《现代控制理论》刘豹著(第3版)课后习题答案(最完整版)
第一章习题答案
1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
1
1
K s K K p +s
K s K p 1
+s J 11s
K n 2
2s J K b -
++
-
+
-
)
(s θ)
(s U 图1-27系统方块结构图
解：系统的模拟结构图如下：
)
(s U )
(s θ--
-
+
++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图
1
K p
K K 1p
K K 1++
+p
K n K ⎰
⎰
⎰1
1J ⎰
2
J K b ⎰
⎰
-
1
x 2
x 3
x 4
x 5x 6x
系统的状态方程如下：
u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x p
p p p n p b
161116613153
461
514131
3322211
+--
=+-==++-
-
==
=∙∙
∙
∙∙∙
令y s =)(θ，则1x y =
所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为
[]⎥⎥⎥⎥⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙∙∙∙
∙654321165432111111112654321000001000000
000000010010000000000010x x x x x x y u
K K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p p
p n p b
1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
R1L1R2
L2
C
U
---------Uc
---------
i1
i2图1-28 电路图
解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =
有电路原理可知：∙
∙
∙
+==+=++3
213
222231111x C x x x x R x L u
x x L x R 既得
2
221332
2222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-
=+-=+--
=∙
∙
∙
写成矢量矩阵形式为：
[]⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡---
-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡32121321222
111
321000*********x x x R y u L x x x C
C L L R L L R x x x 。。
。
1-3 参考例子1-3（P19）.
1-4 两输入1u ，2u ，两输出1y ，2y 的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。
1
1
a 3
a 4
a 2
b 1
b ⎰⎰
⎰
⎰
1
u 2
u 1
y 2
y +--
-
-
-
-+
++5
a 6
a 2
a 图1-30双输入--双输出系统模拟结构图
解：系统的状态空间表达式如下所示：
[]⎥⎥⎥
⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡432121432134
5
61
2432101010000000100100010x x x x y u b b x x x x a a a a a a x
x x x
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡--+-=-34
561
2
101000
1)(a a a s a a
s a s
A sI
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢
⎢⎢⎢⎣⎡--+-=-=--211
34
561
2
10000000
1010001)()(b b a a a s a a
s a s
B A sI s W ux []⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡--+-=-=--211
34
5612
1
0000000
101000
10101)()(b b a a a s a a
s a s
B A sI
C s W uy
1-5系统的动态特性由下列微分方程描述
u u u y y y y 23375)2(.
..
.
..
++=+++
列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。 解：令..
3.
21y x y x y x ===，，，则有
[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡321321321132100573100010x x x y u x x x x x x 。。
。 相应的模拟结构图如下：
5
7
3
⎰
⎰
⎰
u
y
+
+
+-
--3
1
x 2
x 3
x 2
1
1-6 （2）已知系统传递函数2
)3)(2()
1(6)(+++=s s s s s W ,试求出系统的约旦标准型的实现，并画
出相应的模拟结构图
解：s
s s s s s s s s W 31
233310)3(4)3)(2()1(6)(22++++-
+
+-=+++=
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡
--=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡432143214321313
310411100000
020*********x x x x y u x x x x x x x x
1-7 给定下列状态空间表达式
[]⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321100210311032010x x x y u x x x x x x ‘
（1） 画出其模拟结构图
（2） 求系统的传递函数 解：
（2）⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-=-=31103201
)()(s s s A sI s W )1)(2)(3()3(2)3(2+++=+++=-s s s s s s A sI
()⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡++---++-+++++=--)2)(1(150)3()3(20
33)
1)(2)(3(1
)(21s s s s s s s s s s s s A sI ()⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡+++++++=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++---++-+++++=-=-)3)(12()3()3()1)(2)(3(1210)2)(1(150)3()3(20
33)1)(2)(3(1
)()(21s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s B A sI s W ux
[])
1)(2()12()
1)(2)(3(1)3)(12()3()3(100)()(1+++=
+++⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡++++=-=-s s s s s s s s s s s B A sI C s W uy
1-8 求下列矩阵的特征矢量
（3）⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=6712203010A 解：A 的特征方程 0611667122301
23=+++=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---=-λλλλλλλA I 解之得：3,2,1321-=-=-=λλλ
当11-=λ时，⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---3121113121116712203010p p p p p p 解得： 113121p p p -== 令111=p 得 ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P （或令111-=p ，得⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P ） 当21-=λ时，⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---32221232221226712203010p p p p p p 解得： 123212222
