一次函数专题：分类讨论思想
一次函数专题：分类讨论思想
1.一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-3≤x≤6，相应函数值的取值范围是-5≤y≤-2，求这个函数的解析式.
2. 如图11－31所示，已知直线y=x+3的图象与x轴、y轴交于A，B两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2：1的两部分，求直线l的解析式．
3．函数y=-3x+2的图像上存在点P，使得P?到x?轴的距离等于3，?则点P?的坐标为__________．
一次函数专题：数形结合思想
1
、图3中，表示一次函数y mx n
=+与正比例函数(
y mx m
=、n是常数，且0,0)
m n
≠<的图象的是（）2、直线y kx b
=+经过一、二、四象限，则直线y bx k
=-的图象只能是图4中的（）
3、若直线
1
1
y k x
=+与
2
4
y k x
=-的交点在x轴上，那么1
2
k
k
等于（）
.4
A.4
B-
1
.
4
C
1
.
4
D-
4、直线0
px qy r
++=(0)
pq≠如图5，则下列条件正确的是（）
.,1
A p q r
==.,0
B p q r
==.,1
C p q r
=-=.,0
D p q r
=-=
5、直线y kx b
=+经过点(1,)
A m
-，(,1)
B m(1)
m>，则必有（）
A. 0,0
k b
>>.0,0
B k b
><.0,0
C k b
<>.0,0
D k b
<<
6、如果0
ab>，0
a
c
<，则直线
a c
y x
b b
=-+不通过（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7、已知关于x的一次函数27
y mx m
=+-在15
x
-≤≤上的函数值总是正数，则m的取值范围是（）A．7
m> B．1
m> C．17
m
≤≤ D．都不对
8、如图6，两直线
1
y kx b
=+和
2
y bx k
=+在同一坐标系内图象的位置可能是（）
图6
9、已知一次函数2y x a =+与y x b =-+的图像都经过(2,0)A -，且与y 轴分别交于点B ，c ，则ABC ?的面积为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
10、已知直线(0)y kx b k =+≠与x 轴的交点在x 轴的正半轴，下列结论：① 0,0k b >>；②0,0k b ><；③
0,0k b <>；④0,0k b <<，其中正确的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 11、已知
(0,0)b c a c a b
k b a b c a b c
+++===>++=，那么y kx b =+的图象一定不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
12、如图7，A 、B 两站相距42千米，甲骑自行车匀速行驶，由A 站经P 处去B 站，上午8时，甲位于距A 站18千米处的P 处，若再向前行驶15分钟，使可到达距A 站22千米处.设甲从P 处出发x 小时，距A 站y 千米，则y 与x 之间的关系可用图象表示为（ ）
一次函数与二元一次方程（组）
1.已知直线(32)2y m x =++和36y x =-+交于x 轴上同一点，m 的值为（ ） A ．2-
B ．2
C ．1-
D ．0
2.把一个二元一次方程组中的两个方程化为一次函数画图象，所得的两条直线平行，则此方程组（ ） A.无解
B.有唯一解
C.有无数个解
D.以上都有可能
3. 已知一次函数y x a =-+与y x b =+的图象相交于点()8m ，
，则a b +=______ 4. 已知直线3y x =-与22y x =+的交点为（-5，-8），则方程组30
220x y x y --=??-+=?
的解是________．
5. 已知方程组y ax c y kx b -=??-=?（a b c k ，，，为常数，0ak ≠）的解为2
3x y =-??
=?
，则直线y ax c =+和直线y kx b =+的交点坐标为________
6.已知24x y =??=?
，是方程组732
28x y x y -=??+=?的解，那么一次函数y =________和y =________的交点是________．
7. 一次函数43y x =-与43y x =--的图象的交点坐标是 8.b 为 时，直线2y x b =+与直线34y x =-的交点在x 轴上.
9.已知直线42y x =-与直线3y m x =-的交点在第三象限内，则m 的取值范围是 .
