抛物线与特殊三角形简单综合大题

1. (2016枣庄)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B.

(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求抛物线和直线BC的解析式；

(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；

(3)设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．

2. (2016新疆13分)如图，抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B

两点，与y轴交于点C，且BO＝OC＝3AO，直线y＝－1

3

x＋1与y轴交于点D.

(1)求抛物线的解析式；

(2)求证：△DBO∽△EBC；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．

1．(1)抛物线解析式为y＝－x2－2x＋3，直线BC的解析式为y＝x＋3；

(2)设直线BC与对称轴x＝－1的交点为M，如解图，连接AM，

∵MA＝MB，∴MA＋MC＝MB＋MC＝BC，

∴使MA＋MC最小的点M应为直线BC与对称轴x＝－1的交点，

把x＝－1代入直线y＝x＋3，得y＝2，∴M(－1，2)；

(3)设P(－1，t)，∵B(－3，0)，C(0，3)，∴BC2＝18，

PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10，

①若B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－6t＋10，解得t1＝－2；

②若C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2，即18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解得t2＝4；

③若P 为直角顶点，则PB 2＋PC 2＝BC 2，即4＋t 2＋t 2－6t ＋10＝18，

解得t 3＝3＋172，t 4＝3－172

.综上所述，满足条件的点P 共有四个，分别为： P 1(－1，－2)，P 2(－1，4)，P 3(－1，

3＋172)，P 4(－1，3－172)． 2．(1)抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3

(2)证明：由抛物线解析式y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4可得：E (1，－4)，

当x ＝0时，y ＝－13

x ＋1＝1，∴D (0，1)，即OD ＝1，∴BD ==， 同理可得CE ＝2，BE ＝25，BC ＝32，

在△DBO 和△EBC 中， ∵2DB DO BO EB EC BC ===∴△DBO ∽△EBC ；

(3)存在，点P 的坐标为(1，－1)，(1，－3＋17)，(1，－3－17)，(1，14)或(1，－14)．

【解法提示】过点P 作PG ⊥y 轴于点G ，连接PC ，PB ，设抛物线对称轴与x 轴的交点为M ，设点P (1，a)，则PG ＝1，GC ＝|a ＋3|，PM ＝|a |，PC 2＝1＋(a ＋3)2，PB 2＝a 2＋4，BC 2＝18， ①当P 是等腰三角形顶点时，PC 2＝PB 2，即1＋(a ＋3)2＝4＋a 2，解得a ＝－1，∴P 1(1，－1)；

②当C 是等腰三角形顶点时，PC 2＝CB 2，即1＋(a ＋3)2＝18， 解得a 1＝－3＋17，a 2＝－3－17，∴P 2(1，－3＋17)，P 3(1，－3－17)；

③当B 是等腰三角形顶点时，PB 2＝CB 2，即4＋a 2＝18，

解得a 1＝14，a 2＝－14，∴P 4(1，14)，P 5(1，－14)．

综上所述，存在点P ，使得△PBC 是等腰三角形，点P 的坐标分别为：P 1(1，－1)，P 2(1，－3＋17)，P 3(1，－3－17)，P 4(1，14)，P 5(1，－14)．