1
,2p p p p =-= 令212=p 得 ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1423222122p p p P （或令112=p ，得⎥
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=21213222122p p p P ） 当31-=λ时，⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---33231333231336712203010p p p p p p 解得： 133313233,3p p p p =-= 令113=p 得 ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3313323133p p p P 1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）
⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32121321321110021357213311201214x x x y y u x x x x x x （2）
解：A 的特征方程 0)3)(1(3112121
42=--=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-λλλλλλA I 1,332,1==λλ
当31=λ时，⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3121113121113311201214p p p p p p 解之得 113121p p p == 令111=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P
当32=λ时，⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1113311201214312111312111p p p p p p 解之得 32222212,1p p p p =+= 令112=p 得 ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0013222122p p p P 当13=λ时，⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--332313332313311201214p p p p p p 解之得 3323132,0p p p == 令133=p 得 ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1203323133p p p P
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101201011T ⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---=-1102112101T
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-4325183572131102112101B T
⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=302413101201011110021CT 约旦标准型x ~y u
x ~x ~⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=302413432518100030013
1-10 已知两系统的传递函数分别为W 1(s)和W 2(s)
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=2102111)(1s s s s s W ⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢
⎢⎢⎣⎡+++=011
4131
)(2s s s s W
试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果 解：（1）串联联结
⎥⎥⎥
⎥
⎦
⎤⎢⎢
⎢
⎢⎣⎡++++++++++=⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎣⎡+++==)2)(1(1)1(1)4)(3)(2(7
5)3)(1(1
210211
101
1413
1
)()()(2
212s s s s s s s s s s s s s s s s s s W s W s W
（2）并联联结
⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢
⎢⎢⎣⎡+++±⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=±=011
41312102111)()()(11s s s s s s s s W s W s W
1-11 （第3版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡+-+=210111
)(1s s s s W ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10012)s (W 求系统的闭环传递函数 解：
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+-
+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡+-+=21011
1100121011
1)()(211s s s s s s s W s W ⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡++-
++=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣
⎡+-
++=+23011
2100121011
1)()(1s s s s s s s s I s W s W I []⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣
⎡++++++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡++++++=+-320)3(121
12
12331)()(1
21s s s s s s s s s s s s s s s W s W I
[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++-+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣
⎡
+-+++++=⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+-
+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡++++++=+=-310
)3(1211101)1)(2(33121111120123
31)()()()(1121s s s s s s s s s s s s s s
s s s s s s s s s s W s W s W I s W
1-11（第2版教材） 已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为
⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡+-+=212111
1s s s )s (W ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10012
)s (W 求系统的闭环传递函数 解：
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+=212111100121211111s s s s s s )s (W )s (W ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡++-++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+=+232112100121211111s s s s s s s s )s (W )s (W I []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎣
