第三章__多维随机变量及其分布总结

第三章 多维随机变量及其分布

第一节 二维随机变量

一、二维随机变量的分布函数

设E 是一个随机试验, 它的样本空间是S . 设X 、Y 是定义在S 上的随机变量, 则由它们构成的一个向量(X , Y )称为二维随机向量或二维随机变量.

一般地, (X , Y )的性质不仅与X 有关, 与Y 有关, 而且还依赖于X 、Y 的相互关系, 因此必须把(X , Y )作为一个整体来研究.

首先引入(X , Y )的分布函数的概念.

定义 设(X , Y )为二维随机变量, 对于任意实数x 、y , 二元函数

F (x , y ) = P {(X ≤ x )∩(Y ≤ y )}= P {X ≤ x , Y ≤ y }

称为二维随机变量(X , Y )的分布函数, 或称为随机变量X 和y 的联合分布函数.

分布函数F (x , y )表示事件(X ≤ x )与事件(Y ≤ y )同时发生的概率. 如果把(X , Y )看成平面上具有随机坐标(X , Y )的点, 则分布函数F (x , y )在(x , y )处的函数值就是随机点(X , Y )落在平面上的以(x , y )为顶点而位于该点左下方的无限矩形内的概率..

由上面的几何解释, 容易得到随机点(X , Y )落在矩形区域{x 1 < X ≤ x 2, y 1 < Y ≤ y 2}的概率为

P {x 1 < X ≤ x 2, y 1 < Y ≤ y 2} = F (x 2, y 2) - F (x 2, y 1) - F (x 1, y 2) + F (x 1, y 1)

(1)

与二元函数类似, 二元分布函数F (x , y )也具有如下一些性质:

1? F (x , y )是变量x 和y 的单调不减函数, 即当x 1 < x 2时, F (x 1, y ) ≤ F (x 2, y ); 当y 1 < y 2时, F (x , y 1) ≤ F (x , y 2). 2? 0 ≤ F (x , y ) ≤ 1, 且F (-∞, y ) = 0, F (x , -∞) = 0, F (-∞,-∞) = 0, F (+∞,+∞) = 1.（凡含-∞的概率分布为0） 3? F (x , y )关于x 和y 都是右连续的, 即F (x + 0, y ) = F (x , y ), F (x , y + 0) = F (x , y ).

4? 对任意的(x 1, y 1)、(x 2, y 2), x 1 < x 2, y 1 < y 2, 有F (x 2, y 2) - F (x 2, y 1) - F (x 1, y 2) + F (x 1, y 1) ≥ 0.

注: 二元分布函数具有性质1?~ 4?, 其逆也成立(2?中0 ≤ F (x , y ) ≤ 1可去), 即若二元实值函数F (x , y )(x ∈ R , y ∈ R )满足1?~ 4?, 则F (x , y )必是某二维随机变量的(X , Y )的分布函数. 其中4?是必不可少的, 即它不能由1?~ 3?推出(除去0 ≤ F (x , y ) ≤ 1). 二、二维离散型随机变量

如果二维随机变量(X , Y )的所有可能取的值是有限对或可列无限多对, 则称(X , Y )是二维离散型随机变量.

设二维离散型随机变量(X , Y )所有可能取的值为(x i , y j ) (i , j = 1, 2, 3, …). 记P {X = x i , Y = y j } = p ij (i , j = 1, 2, 3, …)则由概率定义有 p ij ≥ 0;

111

=∑∑∞=∞

=i j ij

p

.

我们称P {X = x i , Y = y j } = p ij (i , j = 1, 2, 3, …)为二维离散型随机变量(X , Y )的分布律(概率分布)或随机变量X 和Y 的联合分布律, (X , Y )的分布律也可用表格表示. 其分布函数为

=

),(y x F ∑∑≤≤==x x y

y j i

i j y

Y x X P },{=

∑∑≤≤x x y

y ij

i j p

这里

∑∑

≤≤x x y

y i j 表示对一切x i ≤ x , y j ≤ y 的那些指标i 、j 求和.

例1 一个口袋中有三个球, 依次标有1、2、2, 从中任取一个, 不放回袋中, 再任取一个. 设每次取球时, 各球被取到的可能性相等, 以X 、Y 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字, 求X 、Y 的联合分布律与分布函数..

解: (X , Y )的可能取值为(1, 2)、(2, 1)、(2, 2). P {X = 1, Y = 2}= P {X = 1}P {Y = 2 / X = 1}=

3

12231=?.

