现代控制理论考题

一. 状态空间模型和模型变换

1.1 已知SISO 系统的传递函数为

()()()()

6412

2

++++=

s s s s s G

（1）给出系统的一个状态空间实现，写出状态空间模型的完整表达式。

（2）求出系统特征值，比较系统的特征值和极点是否一致，为什么？所得的状态空间实现是否是最小实现？ 解：(1) G （s ）=

)

6)(4()1(2

2

++++s s s s =

24

5845122

2

3

4

+++++s s s s s

将其输入到MATLAB 工作空间： 代码

>> num=[1,2];

>> den=[1,12,45,58,24]; >> TFG=tf(num,den); >> SG=ss(TFG) 运行结果

a =

x1 x2 x3 x4 x1 -12 -5.625 -1.813 -0.75 x2 8 0 0 0 x3 0 4 0 0 x4 0 0 1 0 b = u1 x1 0.25 x2 0 x3 0 x4 0 c =

x1 x2 x3 x4 y1 0 0 0.125 0.25

d =

u1 y1 0

Continuous-time model.

根据运行结果，得到系统的一个状态空间实现，状态空间模型的完整表达式为：

u x x x x x

x x x

⎥⎥

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00025.001

00040000875.0813.1625.51243214321 []⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=432125

.0125

.000

x x x x y (2)

①在MATLAB 工作空间中，求系统特征值的代码为

A=[-12,-5.625,-1.813,-0.75;8,0,0,0;0,4,0,0;0,0,1,0]; >> V=eig(A) 运行结果 V =

-6.0019 -3.9964 -1.0335 -0.9681

故系统的特征值为9681.0,0335.1,9964.3,0019.64321-=-=-=-=λλλλ

由SISO 系统的传递函数

()()()()6412

2++++=

s s s s s G 知系统的极点为p1=p2=-1，p3=-4，

p4=-6。

由上可知系统的特征值和极点是一致的。因为系统矩阵的特征值方程和系统传递函数的特征方程是等价的，特征值也是特征方程D(s)=0的根。在经典控制理论中，系统传递函数的特征方程D(s)=0解出的根具有负实部,系统就是稳定的；在现代控制理论中，特征值具有负实部系统也是稳定的。故系统的特征值和极点是一致的。

②在MATLAB 工作空间中，验证所得的状态空间实现是否是最小实现的代码为： A=[-12,-5.625,-1.813,-0.75;8,0,0,0;0,4,0,0;0,0,1,0]; >> B=[0.25;0;0;0];

>> C=[0,0,0.125,0.25]; >> D=[0];

>> G=ss(A,B,C,D); Gm=minreal(G) 运行结果 a =

x1 x2 x3 x4 x1 -12 -5.625 -1.813 -0.75 x2 8 0 0 0

x3 0 4 0 0 x4 0 0 1 0 b =

u1 x1 0.25 x2 0 x3 0 x4 0 c =

x1 x2 x3 x4 y1 0 0 0.125 0.25

d =

u1

y1 0

Continuous-time model.

该系统的传递函数没有零极点对消，并且由运行结果可知所得的状态空间实现是最小实现。 1.2 已知SISO 系统的状态空间表达式为

[]x

y u x x 11171267

12

203

010=⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=

（1）计算系统在等价变换Px x =下的状态空间方程，其中⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣⎡-=12

3

101

112

P 。比较变换前后的系统特征值是否一致，为什么？

（2）求系统的传递函数。

解：（1）

①计算系统在等价变换Px x =下的状态空间方程，其中⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-=12

3

101

112

P 。

将其输入到MATLAB 工作空间：

代码

>> A=[0 1 0;3 0 2;-12 -7 -6]; >> B=[2 1 7]';

>> C=[1 1 1];

>> G=ss(A,B,C,0);

>> P=[2 1 1;1 0 1;3 2 -1];

>> G1=ss2ss(G,P)

运行结果 a =

x1 x2 x3 x1 -5 1 0 x2 -6 -8.882e-016 0 x3 12 -3 -1 b = u1 x1 12 x2 9 x3 1

c =

x1 x2 x3 y1 2 -1.5 -0.5 d = u1 y1 0

Continuous-time model.

