最新研究生《应用数理统计基础》庄楚强-何春雄编制---课后答案

研究生 习题2：

2-7. 设 )1,0(~N ξ，),,,,,(654321ξξξξξξ为其一样本，而26542321)()(ξξξξξξη+++++=， 试求常数c ，使得随机变量ηc 服从2

χ分布。 2-7解：设3211ξξξη++=，所以 )3,0(~1N η 6542ξξξη++=，所以 )3,0(~2N η

所以

)1,0(~3

1

N η ，

)1,0(~3

2

N η

)2(~)(3

1332

22212

22

1χηηηη+=??? ??+??? ?? 由于 2

22

1ηηη+= 因此 当 3

1=c 时，)2(~2

χηc 。

2-8. 设 ),,,(1021ξξξΛ为)3.0,0(2

N 的一个样本，求 ?

??

???>∑=101244.1i i P ξ 。（参考数据：）

2-8解：因为 )3.0,0(~),,,(2

1021N ξξξξΛ=， 所以

)1,0(~3

.0N ξ

，

即有)10(~3.0210

12

χξ∑=??

?

??i i

所以 ???

???>∑=101244.1i i P ξ??????>=∑=1012223.044.13.0i i P ξ??????>=∑=10122163.0i i P ξ ?

??

???≤-=∑=10122163.01i i P ξ1.09.01=-=

2-14. 设总体)4,1(~N ξ，求{}20≤≤ξP 与{}

20≤≤ξP ，其中ξ是样本容量为16的样

本均值。（参考数据：）

2-14解： {}20≤≤ξP )0()2(F F -=)210()212(

-Φ--Φ=)2

1

()21(-Φ-Φ= 1)2

1

(2-Φ=3830.016915.02=-?=

由于 )4,1(~N ξ ， 所以 )1,0(~21

1

16

21N -=-ξξ

{}

20≤≤ξP ?????

?-≤-≤-=21122112110ξP ?

??

???≤-≤-=22112ξP )2()2(-Φ-Φ=9545.019725.021)2(2=-?=-Φ= 2-17. 在总体)20,80(2

N 中随机抽取一容量为100的样本，问样本平均值与总体均值的差的

绝对值大于3的概率是多少？（参考数据：） 2-17解：因为 )20,80(~2

N ξ， 所以

)1,0(~2

80

100

20

80

N -=

-ξξ

所以 {}380>-ξP {}

3801≤--=ξP ??

?

??????

?≤--=232801ξP ?

??

???≤

-≤--=23280

231ξP )]5.1()5.1([1-Φ-Φ-= ]1)5.1(2[1-Φ-=1336.0)93319.01(2)5.1(22=-=Φ-=

2-25. 设总体ξ的密度函数为

??

?<<=其它

102)(x x x p

取出容量为4的样本),,,(4321ξξξξ，求：

（1） 顺序统计量)3(ξ的密度函数)(3x p ；（2）)3(ξ的分布函数)(3x F ；（3）???

?

??>21)3(ξP 。

2-25解：（1）由 ()()[][])()(1)(!

!1!

)(1)(x p x F x F k n k n x p k n k k -----=

ξ

所以 当 10<

x tdt tdt

x p x x 2212!1!2!4)(02

0)3(??????-????

??=??ξ()()()

25222124124x x x x x -=-= 即 统计量)3(ξ的密度函数)()3(x p ξ为：

??

?<<-=其它

10)

1(24)(253x x x x p

（2） 由于 当10<

25334)]1(24[)(x x dt t t x F x -=-=

?

所以 )3(ξ的分布函数 ??

???>≤<-≤=1

1103400)(8

63x x x

x x x F （3）)21(121121)3()3(F P P -=??????≤-=??????>ξξ256

243213214186=??????????? ??-??? ??-=

习题3：

3-3. 已知总体ξ的分布密度为：

)0(0

0);(>??

?≤>=-λλλλx x e x p x

设),,,(21n ξξξΛ是容量为n 的样本，试分别求总体未知参数的矩估计量与MIE . 3-3解：矩法 由于 x x

de x dx e

x dx x xp E λλλλξ-+∞

+∞

-+∞

∞

-???

-===

);(

[

]

λλλλλ110

=???