10. 已知一次函数y 6kx b =++与一次函数2y kx b =-++的图象的交点坐标为A （2，0），求这两个一次函数的解析式及两直线与y 轴围成的三角形的面积
一次函数与不等式
1. 如图1，直线y kx b =+与x 轴交于点()40-，
，则0y >时，x 的取值范围是（ ） A.4x >-
B ．0x > C.4x <-
D ．0x <
图1 图2
2. 一次函数y kx b =+的图象如图2所示，当0y <时，x 的取值范围是（ ） A ．0x >
B ．0x <
C ．2x >
D ．2x <
3.如图，直线y kx b =+经过()21A ，
，()12B --，两点，则不等式1
22
x kx b >+>-的解集为______．
4.直线11:l y k x b =+与直线22:l y k x =在同一平面直角坐标系中的图象如图
所示，则
关于x 的不等式21k x k x b >+的解集为______．
5. 当自变量x满足什么条件时，函数23
=-+的图象在：
y x
（1）x轴下方；（2）y轴左侧；（3）第一象限
（4）当x取何值时，函数y的值在1
-与2之间变化
专题四：分类讨论思想在解题中的应用
专题四：分类讨论思想在解题中的应用 一．知识探究： 分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的 结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。 1．有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类 讨论的原因大致可归纳为如下几种： （1）涉及的数学概念是分类讨论的；如绝对值|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。 （2）运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的；如等 比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可 以称为性质型。 （3）求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性； （4）数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值导致不同的结果的；如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。 （5）较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解 决的。 2．分类讨论是一种逻辑方法，在中学数学中有极广泛的应用。根据不 同标准可以有不同的分类方法，但分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏，包含各种情况，同时要有利于问题研究； 3．分类原则：（1）对所讨论的全域分类要“即不重复，也不遗漏”（2）在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行（3）对多级讨论，应逐级进行，不能越级； 4．分类方法：（1）概念和性质是分类的依据（2）按区域（定义域或值域）进行分类是基本方法（3）不定因素（条件或结论不唯一，数值大小的不确定，图形位置的不确定）是分类的突破口（4）二分发是分类讨论的利器（4）层次分明是分类讨论的基本要求； 5．讨论的基本步骤：（1）确定讨论的对象和讨论的范围（全域）（2）确定分类的标准，进行合理的分类（3）逐步讨论（必要时还得进行多级分类）
高中数学解题思想之分类讨论思想
分类讨论思想方法 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面： ①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。 ②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。 ③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。 另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。 进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。 解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。 Ⅰ、再现性题组： 1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若A?B，那么a的范围是_____。 A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 0 利用一次函数解决实际问题 在利用一次函数解决实际问题时，会经常遇到这样的问题，在有的题目中，不论自变量x 怎样变化， y 和x 的关系始终保持一次函数关系，而有的题目中，当自变量x 发生变化时，随着x 的取值范围不同， y 和x 的函数关系也不同，它们之间或者不再是一次函数，或者虽然还是一次函数，但函数的解析式发生了变化.这种变化反映在函数图像上时的主要特征，就是由一条直线变成几条线段或射线，我们把这类函数归类为分段函数.请同学们注意，这类函数在自变量的整个取值范围内不是一次函数，但把它适当分为几段后，每段内一般来说还仍然是一次函数。因此，解这类分段函数的基本思路是：首先按照实际问题的意义，把x 的取值范围适当分为几段，然后，根据每段中的函数关系分别求解. 请同学们完成下面的习题： 1.商店在经营某种海产品中发现，其日销量y(kg)和销售单价x （元）/千克之间的函数关系如图所示. ①写出y 与之间的函数关系式并注明x 的取值范围； ②当单价为32元/千克时，日销售量是多少千克？ ③当日销售量为80千克时，单价是多少？ 2 某城市为鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20cm 3时，按2元/立方米计费；月用水量超过20cm 3时，超过的部分按2.6元/立方米计费.设每户家庭的月用水量为x cm 3时，应交水费y 元， ①试求出0≤x≤20和x ＞20时，y 与x 之间的函数关系式. ②小明家第二季度交纳水费的情况如下： 第1题 第2题 小明家这个季度共用水多少立方米？ 3. 我国征收个人所得税的起点由1600元提高到2000元，即月收入超过2000元的部分为全月应纳税所得额.