故系统在等价变换x =Px 下的状态空间方程为：

u x x x e x x x ⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢

⎢⎢⎣⎡------=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡191213

120016

882.8601

5321321

[]⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡--=3215.05

.12

x x x y

②比较变换前后的系统特征值是否一致

求变换前系统特征值的代码为： >> A=[0,1,0;3,0,2;-12,-7,-6]; >> V=eig(A) 运行结果 V =

-1.0000 -2.0000 -3.0000

故变换前的系统特征值为3,2,1321-=-=-=λλλ

求变换后系统特征值的代码为：

>> A=[-5,1,0;-6,-8.882e-016,0;12,-3,-1]; >> V=eig(A) 运行结果 V =

-1.0000 -2.0000 -3.0000

变换后系统的特征值为3,2,1321-=-=-=λλλ

变换前后的系统特征值是一致的。因为同一系统，经非奇异变换后，得：

x

=PA 1-P x +PBu Y=C x P 1- 其特征方程为： ||1

--PAP I λ=0

而 ||1

--PAP

I λ=||||1

1

1

1

-----=-PAP

P

P PAP PP

λλ

=|||||||)(|11---=-P A I P P A I P λλ =||||||1A I A I PP -=--λλ=0 故系统的非奇异变换，其特征值是不变的。 （2）将其输入到MATLAB 工作空间;

代码

>> A=[0,1,0;3,0,2;-12,-7,-6];%系统状态参数 >> B=[2;1;7]; >> C=[1,1,1];

>> D=0;

>> SG=ss(A,B,C,D);%构建状态方程 >> TFG=tf(SG);%由状态方程得到传递函数 >> TFG

运行结果

Transfer function: 10 s^2 + 8 s - 39 ---------------------- s^3 + 6 s^2 + 11 s + 6 故系统的传递函数为： 6

11639810)(23

2

+++-+=

s s s s s s G

二. 状态方程的解

2.1 已知SISO 系统的状态方程为

[]x

y u x x

11106510=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=

（1）求系统的状态转移矩阵。

（2）当()t u 1=，⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=000x 时，绘制系统的状态响应及输出响应曲线。此系统是否是BIBO

稳定的系统，为什么？是否可以根据这里的零状态响应断定系统的BIBO 稳定性？ （3）当0=u ，⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=210x 时，绘制系统的状态响应及输出响应曲线。此系统是否是Lyapunov

意义下稳定的系统，为什么？是否可以根据此零输入响应断定系统的Lyapunov 意义下的稳定性？

解：(1)将其输入到MATLAB 工作空间： 代码

>> A=[0,1;-5,-6]; >> syms t; >> phet=expm(A*t) 运行结果

phet =

[ 5/(4*exp(t)) - 1/(4*exp(5*t)), 1/(4*exp(t)) - 1/(4*exp(5*t))] [ 5/(4*exp(5*t)) - 5/(4*exp(t)), 5/(4*exp(5*t)) - 1/(4*exp(t))] 故系统的状态转移矩阵为： ⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛----=--------t

t

t t t t t t At

e

e

e e e

e e e e

25.025.125.125.125.025.025.025.15555

(2)当()t u 1=，

⎥

⎦⎤⎢⎣⎡=000x 时，绘制系统的状态响应及输出响应曲线。 代码

>> A=[0,1;-5,-6]; >> B=[0;1]; >> C=[1,1]; >> D=[0];

>> SG=ss(A,B,C,D); >> t=[0:0.02;10]; >> [y,t,x]=step(SG); >> plot(t,x,t,y,':r') 运行结果：

系统的状态响应及输出响应曲线如上图所示。

此系统是BIBO 稳定的系统，因为该系统初始不储能，在有界信号的激励下,输出响应(零状态响应)也是有界的，即∣x(t)∣

可以根据这里的零状态响应断定系统的BIBO 稳定性。

（3）当0=u ，

⎥

⎦⎤⎢⎣⎡=210x 时，绘制系统的状态响应及输出响应曲线。 代码：

>> A=[0,1;-5,-6]; >> B=[0;1];

>> C=[1,1]; >> D=[0];

>> SG=ss(A,B,C,D); >> x0=[1;2];

>> [y,t,x]=initial(SG ,x0)； >> plot(t,x,t,y,':r') 运行结果：

系统的状态响应及输出响应曲线如上图所示。 此系统是Lyapunov 意义下稳定的系统。因为： 将其输入到MATLAB 工作空间，代码为： >> A=[0,1;-5,-6]; >> Q=eye(size(A,1)); >> P=lyap(A,Q); >> P_eig=eig(P);

>> if min(P_eig)>0

disp('The system is Lypunov stable.') else

disp('The system is not Lypunov stable.') end

运行结果：

The system is Lypunov stable.

