抛物线与直线形由动点生成的特殊三角形问题

抛物线与直线形（1）

——由动点生成的特殊三角形问题

知识纵横

抛物线与直线形的结合表现形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能够成某些特殊三角形，有以下常见的基本形式：

（1）抛物线上的点能否构成等腰三角形；

（2）抛物线上的点能否构成直角三角形；

（3）抛物线上的点能否构成相似三角形；

解这类问题的基本思路：假设存在，数形结合，分类归纳，逐一考察。

例题求解

【例1】如图，抛物线y =ax2 -5ax - 4经过.'ABC的三个顶点，已知BC // x轴，点A在

x轴上，点C在y轴上，且AC =BC ?

（1）求抛物线的对称轴；

（2）写出代B,C三点的坐标并求抛物线的解析式；

（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在■ PAB是等腰三角形？

（龙岩市中考题）思路点拨对于（3）只需求出P点纵坐标，将问题转化为相关线段长。解题的关键是分

情况讨论并正确画图。

【例2】已知抛物线y = kx2 - 2kx _ 3k ,交x轴于A, B两点（A在B的左边），交y轴于

C点，且y有最大值4.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在点P ,使PBC是直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.

（包头市中考题）思路点拨对于（2）,设P点坐标为（a,b ），寻找相似三角形，建立a、b的另一关系式，解联立而得到的方程组，可求出a、b的值。

【例3】抛物线y = —l（x-i f十3与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点

C .

（1）如图1 .求点A的坐标及线段0C的长；

（2 ）点P在抛物线上，直线PQ // BC交x轴于点Q，连接BQ .

①若含45角的直角三角板如图2所示放置.其中，一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上?求直线BQ的函数解析式；

②若含30角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上，另一个顶点E

在PQ上，求点P的坐标.

S 1 2 2

(2011年绍兴市中考题) 思路点拨对于(2)，解题的关键是求出CQ的长。由条件出发，构造全等三角形或相似

三角形，而能发现C、D、Q、E四点共圆，可使问题获得简解。

【例4】如图1，抛物线y二ax2? bx ? c a = 0的顶点为C 1,4，交x轴于代B两点，交y 轴于点D，其中点B的坐标为3,0 ?

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图2，过点A 的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F，其中点E的横坐标为2, 若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H , 使D,G,H,F四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G,H的坐标；

若不存在，请说明理由；

(3)如图3,在抛物线上是否存在一点T ,过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作

MN // BD ,交线段AD于点N，连接MD，使DNM BMD ?若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.

思路点拨

对于(2),因DF 是一个定值，故需使 DG +GH

入手；对于(3)由题意知.NMD =/BDM ，要使.DNM

：

BMD ，只要使陋

即MD 2二NM BD ;或从角入手得到隐含的相似三角形。

学力训练

1.如图1，已知抛物线的顶点为 A 2,1 ,且经过原点

0,与x 轴的另一个交点为

B .

(1) 求抛物线的解析式;

(2) 若点C 在抛物线的对称轴上，点 D 在抛物线上，且以 0,C, D,B 四点为顶点的四边形

为平行四边形，求 D 点的坐标;

(3) 连接0A, AB ，如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点

相似？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由.

2.如图，已知抛物线与 x 轴交于A -1,0 ,B

3.0两点，与y 轴交于点C 0,3 . (1) 求抛物线的解析式；

(2)

设抛物线的顶点为 D ，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点

P ，使得 PDC 是

(2011深圳市中考题)

亠HF 最小即可，从轴对称

MD BD

，

P ，使得0BP 与

0AB

等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)点M是抛物线上一点，以B,C,D,M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标.

3.在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴

1 1

上，点C -1,0 .如图所示，B点在抛物线y二X2 3亠—x-2图象上，过点B作BD _ x

2 2

轴，垂足为D，且B点横坐标为-3 .

(1)求证：BDC 二COA ；

2 求BC所在直线的函数关系式；

3 抛物线的对称轴上是否存在点P ,使AAP 是以AC为直角边的直角三角形？若存在, 求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.

(2011年西宁市中考题)

4.已知抛物线y =ax2? bx c的对称轴为直线x = 2，且与x轴交于A, B两点，与y轴

交于点C，其中A1,0 ,C 0,-3 .

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P在抛物线上运动(点P异于点A )?

