第三章-多维随机变量及其分布--习题
第三章 多维随机变量及其分布 习题1
§3.1 二维随机变量的概率分布
一、填空题
1. 设（Y X ,）的分布函数为 ??
?≥≥+--=----其它，
，，），（ 00
03331y x y x F y x y x ，则 （Y X ,）的联合概率密度),(y x f = ；
2设随机变量(Y X ,)的分布函数为 )3
(2(y arctg C x
arctg B A y x F ++=）），（, 则A = ,
B = ,
C = ，(0≠A )；
3. 用),(Y X 的联合分布函数),(y x F 表示概率),(c Y b X a P ≤≤<= ),(),(c a F c b F -；
4.设),(Y X 在区域G 上服从均匀分布，G 为y x =及2
y x =所围成的区域，),(Y X 的概率密度为
5. 设 (Y X ,) 联合密度为??
??
?>>=--其它，），（ ,00 ,0y x Ae
y x f y
x ，则系数A = ； 6. 设二维随机变量(Y X ,)的联合概率密度为()4,01,01
,0,
xy x y f x y <<<
则{}P X Y == ；
7.设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为()22,1,
,0,.cx y x y f x y ?≤≤=??
其它，则c= 。
二、选择题
1．考虑抛掷一枚硬币和一颗骰子，用X 表示抛掷硬币出现正面的次数，Y 表示抛掷骰子出现的点数，则(,)X Y 所有可能取的值为 ( )
（A ）12对； （B ） 6对； （C ） 8对； （D ） 4对. 2．设二维随机向量（X ，Y ）的概率密度为
1,01,01,
(,)0,x y f x y ≤≤≤≤?=?
?
其它， 则概率(0.5,0.6)P X Y <<= ( )
（A ）0.5； （B ） 0.3； （C ） 0.875； （D ） 0.4.
3. 设）
（）与（x F x F 21分别为随机变量1X 和2X 的分布函数, 为使）（）（x bF x aF x F 21)(-=是某
一随机变量X 的分布函数, 在下列给定的各组数值中应取（ ）
32221313
() ; (B) ; (C) ; (D) .55332222
A a b a b a b a b ==-===-===-，，，，
4. 设随机变量i X 的分布律为
(1 2)i =，,满足====)(,1)0(2121X X P X X P 则(A)
(A) 0; (B) 1/4; (C) 1/2; (D) 1.
5. 如下四个二元函数中哪个可以作为连续型随机变量的联合概率密度函数（ ）
（A ）()cos ,,01,
,22
0x x y f x y ππ?
-≤≤≤≤?=???其它 （B ）()1cos ,,0,
,2220
x x y f x y ππ?
-≤≤≤≤?=???其它
（C ）()cos ,0,01,
,0
x x y f x y π≤≤≤≤?=?
?其它
（D ）()1cos ,0,0,,20
x x y f x y π?
≤≤≤≤?
=???其它
6.
则下列各式正确的是（ ）
（A ）X=Y ； （B ）P{X=Y}=0 ; (C)P{X=Y}=1/2 ; (D)P{X=Y}=1.
三、计算下列各题
1. 已知随机变量Y X 和的联合密度为?
??≤≤≤≤=其它，，，
），（ 01010 4y x xy y x f , 求Y X 和的联合分布函数),(y x F 。
2. 一个箱子装有12只开关，其中2只是次品，现随机地无放回抽取两次，每次取一只，以Y X 和分别表示第一次和第二次取出的次品数，试写出Y X 和的概率分布律。
3. 给定非负函数????
???∞<<++==?∞+其它
又设它满足 ,0,0 ,)(2),(,1)(),(22220
y x y x y x g y x f dx x g x g π,
问),(y x f 是否是随机变量Y X 和的联合概率密度?说明理由。
4. 设随机变量 (Y X ,) 的联合密度为()6, 02,24
0, k x y x y f x y --<<<
??
（，）其它，求：（1）系数k ； （2）{}1,3P X Y <<； （3）{}1.5P X <； （4）{}4P X Y +≤。
5. 设随机变量 (Y X ,) 的联合密度为????
?<++-=其它
），（ ,01
),1(2222y x y x a y x f , 求 (1) 系数a , (2) 概率）（4
1
22≤+Y X P 。
6. 袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白色球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，
以X ，Y ，Z 分别表示两次去求所取得的红球、黑球与白球的个数，
（1）求{}
10P X Z ==； （2）求二维随机变量(),X Y 的概率分布。
§3.2 边缘分布§3.3 条件分布§3.4 随机变量的独立性
一、填空题
1. 设平面区域D 由曲线2101
e x x y x
y ====
，，及直线所围成.），（
Y X 在D 上均匀分布，则），（Y X 关于X 的边缘密度在2=x 处值为 ； 2. 若）
，（Y X
βα,应满足条件是 .若Y X 与相互独立则α= ,β= ；
3. 设随机变量X 和Y 相互独立，且X 在区间()0,2上服从均匀分布，Y 服从参数为1的指数分布，则{}1P X Y +>= ；
4. 设n X X X ,,,21Λ独立同分布，都服从),(2σμN ，则（n X X X ,,,21Λ）的概率密度函数为 ；
5.设随机变量X 与Y 相互独立，(2,),~(3,)X B p Y B p :，且(1)5/9P X ≥=，则
(2)P Y ≥= ，(1)P X Y +== ；
6. 二维离散型随机变量相互独立的充分必要条件是 。
二、选择题
1.设两随机变量Y X 和独立同分布(1)(1)1/2,P X P Y =-==-=(1)P X ==
(1)1/2P Y ==, 则下列各式成立的是（ ）
(A)2/1)(==Y X P ; (B)1)(==Y X P ; (C)4/1)0(==+Y X P ; (D)4/1)1(==XY P . 2．设二维随机变量(,)X Y 的联合分布为
并且已知事件{}0X =与 {}1X Y +=相互独立，则a,b 的值是（）
（A ）a=1/6,b=1/3; (B) a=3/8,b=1/8; （C ）a=1/4,b=1/4; (D) a=1/5,b=3/10.