同理, 有 P {X = 2, Y = 1}=31 , P {X = 2, Y = 2}=3

1. 即(X , Y )的分布律如右表所示.

当x < 1, 或y < 1时, F {x , y } = 0; 当1 ≤ x < 2, 1 ≤ y <2时, F {x , y } = 0;

当1 ≤ x < 2, y ≥ 2时, F {x , y } = =+1211p p 31; 当x ≥ 2, 1 ≤ y <2时, F {x , y } ==+2111p p 3

1; 当x ≥ 2, y ≥ 2时, F {x , y } = 1.

所以, (X , Y )的分布函数为???

?

??

?

??>>??

?<≤≥???≥<≤???<≤<≤<<=.2,2,

1,21,

22,21,31,21,

2111,0),(y x y x y x y x y x y x F 或或或 三、二维连续型随机变量

设二维随机变量(X , Y )的分布函数为F {x , y }, 若存在非负函数f (x , y ), 使对任意的x 、y 有

??

∞

-∞

-=

y x dudv v u f y x F ),(),(，

则称(X , Y )为连续型的二维随机变量, f (x , y )称为二维连续型随机变量(X , Y )的概率密度, 或称随机变量X 、Y 的联合概率密度.

概率密度f (x , y )具有以下性质: 1? f (x , y ) ≥ 0; 2?

1),(),(=+∞+∞=??

∞+∞

-∞+∞

-F dxdy y x f

3? 若f (x , y )在点(x , y )处连续, 则有

),()

,(2y x f y

x y x F =??? 4? 设G 是xOy 平面上的一个区域, 则点(X , Y )落在G 内的概率为??=

∈G

dxdy y x f G Y X P ),(}),{( (2)

例2 设二维连续型随机变量(X , Y )的概率密度为?

??>>=+-.,0,

0,0,2),()(其它y x Ae y x f y x

求: (1) 系数A ; (2) 分布函数F (x , y ); (3) 概率P {(X , Y )∈D }, 其中D : x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1.

解: (1) 由

1),(=??

∞+∞

-∞+∞

-dxdy y x f , 得2

1

=

A . (2) ??

∞

-∞

-+-=

y

x

y x dxdy e y x F )

(),(=?????>>??

+-,,0,0,0,00

)(其它y x dxdy e y

x

y x =???>>----.,0,

0,0),1)(1(其它y x e e y x (3) e

dxdy e e dx

dxdy y x f Y X P x

y x D

2

1),()},{(10

10

-

==

=

?

???

---. 例3 设二维连续型随机变量(X , Y )的概率密度为?????≤≤≤≤+=,,

0,

20,10,3

),(2其它y x xy x y x f , 求P {Y ≥ X }.

解: P {Y ≥ X }=

24

17

)3(),(221

=

+

=

?

???

≤x

x

y dy xy x dx

dxdy y x f . 以上关于二维随机变量的讨论, 不难推广到n (n > 2)维随机变量的情形. 一般地, 设E 是一个随机试验,

它的样本空间为S , 设X 1、X 2、…、X n 是定义在S 上的随机变量, 则由它们构成的一个n 维向量(X 1, X 2, …, X n )称为n 维随机向量或n 维随机变量.

对任意n 个实数x 1、x 2、…、x n , n 元函数F (x 1, x 2, …, x n ) = P {X 1 ≤ x 1, X 2 ≤ x 2, …, X n ≤ x n }称为n 维随机变量(X 1, X 2, …, X n )的分布函数或随机变量(X 1, X 2, …, X n )的联合分布函数, 它具有与二元分布函数类似的性质.

第二节 边 缘 分 布

设(X , Y )是二维随机变量, 其分布函数为F (x , y ), 事件{X ≤ x }即为{ X ≤ x , Y < +∞}, 从而由(X , Y )的分布函数可定出X 的分布函数, 记为F X (x ).

F X (x ) = P {X ≤ x } = P { X ≤ x , Y < +∞} = F (x , +∞)=),(lim y x F y +∞

→.

我们称F X (x )为关于X 的边缘分布函数. 类似的可定义关于Y 的边缘分布函数为

F Y (y ) = P {Y ≤ y } = P {X < +∞, Y ≤ y }= F (+∞, y ) = ),(lim y x F x +∞

→.