①如图1?当.PBC面积与ABC面积相等时?求点P的坐标;

②如图2?当.PCB二.BCA时，求直线CP的解析式.

(2011年莆田市中考题) B

, 2

5.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax bx 3与x轴的两个交点分别为

A -3,0 ,

B 1,0，过顶点C作CH _ x轴于点H .

(1)直接填写：a =, b = ______________________ ，顶点C的坐标为；

(2)在y轴上是否存在点D，使得二ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出

点D的坐标；若不存在，说明理由；

(3)若点P为x轴上方的抛物线上一动点(点P与顶点C不重合)，PQ _ AC于点Q ,

当PCQ与.ACH相似时，求点P的坐标.

(2011年潜江市中考题)

抛物线与三角形专题练习

第一课时抛物线与三角形例1 如图，已知抛物线223y x x =-++经过A （－1，0）、B （3，0）、C （0，3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）设点P 为直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标；（2）在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．例2 已知抛物线k kx kx y 322 -+=交x 轴于A 、B 两点（A 在B 的左边），交y 轴于C 点，且y 有最大值4．在抛物线上是否存在点P ，使△PBC 是直角三角形？若存在，求出P 点坐标，若不存在说明理由. 例3抛物线223y x x =-++经过点A （－1，0），C （0，3）．（1）如图①，P 为线段BC 上一点，过点P 作y 轴平行线交抛物线于点D ，当△BDC 的面积最大时，求点P 的坐标；（2）如图②，抛物线顶点为E ，EF ⊥x 轴于点F ，M （m ，0）是x 轴上一动点，N 是线段EF 上一点，若∠MNC =90°，请指出实数m 的变化范围，并说明理由．

例4（2014?苏州）如图，二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m是常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于C（0，﹣3），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．（1）用含m的代数式表示a；（2）求证：为定值；（3）设该二次函数图象的顶点为F，探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．例5（2014?常州）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣x2+x+2的图象与x轴交于点A，B（点 B在点A的左侧），与y轴交于点C．过动点H（0，m）作平行于x轴的直线l，直线l与二次函数y=﹣x2+x+2的图象相交于点D，E．（1）若m＞0，以DE为直径作⊙Q，当⊙Q与x轴相切时，求m的值；（2）直线l上是否存在一点F，使得△ACF是等腰直角三角形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

抛物线与三角形的面积

抛物线与三角形的面积-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

抛物线与三角形的面积抛物线与三角形面积相结合的问题涉及代数、几何的许多定理、公式，有一定的难度，近年来的中考试题中，经常出现抛物线与三角形面积结合的综合题，以考查学生的综合运用所学知识解决问题的能力。这节课我们共同来探索一下顶点都在抛物线2y ax bx c =++上的三角形面积的求法。 1、已知抛物线: 224 2 3 3 y x x =--+ (1)求抛物线与坐标轴交点坐标及顶点坐标; (2)画出抛物线的草图; (3)设抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于C 点，顶点为D 。求：①△DAB 和△CAB 的面积； ②四边形ABCD 的面积； ③ △ACD 的面积 (4)求直线AC 的解析式；（5）抛物线上有一动点P 在直线AC 上方，问：是否存在一点P ，使△PAC 的面积最大，若存在，求出△PAC 的最大面积及P 点坐标；若不存在，请说明理由。 2、如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴与C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由. （3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由. A B C

练习：1、在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ．（1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ；（2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少 2、如图1，抛物线经过点A (4，0)、B （1，0)、C （0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线是有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求出点D 的坐标．图1 A B M N D 图 2 O A B C M N P 图 1 O A B M N 图 3 O

中考专题1(由动点形生成的特殊三角形问题)

由动点形生成的特殊三角形问题抛物线与直线形的结合表形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊三角形，有以下常风的基本形式（1）抛物线上的点能否构成等腰三角形（2）抛物线上的点能否构成直角三角形（2）抛物线上的点能否构成相似三角形解决这类问题的基本思路是：假设存在，数形结合，分类讨论，逐一考查例题1：（2010重庆綦江县）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)经过点B(12，0)和C(0，－6)，对称轴为x＝2． (1)求该抛物线的解析式． (2)点D在线段AB上且AD＝AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一个动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t(秒)和点Q的运动速度；若存在，请说明理由． (3)在(2)的结论下，直线x＝1上是否存在点M，使△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若存在，请说明理由．