3. 设二维随机变量(),X Y 的联合概率密度为()221/,1
,0,
x y f x y π?+≤=??其它，则X,Y 满足
（ ）
（A ）独立同分布; （B ）独立不同分布；（C ）不独立同分布； （D ）不独立也不同分布.
三、计算下列各题
1. 设随机变量X 在1,2,3,4四个整数中等可能取值，另一个随机变量Y 在1~X 中等可能取一个整数值，求（1）),(Y X 的联合分布律；（2）X ，Y 的边缘分布律。
2. 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为
, ,)
9)(4(6
),(222+∞<<∞-++π=
x y x y x f
+∞<<∞-y （1）求关于Y X 和的边缘概率密度. （2）问Y X 与是否独立？
3. 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为()21
,01,02,
,3
0,.x xy x y f x y ?+≤≤≤≤?=???
其它 求：（1）关于X 和关于Y 的边缘密度函数，并判断X 与Y 是否相互独立？（2）()1P X Y +≥。
4. 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为(),02,,
(,) 0,kx x y x x y x f x y -≤≤-≤≤?=?
?
其它（1）求常数k ； （2） 求关于Y X 和的边缘概率密度， （3）问Y X 与是否独立？ 5. 雷达的圆形屏幕的半径为R ，设目标出现点),(Y X 在屏幕上均匀分布，（1）求Y X ,的边
缘概率密度，（2）问Y X ,是否独立？
6. 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为?
??<<=-其它， ,00 ),(y x Ae y x f y ，求（1）常数A （2）随
机变量Y X ,的边缘密度，（3）概率)1(≤+Y X P 。 7.
且(0)1P XY ==.（1）求Y X ,的联合分布，（2）问Y X ,是否独立？为什么？
8. 设X 与Y 为两个相互独立的随机变量，X 在区间()0,1上服从均匀分布，Y 的概率密度
为()/2
1,
0,2
0,
0.
y Y e y f y y -?>?=??≤?，求：
（1）X 与Y 的联合概率密度；
（2）设含有a 的二次方程为2
20a Xa Y ++=，试求a 有实根的概率。
四、证明题
设随机变量(),X Y 具有分布函数()()1,0,01,,1,0,1,00,.ax ax e y x y F x y e x y a --?-≥≤≤??
=-≥>>????
其它，
证明：X 与Y 相互独立。
§3.5 两个随机变量函数的分布
一、填空题
1. 设Y X 与独立同分布, 且X 的分布律为5.0)1(,5.0)0(====X P X P , 则随机变量},max{Y X Z =的分布律为 ；
2. 设Y X 与两随机变量, 且），00(≥≥Y X P =7
4
0,740(73=≥=≥）（），Y P X P , 则
=≥）），（0(max Y X P ；
3. 设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0, 3]上的均匀分布，则{}max{,}1P X Y ≤= ；
4. 若2
2
112212~(,),~(,),,X N Y N k X k Y μσμσ-相互独立服从分布为 ；
5. 设X 与Y 相互独立，且分别服从参数为12,λλ的泊松分布，则Z X Y =+服从的分布为 。
二、选择题
1. 设随机变量X 服从指数分布，则随机变量{}min ,2Y X =的分布函数为（ ）
（A ）连续函数； （B ）至少有两个间断点；（C ）阶梯函数；（D ）恰有一个间断点. 2. 设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布()0,1N ，Y 的概率分布为
{}{}1
012
P Y P Y ====，记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()Z F z 的间
断点个数为（ ）
（A ）0； （B ）1； （C ）2 ； （D ）3. 3. 设随机变量X Y 与相互独立，且分别服从()0,1N 和()1,1N ，则（ ）
（A ）1(0)2P X Y +≤=
； （B ）1(1)2P X Y +≤=； （C ） 1(0)2P X Y +≥=； （D ） 1
(1)2
P X Y -≤=.
4.设()1f x 为标准正态分布的概率密度，()2f x 为[]1,3-上均匀分布的概率密度，若
()()()
()120
0,00af x x f x a b bf x x ≤??=>>?>??的概率密度，则,a b 应满足（ ）
（A ）234a b +=; （B ）324a b +=; （C ）1a b +=; （D ）2a b +=. 5. 设X 与Y 相互独立，且都服从区间()0,1上的均匀分布，则下列4个随机变量中服从区间或区域上的均匀分布的为（A ）
（A ）(),X Y ; （B ）X+Y ; （C ）2
X ; （D ）X Y -.
6. 设X 与Y 是相互独立的随机变量，其分布函数分别为()(),X Y F x F y ，则min(,)Z X Y =的分布函数为（ ）
（A ）()()Z X F z F x =; （B ）()()Z Y F z F y =;
（C ）()()(){}
min ,Z X Y F z F x F y =; （D ）()()()111Z X Y F z F x F y =---????????. 三、计算下列各题
1. 设两个独立随机变量Y X 与的分布律为6.0)2(,7.0)3(,3.0)1(======Y P X P X P , .21,4.0)4(的分布律）的分布律，（）求（Y X W Y X Z X P -=+===
2. 设Y X ,独立, ][),,(~2ππ-σμ，在Y N X 服从均匀分布, Z Y X Z ，求+=的概率密度.(用标准正态分布函数)(x Φ表示)。
3．设随机变量,X Y 相互独立，且22
1122~(,),(,)X N Y N μσμσ:求X Y -的概率密度。
4. 已知随机变量),(Y X 服从二维正态分布, 其联合密度为)
(21
2221),y x e y x f +-=π（, +∞<<∞-+∞<<-∞y x ,, 求随机变量)(3
1
22Y X Z +=的概率密度函数。
5. 已知随机变量X 与Y 相互独立，且都服从[]0,a 区间上的均匀分布，求X Z Y
=的概率
密度函数。
6. 设随机变量),(Y X 的联合概率密度?
??<<<<=其它，），（ ,00 ,10 3x y x x y x f , 求Y X Z -=的概率密度。
.
7. 设随机变量X 与Y 相互独立，X 的概率分布为{}()1
1,0,13
P X i i ===-，Y 的概率密度为()101
0Y y f y ≤≤?=?
?其它
，记Z X Y =+
（1）求102P Z X ??
≤
=????
（2）求Z 的概率密度。
8. 设二维变量(,)x y 的概率密度为
2(,)0x y
f x y --?=??