故由运行结果可知此系统是Lyapunov 意义下稳定的系统。

可以根据此零输入响应断定系统的Lyapunov 意义下的稳定性。

三. 能控性和能观性分析

3.1 根据系统矩阵A 和输入矩阵B ，判断系统的能控性： ⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡---=21

1

103

653A ， ⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-=11

10

21

B

解：将其输入到MATLAB 工作空间：

>> A=[3,5,-6;3,0,1;1,-1,-2]; >> B=[1,2;0,1;-1,1]; >> Uc=ctrb(A,B); >> Rc=rank(Uc) 运行结果 Rc =

3

rank （Uc ）=3，故系统是能控的。

3.2 根据系统矩阵A 和输出矩阵C ，判断系统的能观性： ⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡---=20

1

130

729A ， []22

0-=C

解：将其输入到MATLAB 工作空间： 代码

>> A=[-9,2,7;0,-3,1;1,0,-2]; >> C=[0,-2,2]; >> Uo=obsv(A,C); >> Ro=rank(Uo) 运行结果 Ro =

3

rank （Uo)=3,故系统是能观的。 3.3 已知系统状态空间描述如下

[]x

y u x x

10

1

201312513201=⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=

（1）构造变换矩阵将其变换成能控标准形；

（2）构造变换矩阵将其变换成能观标准形。 解：（1）①先判别系统的能控性： 代码

>> A=[1,0,2;3,1,5;2,-1,-3]; >> B=[1;0;-2]; >> Uc=ctrb(A,B); >> Rc=rank(Uc) 运行结果：

Rc =

rank （Uc ）=3，所以系统是能控的。 ②再计算能控标准型 代码

>> A=[1,0,2;3,1,5;2,-1,-3]; >> B=[1;0;-2]; >> C=[1,0,1]; >> D=0;

>> n=length(A); >> Uc=ctrb(A,B); >> U=inv(Uc); >> p1=U(n,:);

>> for i=1:n

T(i,:)=p1*A^(i-1); end

>> Ac=T*A*inv(T) >> Bc=T*B

>> Cc=C*inv(T) 运行结果： Ac =

-0.0000 1.0000 0 0.0000 -0.0000 1.0000 -8.0000 4.0000 -1.0000 Bc =

0 -0.0000

1.0000 Cc =

-1.0000 4.0000 -1.0000 故系统的能控标准型为： u x x

⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=10014

8

100010 []x y 14

1

--=

（2）①先判别系统的能观性 代码

>> Uo=obsv(A,C); >> Ro=rank(Uo)

运行结果：

Ro =

3

rank （Uo ）=3，故系统是能观的。

②再计算能观标准型

代码

>> A=[1,0,2;3,1,5;2,-1,-3];

>> B=[1;0;-2];

>> C=[1,0,1];

>> D=0;

>> n=length(A);

>> Uc=ctrb(A,B);

>> U=inv(Uc);

>> p1=U(n,:);

>> for i=1:n

T(i,:)=p1*A^(i-1);

end

>> Ac=T*A*inv(T);

>> Bc=T*B;

>> Cc=C*inv(T);

>> Ao=(Ac)'

>> Bo=(Cc)'

>> Co=(Bc)'

运行结果：

Ao =

-0.0000 0.0000 -8.0000

1.0000 -0.0000 4.0000

0 1.0000 -1.0000

Bo =

-1.0000

4.0000

-1.0000

Co =

0 -0.0000 1.0000

故系统的能观标准型为：

u x x ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢

⎢⎣⎡--=141110401800

[]x y 100=

四. 稳定性分析

4.1 系统状态空间描述如下

[]x

y u x x 120301219

001102

--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢

⎢⎣⎡---= （1）利用李雅普诺夫第一方法判断其稳定性；

（2）利用李雅普诺夫第二方法判断其稳定性。两种稳定性判定方法的结果是否一致，为什么？

解：（1）将其输入到MATLAB 工作空间：

代码

>> A=[-2,0,-1;1,0,0;-9,1,2];

>> B=[-1;0;3];

>> C=[0,-2,-1];

>> D=[0];

>> [z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,1);

>> n=length(A);

>> for i=1:n

if real(p(i))>0

disp('The system is Lypunov1 stable.')

end

end

运行结果：

The system is Lypunov1 stable.