例题2（2010四川巴中）如图12已知△ABC中，∠ACB＝90°以AB 所在直线为x 轴，过c 点的直线为y 轴建立平面直角坐标系．此时，A 点坐标为（一1 ， 0）， B 点坐标为（4，0 ）（1）试求点C 的坐标（2）若抛物线2 =++过△ABC的三个顶点，求抛物线的解析式． y ax bx c （3）点D（ 1，m ）在抛物线上，过点A 的直线y=－x－1 交（2）中的抛物线于点E，那么在x轴上点B 的左侧是否存在点P，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABE 相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由。 D H G

抛物线与相似三角形

抛物线与相似三角形点的运动既能改变图形相关的数量关糸，又能改变图形的形状及位置，从而造就相似三角形，抛物线与相似三角形的结合是抛物线上几何架构的重要表现形式。因点的运动或对应关糸的不确定而进行的讨论，是解决这类问题的关争键。 1. 如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣4，0）、B（1，0）、C（﹣2，6）．（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE；（3）设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似吗？ 2.如图1，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，求点N的坐标；（4）在（2）与（3）的条件下，请直接写出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）． 3.如图，顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F．问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．

4. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3， ﹣）．（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；（2）在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB；（3）在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由． 5.如图，已知二次函数的图象过点A（﹣4，3），B（4，4）．（1）求二次函数的解析式：（2）求证：△ACB是直角三角形；（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6.如图，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 7. 如图，已知抛物线y=x2﹣（b+1）x+（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B （点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．（1）点B的坐标为，点C的坐标为（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

抛物线三角形面积求法

抛物线内接三角形面积的计算通法一、问题的提出 (2016年酒泉中考题)如图1(1)，已知抛物线经过(3,0)A ，(0,3)B 两点. (1)求此抛物线的解析式和直线AB 的解析式; (2)如图1(1)，动点E ，从O 点出发，沿着OA 的方向以1个单位/秒的速度向终点A 匀速运动，同时，动点F 从点A 出发，沿着AB 个单位/秒的速度向终点B 匀速运动，当EF 中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动.连结EF ，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，AEF V 为直角三角形? (3)如图1(2)，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A ，B 处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 与A ，B 两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形?如果存在，求出最大面积，并指出此时点P 的坐标;如果不存在，请简要说明理由. 本题第(3)问是求抛物线内接不规则三角形的最大面积问题，解这类问题有没有一种通用的方法呢?值得我们探究. 二、几种特殊情况 1.抛物线内接三角形有一边在x 轴上:(这里约定A 点的横坐标记为A x ，A 点的纵坐标记为为A y ) 如图2(1)，有 1122 ABC A B C S AB OC x x y ?=?=-?. 如图2(2)，有

1122 ABC A B C S AB DC x x y ?=?=-?. 如图2(3)，有 1122 ABC A B C S AB DC x x y ?= ?=-?. 2.抛物线内接三角形有一边与x 轴平行:如图3(1)，有 1122 ABC A B C D S AB DC x x y y ?=?=-?-, 或1122ABC B A D C S AB OC x x y y ?=?=-?-; 如图3(2)，有 1122ABC A B C D S AB DC x x y y ?= ?=-?-, 或1122 ABC B A D C S AB OC x x y y ?=?=-?-. 在以上特殊情况下，只要求出A 、B 、C 、D 的坐标，代入即可以求出抛物线内接三角形的面积. 三、建立模型当抛物线内接三角形的三边均不与坐标轴平行时(如图4)，三角形的面积又该怎么计算呢? 解题的基本思路是将任意三角形转化为上述特殊的三角形，然后类比解决. 如图4，过点C 作“轴的垂线交AB 于点D ,则ABC ?被分成了两个以CD 为一公共边的三角形. 过点A 作AE CD ⊥于点E ，过B 作BF CD ⊥于点F ，则 11()22 ABC CDA ABC S S S CD AE CD BF CD AE BF ???=+=?+?=?+，