一、离散型

设(X , Y )为二维离散型随机变量, 其分布律为P {X = x i , Y = y j } = p ij (i , j = 1, 2, 3, …), 则

∑∑≤∞

==

+∞=x x j ij

X i p

x F x F 1

),()(, ∑∑≤∞

==

+∞=y y i ij

Y i p

y F y F 1

),()(.

从而X 与Y 的分布律分别为 ∑∞

==

=1

}{j ij

i p

x X P , i = 1, 2, …; ∑∞

==

=1}{i ij

j p

y Y P , j = 1, 2, …;

记

=?i p ∑∞

==

=1

}{j ij

i p

x X P , i = 1, 2, …;

=?j p ∑∞

==

=1

}{i ij

j p

y Y P , j = 1, 2, ….

分别称p i ?和p ? j 为(X , Y )关于X 与Y 的边缘分布律.

注: 1? 边缘分布律具有一维分布律的一般性质. 2? 联合分布律唯一决定边缘分布律, 反之不然. 二、连续型

设二维连续型随机变量(X , Y )的概率密度为f (x , y ), 由

??

∞

-∞+∞

-=

+∞=x

X dx dy y x f x F x F ]),([

),()(;

??

∞

-∞+∞

-=

+∞=y

Y dy dx y x f y F y F ]),([

),()(.

知X 与Y 都是连续型随机变量. 它们的概率密度分别为

?

∞+∞

-=

dy y x f x f X ),()(;

?

∞+∞

-=

dx y x f y f Y ),()(.

称f X (x )与f Y (y )分别为(X , Y )关于X 与Y 的边缘概率密度.

例2 设D 是平面上的有界区域, 其面积为A , 若二维随机变量(X , Y )的概率密度为

?????∈=,,

0,

),(,1

),(其它D y x A

y x f 则称(X , Y )在D 上服从均匀分布.

现(X , Y )在以原点为中心、1为半径的圆域上服从均匀分布, 求边缘概率密度.

解: 由

1),(=??

∞+∞

-∞+∞

-dxdy y x f , 得A = π.

当|x | < 1时, ?

∞+∞

-=

dy y x f x f X ),()(21112

1

22

x dy x x

-=

=

?

---π

π

; 当|x | ≥ 1时, f X (x ) = 0, 即

???

??≥<-=.1,0,

1,12

)(2x x x x f X π

同理可得, ???

??≥<-=.

1,0,1,12

)(2y y y y f Y π

例3 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为

??

?

???????????????-+------?-=

2

2222121212122

21)())((2)()1(21exp 121

),(σμσσμμρσμρρσπσy y x x y x f ???

? ??+∞<<∞-+∞<<∞-y x . 其中μ1、μ2、σ1、σ2、ρ 都是常数, 且σ1 > 0, σ2 > 0, -1 < ρ < 1. 我们称(X , Y )为服从参数为μ1、μ2、σ1、σ2、

ρ的二维正态分布, 试求二维正态随机变量的边缘概率密度.

解: 令m = ???

???-+----2

22221212121)())((2)(σμσσμμρσμy y x x

2

12

12

12

12

2

12

12

2

1212

2

2

2)()()()

)((2)(σμσμρ

σμρ

σσμμρ

σμ-+

---+----=

x x x y x y

2

12

122

112

2)()1(σμρσμρσμ--+??????---=x x y . 所以, ?

∞+∞

-=

dy y x f x f X ),()(=

?

∞+∞

----dy e m )

1(22

212121

ρρ

σπσ

?

∞+∞

-???

???--------=

dy e

e

x y x 2

112

222

1

2

1)1(21

2)(2

21121

σμρσμρσμρ

σπσ.

令????

??----=

1122211

σμρσμρx y t , 则dt dy 221σρ?-=, 从而, 222

22)1(21

1212

2

112

2ρσπσρσμρσμρ-=?-=

?

?

∞+∞

--

∞+∞

-???

???-----dt e

dy e t x y .

所以, 21

2

12)(1

21)(σμσπ--

=

x X e

x f (+∞<<-∞x ). 同理可得, 22

2

22)(2

21)(σμσπ--=

y Y e y f (+∞<<-∞y ).

表明, ),(~211σμN X , ),(~2

22σμN Y .

此例说明, 二维正态随机变量(X , Y )中的X 、Y 都服从正态分布, 并且与参数ρ 无关. 所以对于确定的μ1、μ2、σ1、σ2而取不同的ρ, 对应了不同的二维正态分布, 但是其中每个随机变量都分别服从相同的正态分布. 因此, 仅由关于X 和Y 的边缘概率密度(分布), 一般不能确定X 和Y 的联合概率密度(分布).