⎡++-+++++=+-122123
2512111s s s s s s s )s (s )s (W )s (W I
[]⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡+++-++++++++-
+++++=
⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-++++-++++-++++++=⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣
⎡+-
+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++-+++++=+=-252)25)(2(66251
)25()2()
83()1(1121)2(222)2(1)2(32)2(325)1(21121122123
25)1()()()()(2
22322222221111s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s
s s s s s s s s s s s s W s W s W I s W
1-12 已知差分方程为
)(3)1(2)(2)1(3)2(k u k u k y k y k y ++=++++
试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u 的系数b(即控制列阵)为
（1）⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=11b
解法1：
2
1
112332)(2+++=+++=z z z z z z W
)(11)(2001)1(k u k x k x ⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=+ [])(11)(k x k y =
解法2：
)
(2)(3)()(3)(2)1()
()1(2121221k x k x k y u k x k x k x k x k x +=+--=+=+ [])
(23)()(10)(3210)1(k x k y k u k x k x =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=+ 求T,使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-111B T 得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-10111T 所以 ⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡-=1011T
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-150410113210
10111
AT T [][]13101123-=⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡-=CT
所以，状态空间表达式为
[])
(13)()(11)(1504)1(k z k y k u k z k z -=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=+
第二章习题答案
2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数At e 。
（2） A=1141⎛⎫
⎪⎝⎭
解：第一种方法： 令 0I A λ-= 则
1
1041
λλ--=-- ，即()2
140λ--=。 求解得到13λ=，21λ=-
当13λ=时，特征矢量11121p p p ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
由 111Ap p λ=，得11112121311341p p p p ⎡⎤⎡⎤
⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 即112111112121
343p p p p p p +=⎧⎨+=⎩，可令112p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
当21λ=-时，特征矢量12222p p p ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
由222Ap p λ=，得121222221141p p p p -⎡⎤⎡⎤
⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 即122212122222
4p p p p p p +=-⎧⎨+=-⎩ ，可令212p ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
则1122T ⎡⎤=⎢⎥
-⎣⎦，1
1
1241
12
4T -⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
33333111111110242244
221
1
110
2
422t t
t t t
At t t t t t e e
e e e
e e e e e e -----⎡⎤⎡⎤
+-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦
第二种方法，即拉氏反变换法：
1141s sI A s --⎡⎤
-=⎢⎥--⎣⎦
[]
()()1
111
4131s sI A s s s --⎡⎤
-=
⎢⎥--+⎣⎦
()()()()()()
()()11
313141
3131s s s s s s s s s s -⎡
⎤
⎢⎥
-+-+⎢⎥=⎢⎥-⎢
⎥-+-+⎣⎦
1111112314311111131
231s s s s s s s s ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎢⎥-+-+⎝⎭⎝⎭⎢
⎥
=⎢⎥⎛⎫
-+⎢⎥
⎪-+-+⎝⎭⎣⎦ ()331133111122
44
1122t t
t t At t t t t e e e e e L sI A e e e e ------⎡⎤
+-⎢⎥⎡⎤=-=⎢
⎥⎣⎦
⎢⎥-+⎢⎥⎣
⎦
第三种方法，即凯莱—哈密顿定理 由第一种方法可知13λ=，21λ=-
31
330311
313134444111
1114
444t t t t
t t t t e e e e e e e e -----⎡⎤⎡⎤
+⎢⎥⎢⎥∂⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂-⎣
⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
3333331111101113132244
014111444422t t
t t At t t t t
t t
t t e e e e e e e e e e e e e
------⎡⎤
+-⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥
⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎢⎥-+⎢⎥⎣
⎦
2-5 下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A 阵。
（3）()22222222t t
t t t t
t t e e e e t e e
e e --------⎡⎤
--Φ=⎢⎥--⎣⎦ （4）()()()()33331124
12t t t t t t
t t e e e e t e e e e ----⎡⎤
+-+⎢⎥Φ=⎢⎥⎢⎥-++⎢⎥⎣⎦
解：（3）因为 ()10001I ⎡⎤
Φ==⎢⎥
⎣⎦
，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件 ()22220
00222421324t t t t t
t
t t t t e e e e A t e e
e e --------==-⎡⎤-+-+⎡⎤
=Φ==⎢⎥⎢⎥--+-+⎣⎦
⎣⎦
（4）因为()10001I ⎡⎤
Φ==⎢⎥
⎣⎦
，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件 ()330
3301313112244