二次函数综合(动点与三角形)问题方法与解析

二次函数综合（动点与三角形）问题一、知识准备：抛物线与直线形的结合表现形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊三角形，有以下常见的基本形式。（1）抛物线上的点能否构成等腰三角形；（2）抛物线上的点能否构成直角三角形；（3）抛物线上的点能否构成相似三角形；解决这类问题的基本思路：假设存在，数形结合，分类归纳，逐一考察。二、例题精析㈠【抛物线上的点能否构成等腰三角形】例一．（2013?地区）如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c 经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）求△ABC的面积；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．分析：（1）根据直线解析式求出点A及点B的坐标，然后将点A及点B的坐标代入抛物线解析式，可得出b、c的值，求出抛物线解析式；（2）由（1）求得的抛物线解析式，可求出点C的坐标，继而求出AC的长度，代入三角形的面积公式即可计算；（3）根据点M在抛物线对称轴上，可设点M的坐标为（﹣1，m），分三种情况讨论， ①MA=BA，②MB=BA，③MB=MA，求出m的值后即可得出答案．解：（1）∵直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点， ∴可得A（1，0），B（0，﹣3），把A、B两点的坐标分别代入y=x2+bx+c得：，

解得：． ∴抛物线解析式为：y=x2+2x﹣3．（2）令y=0得：0=x2+2x﹣3，解得：x1=1，x2=﹣3，则C点坐标为：（﹣3，0），AC=4，故可得S△ABC=AC×OB=×4×3=6．（3）抛物线的对称轴为：x=﹣1，假设存在M（﹣1，m）满足题意：讨论： ①当MA=AB时，，解得：， ∴M1（﹣1，），M2（﹣1，﹣）； ②当MB=BA时，，解得：M3=0，M4=﹣6， ∴M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣6）， ③当MB=MA时，，解得：m=﹣1， ∴M5（﹣1，﹣1），答：共存在五个点M1（﹣1，），M2（﹣1，﹣），M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣6），M5（﹣1，﹣1）使△ABM为等腰三角形．点评：本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的性质及三角形的面积，难点在第三问，注意分类讨论，不要漏解．㈡【抛物线上的点能否构成直角三角形】例二．（2013）如图，已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y=ax2+bx+c 的图象交于y轴上的一点B，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．

浙教版八年级上册特殊三角形常见的题目模型

八年级上册第二章特殊三角形一、将军饮马例1 如图，在正方形ABCD 中，AB=9，点E 在CD 边上，且DE=2CE ，点P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PD 的最小值是（） A 、3 B 、10 C 、9 D 、9 【变式训练】 1、如图，在矩形ABCD 中，AD=4，∠DAC=30°，点P 、E 分别在AC 、AD 上，则PE+PD 的最小值是（） A 、2 B 、2 C 、4 D 、 2、如图，∠AOB=30°，P 是∠AOB 内一定点，PO=10，C ，D 分别是OA ，OB 上的动点，则△PCD 周长的最小值为 3、如图，∠AOB=30°，C ，D 分别在OA ，OB 上，且OC=2，OD=6，点C ，D 分别是AO ，BO 上的动点，则CM+MN+DN 最小值为 4、如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B ，D 作AB ⊥BD ，DE ⊥BD ，连结AC ，CE ．（1）已知AB=3，DE=2，BD=12，设CD=x ．用含x 的代数式表示AC+CE 的长；（2）请问点C 满足什么条件时，AC+CE 的值最小？并求出它的最小值；（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值 E B C A D P 第2题 B O A P C D 第1题 B O A C N 第3题 E C

二、等腰三角形中的分类讨论例2（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm，则它的周长为（2）已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm，则它的腰长为（3）已知等腰三角形的周长为28cm和8cm，则它的底边为【变式训练】 1、已知等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，则周长为 2、已知等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，则它的各个内角的度数为 3、已知等腰三角形的一个外角等于150°，则它的各个内角的度数为 4、已知等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，则它的各个内角的度数 5、已知等腰三角形底边为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为 6、在三角形ABC中，AB=AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°，则底角∠B的度数为 7、如图，A、B是4×5的网格中的格点，网格中每个小正方形的边长都是单位1，请在图中清晰地标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置三、两圆一线定等腰例3在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有个 B

二次函数与三角形综合题型

22．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P 是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标． 20．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；（3）在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 23．已知抛物线C1的顶点为P（1，0），且过点（0，）．将抛物线C1向下平移h个单位（h＞0）得到抛物线C2．一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点（如图），且点A、C关于y轴对称，直线AB与x轴的距离是m2（m＞0）．（1）求抛物线C1的解析式的一般形式；（2）当m=2时，求h的值；