The system is Lypunov1 stable.

由运行结果可知：用李雅普诺夫第一方法判断，该系统是稳定的。

（2）将其输入到MATLAB 工作空间：

代码

>> A=[-2,0,-1;1,0,0;-9,1,2];

>> B=[-1;0;3];

>> C=[0,-2,-1];

>> D=[0];

>> [z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,1);

>> n=length(A);

>> Q=eye(3,3);

>> P=lyap(A,Q);

>> for i=1:n

det(P(1:i,1:i));

if(det(P(1:i,1:i))<=0)

disp('The system is Lypunov2 stable.')

end

end

运行结果

The system is Lypunov2 stable.

由运行结果可知：用李雅普诺夫第二方法判断，该系统是稳定的。

由运行结果可知，利用李雅普诺夫第一方法和第二方法判断结果均为：系统是稳定的。 两种稳定性判定方法的结果是一致的。李雅普诺夫第一法的基本思路是通过系统状态方程的解来间接判别系统的稳定性；李雅普诺夫第二法不需求解系统方程，而是通过一个叫做李雅普诺夫函数的标量函数来直接判定系统的稳定性。前者是间接判定，后者是直接判定，但都是对同一系统进行稳定性判断，故结果是一致的。

五. 极点配置和状态观测器设计

5.1 系统状态空间方程如下

[]x y u x x 101211146

100010

-=⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢

⎢⎣⎡---= 试判断系统是否能够进行极点配置，如能，请进行闭环系统极点配置，其理想闭环系统的极点为[]432

---，给出相应的状态反馈控制律。

解：

先运行下列命令判断能控性

>> A=[0,1,0;0,0,1;-6,-4,-1];

>> B=[1;-1;2];

>> Uc=ctrb(A,B);

>> m=rank(Uc)

返回

m =

3

可见系统是完全能控的，该系统极点可以任意配置。

>> P=[-2,-3,-4];

>> K=acker(A,B,P);

>> A1=A-B*K;

>> K

K =

30 22 0

>> A1

A1 =

-30 -21 0

30 22 1

-66 -48 -1

由运行结果可知，状态反馈增益阵为[]02230

=K ，配置后的系统A 阵为A1，即

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢

⎢⎣⎡-----=148661223002130

1A 相应的状态反馈控制律为：[]v x v Kx u +=+=02230

5.2 系统状态空间描述如下

[]x y u x x 001631234

100010

=⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢

⎢⎣⎡---= 试判断是否能设计全维状态观测器，如能，请设计状态观测器，并将状态观测器的极点配置为[]542---，给出状态观测器表达式。

解：将其输入到MATLAB 工作空间：

代码

>> A=[0,1,0;0,0,1;-4,-3,-2];

>> B=[1;3;-6];

>> C=[1,0,0];

>> P=[-2,-4,-5];

>> K=acker(A,B,P);

>> A1=A-B*K;

>> K

>> A1

返回

K =

1.7405 -1.6260 -

2.0229

A1 =

-1.7405 2.6260 2.0229

-5.2214 4.8779 7.0687

6.4427 -12.7557 -14.1374

K 为配置增益参数，A1 为配置后的系统A 阵

代码

>> A=[0,1,0;0,0,1;-4,-3,-2];

>> B=[1;3;-6];

>> C=[1,0,0];

>> n=3;%系统阶数

>> Ob=obsv(A,C);%能观测矩阵

>> flag=rank(Ob);

>> if flag==n%如果可观

disp('系统可观');

P1=[-2,-4,-5];

A1=A';

B1=C';

C1=B';

K=acker(A1,B1,P1);

H=(K)'

ahc=A-H*C

%X'=ahc*X+B*u+H*y

end

运行结果

系统可观

H =

9

17

-25

ahc =

-9 1 0

-17 0 1

21 -3 -2

由运行结果可知该系统完全能观，能设计全维状态观测器。设计状态观测器，并将状态观测器的极点配置为

[]542---，则状态观测器表达式为： y u x x x x x x ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡25179631ˆˆˆ23211017019ˆˆˆ321321