???-=+-=+∞

-∞

+-∞

+-?

x x

x e dx e

xe

令 ξξ=E 所以 ξ

λ

1?= MIE 当0>x 时，构造似然函数∑==

=-=-∏n

i i

i

x n n

i x e

e L 1

1

)(λ

λ

λλλ

所以 ∑=-=n

i i x n L 1

ln )(ln λλλ 令

0)(ln 1=-=∑=n

i i x n d L d λλλ 得 ∑∑===

=n

i i n

i i

x n x

n

1

1

11?λ

即

λ的极大似然估计量为ξ

λ

1

?=

3-5. 为检验某种自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机抽取50L 化验，每升水中

大肠杆菌的个数（ 1L 水中大肠杆菌个数服从Poisson 分布），化验结果如下：

试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时才能使上述情况的概率为最大？

3-5解：由于 1L 水中大肠杆菌个数服从Poisson 分布

所以 )0(!

)(>=

-λλλe x x p x

所以

λ的估计量为 ξλ

=? 即有 1)0014231022010(50

1?=++?+?+?+?+=λ

所以 平均每升水中大肠杆菌个数为1的概率为最大。

3-26. 随机地取某种炮弹9发做试验，得炮口速度的样本标准差s m S 11*

=。设炮口速度是

正态分布的，求这种炮弹的炮口速度的标准差σ的95%置信区间。（参考数据：） 3-26解：设 ),,(~2σμξN 则 )1(~)1(222

*--n S n χσ

由

αχσχαα-=-<-<

--

1)}1()1()1({22

12

2

*2

2

n S n n P

得 2

σ的α

-1的置信区间为：????

?

?

?-----)1()1(,

)

1()1(2

22*2

212*n S n n S

n ααχχ

将数据 81=-n ，535.17)8()1(2

975.022

1==--

χχ

α

n ，

180.2)8()1(2025.022

==-χχαn ， 11*

=S 代入，得 2σ的95%置信区间为（55.2，444.0）， 即 σ的95%置信区间为（7.4，21.1）.

习题4：

4-1. 已知某炼铁厂的铁水含碳量ξ在正常下服从)108.0,55.4(2

N ，现在测了5炉铁水，其含碳量分别为： 4.28，4.40，4.42，4.35，4.37

如果方差没有改变，问总体均值有无变化？（显著性水平05.0=α）（参考数据：） 4-1. 解：检验问题 010055.4μμμμ≠==：；

：H H

由 ),(~2

σμξN 且2

σ为已知，所以 ασμαμ=???

??????

?≥--2100u n

x P 即 检验问题的拒绝域为

2

10

ασμ-≥-u n x 计算得：364.45151==∑=i i x x 有 85.35108.055

.4364.40=-=-n x σμ 而 96.1975.02

05.0121===--u u u α，

即有

2

10

ασμ->-u n x 成立， 故 拒绝0H ，即 认为总体均值有变化。 4-2. 设某厂一台机器生产的纽扣，据经验其直径服从),(2

σμN ，2.5=σ。为检验这台机器生产是否正常，抽取容量n =100的样本，并由此算得样本均值56.26=x ，问该机器生产的纽扣的平均直径为26=μ，这个结论是否成立？（显著性水平1.0=α） （参考数据：）

4-2. 解：检验问题 010026μμμμ≠==：；

：H H

由 ),(~2

σμξN 且2

σ为已知，所以 ασμαμ=???

???????≥--2100u n

x P

即 检验问题的拒绝域为

2

10

ασμ-≥-u n x 由 56.26=x ， 2.5=σ， n =100 得

08.11002.526

56.260=-=-n x σμ 而 645.195.02

1.0121===--u u u α，

即有

n x σμ0

-≯2

1α-u ， 故 接受0H ，即 认为这个结论是成立的。

4-11. 已知用某种钢生产的钢筋强度服从正态分布，长期以来，其抗拉强度平均为

52.002

mm kg 。现改变炼钢的配方，利用新法炼了7炉钢，从这7炉钢生产的钢筋中每炉抽一根，测得其强度分别为： 52.45，48.51，56.02，51.53，49.02，53.38，54.04 问用新法炼钢生产的钢筋，其强度的均值是否有明显提高？（显著性水平05.0=α）（参考数据：）

4-11. 解：检验问题 010052μμμμ>==：；

：H H

由 ),(~2

σμξN 且2

σ为未知，所以 αμαμ=?

??

??