（3）若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E，与抛物线C2交于点F．求证：tan∠EDF ﹣tan∠ECP=． 22．解：（1）∵B（4，m）在直线y=x+2上， ∴m=4+2=6， ∴B（4，6）， ∵A（，）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为y=2x2﹣8x+6．（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6）， ∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6）， =﹣2n2+9n﹣4， =﹣2（n﹣）2+， ∵PC＞0， ∴当n=时，线段PC最大且为．

抛物线与三角形地面积

抛物线与三角形的面积抛物线与三角形面积相结合的问题涉及代数、几何的许多定理、公式，有一定的难度，近年来的中考试题中，经常出现抛物线与三角形面积结合的综合题，以考查学生的综合运用所学知识解决问题的能力。这节课我们共同来探索一下顶点都在抛物线2 y ax bx c =++上的三角形面积的求法。 1、已知抛物线: 2 24 2 33 y x x =--+ (1)求抛物线与坐标轴交点坐标及顶点坐标; (2)画出抛物线的草图; (3)设抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于C点，顶点为D。求：①△DAB和△CAB的面积； ②四边形ABCD的面积； ③△ACD的面积 (4)求直线AC的解析式；（5）抛物线上有一动点P在直线AC上方，问：是否存在一点P，使△PAC的面积最大，若存在，求出△PAC的最大面积及P点坐标；若不存在，请说明理由。 2、如图，抛物线c bx x y+ + - =2与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由. （3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由. A B C

练习：1、在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 作接矩形AMPN ．令AM ＝x ．（1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ；（2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？ 2、如图1，抛物线经过点A (4，0)、B （1，0)、C （0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线是有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求出点D 的坐标．图1 A B M N D 图 2 O A B C M N P 图 1 O A B M N 图 3 O

抛物线中的三角形问题

抛物线中的三角形问题一、教学目标： 1、知识、能力目标：通过复习，使学生了解将抛物线与三角形有机地结合在一起的综合题。 2、情感目标：感受数形结合的优美与和谐。二、教学过程：近年来在各地中考数学试题中出现了一类新的热点题型，将抛物线与三角形有机地结合在一起。这类题目综合性强，难度较大，本节来归纳这类试题的基本类型与求解。一、根据已知条件判定或证明抛物线中三角形的形状例1、已知二次函数y=(a+c)x 2 +2bx-(c-a),其中a,b,c,是△ABC 的三边，且a b ≥,a c ≥, a+c=2b,若这个二次函数的图象过原点，试证△ABC 是等边三角形。证明抛物线y=(a+b)x 2 +2bx-(c-a)过原点，将原点坐标（0，0）代入解得：a=c. 又a+c=2b ， ∴a=b=c ，故△ABC 是等边三角形。二、已知抛物线中三角形的形状，求解（证）有关二次函数问题例2、已知抛物线y=x 2 +kx+1与x 轴的两个交点A,B 都在原点右侧，顶点是C ，△ABC 是等腰直角三角形。求证：（1）；(2)求k 的值。分析：本题要沟通函数与方程的关系，方程的根即为抛物线与x 轴交点的横坐标。运用这一解题思想比较简捷。解（1）设A ，B 两点的坐标分别是（1x ,0）,(2x 0),则： 121 12x x k x x +=-= ∴AB= 21X X -= = (2) 抛物线y=2 x +kx+1的顶点C 的坐标是（-2 k ，2 44k -）。 △ABC 是等腰直角三角形的性质得： 244k -=12 k=±. A,B 两点在原点的右侧， ∴k=-(12x x +)<0,从而 k=- 三、已知抛物线中三角形的面积。求抛物线上点的坐标例３、已知二次函数y=x 2 -(m-2)x+m 的图象经过（－１，１５），设此二次函数的图象与x 轴的交点是A,B,图象上的点C 使△ABC 的面积等于1，求点C 的坐标。分析：根据题设条件易求得A 、B 两点的坐标，然后由面积公式确定C 点的坐标。解：∵函数2(2)y x m x m =--+的图像过（-1，15）， ∴15=2 (1)(2)(1)m m ----+， ∴m=8。∴二次函数的解析式为2 68x y x -+=令y=0，则2 68x x -+=0。解得122,4x x ==。从而求得A(2,0),B(4,0)。设图象上一点C(x,y)，则S △ABC=1 12AB y ??=,

