等腰三角形基本性质性质

等腰三角形性质

【基础知识精讲】

等腰三角形是一种特殊的三角形,是我们重点研究的几种三角形之一.它具有一些特殊性质:

1.两个底角相等(简写为“等边对等角”)

2.底边的中线、高及顶角平分线三线合一.

3.等边三角形各内角都等于60°.

利用这些性质，可以解决有关三角形的边、角的证明及计算问题，也可以利用性质来进行有关线段、角的证明及计算问题.

【重难点解析】

本节重难点均在对等腰三角形性质的掌握与灵活应用上，利用性质，结合三角形有关知识及全等三角形判定及性质解决相关问题是本节研究的重点.

例1 求证：等腰三角形两腰的中线相等.

已知△ABC 中AB=AC ，BD 、CE 为中线，求证BD=CE.

分析 要证BD=CE ，可考虑证△ABD ≌△ACE ，而∠A 为公共角，

AB=AC ，所以只需证明AD=AE 即能达到证明目的.

证 ∵AB=AC, AE=EB, AD=DC

∴AE=AD.在△ABD 和△ACE 中，AB=AC ，∠A=∠A AD=AE

∴△ABD ≌△ACE ∴BD=CE.

例2 等腰三角形一个外角为100°,求三内角度数.

分析 本题利用三角形内角和及等腰三角形性质等边对等角，但要注意本题中外角是顶角的外角，还是底角的外角，在两种不同位置时，求得的结果不一样，本题有两解. 解 ∵等腰三角形

∴两底角相等，设顶角为x ，底角为y ，则x+2y=180°

(1)当顶角的外角为100°时，顶角的外角等于两底角之和

∴2y=100°求得?

???=?=5080y x (2)当底角的外角为100°时，底角y=180°-100°=80°求得????

=?=8020y x

∴三内角为80°,50°,50°或20°，80°，80°

* 例3△ABC中，AC＞AB.求证：∠B＞∠C.

证∵AC＞AB ∴在AC上取AD=AB，连BD，

∵∠ADB＞∠C.

且∠ABD=∠ADB

又∵∠ABC＞∠ABD

∴∠ABC＞∠C.

注意：本例是三角形中边角之间不等关系的一个重要结论：三角形中，若边不相等，则较大的边所对的角也较大，(简写为“大边对大角”)这一结论可帮助我们利用边的不等关系，证明角的不等关系.

例4 △ABC中，∠B=2∠C，AD为角平分线.

求证 AB+BD=AC.

分析对于要证的结论，可采用补短法来完成，即延

长AB至E，使BD=BE下只需证AE=AC即可.

∴AB+BD=AB+BE=AE.

证一延长AB至E，使BE=BD

∴AB+BD=AE. ∵BE=BD

∴∠E=∠EBD ∠ABC=∠E+∠BDE=2∠E=2∠C.

∴∠E=∠C,在△ABE的△ACD中，∠EAD=∠CAD. ∠E=∠C AD=AD

∴△AED≌△ACD ∴AE=AC ∴AB+BD=AC.

证二分析：本题也可用“截长”的方法来证明

∵∠B=2∠C＞∠C.

∴可在AC上取AF=AB，下面只需证FC=BD即可，再利用DF作桥梁，证明BD=DF=FC.

证∵∠B=2∠C＞∠C ∴AC＞AB,在AC上取AF=AB.

又∵∠1=∠2.AD=AD

∴△ABD≌△AFD. ∴BD=FD. ∠AFD=∠B=2∠C.

∴∠FDC=∠C. ∴AB+BD=AF+FC=AC.

【难题点拨】

例1 D为等边三角形△ABC内一点，DA=DB，∠DBP=∠DBC.BP=BC，求∠P的度数.

分析 正三角形内角为60°，可考虑将∠P 与三角形内角进行联系，借用内角60°以达解题目的，连DC 后易得△PBD ≌△CBD ，从而将求∠P 转

化为求∠DCB.

解 连DC ∵BP=BC ∠PBD=∠CBD BD=BD

∴△PBD ≌△CBD.