全月应纳税所得额的划分和相应的税率如下表所示.设某人的月工资收入为x（元），月缴纳个人所得税为y（元）， ①试求出y与x间的函数关系式并注明x的取值范围. ②如果某人月工资为3000元，问此人依法缴纳个人所得税后，他的实际收入是多少元？ 4.如图所示，在矩形ABCD中，AB=6 cm AD=10cm,动点M从点B出发，以每秒1cm 的速度沿BA-AD-DC 运动，当M运动到点C时，点M停止运动.设点M的运动时间为t(s)，△BMC的面积为S（cm2）. ①点M分别到达点A、点D、点C时，点M的运动时间； ②求S与t之间的函数关系式，并注明t的取值范围； ③当t=6s时，求△BMC的面积； ④当△BMC的面积是20cm2时，求点M的运动时间. B C M 第4题 一次函数与实际问题（调运方案） 一、诊断导学 1、（1）已知①y=2x+2，②y=-2x+1函数图像分布在哪个象限？y随x 的变化而怎样变化？ （2）已知点A(x, y),B(x,y)在y=2x+2上，当x> x时，y y; 11222211已知点A(x, y),B(x,y)在y=-2x+1上，当x> x时，y y; 222211112、根据图像你能说出当x取何值时？函数取最大值或最小值吗？ y y 5 4 2 1 x x 13 1 6 二、学习目标：2 1．会用一次函数知识解决实际问题； 2．能从不同的角度思考问题，设计解决问题的方案；．养成反思的习惯，及时总结解决问题的思路方法． 3 学习的重点和难点：会用一次函数的知识解决实际问题三、探究两、D城有肥料吨，B300吨，现要把这些肥料全部运往C城有肥料A200城25元和元；从BDA 乡、从城往C、两乡运肥料的费用分别是每吨20240现C乡需要肥料元，元和两乡运肥料的费用分别是每吨、往CD1524 吨，怎样调运总运费最少？260乡需要肥料D吨， D两乡调用？、B两城的肥料是否够C、思考：（1）A D乡调多少吨肥料？x吨肥料，那么A城向（2）如果设A城向C乡调的要求？两乡再调多少吨肥料才能满足C、D3（）B城需要向C、D那么它和各个运输量与运费之间有什么关系？你y（4）如果设总运费为能建立一次函数的关系吗？）根据以上问题你能完成以下表格吗？（5 x之间的函数关系为y由总运费与各运输量的关系可知，反映与） 60+x（+24）x﹣240（+15）x﹣200（y=20x+25． 如何求自变量的取值范围≤x200）化简得y=4x+10040（0≤1.x≥0 2.200-x≥0 3.240-x≥0 4.60+x≥0 由解析式可以看出：当x=0时，y的最小值10040．即从A城运往C 乡0吨，运往D乡200吨；从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨，此时总运费最少，总运费最小值是10040元． 四、合作探究 ，则由总运费与yxD乡调吨如表所示，设总运费为方案二：如果A城向之间的函数关系为y与x各运输量的关系可知，反映如何求自变量的取值范围 260-x）40+x（）+24（y=20(200-x)+25x+15 ）≤ 1．一列动车从开往，一列普通列车从开往，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），如图中的折线表示y与x之间的函数关系. 根据图象进行以下探究： （1）到两地相距_________千米，两车出发后___________小时相遇； 普通列车到达终点共需__________小时，普通列车的速度是___________千米/小时. （2）求动车的速度； （3）普通列车行驶t小时后，动车的达终点，求此时普通列车还需行驶多少千米到达？2．某超市鸡蛋供应紧，需每天从外地调运鸡蛋1200斤．超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出800斤，乙养殖场每天最多可调出900斤，从甲、乙两养殖场调运鸡蛋到该超市的路程和运费如下表： 设从甲养殖场调运鸡蛋x斤，总运费为W元． （1）试写出W与x的函数关系式． （2）怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省？ 3．写出下列各小题中y关于x的函数表达式，并判断y是否为x的一次函数？是否为x的正比例函数？ (1)长方形的面积为20，长方形的长y与宽x之间的函数表达式． (2)某地西瓜刚上市时的价格为3.6元/千克，买西瓜的总价y(元)与所买西瓜x(kg)之间的函数表达式． (3)地面气温为28 ℃，高度每升高1 km，气温下降5 ℃，气温y(℃)与高度x(km)之间的函数表达式． (4)小林的爸爸为小林存了一份教育储蓄，首次存入10000元，以后每个月存入500元，存入总钱数y(元)与月数x之间的函数表达式． 4．甲、乙二人骑自行车分别从A地出发，沿同一路线去B地.甲先行1小时到达距离A地20千米的C地，甲因事耽误一会儿，事后继续按原速行驶，并与乙同时到达B地.下图表示甲、乙二人骑自行车行驶的路程S（千米）随时间t（小时）变化图象（全程）.据图象回答下列问题： （1）A、B两地相距千米，乙骑自行车的速度为千米/时，甲因事耽误了小时. （2）求出甲、乙二人在途中相遇以后，距离甲出发多长时间甲、乙二人相距5千米？ 高三数学第二轮专题复习：分类讨论思想 高考要求 分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论” 重难点归纳 分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则分类讨论常见的依据是 1由概念内涵分类如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类 2由公式条件分类如等比数列的前n项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等 3由实际意义分类如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论 在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论 典型题例示范讲解 例1已知{a n }是首项为2，公比为2 1的等比数列，S n 为它的前n 项和 （1）用S n 表示S n +1; （2）是否存在自然数c 和k ，使得21>--+c S c S k k 成立 命题意图 本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力 知识依托 解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质 错解分析 