164，m ＝1 128，n ＝6，S >t ； S ＝1128，m ＝1 256 ，n ＝7， 此时S >t 不成立，退出循环，n ＝7.故选C.