第四节 相互独立的随机变量

我们知道, 两事件A 、B 相互独立的充要条件是 P (AB ) = P (A )P (B )

由此我们引进随机变量相互独立的定义.

定义 设F (x , y )及F X (x )、F Y (y )分别是二维随机变量(X , Y )的分布函数及边缘分布函数, 若对于所有的x 、y , 有 P {X ≤ x , Y ≤ y } = P {X ≤ x } P {Y ≤ y }, 即F (x , y ) = F X (x )F Y (y ) (1) 则称随机变量X 和Y 是相互独立的.

可见, 在随机变量X 和Y 相互独立的情况下, 由关于X 和Y 的边缘分布函数就唯一地确定(X , Y )的联合分布函数, 而且还可推得

}{},{}/{x X P x X y Y P x X y Y P ==≤=

=≤}

{},{lim 0x x X x P x x X x y Y P x ?+≤≤?+≤≤≤=→?),(),()

,(),(lim 0+∞-+∞?+-?+=→?x F x x F y x F y x x F x )()()()()()()()(lim

0+∞-+∞?+-?+=→?Y X Y X Y X Y X x F x F F x x F y F x F y F x x F )()()

()]()([lim 0x F x x F y F x F x x F X

X Y X X x -?+-?+=→?= F Y (y ) = P {Y ≤ y }.

这就是说在X 和Y 相互独立的情况下条件分布与边缘分布相同, 即条件分布化成了无条件分布. 一、离散型

设二维离散型随机变量(X , Y )的联合分布律为

P {X = x i , Y = y j } = p ij (i , j = 1, 2, 3, …),

(X , Y )关于X 和关于Y 的边缘分布律分别为

=?i p ∑∞

==

=1

}{j ij

i p

x X P , i = 1, 2, …;

=?j p ∑∞

==

=1

}{i ij

j p

y Y P , j = 1, 2, ….

则X 和Y 相互独立的充要条件是

P {X = x i , Y = y j } = P {X = x i } P {Y = y j }, 即p ij =?i p j p ?

(2)

二、连续型

设二维连续型随机变量(X , Y )的联合概率密度为f (x , y ), 关于X 和Y 的边缘概率密度为f X (x )和f Y (y ), 则X

和Y 相互独立的充要条件是等式 f (x , y ) = f X (x ) f Y (y ) (3) 几乎处处成立.

例3 设(X , Y )服从二维正态分布, 即其联合概率密度为

??

?

???????????????-+------?-=

2

2222121212122

21)())((2)()1(21exp 121

),(σμσσμμρσμρρσπσy y x x y x f ???

? ??+∞<<∞-+∞<<∞-y x . 证明: X 和Y 相互独立的充要条件是ρ = 0.

例4 若(X , Y )的联合概率密度为???≥≥=+-,,

0,

0,0,),()(其它y x e y x f y x 则X 和Y 相互独立.

证: 显然???≥=-,,0,0,)(其它x e x f x X ???≥=-,

,0,

0,)(其它y e y f y Y 故有f (x , y ) = f X (x ) f Y (y ). 从而X 和Y 相互独立.

例5 设X 与Y 是两个相互独立的随机变量, X 在[0, 0.2]上服从均匀分布, Y 的概率密度为

?

?

?≥=-,,0,

0,5)(5其它y e x f y Y

试求: (1) X 与Y 的联合概率密度; (2) P {Y ≤ X }.

解: (1) 由已知条件, 得?

?

?≤≤=,,0,

2.00,5)(其它x x f X 从而得X 与Y 的联合概率密度为

?

?

?≥≤≤=-.,00

,2.00,25),(5其它y x e y x f y (2) P {Y ≤ X }= P {Y - X }??≥-=

),(y x dxdy y x f ,积分区域如图, 化成二次积分后得

??

≈=??

?

???

=

≤-2.00

10

3679.0),(}{e dx dy y x f X Y P x .

以上关于二维随机变量的一些概念, 很容易推广到n 维随机变量的情形.

设n 维随机变量(X 1, X 2, …, X n )的联合分布函数为F (x 1, x 2, …, x n ), 若存在非负函数f (x 1, x 2, …, x n ), 使得对于任意实数x 1、x 2、…、x n , 有

F (x 1, x 2, …, x n ) =

??

?