第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出k k S c S <<-223 技巧与方法 本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型 在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想 即对双参数k ,c 轮流分类讨论，从而获得答案 解 （1）由S n =4(1–n 21），得221)2 11(411+=-=++n n n S S ，(n ∈N *) （2）要使21>--+c S c S k k ，只要0)223(<---k k S c S c 因为4)211(4<-=k k S 所以0212)223(>-=--k k k S S S ，(k ∈N *)故只要23S k –2＜c ＜S k ，（k ∈N *） 因为S k +1＞S k ，(k ∈N *) ① 所以23S k –2≥2 3S 1–2=1 又S k ＜4，故要使①成立，c 只能取2或3 当c =2时，因为S 1=2，所以当k =1时，c ＜S k 不成立，从而①不 分类讨论思想 在数学中,如果一个命题的条件或结论不唯一确定,有多种可能情况,难以统一解答,就需要按可能出现的各种情况分门别类的加以讨论,最后综合归纳出问题的正确答案,这种解题方法叫做分类讨论。 在分类讨论的问题中有三个重要的注意事项。 1. 什么样的题会出现分类讨论思想--往往是在题目中的基本步骤中出现了“条件不确定，无法进行下一步”(如几何中，画图的不确定；代数中，出现字母系数等)。 2. 分类讨论需要注意什么----关键是“不重、不漏”，特别要注意分类标准的统一性。 3. 分类讨论中最容易错的是什么--总是有双重易错点“讨论有重漏，讨论之后不检验是否合题意”。 【例1】解方程：|x-1|=2 【例2】试比较1+a与1-a的大小。 。 【例3】已知线段AB长度为6cm，点C在直线AB上，且AC=2cm，求BC的长度。 【例4】一张桌子有四个角，砍掉一只角后，还剩几个角？ 【例5】已知△ABC周长为20cm，AB=AC，其中一边边长是另一边边长的2倍，BC长多少？ 【例6】 富城书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②一次性购书超过100元，但不超过200元，一律打九折；③一次性购书超过200元，一律打八折。如果小明一次性购书 付款162元，那么小明所购书的价格为多少。 练习题 1.解方程：（1）|x+4|=3 （2）22)3(-=a 2.|a|+a 的值的情况讨论。 3. 如果a 、b 、c 是非零有理数，求c c b b a a -+的值 5.数轴上有A 、B 两点,若A 点对应的数是-2,且A 、B 两点的距离为3,则点B 对应的数为多少（画图表示）。 6.平面内有四点，经过两点可画多少条直线。 7.平面内有三条直线,它们可能有几个交点? 利用一次函数解决实际问题 在利用一次函数解决实际问题时，会经常遇到这样的问题，在有的题目中，不论自变量x怎样变化，y和x的关系始终保持一次函数关系，而有的题目中，当自变量x发生变化时，随着x的取值范围不同，y和x的函数关系也不同，它们之间或者不再是一次函数，或者虽然还是一次函数，但函数的解析式发生了变化.这种变化反映在函数图像上时的主要特征，就是由一条直线变成几条线段或射线，我们把这类函数归类为分段函数.请同学们注意，这类函数在自变量的整个取值范围内不是一次函数，但把它适当分为几段后，每段内一般来说还仍然是一次函数。因此，解这类分段函数的基本思路是：首先按照实际问题的意义，把x 的取值范围适当分为几段，然后，根据每段中的函数关系分别求解. 请同学们完成下面的习题： 1.商店在经营某种海产品中发现，其日销量y(kg)和销售单价x（元）/千克之间的函数关系如图所示. ①写出y与之间的函数关系式并注明x的取值范围； ②当单价为32元/千克时，日销售量是多少千克？ ③当日销售量为80千克时，单价是多少？ 2.(南京)某城市为鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20cm3时，按2元/立方米计费；月用水量超过20cm3时，超过的部分按元/立方米计费.设每户家庭的月用水量为x cm3时，应交水费y元， ①试求出0≤x≤20和x＞20时，y与x之间的函数关系式. ②小明家第二季度交纳水费的情况如下： 月份四月五月六月 交纳金额（元）30 34 第1题第2题 小明家这个季度共用水多少立方米？ 3.自2008年3月1日起，我国征收个人所得税的起点由1600元提高到2000元，即月收入超过2000元的部分为全月应纳税所得额.全月应纳税所得额的划分和相应的税率如下表所示.设某人的月工资收入为x（元），月缴纳个人所得税为y（元）， ①试求出y与x间的函数关系式并注明x的取值范围. ②如果某人月工资为3000元，问此人依法缴纳个人所得税后，他的实际收入是多少元？ 4.如图所示，在矩形ABCD中，AB=6 cm AD=10cm,动点M从点B出发，以每秒1cm 的速度沿BA-AD-DC 运动，当M运动到点C时，点M停止运动.设点M的运动时间为t(s)，△BMC的面积为S（cm2）. ①点M分别到达点A、点D、点C时，点M的运动时间； ②求S与t之间的函数关系式，并注明t的取值范围； ③当t=6s时，求△BMC的面积； ④当△BMC的面积是20cm2时，求点M的运动时间. B C M 第4题 19.2.2 一次函数 第4课时一次函数与实际问题一．选择题（每小题6分） 1.一根弹簧的原长为12 cm，它能挂的重量不能超过15 kg并且每挂重1kg就伸长1 2cm，写 出挂重后的弹簧长度y（cm）与挂重x（kg）之间的函数关系式（） A、y = 1 2x + 12（0＜x≤15） B、y = 1 2x + 12（0≤x＜15） C、y = 1 2x + 12（0≤x≤15） D、y = 1 2x + 12（0＜x＜15） 2.如图，是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y（元）与销售量x （件）之间的函数图象.下列说法：①售2件时甲、乙两家售价一样；②买1件时买乙家的合算；③买3件时买甲家的合算；④买乙家的1件售价约为3元，其中正确的说法是（） A．①②B．②③④C．②③D．①②③ 3.在一定范围内，某产品的购买量y（吨）与单价x（元）满足一次函数关系，若购买1000吨，每吨800元，购买2000吨，每吨700元，如客户购买400吨，单价为（） A．820元 B.840元 C.860元 D.880 二、填空题(每题6分) 4.如图，汽车油箱的余油量与行驶的时间的关系为一次函数，由图可知，汽车行驶的最长时间为_____. 