?-≥--)17(1*

00t n S x P 即 检验问题的拒绝域为 )6(1*

0αμ-≥-t n

S x 计算得 136.52717

1∑===i i x x ， 71.2)(1717

1

2*

∑==--=i i x x S ， n =7 得 133.07

71.252

136.52*0=-=-n S x μ

而 9432.1)6()6()6(95.005.011===--t t t α，

即有 n

S x *0

μ-≯)6(1α-t ， 故 接受0H ，即 认为强度均值无明显偏高。

4-37. 在一实验中，每隔一定时间观察一次由某种铀所放射到达计数器上的α粒子数ξ，共观察了100次，得结果如下表所示：

其中i ν是观察到有i 个α粒子的次数。从理论上来考虑知ξ服从Possion 分布 {}),2,1,0(!

Λ==

=-i e i i P i

λ

λξ

问：这理论考虑是否符合实际？（显著性水平05.0=α） （参考数据：）

4-37. 解：检验问题 ξ：

0H 服从Possion 分布 （在显著性水平05.0=α下） 100

=n 2.4100

1?=?==∑i

i x νλ

由公式，得 {}7,,2,1,0!2.4?2

.4Λ====-i e i i P p

i i ξ

{}∑===7

11,10,9,8?i i P p

ξ 并计算2

χ

的观测值，见下表：

即 检验统计量2

χ的观测值为：2994.6?)?(22

=-=∑i i i p

n p n νχ 而 067

.14)7()119()1(2

95.0205.0121==--=----χχχαr k 亦即 )7(205.012-<χχ 故 接受0H ，即 认为理论考虑符合实际。

4-45. 自动车床加工中轴，从成品中抽取11根，并测得它们的直径（mm ）如下： 10.52，10.41，10.32，10.18，10.64，10.77，10.82，10.67，10.59，10.38，10.49

试用W 检验法检验这批零件的直径是否服从正态分布？（显著性水平05.0=α

）

（参考数据：）

4-45. 解：数据的顺序统计量为：

10.18，10.32，10.38，10.41，10.49，10.52，10.59，10.64，10.67，10.77，10.82

所以 6131.0][)()1(5

1

)

(=-=

-+=∑k k n k k x x a

L ，

又 5264.10=x ， 得

38197.0)(11

1

2=-∑=i i

x x

故 984.0)

(11

1

2

2

=-=

∑=i i

x x L W ， 又 当n = 11 时，85.005.0=W

即有 105.0<

4-47. 甲、乙两个车间生产同一种产品，要比较这种产品的某项指标波动的情况，从这两个

车间连续15天取得反映波动大小的数据如下表：

在下，用符号检验法检验假设“这两个车间所生产的产品的该项指标的波动

性情况的分布重合”。 （参考数据：） 4-47. 解： 在05.0=α下， 检验假设 )()()()(211210x F x F H x F x F H ≠=：；

：

由上表知：2,11==-+n n ，13=+=?

-+n n n

查

13=n ，05.0=α的符号检验表， 得 临界值5.2=αS ，

而 2},m in{==-+n n S ， 即：αS S <， 故 拒绝0H

即 认为这两车间所生产的产品的该项指标波动情况不同．

4-51. 对核动力工厂的某类仪器实施甲、乙两种不同的维修方案，现观测到两组失效时间（单

位：小时）如下表所示：

在显著性水平下，用游程检验法（两种方法）检验这两种维修方案是否有一

种维修方案显著地优于另一种方案？ （参考数据：） 4-51. 解：（１）基于游程总个数R 的检验法 设 甲仪器失效时间ξ服从分布)(1x F ，乙仪器失效时间η服从分布)(2x F 。 检验问题 )()(210x F x F H =：