1341322t t t t t t t t t t e e e e A t e e e e
--=--=⎡⎤
-++⎢⎥
⎡⎤=Φ==⎢
⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥+-+⎢⎥⎣
⎦
2-6 求下列状态空间表达式的解：
010001x x u ⎡⎤⎡⎤
=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
)(1,0y x =
初始状态()101x ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦，输入()u t 时单位阶跃函数。
解： 0100A ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦ 10s sI A s -⎡⎤
-=⎢⎥
⎣⎦
()21
21
111010s s s sI A s s s -⎡⎤
⎢⎥-⎡⎤-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦
()()1
1101At t t e L sI A --⎡⎤⎡⎤Φ==-=⎢
⎥⎣⎦⎣⎦ 因为 01B ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦ ，()()u t I t =
()()()()()00t
x t t x t Bu d τττ=Φ+Φ-⎰
01110011011t t t d ττ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰ 0111t t t d ττ+-⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎰ 21121t t t ⎡⎤+⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦ 21121t t t ⎡⎤++⎢⎥=⎢⎥
+⎣⎦ []21
1012
y x t t ==++
2-9 有系统如图2.2所示，试求离散化的状态空间表达式。设采样周期分别为T=0.1s 和1s ，而1u 和2u 为分段常数。
K/(s+1)
2
1
1/s
u 1
X
X x 1
u 2
+
-+
+
x 2
y
图2.2 系统结构图 解：将此图化成模拟结构图
K
2
1
u 1
X X x 1
u 2-+
+
x 2
y
∫
-
∫
X
列出状态方程
《现代控制理论》刘豹著(第3版)课后习题答案(最完整版)
第一章习题答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 1 1 K s K K p +s K s K p 1 +s J 11s K n 2 2s J K b - ++ - + - ) (s θ) (s U 图1-27系统方块结构图 解：系统的模拟结构图如下： ) (s U ) (s θ-- - + ++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图 1 K p K K 1p K K 1++ +p K n K ⎰ ⎰ ⎰1 1J ⎰ 2 J K b ⎰ ⎰ - 1 x 2 x 3 x 4 x 5x 6x 系统的状态方程如下： u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x p p p p n p b 161116613153 461 514131 3322211 +-- =+-==++- - == =∙∙ ∙ ∙∙∙ 令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为
[]⎥⎥⎥⎥⎥ ⎥ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙∙∙∙ ∙654321165432111111112654321000001000000 000000010010000000000010x x x x x x y u K K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p p p n p b 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。 R1L1R2 L2 C U ---------Uc --------- i1 i2图1-28 电路图 解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y = 有电路原理可知：∙ ∙ ∙ +==+=++3 213 222231111x C x x x x R x L u x x L x R 既得 2 221332 2222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+- =+-=+-- =∙ ∙ ∙ 写成矢量矩阵形式为：
《现代控制理论》第3版课后习题答案
《现代控制理论参考答案》 第一章答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 图1-27系统方块结构图 解：系统的模拟结构图如下： 图1-30双输入--双输出系统模拟结构图 系统的状态方程如下：
u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x p p p p n p b 161116613153 46 1 5141313322211 +-- =+-==++--== =??? ?? ? 令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 []????? ? ??? ? ??????????=??????? ???????????????+?????? ?????????????????????????? ?? ??????????? ?-----=????????????????????????????? ?654321165432111111112654321000001000000 000000010010000000000010x x x x x x y u K K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p p p n p b 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
L1 L2 U 图1-28 电路图 解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y = 有电路原理可知：? ? ? +==+=++3 213 222231111x C x x x x R x L u x x L x R 既得 2 221332 2222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+- =+-=+-- =? ? ? 写成矢量矩阵形式为： []???? ? ?????=?? ?? ? ? ????????+?????????????????? ? ?? ???????--- -=??????????????3212 1321222 111 321000*********x x x R y u L x x x C C L L R L L R x x x 。。 。 1-4 两输入1u ，2u ，两输出1y ，2y 的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。
《现代控制理论》刘豹著(第3版)课后习题答案
《现代控制理论》刘豹著（第3版）课后习题答案 解：系统的模拟结构图如下： 系统的状态方程如下： 令，则所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为1-2有电路如图1-28所示。以电压为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻上的电压作为输出量的输出方程。 解：由图，令，输出量有电路原理可知： 既得写成矢量矩阵形式为： 1-3参考例子1-3（P19）.1-4两输入，，两输出，的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。 解：系统的状态空间表达式如下所示： 1-5系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。 解：令，则有相应的模拟结构图如下： 1-6（2）已知系统传递函数,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图解： 1-7给定下列状态空间表达式‘（1）画出其模拟结构图（2）求系统的传递函数解： （2）1-8求下列矩阵的特征矢量（3）解：A的特征方程解之得： 当时，解得： 令得（或令，得）当时，解得： 令得（或令，得）当时，解得： 令得1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）（2）解：A的特征方程当时，解之得令得当时，解之得令得当时，解之得令得约旦标准型1-10已知两系统的传递函数分别为W1(s)和W2(s)试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果解：（1）串联联结（2）并联联结1-11（第3版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：