01,01x y <<<<其他
()I 求{2}P X Y >； ()II 求z X Y =+的概率密度。
9. 假设电路装有三个同种电器元件，其状况相互独立，且无故障工作时间都服从参数为θ的指数分布，当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不正常工作.试求电路正常工作时间T 的概率分布。
10. 随机变量x 的概率密度为()()21
,1021
,02,,4
0,x x f x x Y X F x y ?-<
令其他为二维随机变
量(X , Y )的分布函数，
(Ⅰ)求Y 的概率密度()Y f y ；(Ⅱ)1,42F ??
-
???
。
11. 某种商品一周的需求量是一个随机变量，其概率密度为(),0,
0,0.t te t f t t -?>=?≤?
设各周的需求量是相互独立的，求（1）两周；（2）三周的需求量的概率密度。
多维随机变量及其分布
第三章多维随机变量及其分布 随机向量的定义： 随机试验的样本空间为S={w}，若随机变量X1(w),X2(w),…,X n(w)定义在S上，则称（X1(w),X2(w),…,X n(w)）为n维随机变量（向量）。简记为（X1,X2,…,X n）。 二维随机向量（X,Y），它可看作平面上的随机点。 对（X,Y）研究的问题： 1．（X,Y）视为平面上的随机点。
研究其概率分布——联合分布率、联合分布函数、联合概率密度；Joint 2．分别研究各个分量X,Y的概率分布——边缘（际）分布律、边缘分布函数、边缘概率密度； marginal 3．X与Y的相互关系； 4．（X,Y）函数的分布。 §二维随机变量的分布
一．离散型随机变量 1．联合分布律 定义若二维随机变量(X,Y)可能取的值(向量)是有限多个或可列无穷多个,则称(X,Y) 为二维离散型随机变量。 设二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值(x i,y j), i，j=1,2…,取这些值的概率为 p ij=P{(X,Y)=(x i,y i)}=p{X=x i,Y=y i}i ,j=1,2,… ——
称式为(X,Y)的联合分布律。 (X,Y)的联合分布律可以用表格的形式表示如下：
性质： (1) p ij 3 0，i, j=1,2,… (2) j i ij p ,=1 2．边缘分布律 设二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律为 p ij = P{X=x i ,Y=y i } i, j=1,2,… 分量X 和Y 的分布律分别为 p i.=P{X=x i } i=1,2,… 满足①p i.30②S p i.=1 = p{Y=y i }j=1,2, (30)
第三章 多维随机变量及其分布测试题三
第三章 多维随机变量及其分布测试题三 一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中 1．设是相互独立的随机变量，其分布函数分别为，则的分布函数＝． 2．设随机变量均服从如下分布： 且满足，则= ． 3．设相互独立，下表为的分布律及边缘分布律的部分数值，又知，试将其余值填入表中： Y X 0 1 2 1 1 4．设均服从正态分布，且，则． 5．设是相互独立的随机变量，其分布函数分别为，则的分布函数＝． 二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1．设和独立，都服从同一0-1分布：，则=（ ）． (A) 0； (B) ； (C) ； (D) 1． 2．设随机变量和有相同的概率分布：，并且满足，则等于（ ）． (A) 0； (B) 0.25； (C) 0.50； (D) 1． 3．设独立和之和与和服从同名概率分布，如果和都服从（ ）． (A) 均匀分布； (B) 二项分布；
(C) 指数分布； (D) 泊松分布． 4．设随机变量和都服从正态分布，则（ ）． (A) 一定服从正态分布； (B) 和不相关与独立等价； (C) 一定服从正态分布； (D) 未必服从正态分布． 5．设随机变量，Y相互独立，且X～，Y ～，则下列式子中正确的（ ）． （A）； （B）； （C）； （D）． 三．解答题（本题共10小题，第1至5小题每小题6分，第6至10小题每小题8分，满分70分．） 1．一个袋中有4个球，分别标有数字1、2、2、3，从袋中随机取出2个球，令、分别表示第一个球和第二个球上的号码，求：（，）的联合分布列(袋中各球被取机会相同)． 2．设二维随机变量（）的联合密度函数为： 求（1）分布函数；（2）（）落在由轴、轴和直线所围成的区域内的概率． 3．设二维随机变量的概率分布为： -112 -15/202/206/20 23/203/201/20 求：（1）概率分布；（2）概率分布． 4．在10件产品中有两件一级品、7件二级品和1件次品，从中不放回的抽取三件，用分别表示抽到的一级品和二级品的件数，求：（1）的联合分布；（2）的边缘分布；（3）判断是否相互独立；（4）相关系数．
多维随机变量及其分布试题答案
第3章 多维随机变量及其分布试题答案 一、选择（每小题2分） 1、设二维随机变量),(Y X 的分布律为 则{0}P X Y +≠=（ C ） (A) (B) (C) (D) 2、设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为???<<-<<-=other y x c y x f ,01 1,11,),(，则常数c = （A ） (A) 41 (B) 2 1 (C) 2 (D)4 3、设二维随机变量),(Y X 的分布律为 设1,0,},,{====j i j Y i X P p ij ，则下列各式中错误的是（ D ） (A) 0100p p < (B) 1110p p < (C) 1100p p < (D) 0110p p < 4、设二维随机变量),(Y X 的分布律为 则}{Y X P ==（A ） (A) (B) (C) (D) 5、设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为???>>=--other y x e Ae y x f y x , 00 ,0,),(2，则常数A = （D ）
(A) 21 (B) 1 (C) 2 3 (D)2 6、设二维随机变量),(Y X 的分布律为 则}0{=XY P =（C ） (A) 41 (B) 125 (C) 4 3 (D)1 7、设二维随机变量),(Y X 的分布律为 ),(y x F 为其联合分布函数，则)3 ,3(F =（D ） (A) 0 (B) 121 (C) 61 (D) 4 1 8、设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为???>>=--other y x e e y x f y x , 00 ,0,),(，则}{Y X P ≥= （B ） (A) 41 (B) 21 (C) 32 (D) 4 3 9、设随机变量X 与Y 独立同分布，它们取-1，1两个值的概率分别41，4 3 ，则}1{-=XY P =（ D ） (A) 161 (B) 163 (C) 41 (D) 8 3 10、设二维随机变量（X ，Y ）的分布函数为),(y x F ，则),(+∞x F =（ B ） (A) 0 (B) )(x F X (C) )(y F Y (D) 1
第三章多维随机变量及其分布作业.
