第三章多维随机变量及其分布

习题3.1

143

2. 100件产品中有50件一等品,30件二等品,20件三等品.从中不放回地抽取5件,以X,Y 分别表示取出的5件中一等品,二等品的件数,求(X,Y)的联合分布列.

5. 设随机变量(X,Y)的联合密度函数为

?<<<<--=.

,0;

42,20),6(),(其他y x y x k y x p 试求 (1) 常数k; (2) P(X<1,Y<3); (3) P(X<1.5); (4) P(X+Y ≤.

6. 设随机变量(X,Y)的联合密度函数为

???>>=+-.

,0;

0,0,,()43(其他y x ke yP x p y x

试求 (1) 常数k;

(2) (X,Y)的联合分布函数F(x,y); (3) P(0

11. 设二维随时机变量(X,Y)的联合密度函数为

?????<<<<+=.

,0;

20,10,3

),(2其他y x xy

x y x p 求P(X+Y ≥1).

13. 设二维随时机变量(X,Y)的联合密度函数为

?????<<<<=.

,0;

20,10,2

),(其他y x y x p 求X 与Y 中至少有一个小于0.5的概率.

习题3.2 P153

4.设平面区域D 由曲线及直线y=1/x 及直线y=0,x=1,x=e2所围成,二维随机变量(X.,Y)在区域D 上服从均匀分布,试求X 的边际密度函数.

6. 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为

?<<<<=.

,0;

10,6),(2其他x y x y x p 试求边际密度函数).()(y p x p Y X 和

12. 设X 与Y 是两个相互独立的随机变量, X~U(0,1), Y~Exp(1). 试求(1)X 与Y 的联合密度函数; (2)P(Y ≤X); (3)P(X+Y ≤1).

14. 设随机变量(X,Y)的联合密度函数为

?<<<=.

,0;

10,||,1),(其他y y x y x p 试求(1)边际密度函数)()(y p x p Y X 和;(2)X 与Y 是否独立?

16. 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为p(x,y). 证明:X 与Y 相互独立的充要条件是p(x,y)可分离变量,即p(x,y)=h(x)g(y). 又问h(x),g(y)与边际密度函数有什么关系? 习题3.3

P163

1. 设二维随机变量(X,Y)的联合分布列为

试分别求

3. 设随时机变量X 和Y 的分布列分别为

-1

已知P(XY=0)=1,

5. 设X 和Y 为两个随机变量,且

4)0()0(,73)0,0(=≥=≥=

≥≥Y P X P Y X P 试求).0),(max(≥Y X P

6. 设X 与Y 的联合密度函数为

??>>=+-.,0;

0,0,),()(其他y x e y x p y x

试求以下随机变量的密度函数(1)Z=(X+Y)/2;(2)Z=Y-X.

8. 某种商品一周的需要量是一个随机变量,其密度函数为

?≤>=-.

0,0;

0,)(1t t te t p t 设各周的需要量是相互独立的,试求 (1) 两周需要量的密度函数)(2x p ; (2) 三周需要量的密度函数).(3x p

10. 设二维随机变量(X,Y)在矩形

}10,20|),{(≤≤≤≤=y x y x G

上服从均匀分布,试求边长分别为X 和Y 的矩形面积Z 的密度函数.

16. 设随机变量n X X X ,,,21 相互独立,且)(~i i Exp X λ,试证:

n i X X X X P λλλλ+++=

= 2121)),,,min((

18. 设随机变量X 与Y 独立同分布,其密度函数为