∴∠P=∠DCB. 又BD=AD CD=CD AC=BC

∴△BCD ≌△ACD

∴∠BCD=∠ACD=

21∠ACB=2

1×60°=30° ∴ ∠P=30°

* 例2 △ABC 中AB=AC ，P 为形内一点，且PB ＞PC.

如图,求证∠APC ＞∠APB.

分析 这一类在等腰三角形、等边三角形等图形中出现的与

形内一点相关的问题.常利用适当的旋转.使等边重合.将该点与

三顶点的连线段相对集中到一个三角形内，再设法利用已知来解

决问题.

证 ∵AB=AC ∴将△ABP 绕A 点逆时针旋转，使AB 与AC 重合得△AP ′C ，连PP ′由作图△ABP ≌△ACP ′

∴AP=AP ′，BP=CP ′

∴∠1=∠2 ∠APB=∠AP ′C ，P ′C=BP ＞PC.

在△PP ′C 中，P ′C ＞PC

∴∠3＞∠4 ∠1+∠3＞∠4+∠2.

∴∠APC ＞∠AP ′C ∴∠APC ＞∠APB.

本题利用了“大边对大角”这一结论。

【难题解答】

求证：等腰三角形两腰上的高的交点，与底边两端点距离相等.

已知△ABC 中AB=AC ，高BE ，CF 交于D(或延长线交于D)，求证：DB=DC.

甲 乙 丙

分析 本题应考虑∠A 的各种情况.

①∠A=90°时(图丙)，两高各与边重合，显然结论成立.

②∠A ＜90°时(图甲)，D 在形内，此时先证△BFC ≌△CEB(AB=AC ，∠ABC=∠ACB ，∠CEB=∠BFC=90°，BC 为公共边)得BF=CE ，再证△BFD ≌△CED ，得DB=DC.

③当∠A ＞90°时(图乙)，D 在形外，证法步骤②一样，但图形中相关线段位置发生了变化.

【典型考题】

例1 周长为21，边长都为整数的等腰三角形共有( )

A.4个

B.5个

C.8个

D.10个

分析 设底边为x,腰长为y ，∴x+2y=21.

∵2y 为偶数，21为奇数 ∴x 为奇数.

又三角形两边之和大于第三边 ∴x ＜2y.

x+2y ＞2x 2x ＜21 x ＜10.5.

x 为奇数 ∴x=1，3，5，7，8 共5个 答案B.

注 x=7时，y=7为等边三角形，属特殊等腰三角形.

例2 如图， D 、E 在△ABC 的边BC 上，且AD=AE=BD=DE=EC.

则∠BAC 是∠EAC 的几倍？

分析 从等边△ADE 入手，得∠ADE=∠AED=60°,再

利用△ABD 和△AEC 为等腰三角形，且顶角的外角∠ADE=

∠AED=60°.求出∠EAC 再求∠BAC.

解 ∵AD=AE=DE ∴△ADE 为等边三角形

∴∠ADE=∠AED=∠DAE=60°又AE=EC ，AD=DB

∴∠BAD=∠B=21∠ADE=30°∠EAC=∠C=2

1∠AED=30°

例3 如图，MB=2MA，MC=BC，∠1=∠2，求证MA⊥AC.

分析利用MB=2MA，可考虑取MB中点D，利用等腰三角形

性质.可知CD⊥MB,再利用三角形全等证∠A=∠MDC=90°.

证作△MCB的中线CD.∵MB=2MA ∴MA=MD

又∠1=∠2 MC=MC ∴△MAC≌△MDC. ∠A=∠MDC

又MC=BC，CD为△MCB中线∴CD⊥MB ∠CDM=90°

∴∠A=90°∴MA⊥AC.

【知识探究学习】

(一)为什么要添线

解证几何题，就是由已知出发，用形式逻辑的推理与量的计算，来探究新的、未知结果，一句话，就是要创造条件实现从已知向结论的转化，实现这一转化，要具体问题具体分析，而添设辅助线，正是创造转化条件的一部分，是为了联系几何元素之间的关系而架设的桥梁.

(二)添辅助线的目的

总目的在于沟通解题思路，创设由已知条件向所求结论过渡的条件，不可生硬地机械照搬，而是随着解题思路而展开，某些条件不能直接与结论发生联系时，为发掘、创设这些条件联系的途径，来设想和决定在图中添什么线与怎样去添线，这正是理解添设辅助线方法的精髓.