第三章 多维随机变量及其分布 作业 1．若对于所有y x ,有 ，则称随机变量X 和Y 是相互独立的. 2．设随机变量X 和Y 是相互独立的，X 的密度函数∞<<-∞=-x e x f x ,21 )(212 π，Y 的 密度函数???<≥=-0 ,00,)(2y y e y f y ，则),(Y X 的联合密度函数),(y x f = . 3．已知随机变量)4,7(~,)4,9(~N Y N X ，且X 与Y 是相互独立，则Y X Z +=的概率密度函数)(z f Z = . 4．设),(Y X 为二维随机变量，试用联合分布函数),(y x F 表示概率},{y Y x X P >>. 5．设随机变量X ，Y 是相互独立，其边缘密度函数与边缘分布函数分别为)(,)(y f x f Y X 与)(,)(y F x F Y X ，则},min{Y X N =的分布密度函数)(z f Z = . 6．设)(),(21y f x f 是两个概率密度函数，则仅当函数),(y x R 满足条件 时，函数),()()(),(21y x R y f x f y x f +=才能成为概率密度函数. 7．设相互独立的两个随机变量Y X ,具有同一分布律，且X 的分布律为 2 1}1{}0{= ===X P X P ，则随机变量},max{Y X Z =的分布律为 . 8．设二维随机变量),(Y X 的密度函数为?? ???≤≤≤≤=其它,020,10,21),(y x y x f ，则X 与Y 中至少有一个大于2 1的概率为 . 9．在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件：“两数之积大于 4 1”的概率为 . 10．设X 和Y 为两个随机变量，且73}0,0{=≥≥Y X P ，74}0{}0{=≥=≥Y P X P ，则}0},{max{≥Y X P = .
第三讲多维随机变量及其分布
第三讲 多维随机变量及其分布 考试要求 1. 理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度.会求与二维随机变量相关事件的概率. 2. 理解随机变量的独立性及不相关的概念，掌握随机变量相互独立的条件. 3. 掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义 . 4. 会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布. 一、 各种分布与随机变量的独立性 1. 各种分布 （1）一般二维随机变量 F （x , y ）=P { X ≤ x , Y ≤ y }, x ∈ （?∞, +∞）, y ∈ （?∞, +∞）的性质 F （x , y ）为联合分布函数 ? 1） 0 ≤F （x , y ）≤1 , ?x ∈ （?∞, +∞）,, y ∈ （?∞, +∞）; 2） F （?∞, y ）= F （x , ?∞）=0, F （+∞,+∞）=1; 3） F （x , y ）关于x , y 均为单调不减函数； 4） F （x , y ）关于x , y 均分别右连续. （2）二维离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布、条件分布 联合概率分布律 P {X = x i , Y = y j } = p i j , i , j =1, 2 ,??? , p i j ≥ 0, 1=∑∑i j j i p . 边缘分布律 p i ? = P {X = x i }= ∑j j i p , i =1, 2 ,??? , p ? j = P { Y = y j }= ∑i j i p , j =1, 2 ,??? , 条件分布律 P {X = x i |Y = y j } = j j i p p ?, P { Y = y j | X = x i } = ? i j i p p . 二维连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度和条件密度 f （x , y ）为联合概率密度 ? 1? f （x , y ）≥0, 2? 1=?? ∞+∞-∞ +∞ - ),(dxdy y x f . 设（ X , Y ）~ f （x , y ）则 分布函数: ??∞-∞ -=x y dxdy y x f y x F ),(),(; 边缘概率密度: ? ∞ +∞ -= ),()(dy y x f x f X , ? ∞ +∞ -= ),()(dx y x f x f Y .
概率与数理统计第3章多维随机变量及其分布习题及答案
第三章 多维随机变量及其分布 一、填空题 1、随机点),(Y X 落在矩形域],[2121y y y x x x ≤<≤<的概率为 ),(),(),(),(21111222y x F y x F y x F y x F -+-. 2、),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=-∞),(y F 0 . 3、),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=+),0(y x F ),(y x F 4、),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=+∞),(x F )(x F X 5、设随机变量),(Y X 的概率密度为 ? ? ?<<<<--=其它 04 2,20) 6(),(y x y x k y x f ，则=k 8 1 . 6、随机变量),(Y X 的分布如下，写出其边缘分布. 7、设),(y x f 是Y X ,的联合分布密度，)(x f X 是X 的边缘分布密度，则 =? ∞+∞ -)(x f X 1 . 8、二维正态随机变量),(Y X ，X 和Y 相互独立的充要条件是参数=ρ 0 . X Y 0 1 2 3 j P ? 1 0 8 3 8 3 0 86 3 81 0 8 1 8 2 ?i P 81 83 83 8 1
9、如果随机变量),(Y X 的联合概率分布为 Y X 1 2 3 1 61 91 181 2 3 1 α β 则βα,应满足的条件是 186= +βα ；若X 与Y 相互独立，则=α 184 ，=β 18 2 . 10、设Y X ,相互独立，)1.0(~),1,0(~N Y N X ，则),(Y X 的联合概率密度 =),(y x f 2 2221 y x e +- π ，Y X Z +=的概率密度=)(Z f Z 4 22 21x e - π . 12、 设 ( ξ 、 η ) 的 联 合 分 布 函 数 为 ()()()() ?? ??? ≥≥+-+-+++= y x y x y x A y x F 00,0111111,2 22则 A =__1___。 二、证明和计算题 1、袋中有三个球，分别标着数字1,2,2，从袋中任取一球，不放回，再取一球，设第一次取的球 上标的数字为X ，第二次取的球上标的数字Y ，求),(Y X 的联合分布律. 解：031 }1,1{?= ==Y X P 31 131}2,1{=?===Y X P 31 2132}1,2{=?===Y X P 3 1 2132}2,2{=?===Y X P 2、三封信随机地投入编号为1,2,3的三个信箱中，设X 为投入1号信箱的信数，Y 为投入2 号信箱的信数，求),(Y X 的联合分布律. 解：X 的可能取值为0,1,2,3 Y 的可能取值为0,1,2,3 33 1 }0,0{===Y X P 333}1,0{===Y X P 33233 3 3}2,0{====C Y X P X Y 1 2 1 0 31 2 3 1 3 1