5.某食品厂向A市销售面包，如果从铁路托运，每千克需运费0.58元；如果从公路托运， 每千克需运费0.28元，另需出差补助600元。（1）设该市向A市销售面包x千克，铁路运费y元，公路运费z元，则y，z与x之间的函数关系式分别为_______，_________；（2）若厂家只出运费1500元，选用______运送，运送面包多； （3）若厂家运送1500千克，选用______运送，所需运费少. 三．问答题（共70分） 6．如图，折线ABC是在某市乘出租车所付车费y（元）与行车里程x（km）?之间的函数关系图象． ①根据图象，写出当x≥3时该图象的函数关系式； ②某人乘坐2.5km，应付多少钱？ ③某人乘坐13km，应付多少钱？ 专题三 5大数学思想方法 第一节 分类讨论思想 类型一 由概念内涵分类 (2018·山东潍坊中考)如图1，抛物线y 1＝ax 2 －12x ＋c 与x 轴交于点A 和点B(1，0)，与y 轴交于 点C(0，3 4)，抛物线y 1的顶点为G ，GM⊥x 轴于点M.将抛物线y 1平移后得到顶点为B 且对称轴为直线l 的 抛物线y 2. (1)求抛物线y 2的表达式； (2)如图2，在直线l 上是否存在点T ，使△TAC 是等腰三角形？若存在，请求出所有点T 的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点P 为抛物线y 1上一动点，过点P 作y 轴的平行线交抛物线y 2于点Q ，点Q 关于直线l 的对称点为R.若以P ，Q ，R 为顶点的三角形与△AMG 全等，求直线PR 的表达式． 【分析】(1)应用待定系数法求表达式； (2)设出点T 坐标，表示出△TAC 三边，进行分类讨论； (3)设出点P 坐标，表示出Q ，R 坐标及PQ ，QR ，根据以P ，Q ，R 为顶点的三角形与△AMG 全等，分类讨论对应边相等的可能性即可． 【自主解答】 此类题型与概念的条件有关，如等腰三角形有两条边相等(没有明确哪两条边相等)、直角三角形有一个角是直角(没有明确哪个角是直角)等，解决这类问题的关键是对概念内涵的理解，而且在分类讨论后还要判断是否符合概念本身的要求(如能否组成三角形)． 1．(2018·安徽中考改编)若一个数的绝对值是8，则这个数是( ) A ．－8 B ．8 C ．±8 D ．－18 类型二 由公式条件分类 (2018·浙江嘉兴中考)我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫 分类讨论的思想方法 慕泽刚 (重庆市龙坡区渝西中学 401326) 一、知识要点概述 1.分类讨论的思想方法的原理及作用：在研究与解决数学问题时，如果问题不能以统一的同一种方法处理或同一种形式表述、概括，可根据数学对象的本质属性的相同和不同点，按照一定的原则或某一确定的标准，在比较的基础上，将数学对象划分为若干既有联系又有区别的部分，然后逐类进行讨论，再把这几类的结论汇总，从而得出问题的答案，这种研究解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法.分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，在近几年的高考试题中都把分类讨论思想方法列为重要的思想方法来考查，体现出其重要的位置.分类讨论的思想方法不仅具有明显的逻辑性、题型覆盖知识点较多、综合性强等特点，而且还有利于对学生知识面的考查、需要学生有一定的分析能力、一定分类技巧，对学生能力的考查有着重要的作用.分类讨论的思想的实质就是把数学问题中的各种限制条件的制约及变动因素的影响而采取的化整为零、各个突破的解题手段. 2.引入分类讨论的主要原因 (1)由数学概念引起的分类讨论：如绝对值的定义、直线与平面所成的角、定比分点坐标公式等； (2)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零、对数中真数与底数的要求等； (3)由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论； (4)由图形的不确定引起的分类讨论； (5)由参数的变化引起的分类讨论； (6)按实际问题的情况而分类讨论. 二、解题方法指导 1.分类讨论的思想方法的步骤：(1)确定标准；(2)合理分类；(3)逐类讨论；(4)归纳总结. 2.简化分类讨论的策略：(1)消去参数；(2)整体换元；(3)变更主元；(4)考虑反面；(5)整体变形； (6)数形结合；(7)缩小范围等. 3.解题时把好“四关” (1)要深刻理解基本知识与基本原理，把好“基础关”； (2)要找准划分标准，把好“分类关”； (3)要保证条理分明，层次清晰，把好“逻辑关”； (4)要注意对照题中的限制条件或隐含信息，合理取舍，把好“检验关”. 三、范例剖析 例1解关于x 的不等式：a(x-1)x-2 ＞1（a ≠1） 解析：原不等式等价于：(a-1)x-(a-2)x-2＞0，即(a ﹣1)(x ﹣a-2a-1 )(x ﹣2)＞0 ① 若a>1，则①等价于(x ﹣a-2a-1 )(x ﹣2)＞0. 又∵2﹣a-2a-1＝﹣1a-1﹣1＜0，∴a-2a-1 ＜2 ∴原不等式的解集为；(﹣∞，a-2a-1 )∪（2,＋∞）； 若a<1时，则①等价于(x ﹣a-2a-1)(x ﹣2)＜0.由于2﹣a-2a-1＝a a-1， 当0 第2课时 建立一次函数的模型解决实际问题 1.一根弹簧的原长为12 cm ，它能挂的重量不能超过15 kg 并且每挂重1kg 就伸长1 2 cm ，写出挂重后的弹簧长度y （cm ）与挂重x （kg ）之间的函数关系式（ ） A 、y = 1 2 x + 12（0＜x≤15） B 、y = 1 2 x + 12（0≤x ＜15） C 、y = 1 2 x + 12（0≤x≤15） D 、y = 1 2 x + 12（0＜x ＜15） 2.在一定范围内，某产品的购买量y （吨）与单价x （元）满足一次函数关系，若购买1000吨，每吨800元，购买2000吨，每吨700元，如客户购买400吨，单价为（ ） A ．820元 B.840元 C.860元 D.880 3.某食品厂向A 市销售面包，如果从铁路托运，每千克需运费0.58元；如果从公路托运，每千克需运费0.28元，另需出差补助600元。（1）设该市向A 市销售面包x 千克，铁路运费y 元，公路运费z 元，则y ，z 与x 之间的函数关系式分别为_______，_________； （2）若厂家只出运费1500元，选用______运送，运送面包多； （3）若厂家运送1500千克，选用______运送，所需运费少. 4.已知水银体温计的读数y(℃)与水银柱的长度x(cm )之间是一次函数关系．