(三)添线的原则、手段

(1)化分散为集中，就是通过添加辅助线将已知和未知的有关几何元素相对集中到同一个或几个相关基本几何图形中去，使之产生联系.

(2)化整体为部分，就是通过添线把复杂的几何图形分解为几个简单的几何图形，使问题化繁为简.

(3)化不规则为规则，即通过添线将不规则几何图形化为规则几何图形，使问题化难为易.

添线的常用手段是平移、旋转、对称、截取、延长等.

【同步练习】

一、判断(3分×8=24分)

( )1.等腰三角形一个内角为120°，另两个内角必为30°.

( )2.等腰三角形的高、中线、角平分线三线合一.

( )3.内角为70°的等腰三角形，另两角一定为70°和40°.

( )4.等边三角形不一定是锐角三角形.

( )5.O为等腰三角形三中线交点，M为三内角平分线交点，N为三条高的交点，则O、M、N共线.

( )6.等腰三角形一个外角是钝角，则与它相邻的内角是底角.

( )7.底边相等，且有一个角相等的两等腰三角形全等.

( )8.底边相等，周长也相等的两个等腰三角形全等.

二、填空(4分×8=32分)

1.等腰三角形中一个内角为108°,则另两个内角分别为 .

2.△ABC中，BA=BC，∠C=50°, ∠A, ∠C的外角平分线交于D，则∠ADB= .

3.△ABC中，AB=AC，∠C=36°，BC=6,BD为外角平分线，则BD= .

4.周长为13，边长为整数的等腰三角形共有个.

5.AD为△ABC的高，AB=AC，△ABC周长为20cm，△ACD周长为14 cm，则AD=______.

6.D、E、F分别为△ABC的边AB、BC、CA上的点，DF∥BC，BD=DE=EF=FC，∠B=30°,则∠A= .

7.线段AD、BC交于O，且AB=AC，DB=DC，AD=3，BC=4.则四边形ABDC的面积为 .

8.等腰三角形两腰上的高相交所成的钝角为100°，则顶角，底角 .

三、选择(4分×8=32分)

1.等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于( )

A.顶角

B.顶角的一半

C.顶角的2倍

D.底角的一半

2.等腰三角形顶角是底角的4倍，则顶角为( )

A.20°

B.30°

C.80°

D.120°

3.等腰三角形顶角为钝角，它的高、中线和角平分线的条数总和为( )

A.3

B.6

C.7

D.9

4.BD为△ABC的角平分线，AB=AC，∠BDC=75°,则∠A为( )

5.等腰三角形底边长为5cm ，腰上的中线把三角形周长分为差为3cm 的两部分，则腰长为

( )

A.2cm

B.8cm

C.2cm 或8cm

D.不能确定

6.等腰三角形一个外角等于110°,则底角为( )

A.70°或40°

B. 40°或55°

C. 55°或70°

D. 70°

7.D 、E 为△ABC 的边BC 上两点，且AD=AE=-BD=DE=EC ，则∠BAC 是∠EAC 的( )

A.1倍

B.2倍

C.3倍

D.4倍

8.三角形一边上的高与中线相互重合，且等于该边的一半，则这个三角形是( )

A.任意三角形

B.等腰三角形

C.直角三角形

D.等腰直角三角形

四、解答题(6分×2=12分)

1.△ABC 中，∠C=90° AC=BC ，BD 为角平分线AE ⊥BD 交BD 延长线于E ，求证AE=

2

1BD.

2.如图,△ABC 和△DEC 均为等边三角形，∠DAB=40°,BACD=15°,求∠BEC 的度数.

【素质训练】

1.P为等边△ABC内一点，∠APB∶∠BPC∶∠CPA=5∶6∶7,求以PA，PB，PC长为边三角形三内角.

2.△ABC中，AB=AC，BD、CE为角平分线，AF⊥BD于F，AG⊥EC于G，求证AF=AG.

【实际运用】

用长为20cm的铁线弯成一边长为8cm的一个等腰三角形，问等腰三角形各边长应为多少？