【免费下载】概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题
概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题1．甲乙两人独立地进行两次射击，命中率分别为0.2、0.5，把X 、Y 分别表示甲乙命中的次数，求（X,Y ）联合分布律。2．袋中有两只白球，两只红球，从中任取两只以X 、Y 表示其中黑球、白球的数目，求（X,Y ）联合分布律。3．设，且P{}=1，求（）的X 1=(?1011/41/21/4) X 2=(011/21/2)X 1X 2=0X 1，X 2联合分布律，并指出是否独立。 X 1，X 24．设随机变量X 的分布律为Y=，求（X,Y ）联合分布律。X 2X Y 01
概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题 5．设（X,Y ）的概率分布为 且事件{X=0}与{X+Y=1}独立求a ，b 。6. 设某班车起点上车人数X 服从参数λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为P （0 概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题 （1）C 的值 （2）， (3)P{X+Y ≤1}并判别X 与Y 是否独立。f z (x)f Y (y)9．设f(x,y)= 为（X,Y ）的密度函数，求{10 |y | 第三章 多维随机变量及其分布 第一节 二维随机变量 一、二维随机变量的分布函数 设E 是一个随机试验, 它的样本空间是S . 设X 、Y 是定义在S 上的随机变量, 则由它们构成的一个向量(X , Y )称为二维随机向量或二维随机变量. 一般地, (X , Y )的性质不仅与X 有关, 与Y 有关, 而且还依赖于X 、Y 的相互关系, 因此必须把(X , Y )作为一个整体来研究. 首先引入(X , Y )的分布函数的概念. 定义 设(X , Y )为二维随机变量, 对于任意实数x 、y , 二元函数 F (x , y ) = P {(X ≤ x )∩(Y ≤ y )}= P {X ≤ x , Y ≤ y } 称为二维随机变量(X , Y )的分布函数, 或称为随机变量X 和y 的联合分布函数. 分布函数F (x , y )表示事件(X ≤ x )与事件(Y ≤ y )同时发生的概率. 如果把(X , Y )看成平面上具有随机坐标(X , Y )的点, 则分布函数F (x , y )在(x , y )处的函数值就是随机点(X , Y )落在平面上的以(x , y )为顶点而位于该点左下方的无限矩形内的概率.. 由上面的几何解释, 容易得到随机点(X , Y )落在矩形区域{x 1 < X ≤ x 2, y 1 < Y ≤ y 2}的概率为 P {x 1 < X ≤ x 2, y 1 < Y ≤ y 2} = F (x 2, y 2) - F (x 2, y 1) - F (x 1, y 2) + F (x 1, y 1) (1) 与二元函数类似, 二元分布函数F (x , y )也具有如下一些性质: 1? F (x , y )是变量x 和y 的单调不减函数, 即当x 1 < x 2时, F (x 1, y ) ≤ F (x 2, y ); 当y 1 < y 2时, F (x , y 1) ≤ F (x , y 2). 2? 0 ≤ F (x , y ) ≤ 1, 且F (-∞, y ) = 0, F (x , -∞) = 0, F (-∞,-∞) = 0, F (+∞,+∞) = 1.（凡含-∞的概率分布为0） 3? F (x , y )关于x 和y 都是右连续的, 即F (x + 0, y ) = F (x , y ), F (x , y + 0) = F (x , y ). 4? 对任意的(x 1, y 1)、(x 2, y 2), x 1 < x 2, y 1 < y 2, 有F (x 2, y 2) - F (x 2, y 1) - F (x 1, y 2) + F (x 1, y 1) ≥ 0. 注: 二元分布函数具有性质1?~ 4?, 其逆也成立(2?中0 ≤ F (x , y ) ≤ 1可去), 即若二元实值函数F (x , y )(x ∈ R , y ∈ R )满足1?~ 4?, 则F (x , y )必是某二维随机变量的(X , Y )的分布函数. 其中4?是必不可少的, 即它不能由1?~ 3?推出(除去0 ≤ F (x , y ) ≤ 1). 二、二维离散型随机变量 如果二维随机变量(X , Y )的所有可能取的值是有限对或可列无限多对, 则称(X , Y )是二维离散型随机变量. 设二维离散型随机变量(X , Y )所有可能取的值为(x i , y j ) (i , j = 1, 2, 3, …). 记P {X = x i , Y = y j } = p ij (i , j = 1, 2, 3, …)则由概率定义有 p ij ≥ 0; 111 =∑∑∞=∞ =i j ij p . 我们称P {X = x i , Y = y j } = p ij (i , j = 1, 2, 3, …)为二维离散型随机变量(X , Y )的分布律(概率分布)或随机变量X 和Y 的联合分布律, (X , Y )的分布律也可用表格表示. 其分布函数为 = ),(y x F ∑∑≤≤==x x y y j i i j y Y x X P },{= ∑∑≤≤x x y y ij i j p 这里 ∑∑ ≤≤x x y y i j 表示对一切x i ≤ x , y j ≤ y 的那些指标i 、j 求和. 例1 一个口袋中有三个球, 依次标有1、2、2, 从中任取一个, 不放回袋中, 再任取一个. 设每次取球时, 各球被取到的可能性相等, 以X 、Y 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字, 求X 、Y 的联合分布律与分布函数.. 解: (X , Y )的可能取值为(1, 2)、(2, 1)、(2, 2). P {X = 1, Y = 2}= P {X = 1}P {Y = 2 / X = 1}= 3 12231=?. 第三章 多维随机变量及其分布 习题1 §3.1 二维随机变量的概率分布 一、填空题 1. 设（Y X ,）的分布函数为 ?? ?≥≥+--=----其它， ，，），（ 00 03331y x y x F y x y x ，则 （Y X ,）的联合概率密度),(y x f = ； 2设随机变量(Y X ,)的分布函数为 )3 (2(y arctg C x arctg B A y x F ++=）），（, 则A = , B = , C = ，(0≠A )； 3. 