现有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰(如图)，表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度． (1) 求y关于x的函数关系式；(不需要写出x的取值范围) (2) 用该体温计测体温时，水银柱的长度为6.2 cm，求此时体温计的读数． 5．如图，折线ABC是在某市乘出租车所付车费y（元）与行车里程x（km）?之间的函数关系图象． 微专题：一次函数的实际应用——利润、方案问题 ◆类型一利润问题 1．如图，直线l1，l2分别表示某产品一天的销售收入y1，销售成本y2与销售量x的函数关系图像．则y1与x的函数关系式为________，y2与x的函数关系式为________，当一天的销售量x________时，生产该产品才能获利． 2．(2017·河北期末)某商场欲购进果汁饮料和碳酸饮料共50箱，两种饮料每箱的进价和售价如下表所示．设购进果汁饮料x箱(x为正整数)，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为W元(注：总利润＝总售价－总进价). 饮料果汁饮料碳酸饮料 进价(元/箱)5136 售价(元/箱)6143 (1) (2)求总利润W关于x的函数关系式； (3)如果购进两种饮料的总费用不超过2100元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润． 3．(2017·长沙中考)自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁．某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元． (1)求一件A，B型商品的进价； (2)若该欧洲客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不多于B 型的件数，且不少于80件．已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出．设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润v与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围； (3)在(2)的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益． ◆类型二方案问题 4．(2017·邯郸丛台区期末)某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案．印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．两种印刷方式的费用y(元)与印刷份数x(份)之间的关系如图所示． (1)填空：甲种收费方式的函数关系式是____________，乙种收费方式的函数关系式是____________． (2)该校某年级每次需印制100～450(含100和450)份学案，选择哪种印刷方式较合算？ 5．(2017·承德围场县期末)现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲、乙两家快递公司比较合适．甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费．乙 一次函数专项训练 专训1.一次函数的两种常见应用 名师点金： 一次函数的两种常见应用主要体现在解决实际问题和几何问题．能够从函数图象中得到需要的信息，并求出函数解析式从而解决实际问题和几何问题，是一次函数应用价值的体现，这种题型常与一些热点问题结合，考查学生综合分析问题、解决问题的能力．利用函数图象解决实际问题 题型1行程问题 (第1题) 1．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y(km)与甲车行驶的时间t(h)之间的函数关系如图所示，则下列结论 ①A，B两城相距300 km； ②乙车比甲车晚出发1 h，却早到1 h； ③乙车出发后2.5 h追上甲车； ④当甲、乙两车相距50 km时，t＝5 4 或 15 4 . 其中正确的结论有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个 2．甲、乙两地相距300 km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系，根据图象，解答下列问题： (1)线段CD表示轿车在途中停留了________h； (2)求线段DE对应的函数解析式； (3)求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车． (第2题) 题型2工程问题 3．甲、乙两组工人同时加工某种零件，乙组在工作中有一段时间停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量y(件)与时间x(h)之间的函数图象如图所示． (1)求甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数解析式． (2)求乙组加工零件总量a的值． (3)甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每够300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，经过多长时间恰好装满第1箱？再经过多长时间恰好装满第2箱？ 2020中考数学 一次函数实际问题专题练习（含答案） 1.甲、乙两人进行赛跑，甲比乙跑得快，现在甲 让乙先跑10米，甲再起跑．图中1l 和 2l 分别表示甲、乙两人跑步的路程y (m)与甲跑步的时间x (s)之间的函数关系，其中l 1的关系式为18y x ＝，问甲追上乙用了多长时间？ 参考答案:解：设20y kx b k ≠＝＋（）， 根据题意，可得方程组 10=22=2+b k b ?? ?,解得6 10k b =??=? 所以2610y x =＋． 当12y y =时，8610x x =+， 解这个方程，得x ＝5． 答：甲追上乙用了5s ． 2.漳州三宝之一“水仙花”畅销全球，某花农要将规格相同的800件水仙花运往A 、B 、C 三地销售，要求运往C 地的件数是运往A 地件数的3倍，各地的运费如下表所示： (1)设运往A 地的水仙花x (件)，总运费为y (元)，试写出y 与x 的函数关系式； (2)若总运费不超过12000元，最多可运往A 地的水仙花多少件？ 