抛物线上三角形面积

抛物线上三角形面积 1、如图，抛物线2(1)y x k =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点(0,3)c -。（1）求抛物线的对称轴及k 的值；（2）抛物线的对称轴上存在一点P ，使得PA ＋PC 的值最小，求此时点P 的坐标；（3）点M 是抛物线上一动点，且在第三象限． ① 当M 点运动到何处时，△AMB 的面积最大？求出 △AMB 的最大面积及此时点M 的坐标； ② 当M 点运动到何处时，四边形AMCB 的面积最大？求出四边形AMCB 的最大面积及此时点M 的坐标． 2、如图，抛物线顶点坐标为点C （1，4），交x 轴于点A （3，0），交y 轴于点B ．（1）求抛物线和直线AB 的解析式；（2）求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S △；（3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使 S △PAB =8 9S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由． x C O y A B D 1

3、如图，已知抛物线2 =-++与一直线 y x bx c 相交于A（-1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m 的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD 交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．

特殊三角形与动点问题

特殊三角形与动点问题 1、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D 运动的速度为每秒1个单位长度（1）当t=2时，CD= ，AD= ；（请直接写出答案）（2）求当t为何值时，△CBD是直角三角形？并说明理由．（3）求当t为何值时，△CBD是等腰三角形？并说明理由． 2、已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？（2）当t为何值时，△PBQ是等腰三角形？（3）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的关系式。

3、已知：如图所示，等边三角形ABC的边长为2，点P和Q分别从A和C两点同时出发，做匀速运动，且它们的速度相同．点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，设PQ与直线AC相交于点D，作PE⊥AC于E，当P和Q运动时，线段DE的长是否改变？证明你的结论． 4、如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．

抛物线与坐标轴交点构成的三角形问题

抛物线与坐标轴交点构成的三角形问题--------思考与探索面积篇例1:已知抛物线3+2x +x －=y 2与x 轴交于A,B 两点，其中A 点位于B 点的左侧，与y 轴交于C 点，顶点为P ， _________=S A O C △ _________=S BO C △ _________=S CO P △ _________=S PAB △ _________=S PCB △ _________=S A CP △ 例：在平面直角坐标系中，有两点A （-1，0），B （3，0），如图，小敏发现所有过A ，B 两点的抛物线如果与y 轴负半轴交于点C ，M 为抛物线的顶点，那么△ACM 与△ACB 的面积比不变，请你求出这个比值。对称篇例2、如图，一元二次方程2230x x +-=的二根12x x ，（ 12x x < ）是抛物线2y ax bx c =++与x 轴的两个交点B,C 的横坐标，且此抛物线过A(3，6)点．（1）求此二次函数的解析式．（2）设此抛物线的顶点为p ，对称轴与线段AC 相交于点Q ，求点P 和点Q 的坐标．（3）在X 轴上有一动点M ，当MQ+MA 取得最小值时，求点M 的坐标（4）设AC 与Y 轴交与D 点，E 点坐标为(0,1)，在X 轴上找一点F ，抛物线对称轴上找一点G ，使四边形AFGE 的周长最短，并求出当四边形周长最短时的点F 、G 点坐标，并求出四边形AFGE 的周长。

形状篇 1、已知抛物线c +bx +ax =y 2与x 轴正、负半轴分别交于A 、B 两点，与y 轴负半轴交于点C 。若OA=4，OB=1，∠ACB=90°，求抛物线解析式。 2、已知：抛物线与x 轴的交点坐标为A(-1,0)和B （3，0）,顶点为C,若∠ACB=90度. 问1：C 点的坐标是多少？问2：在抛物线的解析式中，=-ac b 42 3. 若题设中的A 、B 两点的坐标未知，而已知∠ACB=90度，你能求出 =-ac b 42吗？ 4. 从上面的探索中我们看到解析式中的△与∠ACB 有关，那么如果△ACB 是等边三角形，则△是多少？最后, ①思因果 ; ②思规律 ; ③思多解 ; ④思变通; ⑤思归类; ⑥思错误．