用),(Y X 的联合分布函数),(y x F 表示概率),(c Y b X a P ≤≤<= ),(),(c a F c b F -； 4.设),(Y X 在区域G 上服从均匀分布，G 为y x =及2 y x =所围成的区域，),(Y X 的概率密度为 5. 设 (Y X ,) 联合密度为?? ?? ?>>=--其它，），（ ,00 ,0y x Ae y x f y x ，则系数A = ； 6. 设二维随机变量(Y X ,)的联合概率密度为()4,01,01 ,0, xy x y f x y <<< 一、单项选择题 1 ，那么下列结论正确的是 （）A B C D.以上都不正确 2设X与Y相互独立，X 0—1分布，Y 0—1分布，则方程 t 有相同实根的概率为 （A（B（C （D 3．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 则k的值必为 （A（B（C （D 4．设（X，Y）的联合密度函数为 （A （B（C（D 5．设随机变量X与Y相互独立，而且X服从标准正态分布N（0，1），Y服从二项分布B（n，p），0 二、填空题 2 若（X ，Y ）的联合密度 ， 3 4 ，则 且区域 5 。 6 . 7 =? ∞+∞ -)(x f X . 8 如果随机变量),(Y X 的联合概率分布为 X 1 2 3 1 61 91 181 2 3 1 α β 则βα,应满足的条件是 ；若X 与Y 相互独立，则=α ，=β . 9 设Y X ,相互独立，)1.0(~),1,0(~N Y N X ，则),(Y X 的联合概率密度 =),(y x f ，Y X Z +=的概率密度=)(Z f Z . 10、 设 ( 、 ) 的 联 合 分 布 函 数 为 ()()()()?? ??? ≥≥+-+-+++= y x y x y x A y x F 00,0111111,2 22则 A =_____。 11设X 服从参数为1的泊松分布，Y 服从参数为2的泊松分布，而且X 与Y 相互独立，则 (max(,)0)_______. (min(,)0)_______.P X Y P X Y ≠=≠= 12 设X 与Y 相互独立，均服从[1，3]上的均匀分布，记(),A X a =≤(),B Y a => 7 ()9 P A B ?= 且，则a=_______. 13 二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为 221()21sin sin (,)(,),2x y x y f x y e x y π -++= -∞<<+∞ 则两个边缘密度为_________. 三．解答题 1 一个袋中有三个球,依次标有数字 1, 2, 2,从中任取一个, 不放回袋中 , 再任取一个, 设每次取球时,各球被取到的可能性相等,以 X , Y 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字 ,求 ( X , Y ) 的分布律与分布函数. 2．箱子里装有12件产品，其中2件是次品，每次从箱子里任取一件产品，共取2次，定义随机变量12,X X 如下： 第三章 多维随机变量及其分布答案 一、填空题（每空3分） 1．设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为 222 13,0,0(1)(1)(1)(,)0,A x y x y x y F x y ? +-≥≥?++++=???其他,则A=_____1____． 2．若二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)则随机点落在矩形区域[x 1 《 7． 设X 和Y 为两个随机变量，且34 (0,0),(0)(0)77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=, 则(max{,}0)P X Y ≥=_ 5 7 . 8．随机变量(,) (0,0,1,1,0)X Y N ,则D(3X-2Y)= _ 13 . 9．设()25,()36,0.4XY D X D Y ρ===,则()D X Y += 85 ， ()D X Y -= 37 . 10．设随机变量2(3),()()0,()4,()16,Z aX Y E X E Y D X D Y =+==== 0.5XY ρ=-,则min ()E Z = 108 . 二、单项选择题（每题4分） 1．下列函数可以作为二维分布函数的是（ B ）. A .???>+=.,0,8.0,1),(其他y x y x F B .?????>>??=--., 0,0,0,),(00其他y x dsdt e y x F y x t s C . ??= ∞-∞---y x t s dsdt e y x F ),( D .?? ???>>=--.,0,0,0,),(其他y x e y x F y x 2．设平面区域D 由曲线1 y x = 及直线20,1,x y y e ===围成，二维随机变量在区域D 上服从均匀分布，则(X,Y)关于Y 的边缘密度函数在y=2处的值为（C ）． A ．12 B ．1 3 C ．14 D ．12- 3．若(X,Y)服从二维均匀分布，则（ B ）． A ．随机变量X,Y 都服从一维均匀分布 B ．随机变量X,Y 不一定服从一维均匀分布 C ．随机变量X,Y 一定都服从一维均匀分布 D ．随机变量X+Y 服从一维均匀分布 4．若D(X+Y)=D(X)+D(Y),则（ A ）． A ．X 与Y 不相关 B ．(,)()()X Y F x y F x F y =? C ．X 与Y 相互独立 D ．1XY ρ=- 多维随机变量及其分布 随机向量的定义： 随机试验的样本空间为S={ω}，若随机变量X1(ω),X2(ω),…,X n(ω)定义在S 上，则称（X1(ω),X2(ω),…,X n(ω)）为n维随机变量（向量）。简记为（X1,X2,…,X n）。 二维随机向量（X,Y），它可看作平面上的随机点。 对（X,Y）研究的问题： 1．（X,Y）视为平面上的随机点。研究其概率分布——联合分布率、联合分布函数、联合概率密度；Joint 2．分别研究各个分量X,Y的概率分布——边缘（际）分布律、边缘分布函数、边缘概率密度； marginal 3．X与Y的相互关系； 4．（X,Y）函数的分布。 § 3.1 二维随机变量的分布 一．离散型随机变量 1．联合分布律 定义 3.1 若二维随机变量(X,Y)可能取的值(向量)是有限多个或可列无穷多个,则称(X,Y) 为二维离散型随机变量。 设二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值(x i,y j), i，j=1,2…,取这些值的概率为 p ij=P{(X,Y)=(x i,y i)}=p{X=x i,Y=y i}i,j=1,2,… ——(3.1) 称 (3.1)式为(X,Y)的联合分布律。 性质： (1) p ij ≥ 0，i, j=1,2, (2) ∑j i ij p ,=1 2．