参考答案:解：(1)运往C 地的水仙花3x (件)，运往B 地的水仙花(800 ? 4x ) (件)， 则总运费y = 20x + 10(800 ? 4x ) + 15×3x = 20x + 8000 ? 40x + 45x = 25x + 8000； (2)由题意知，y ≤ 12000，则25x + 8000 ≤ 12000，∴25x ≤ 4000 ∴ x ≤ 160 ∴最多可运往A 地的水仙花160件． 3.在抗击“非典”中，某医药研究所开发了一种预防“非典”的药品.经试验这种药品的效果得知：当成人按规定剂量服用该药后1小时，血液中含药量最高，达到每毫升5微克，接着逐步衰减，至8小时时血液中含药量为每毫升1.5微克.每毫升血液中含药量y(微克)随时间x(小时)的变化如图所示.在成人按规定剂量服药后： (1)分别求出 1x ≤，1x ≥时y 与x 之间的函数关系式； (2)如果每毫升血液中含药量为2微克或2微克以上，对预防“非典”是有效的，那么这个有效时间为多少小时？ 利用一次函数解决实际问题 ◆类型一费用类问题 一、建立一次函数模型解决问题 1．某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨(含 14吨)，则每吨按政府补贴优惠价m元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价n元收费．小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元． (1)求每吨水的政府补贴优惠价和市场价； (2)设每月用水量为x吨，应交水费为y元，请写出y与x之间的函数解析式； (3)小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？ 二、分段函数问题 2．为更新果树品种，某果园计划新购进A，B两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种树苗的单价为7元/棵，购买B种树苗所需费用y(元)与购买数量x(棵)之间存在如图所示的函数关系． (1)求y与x的函数解析式； (2)若在购买计划中，B种树苗的数量不超过35棵，但不少于A种树苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用． 三、两个一次函数图象结合的问题 3．随着互联网的发展，互联网消费逐渐深入人们生活，如图是“滴滴顺风车”与“滴 滴快车”的行驶里程 x(公里)与计费 y(元)之间的函数关系图象，下列说法：①“快车”行 驶里程不超过 5 公里计费 8 元；②“顺风车”行驶里程超过2 公里的部分，每公里计费 1.2 元；③A 点的坐标为(6.5，10.4)；④从哈尔滨西站到会展中心的里程是 15 公里，则“顺风 车”要比“快车”少用 3.4 元．其中正确的个数有( ) A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 四、分类讨论思想 4．江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称，甲、乙两家农贸商店，平时以同样的价 格出售品质相同的小龙虾，“龙虾节”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，付款金额 y 甲，y 乙 (单位：元)与原价 x(单位：元)之间的函数关系如图所示： (1)直接写出 y 甲，y 乙关于 x 的函数关系式； (2)“龙虾节”期间，如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾更省钱？ ◆类型二 路程类问题 一、两个一次函数图象结合的问题 5．A ，B 两地相距 60km ，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发，图中l 1，l 2 表示 两人离 A 地的距离 s(km )与时间 t(h )的关系，请结合图象解答下列问题： (1)表示乙离 A 地的距离与时间关系的图象是________(填 l 1 或 l 2)；甲的速度是 ________km /h ，乙的速度是________km /h ； (2)甲出发多长时间两人恰好相距 5km? 高中数学专题练习：分类讨论思想 [思想方法解读]分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略. 1.中学数学中可能引起分类讨论的因素： (1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等. (2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{a n}的前n项和公式等. (3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等. (4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等. (5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等. 2.进行分类讨论要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论.其中最重要的一条是“不重不漏”. 3.解答分类讨论问题时的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围;其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不重不漏、分类互斥(没有重复);再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果;最后进行归纳小结，综合得出结论. 常考题型精析 题型一由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论 例1设集合A＝{x∈R|x2＋4x＝0}，B＝{x∈R|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若B?A，求实数a的取值范围. 分类讨论思想 第三讲分类讨论思想 [思想方法解读]分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略. 1.