特殊三角形常见的题目型.docx

八年级上册第二章特殊三角形一、将军饮马例1如图，在正方形 ABCD 中，AB=9,点E 在CD 边上，且 DE=2CE 点P 是对角线AC 上的一个动点，则 PE+PD 的最小值是( ) A 3 — B 、10 一 C 、9 D 、9 — 【变式训练】 1、如图，在矩形 ABCD 中，AD=4,∠ DAC=30 ,点 P 、E 分别在 AC AD 上，则 PE+PD 的最小值是( ) 2、如图，∠ AOB=30，P 是∠ AOB 内一定点，P0=1Q G D 分别是 OA OB 上的动点，则△ PCD 周长的最小值为 ______________ 3、如图，∠ AOB=30，C, D 分别在 OA OB 上，且0C=2 0D=6点C, D 分别是 AO BO 上的动点，贝U CM+MN+DN 最小值为 4、如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点 B , D 作AB 丄BD, DEl BD 连结 AC, CE (1) 已知AB=3, DE=Z BD=12设CD=X 用含X 的代数式表示 AC+CE 的长； (2) 请问点C 满足什么条件时，AC+CE 的值最小？并求出它的最小值； (3) 根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值二、等腰三角形中的分类讨论例2 (1)已知等腰三角形的两边长分别为 8cm 和10cm,则它的周长为 ________________ (2) 已知等腰三角形的两边长分别为 ____________ 8cm 和10cm,则它的腰长为 (3) 已知等腰三角形的周长为 _________________ 28cm 和8cm,则它的底边为【变式训练】 1、已知等腰三角形的两边长分别为 3cm 和7cm,则周长为 __________________ 2、已知等腰三角形的一个角是另一个角的 4倍，则它的各个内角的度数为 _________________ 3、已知等腰三角形的一个外角等于 150°,则它的各个内角的度数为 _______________________ 4、已知等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为 25°,则它的各个内角的度数 __________________ 第1题 D 、4 M D B

动点问题最值

1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. G F D A E A C B D F E B A C D F B A C D 动点问题最值最值问题有四种情形：定点到动点的最值，动点在圆上或直线上，就是点到圆的最近距离，和点到直线的最近距离；三角形两边之和大于第三边的问题，当两边成一直线最大；几条线段之和构成一条线段最小；还有就是对称点最小问题。一、定点到动点所在圆的最大或最小值，动点在一个定圆上运动，其实质是圆外一点到圆的最大或最小距离，就是定点与圆心所在直线与圆的交点的两个距离。方法：证明动点在圆上或者去找不变的特殊三角形，证明两个三角形相似，求出某些边的值。 1．如图，△ABC 、△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FC 相交于点M ．当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是（） A ．32- B ．13+ C ．2 D ．13- 提示：点M 在以AC 为直径的圆上 2．（2015?咸宁）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 是边BC 上的动点，BF ⊥AE 交CD 于点F ，垂足为G ，连结CG ．下列说法：①AG ＞GE ；②AE =BF ；③点G 运动的路径长为π；④CG 的最小值为﹣1．其中正确的说法是 ②③ ．（把你认为正确的说法的序号都填上）提示：G 在以AB 为直径的圆上：正确答案是：②④ 3、如图，正方形ABCD 的边长为4cm,正方形AEFG 的边长为1cm ，如果正方形AEFG 绕点A 旋转，那么C 、F 两点之间的最小距离为 4、如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°,M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将 △AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，则A ′C 长度的最小值是 5、如图，等腰直角△ACB ，AC=BC=5，等腰直角△CDP ，且PB=2，将△CDP 绕C 点旋转. （1）求证：AD=PB （2）若∠CPB=135°，求BD ；（3）∠PBC= 时，BD 有最大值，并画图说明； ∠PBC= 时，BD 有最小值，并画图说明. 分析：在△ABD 中有：BD ≤AB+AD ，当BD=AB+AD 时BD 最大，此时AB 与AD 在一条直线上，且AD 在BA 的延长线上，又△ACB 是等腰直角三角形，∠CAB=45°，由（1）知∠PBC=∠CAD=180°-45°=135° BD ≥AB-AD ，当BD=AB-AD 时BD 最小，此时，AB 与AD 在一条直线上，且AD 此时∠CAD=45°，所以∠PBC=∠CAD=45° 6、如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°,∠BAE=135°,AD=1， 2，F 为BE 中点. （1）求CF 的长（2）将△ADE 绕A 旋转一周，求点F 运动的路径长；（3）△ADE 绕点A 旋转一周，求线段CF 的范围.