边缘分布律 设二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律为 p ij = P{X=x i ,Y=y i } i, j=1,2,… 分量X 和Y 的分布律分别为 p i.=P{X=x i } i=1,2,… 满足①p i.≥0②∑ p i.=1 p .j = p{Y=y i }j=1,2,… ①p .j ≥0②∑ p .j =1 我们称p i.和p .j 分别为(X,Y)关于X 和Y 的边缘分布律，简称为(X,Y)的边缘分布律。 二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律与边缘分布率有如下关系： p i.=P{X=x i }=P{X=x i , S}=P{X=x i ,j ∑ (Y=y j )} = j ∑ P{X=x i ,Y=y j }= j ∑ p ij (3.4) 同理可得 p .j = i ∑ p ij (3.5) 例1:一整数X 随机地在1，2，3三个整数中任取一值，另一个整数Y 随机地在1到X 中取一值。试求（X,Y ）的联合分布率及边缘分布率。 解： {}{}{} , ,3,2,13 1 1/,i j i i i X P i X j Y P j Y i X P ≤=? ======= 第三章多维随机变量 一、填空 1、设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________. 二、选择 1、设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为 若,X Y 独立，则,αβ的值为（） （A ）21,99αβ==.（A ）12,99αβ==.（C ）11,66αβ==（D ）51,1818 αβ==.2、设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布分别为010.40.6X P 01 0.40.6 Y P 则有（）（A ）()0.P X Y ==（B ）()0.5. P X Y ==（C ）()0.52. P X Y ==（D ）() 1.P X Y ==三、计算题 1、设二维随机变量(,)X Y 在区域{(,)|0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤上服从均匀分布.求（1）(,)X Y 关于X 的边缘概率密度；（2）Z X Y =+的分布函数与概率密度. 2、设(,)X Y 的概率密度为 0,,(,).0, x y x e f x y -< 3、设(,)X Y 在由直线2 1,,0x x e y ===及曲线1y x =所围成的区域上服从均匀分布，（1）求边缘密度()X f x 和()Y f y ，并说明X 与Y 是否独立. （2）求(2)P X Y +≥.4、二维随机变量(,)X Y 在以(1,0),(0,1),(1,0)-为顶点的三角形区 域上服从均匀 分布，求Z X Y =+的概率密度。5、口袋中有4个球，每个球上有一个数字，依次是1,2,2,3，从袋中任取1球，不放回，再取一球，以随机变量X 和Y 分别记第一次和第二次取得球上数字。 试求：（1）),(Y X 的联合分布律；（2）边缘分布律；（3）Y 在}1{=X 条件下的分布律。 （3）判断,X Y 的独立性。 6、将3个球放入3个盒子，以随机变量X 和Y 分别记第一个盒子和第二个盒子中球的个数。试求：（1）),(Y X 的联合分布律；（2）边缘分布律； （3）Y 在}1{=X 条件下的分布律。（4）判断,X Y 的独立性。 #00001 已知F(x,y)=A(B+arctg ) 3()(2 y arctg B x +, 1)求常数A ，B ，C 。 2)求P{0 ???? ?? ???? == == >∴>=?=?=--G G G G y D y y G S S dxdy dx dy dxdy X Y P G X Y c cdx dy Cdxdy y 的面积 是其中或 见如图区域14 311}2{}2){21 1 1 1 10 2 3)由F(x,y)的几何意义，可将F(0.5,0.5)理解为(X,Y)落在{X ≤0.5,Y ≤0.5}区域（见如图G 1）上的概率。故有 ?? ? ? -= = = ≤≤=1 21 4 11}5.0,5.0{)5.0,5.0(G y y dx dy dxdy Y X P F #00004 已知(X,Y)的分布函数为?? ? ??≤≤--≤≤--=----其它 00101),(x y ye e y x xe e y x F y y y x 求F X (x)与F Y (y)。 *00004 解：F X (x)=F(x,∞)=? ? ?<≥--0 01x x e x F Y (y)=F(∞,y)= ? ? ?<≥----0 01y y ye e y y #00005 (X,Y)的分布函数如 2.1.求X 及Y 的边缘概率密度。 *00005 解法1：可先求出(X,Y)的概率密度，再由式(3.2.1)和(3.2.2)求出X 与Y 的边缘概率密度 ?? ?≥=?? ???≥== ???<≥=???? ?<≥==?? ?≤≤=???=-∞ ∞ ---∞ -∞ ∞ --? ? ? ? 其它 其它其它0000),()(0 00 0),()(00),(),(02 y ye y dx e dx y x f y f x x e x x dy e dy y x f x f y x e y x F y x y x f y y y Y x x y X y 解法2： 2.1.已算出了F X (x)及F Y (y)，则 f X (x)=F'X (x,)=? ??≥-其它 0x e x f Y (y)=F Y '(y)= ???≥-其它 0y ye y #00006 已知(X,Y)的分布律为 习题6（多维随机变量及联合分布） 一．填空题 1. 设随机变量X 在1，2，3，4中随机取值，随机变量Y 在1到X 中随机取整数值，则二维随机变量),(Y X 的联合概率分布列与两个边缘分布列分别为 ； ； . 概率==)(Y X P . 2. 若二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为 18 .012.012.008.01 11 01b a X Y --，且X 与Y 相互独立， 则=a ；=b . 3. 设区域1,1≤≤y x D ：，二维随机变量),(Y X 在D 上服从均匀分布，则它的联合密度函数 =),(y x f ；=≤+)1(Y X P . 4. 设),(Y X 是二维相互独立的随机变量，且)4,0(~U X ，)5(~e Y ，则概率 =≤≥)1,2(Y X P . 二．解答题 1. 若随机变量X 服从6.0=p 的10-分布，)5.0,2(~B Y ，且X 与Y 相互独立，求二维随机变量),(Y X 的联合概率分布及概率).(Y X P < 2. 设X 与Y 是相互独立的随机变量，)1,0(~U X ，)2(~e Y .写出二维随机变量),(Y X 的联合密度函数),(y x f ，并求t 的二次方程022 2 =++Y Xt t 有实根的概率。 3. 