中学数学中可能引起分类讨论的因素： (1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等. (2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{a n}的前n项和公式等. (3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等. (4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等. (5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的 结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等. 2.进行分类讨论要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论.其中最重要的一条是“不重不漏”. 3.解答分类讨论问题时的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不重不漏、分类互斥(没有重复)；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论. 常考题型精析 题型一由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论 例1设集合A＝{x∈R|x2＋4x＝0}，B＝{x∈R|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若B?A，求实数a的取值范围. 一次函数的应用 用一次函数解决实际生活问题： 常见类型： （1）求一次函数的解析式； （2）利用一次函数的图象与性质解决某些问题，如最大（小）值问题等. 一次函数解决实际问题的步骤： (1)认真分析实际问题中变量之间的关系； (2)若具有一次函数关系，则建立一次函数的关系式； (3)利用一次函数的有关知识解题 探究类型之一利用一个一次函数的方案选择 例1：某商店欲购进甲、乙两种商品，已知甲的进价是乙的进价的一半，购进3件甲商品和1件乙商品恰好用200元.甲、乙两种商品的售价每件分别为80元、130元，该商店决定用不少于6 710元且不超过6 810元购进这两种商品共100件. (1)求这两种商品的进价； (2)该商店有几种进货方案？哪种进货方案可获得最大利润，最大利润是多少？ 类似性问题 1.某中学计划购买A型和B型课桌凳共200套．经招标，购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用40元，且购买4套A型和5套B型课桌凳共需1820元． （1）求购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需多少元？ （2）学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳的总费用不能超过40880元， 并且购买A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳的23，求该校本次购买A型和B 型课桌凳共有几种方案？哪种方案的总费用最低？ 2.建设环境优美、文明和谐的新农村，某村村委会决定在村道两旁种植A，B两种树木，需要购买这两种树苗1000棵．A，B两种树苗的相关信息如下表： 设购买A种树苗x棵，绿化村道的总费用为y元．解答下列问题： （1）写出y（元）与x（棵）之间的函数关系式； （2）若这批树苗种植后成活了925棵，则绿化村道的总费用需要多少元？（3）若绿化村道的总费用不超过31000元，则最多可购买B种树苗多少棵？ 探究类型之二利用两个一次函数的方案选择 例3 川省第十二届运动会将于2014年8月18日在我市隆重开幕，根据大会 6.4一次函数解决实际问题（销售问题） 预习目标 1．能根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数的表达式． 2．能将简单的实际问题通过建立一次函数模型转化为数学问题，从而解决实际问题． 3．在解决实际问题的过程中，初步体会方程与函数的关系． 教材导读 阅读教材P155～P156内容，回答下列问题： 1．一次函数是刻画现实世界中物质之间关系的重要模型，其应用比比皆是．要将实际 问题转化为与一次函数有关的数学问题，首先要分清哪些是变量，哪些是常量，哪个是自变量，哪个是因变量；其次是建立_______和_______之间的关系，这与列方程一样，不同的是 建立一次函数关系时要关注_______的取值范围． 2．利用一次函数的知识解应用题的一般步骤： (1)设定实际问题中的变量．(2)建立一次函数表达式．(3)确定自变量的取值范围，保证 函数具有实际意义．(4)解答一次函数问题，如最大（小）值．(5)写出答案． 例1小明家今年种植的“红灯”樱桃喜获丰收，采摘上市20天全部销售完，小明对销售情况 进行跟踪记录，并将记录情况绘成图象，日销售量y（单位：千克）与上市时间x（单位：天）的函数关系如图1所示，樱桃价格z（单位：元/千克）与上市时间x（单位：天）的函数关系式如图2所示． （1）观察图象，直接写出日销售量的最大值； （2）求小明家樱桃的日销售量y与上市时间x的函数解析式； （3）试比较第10天与第12天的销售金额哪天多？ 例2一水果经销商购进了A，B两种水果各10箱，分配给他的甲、乙两个零售店（分别简 称甲店、乙店） 销售，预计每箱水果的盈利情况如下表： A种水果/箱B种水果/箱 甲店11元17元 乙店9元13元 （1）如果甲、乙两店各配货10箱，其中A种水果两店各5箱，B种水果两店各5箱，请你计算出经销商能盈利多少元？ （2）在甲、乙两店各配货10箱（按整箱配送），且保证乙店盈利不小于100元的条件下，请你设计出使水果经销商盈利最大的配货方案，并求出最大盈利为多少？q D.当a>1时，p>q；当0
中考数学复习指导：利用一次函数解决实际问题(含答案)
一次函数与实际问题
一次函数实际问题
[精品]新高三数学第二轮专题复习分类讨论思想优质课教案
七年级上册--分类讨论思想
利用一次函数解决实际问题(含答案)
《一次函数与实际问题》同步练习题
中考数学专题复习专题三大数学思想方法第一节分类讨论思想训练
分类讨论的思想方法
《建立一次函数的模型解决实际问题》练习题
2020八年级数学下册试题 9.微专题：一次函数的实际应用——利润、方案问题
利用一次函数图象解决实际问题专项训练(含答案)
2020中考数学 一次函数实际问题专题练习(含答案)
中考数学专题复习之利用一次函数解决实际问题
高中数学专题练习：分类讨论思想
分类讨论思想
(完整版)一次函数的实际应用(经典)
一次函数解决实际问题—销售问题教案(PDF版)