(名师整理)最新数学中考专题冲刺《二次函数动点成特殊三角形问题》压轴真题训练(含答案)

冲刺中考《二次函数动点成特殊三角形问题》压轴专题 1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝－ 1 3 x2＋bx＋c的图象与坐标轴交于A，B， C三点，其中点A的坐标为(－3，0)，点B的坐标为(4，0)，连接AC，BC.动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ. (1)填空：b＝________，c＝________； (2)在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由； (3)在x轴下方的二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由．第1题图解：(1)1 3 ，4；【解法提示】∵二次函数y＝－1 3 x2＋bx＋c与x轴交于A(－3，0)，B(4，0)， ∴ b c= b c= --+ ? ? ? -++ ?? 330 16 40 3 ，解得 b= c= ? ? ? ?? 1 3 4 ， 1

(2)可能是，理由如下： ∵点P在AC上以每秒1个单位的速度运动， ∴AP＝t， ∵点Q在OB上以每秒1个单位的速度运动，∴OQ＝t， ∴AQ＝t＋3， ∵∠PAQ<90°，∠PQA<90°， ∴若要使△APQ是直角三角形，则∠APQ＝90°，在Rt△AOC中，OA＝3，OC＝4， ∴AC＝5，如解图①，设PQ与y轴交于点D，第1题解图① ∵∠ODQ＝∠CDP，∠DOQ＝∠DPC＝90°， 2

中考数学相似三角形动点问题专题复习

中考数学相似三角形动点问题专题复习一、几何动点问题例题：如图，在△ABC 中，AB=8cm，BC=16cm，点P 从点A 出发沿AB 边向点B 以2cm/s 的速度移动，点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以4cm/s 的速度移动（有一点到达端点后即停止移动），如果P,Q 同时出发，经过几秒后△PBQ 和△ABC 相似？ 1、如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D 为BC 的中点，若动点E 以1cm/s的速度从A 点出发，沿着A→B→A 的方向运动，设E 点的运动时间为t 秒（0≤t＜6），连DE，当△BDE 是直角三角形时，t 的值为 2、如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点D 是BC 边的中点，动点P 从点C 出发，沿C→A→B 的方向在AC、AB 边上以每秒2 个单位的速度向点B 移动，运动至点B 即停止。连接PD，当点P 运动时间t 为何值时，线段PD 截

Rt△ABC 为两部分，所得的三角形与Rt△ABC 相似． 3、如图，在直角梯形ABCD 中， D 900 ，AB=10cm，BC=6cm，AB ∥CD , AC BC , F点以2cm / s 的速度在线段AB 上由A 向B 匀速运动，E 点同时以1cm / s 的速度在线段BC上由B 向C 匀速运动，设运动的时间为t （0＜t ＜5）. （1）求证：△ ACD ∽△BAC ；（2）求DC 的长（3）当t 为何值时，△ FEB 为直角三角形？ 4、已知，在矩形ABCD 中，AB=a，BC=b，动点M 从点A 出发沿边AD 向点D 运动．（1）如图1，当b=2a，点M 运动到边AD 的中点时，请证明∠BMC=90°；

动点之两定点与一动点构成特殊三角形

两定点A ，B 与一定点P 构成特殊三角形时应考虑：AB=AP ，AB=BP ，AP=BP ，三种情况分类讨论，分别求出定点P 的位置和坐标。 1（上海市）在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（0，4），直线CM ∥x 轴（如图所示）．点B 与点A 关于原点对称，直线y ＝x ＋b （b 为常数）经过点B ，且与直线CM 相交于点D ，联结OD ．（1）求b 的值和点D 的坐标；（2）设点P 在x 轴的正半轴上，若△POD 是等腰三角形，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，如果以PD 为半径的圆P 与圆O 外切，求圆O 的半径． 2．（重庆市）已知：如图，在平面直角坐标系xO y 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3．过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ．（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为56 ，那么EF ＝2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与 AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（江苏省）如图，已知射线DE 与x 轴和y 轴分别交于点D （3，0）和点E （0，4），动点C 从点M （5，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向左作匀速运动，与此同时，