若二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为? ? ?=,0,),(kx y x f ., ,10其它x y x ≤≤≤（1）求k 值；（2）求两个边缘概率密度)(x f X 及)(y f Y ；（3）讨论随机变量X 与Y 的相互独立性；（4）求概率)5.0(≤X P 及).1(≥+Y X P 第三章 多维随机变量及其分布 一、选择题 1.X,Y 相互独立,且都服从]1,0[上的均匀分布,则服从均匀分布的是( ). A.(X,Y) B.XY C.X+Y D.X －Y 2.设X,Y 独立同分布,11{1}{1},{1}{1},2 2 P X P Y P X P Y =-==-=====则（ ）. A.X =Y B.0}{==Y X P C.21}{==Y X P D.1}{==Y X P 3.设)(1x F 与)(2x F 分别是随机变量X 与Y 的分布函数,为使 )()(21x bF x aF -是某个随机变量的分布函数,则b a ,的值可取为( ). A.52,53-==b a B.32,32==b a C. 2 3,21= -=b a D. 2 3,21-== b a 4.设随机变量i X 的分布为1210 1~(1,2){0}1,11 1424i X i X X -?? ? === ??? 且P 则12{}P X X ==( ). A.0 B.41 C.2 1 D.1 5.下列叙述中错误的是( ). A.联合分布决定边缘分布 B.边缘分布不能决定决定联合分布 C.两个随机变量各自的联合分布不同,但边缘分布可能相同 D.边缘分布之积即为联合分布 6.设随机变量(X,Y) 的联合分布为: 则b a ,应满足( ). A ．1=+b a B. 13 a b += C.3 2=+b a D.2 3,2 1-==b a 7．接上题，若X ，Y 相互独立，则（ ）. A.9 1,9 2 ==b a B.9 2,9 1==b a C.3 1,3 1==b a D.3 1,3 2=-=b a 8.同时掷两颗质体均匀的骰子,分别以X,Y 表示第1颗和第2颗骰子出现的点数,则( ). A.1{,},,1,2,636P X i Y j i j === = B.361 }{= =Y X P C.21}{=≠Y X P D.2 1 }{=≤Y X P 9.设(X,Y)的联合概率密度函数为???≤≤≤≤=其他， y x y x y x f 01 0,10,6),(2,则 下面错误的是( ). A.1}0{=≥X P B.{0}0P X ≤= C.X,Y 不独立 D.随机点(X,Y)落在{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤内的概率为1 10.接上题,设G 为一平面区域,则下列结论中错误的是( ). A.{(,)}(,)G P X Y G f x y dxdy ∈=?? B.2{(,)}6G P X Y G x ydxdy ∈=?? C.1200 {}6x P X Y dx x ydy ≥=?? D.??≥=≥y x dxdy y x f Y X P ),()}{( 11.设(X,Y)的联合概率密度为(,)0,(,)(,)0,h x y x y D f x y ≠∈?=??其他,若 {(,)|2}G x y y x =≥为一平面区域,则下列叙述错误的是( ). A.{,)(,)G P X Y G f x y dxdy ∈=?? B.??-=≤-G dxdy y x f X Y P ),(1}02{ C.??=≥-G dxdy y x h X Y P ),(}02{ D.??= ≥D G dxdy y x h X Y P ),(}2{ 12.设(X,Y)服从平面区域G 上的均匀分布,若D 也是平面上某个区域,并以G S 与D S 分别表示区域G 和D 的面积,则下列叙述中错误的是 习题三 一、填空题 1.设Y X 与两随机变量, 且），00(≥≥Y X P =7 4 0,740(73=≥=≥）（），Y P X P , 则 =≥）），（0(max Y X P 5/7 . 2.设二维随机变量(,)X Y 的联合概率分布为 则关于X 的边缘分布律为 . 3．若） ，（Y X 的联合分布律为 βα,应满足条件是 3 = β+α .若Y X 与相互独立则α= 2/9 ,β= 1/9 ； 4.设Y X 与独立同分布, 且X 的分布律为5.0)1(,5.0)0(====X P X P , 则随机变量},max{Y X Z =的分布律为 P(Z=0)=, P(Z=1)= ； 5.设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为 ()101,01 ,0 x y f x y <<< ?? ?≤≤≤≤-=其它0 0,10)2(8.4),(x y x x y y x f 则关于X 的边缘概率密度是?????≤≤-=-=?其它0 1 0)2(4.2)2(8.4)(02x x x dy x y x f x X . 9. 设随机变量X 和Y 相互独立，且X 在区间()0,2上服从均匀分布，Y 服从参数为1的指数分布，则{}1P X Y +>=112e - . 10. 设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0, 3]上的均匀分布，则 {}max{,}1P X Y ≤= 1/9 . 11. 若2 2 112212~(,),~(,),,X N Y N k X k Y μσμσ-相互独立服从分布为 12222 1122122(,)N k k k k μμσσ-+. 12．已知12,,,n X X X 独立且服从于相同的分布函数()F x ，若令 max(η=12,, ,)n X X X ，则()=F x ηη的分布函数()n F x . 二、选择题 1.设随机变量(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，其边缘分布函数()X F x 是（B ） ()()()()A lim (,);B lim (,);C (,0);D (0,).y y F x y F x y F x F x →-∞→+∞ 2.同时掷两颗质体均匀的骰子,分别以X,Y 表示第1颗和第2颗骰子出现的点数, 则（A ） （A ）1 {,},,1,2,636 P X i Y j i j ==== . （B ）361}{= =Y X P . （C ）2 1 }{= ≠Y X P . （D ）2 1 }{=≤Y X P . （A ）X =Y . （B ）P {X =Y }=0 . (C) P {X =Y }=1/2. (D) P{X =Y }=1. 4.设（X ，Y ）的联合概率密度函数为???≤≤≤≤=其他， y x y x y x f 01 0,10,6),(2,则下列结 论中错误的是（B ）.第三章__多维随机变量及其分布总结
第三章-多维随机变量及其分布--习题
二维随机变量及其分布题目
第三章-多维随机变量及其分布测试题答案
多维随机变量及其分布
多维随机变量-(试题)+
多维随机变量题库
概率论与数理统计教程习题(第三章多维随机变量及其分布)
(学生)第三章 多维随机变量及其分布
第三章_多维随机变量及其分布_习题)