将ξ、η混排（ξ的样本值带下划线）得：

3 7 8 10 25 26 27 28 29 30 35 42 72 8

4 101 150 即 游程总个数 R =

5 而 当821

==n n ，05.0=α时，605.0,1=R

所以 05.0,

1R R <

，

故 拒绝0H ，认为这两种维修方案有一种维修方案显著地优于另一种方案。

习题5：

5-4．合成纤维的强度)(2mm kg η与其拉伸倍数x 有关，测得试验数据如下：

（2） 检验回归直线的显著性(05.0=α)；

（3） 求60=x 时，0η的预测值及预测区间（置信度为95.01=-α）。 （参考数据：）

5-4．解：（1）计算得

18.4282

=∑i

x

， 4.5121==

∑i x x ， 7917.412

1

==∑i y y ， 378=∑i

i

y

x ，

63.3352

=∑i

y

，

所以 26.784.51218.428222=?-=-=∑x n x l i xx

4978.677917.44.512378=??-=-=∑y x n y x l i i xy

1073.607917.41263.335222=?-=-=∑y n y l i yy

有 8625.026

.784978.67?===xx xy l l b

, 1342.04.58625.07917.4??=?-=-=x b y a 故 η对x 的回归直线方程为：x y 8625.01342.0?+= 。 (2) 检验假设 00=b H ：. 用F 检验法： 22.5826.788625.022=?==xx R l b S ， 8873.122.581073.60=-=-=R yy e S l S 得 483.3088873

.122.58)212()2(=?-=-=e R S S n F

而 96.4)10,1()2,1(05.011==---F n F α 即 )10,1(05.01->F F 所以 拒绝 0H ，即 认为线性回归效果显著。

(3) 当 60=x 时，0η的预测值为：3092.568625.01342.0?0=?+=y 0η的95.01=-α的预测区间为：))(?(0x y

δμ 而 4346.018873.02128873.12?==-=-=

*n S e σ ， 2281.2)212()2(2

05.0121=-=---t n t α

所以 01.126.78)4.56(12112281.24346.0)(11)2(?)(2

202

10=-++?=-++-=-*

xx l x x n n t x ασδ

故 所求预测区间为：（4.2992 , 6.3192）.

5-5. 某建材实验室在作陶粒混凝土强度实验中，考察每立方米混凝土的水泥用量x (kg)对 28天后的混凝土抗压强度)(2cm kg η的影响，测得数据如下：

（1）求η对x 的线性回归方程，并问：每立方米混凝土中增加1kg 水泥时，可提高的抗压强度是多少？

（2）检验线性回归效果的显著性(05.0=α)；

（3）求回归系数b 的区间估计（置信度为95.01=-α）；

（4）求kg x 2250=时，0η的预测值及预测区间（置信度为95.01=-α）。 （参考数据：） 5-5. 解：解：（1）计算得

5186002

=∑i

x

， 205121

==

∑i x x ， 6.7212

1==∑i y y ， 182943=∑i

i

y

x ，

84.645722=∑i

y

，

所以 1430020512518600222=?-=-=∑x n x l i xx

43476.7220512182943=??-=-=∑y x n y x l i i xy

有 304.014300

4347?===xx xy l l b

, 28.10205304.07206??=?-=-=x b y a 故 η对x 的回归直线方程为：x y 304.028.10?+= 。 而 x x y 304.028.10)(?+=， )1(304.028.10)1(?++=+x x y ， 所以 每立方米混凝土中增加1kg 水泥时，可提高的抗压强度是：

304.0)(?)1(?=-+x y x y （2）检验假设 00=b H ：. 用T 检验法：

由 72.13236.721284.64572222=?-=-=∑y n y l i yy

2?*

-=n S e σ

466.02?2=--=n l b l xx

yy

得 0174.7814300

466.0304

.0??*==

=xx

l b

t σ

而 2281.2)10()212()2(975.0975.02

1==-=--

t t n t

α

即有 )2(2

1->-

n t

t α

所以 拒绝0H ，即 认为线性回归效果显著。 （3）由于

b 的α-1置信区间为：)?)2(?(*2

1xx l n t b σα

-±- 所以 当05.0=α时，有：)?)10(304.0(*975.0xx l t σ

±

)

3127.0,2953.0()00868.0304.0()

14300466.02281.2304.0()?)10(304.0(*975.0=±=?±=±=xx l t σ

（4）当 2250=x 时，0η的预测值为68.78225304.028.10?0=?+=y

由于 0η的α-1预测区间为：))(?,)(?(0000x y x y

δδ+- )