∞

-∞

-∞

--n n x x x n n dx dx dx x x x f 112121),,,(

,

则称f (x 1, x 2, …, x n )为n 维随机变量(X 1, X 2, …, X n )的联合概率密度.

称),,,()(111+∞+∞= x F x F X , ),,,,(),(2121,21+∞+∞= x x F x x F X X , …为关于X 1, (X 1, X 2), …的边缘分布函数, ??

?

∞+∞

-∞+∞

-∞+∞-=

n n X dx dx dx x x x f x f

32211),,,()(1,

??

?

∞

+∞

-∞+∞

-∞+∞

-=

n n X X dx dx dx x x x f x x f

432121,),,,(),(21, …

为关于X 1, (X 1, X 2), …的边缘概率密度.

若对于所有的x 1、x 2、…、x n , 有F (x 1, x 2, …, x n ))()()(2121n X X X x F x F x F n =, 则称X 1, X 2, …, X n 是相互独立的, 对离散型即连续型随机变量, 也有类似的结论. 若对于所有的x 1、x 2、…、x m ; y 1、y 2、…、y n , 有

F (x 1, x 2, …, x m ; y 1, y 2, …, y n ) = F 1 (x 1, x 2, …, x m ) F 2 (y 1, y 2, …, y n )

其中F 1、F 2和F 依次为(X 1, X 2, …, X m )、(Y 1, Y 2, …, Y n )和(X 1, X 2, …, X m ; Y 1, Y 2, …, Y n )的分布函数, 则称随机变量(X 1, X 2, …, X m )和(Y 1, Y 2, …, Y n )是相互独立的.

定理 设随机变量(X 1, X 2, …, X m )和(Y 1, Y 2, …, Y n )相互独立, 则X i (i = 1, 2, …, m )与Y j (j = 1, 2, …, n )相互独立. 又若h 、g 是连续函数, 则h (X 1, X 2, …, X m )和g (Y 1, Y 2, …, Y n )也相互独立.

第三节、条件分布

离散型：在已知X=x i 的条件下，Y 取值的条件分布为；

?=

==i ij i j p p x X y Y P )|( 在已知Y=y j 的条件下，X 取值的条件分布为,)|(j

ij j i p p y Y x X P ?=

==

连续型：在已知Y=y 的条件下，X 的条件分布密度为)()

,()|(y f y x f y x f Y =

；

在已知X=x 的条件下，Y 的条件分布密度为)

()

,()|(x f y x f x y f X =

例3.9： 设二维连续型随机变量（X ，Y ）在区域D 上服从均匀分布，其中

},1||,1|:|),{(≤-≤+=y x y x y x D 求X 的边缘密度()X f x 和X 的边缘密度()Y f y

解：1,(,)2

0,.

D

f x y ??=???其他

11111

1,10;21

()(,)1,01;20,.x x x X x dy x x f x f x y dy dy x x +--+∞

+-∞

-?=+-<

?===-<

??

?－其他

例3.10 设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X 服从泊松分布()P λ，每个顾客购买某种商品的概率为p ，并且每个顾客是否购买某种商品相互独立，求进入商店的顾客购买该种商品的人数Y 的分布列。

解：X 的分布为(),0,1,2,!

m e P X m m m λ

λ-=== ，由题意知，在X m =的条件下，Y 的条件分

布的是二项分布，

即 ()(1),0,1,2,,.k

k

m k

m P Y k X m C p p k m -===-=

从而由全概率公式有 ()()()m k

P Y k P X m P Y k X m +∞

===

===∑

1(1)

(1)!

!()!

m m k k m k

k m k m

m k

m k e C p p p e p m k m k λ

λλλ-+∞

+∞---===-=--∑

∑[](1)(1)111(1)!()!!()!!m k

m k k k m k

k k k k p m k m k p p e p p e p e e k m k k m k k λλλλλλλλλ--+∞+∞-----==-=-==--∑∑ ＝

(),0,1,2,!

k p

p e k k λλ-= 即Y 服从泊松分布()P p λ。 例3.11 设(,)X Y 服从{}22

(,):1G x y x y =+≤上的均匀分布，求给定Y y =条件下X 的条件密度函

数()f x y .

解：22

1,1;11;(,) ()0,.0,.Y x y y p x y p y π??+≤-≤≤??==??????

，其他其他 (,)()()0,.

Y x p x y p x y p y ≤==?其他 注：在给定Y 的具体某个取值时，X 的条件分布也是均匀分布。