1-11（第2版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解： 1-12已知差分方程为试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u 的系数b(即控制列阵)为（1）解法1： 解法2： 求T,使得得所以所以，状态空间表达式为第二章习题答案2-4用三种方法计算以下矩阵指数函数。 （2）A=解：第一种方法： 令则，即。 求解得到，当时，特征矢量由，得即，可令当时，特征矢量由，得即，可令则，第二种方法，即拉氏反变换法： 第三种方法，即凯莱—哈密顿定理由第一种方法可知，2-5下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A阵。 （3）（4）解：（3）因为，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件（4）因为，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件2-6求下列状态空间表达式的解：初始状态，输入时单位阶跃函数。 解： 因为，2-9有系统如图2.2所示，试求离散化的状态空间表达式。设采样周期分别为T=0.1s和1s，而和为分段常数。 图2.2系统结构图解：将此图化成模拟结构图列出状态方程则离散时间状态空间表达式为由和得： 当T=1时当T=0.1时第三章习题答案3-1判断下列系统的状态能控性和能观测性。系统中a,b,c,d的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其取值条件如何？（1）系统如图3.16所示： 解：由图可得： 状态空间表达式为： 由于、、与无关，因而状态不能完全能控，为不能控系统。由于只与有关，因而系统为不完全能观的，为不能观系统。 （3）系统如下式：
现代控制理论》课后习题答案(完整版)
现代控制理论》课后习题答案(完整版) 试求图1-27所示系统的状态空间表达式和输出方程表达式。 解：系统的模拟结构图如下： image.png]() 根据模拟结构图，可以列出系统的状态方程： begin{cases} \dot{x}_1 = -2x_1 + 3x_2 + u \\ \dot{x}_2 = -x_1 + 2x_2 \end{cases}$$ 其中，$u$为输入量，$x_1$和$x_2$为状态变量。 将状态方程写成矩阵形式： begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} u$$ 系统的输出方程为： y = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$$ 因此，系统的状态空间表达式为： begin{cases} \dot{x} = Ax + Bu \\ y = Cx \end{cases}$$ 其中。 A = \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}。 B = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}。C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}$$ 输出方程表达式为：
现代控制理论第三版刘豹著第三章答案
3-1判断下列系统的状态能控性和能观测性。系统中a,b,c,d 的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其取值条件如何？ （1）系统如图3.16所示： 图3.16 系统模拟结构图 解：由图可得： 3 43432112332 211x y dx x x cx x x x x cx x bx x u ax x =-=-+=++-=-=+-=•••• 状态空间表达式为： []x y u x x x x d c b a x x x x 01 000001100 011000000 43214321=⎥ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡••• • 由于• 2x 与u 无关，因而状态不能完全能控，为不能控系统。由于y 与4x 无关，因而系统为不完全能观的，为不能观系统。
（3）系统如下式： x d c y u b a x x x x x x ⎥ ⎦ ⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢ ⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡•• •00000012200010011321321 解：如状态方程与输出方程所示，A 为约旦标准形。要使系统能控，控制矩阵b 中相对于约旦块的最后一行元素不能为0，故有0,0≠≠b a 。 要使系统能观，则C 中对应于约旦块的第一列元素不全为0，故有0,0≠≠d c 。 3-3确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数i i βα和 []11,11,01)1(21-=⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=C b A αα 解：构造能控阵： []⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎣⎡+==21111ααAb b M 要使系统完全能控，则211αα≠+，即0121≠+-αα 构造能观阵： ⎥ ⎦ ⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21111 CA C ααN 要使系统完全能观，则121αα-≠-，即0121≠+-αα 3-10给定下列状态空间方程，试判别其是否变换为能控和能观标准型。 [] x 100y u 210x 311032010 =⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=x 解：[]100210311032010=⎥⎥ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=C b A ，，
《现代控制理论》第3版课后习题答案
《现代控制理论》第3版课后习题答案
《现代控制理论参考答案》 第一章答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 1 1K s K K p +s K s K p 1 +s J 11s K n 2 2s J K b - + + - +- ) (s θ)(s U 图1-27系统方块结构图 解：系统的模拟结构图如下： ) (s ) (s θ-- - + ++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图 1K p K K 1p K K 1+ + +p K n K ⎰ ⎰ ⎰1 1J ⎰ 2 J K b ⎰ ⎰- 1 x 2 x 3 x 4 x 5x 6x 系统的状态方程如下：
u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x p p p p n p b 161116613153 46 15141313322211 +-- =+-==++--== =••• •• • 令y s =)(θ，则1 x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 []⎥⎥⎥⎥⎥ ⎥ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡••••• •654321165432111111112654321000001000000 0000000010010000000000010x x x x x x y u K K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p p p n p b 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2 R 上的电 压作为输出量的输出方程。