)(11)2(??,)(11)2(??(202

1020210xx xx l x x n n t y l x x n n t y -++-+-++--=-*

-*

αασσ 所以 当05.0=α时，有：

09455

.114300)205225(12112281.2466.0)(11)2(?)(2

202

10=-++??=-++-=-*

xx l x x n n t x ασδ 即得 所求预测区间为：)7746.79,5855.77( 。

5-14. 在彩色显影中，根据以往的经验，形成染料光学密度η与析出银的光学密度x 之间有

下面类型的关系：

)0(<=b ae

y x

b

通过11次试验得到下面数据：

求未知参数a 、b 的估计值，并求回归方程的残差平方和。 5-14. 解：两边对x

b ae y =取对数，有：x

b a y +

=ln ln ， 作变换y z ln =，x t a A 1,ln ==， 得 bt A z +=

将数据整理如下表：

计算得：947.7111111==∑=i i t t ；731.611111

1

-==∑=i i z z ；

583.49611)()(11

1

111

∑∑==-=?-=--=i i i i i i z t z t z t z z t t l ；

681.340611)(11

1

22111

2

∑∑===?-=-=i i i i t t t t t t l ．

所以 146.0681

.3406583.496?-=-=

=t

t z t l l b

； 532.0??=-=t b z A

． 得 t z

?-=146.0532.0? ．

换

t x e a

e y A z 1,73.1?,??

?==== 故得 回归方程为： x

e y

146

.073.1?-?=

且 回归方程的残差平方和为：006.0)?(11

1

2=-=∑=i i i e y y S .

习题6：

6-2. 现有某种型号的电池3批，它们分别是甲、乙、丙3个厂生产的，为评论其质量，各

随机抽取5只电池为样品，经试验得其寿命（h ）如下表所示：

试在显著性水平下，检验电池的平均寿命有无显著差异。（略：若差异是显著的，检验哪些工厂之间有显著差异，并求21μμ-、31μμ-和32μμ-的95%置信区间。） （参考数据：） 6-2. 解：检验问题 3210μμμ==：H

=T S n

T i j ij

2

3

15

1

2-

=

∑∑==ξ

83215585236472=-=

6.615155856.234305

12

23

12=-=-=∑=?n T T S i i A

4.2166.615832=-=-=A T e S S S

所以 07.17)

315(4.216)13(6.615)()1(=--=--=

r n S r S F e A

而 89.3)12,2()315,13(),1(95.005.011==--=----F F r n r F α 即：95.0F F > 故 拒绝0H ，即 认为电池的平均寿命有显著差异．

或 4.2163

1

2==

∑=i i

i e S

n S ， 832)(3

15

1

2=-=∑∑==i j ij T S ξξ，

6.6154.216832=-=-=e T A S S S

所以 07.17)

315(4.216)

13(6.615)()1(=--=--=

r n S r S F e A

而 89.3)12,2()315,13(),1(95.005.011==--=----F F r n r F α 即：95.0F F

> 故 拒绝0H ，即 认为电池的平均寿命有显著差异．

6-3. 用3种不同的小球测定引力常数的试验结果如下表所示（单位：221110kg m N ?-）：

试问：不同小球对引力常数的测定有无显著影响？（显著性水平01.0=） （略：并求并求12μμ-、13μμ-和

32μμ-的95%置信区间。） （参考数据：）

6-3. 解：检验问题 3210μμμ==：H

=T S n

T i j ij

2

3

15

1

2-=

∑∑==ξ

000709.0= 000568.05

12

3

12=-=∑=?n T T S i i A

000141.0=-=A T e S S S

所以 2.26)

316(000141.0)13(000568.0)()1(=--=--=

r n S r S F e A

而 7.6)13,2()316,13(),1(99.001.011==--=----F F r n r F α 即：95.0F F >

故 拒绝0H ，即 认为不同小球对引力常数的测定有显著影响．

或 000141.03

1

2==

∑=i i

i e S

n S ， 000709.0)(315

1

2=-=∑∑==i j ij T S ξξ，

000568.0000141.0000709.0=-=-=e T A S S S

所以 2.26)

316(000141.0)

13(000568.0)()1(=--=--=

r n S r S F e A

而 7.6)13,2()316,13(),1(99.001.011==--=----F F r n r F α 即：95.0F F >

故 拒绝0H ，即 认为不同小球对引力常数的测定有显著影响．

6-15. 选矿用的油膏的配方对矿石回收率有很大影响，为了提高回收率，分别选取油膏的3

种成分的2

选用正交表)2(3

4L 来安排试验，结果由1到4号试验的回收率顺次为72，58，78，84，

试分析试验结果。

6-15. 解：选用正交表)2(3

4L 来安排试验，由1到4号试验的回收率指标，可计算得分析数

据 j j k k 21, ，j j k k 21,，j R ，进而得到优方案112C B A ，具体如下表：