组合数学试卷A(2014-2015-1)答卷

2014-2015-1《组合数学》试卷（A ）答案

一、填空题（每小题 分，共 ?分）

．6()x y +所有项的系数和是（ ?? ）

．将 封信投入 个邮筒，有（ ??? ）种不同的投法

．在35?棋盘中选取两个相邻的方格（即有一条公共边的两个方格），有

（ ?? ）种不同的选取方法

．把 个相同的球放入 个相同的盒，不允许空盒，则有（ ? ）种不

同方式

．把 个不同的球安排到 个相同盒子中，无空盒，共有种（ ?? ）不

同方法

．一次宴会， 位来宾寄存他们的帽子，在取帽子的时候有（ ?? ）种

可能使得没有一位来宾取回的是他自己的帽子

? 在边长为?的正方形中，任意给定九点，这些顶点的三角形中必有一个三

角形的面积不大于（ 28a

） ．棋盘多项式 ?

??（ ? ????? ）

二、单项选择题（每小题 分，共 ?分）

．...0110p q p q p q r r r ????????????+++= ??? ??? ???-????????????（ ? ）， min{,}r p q ≤

?、1p q r +?? ?-??； ?、p q r +?? ???； ?、1p q r +?? ?+??

； ?、

1p q r ++?? ???

?? ()n a b c d +++的展开式在合并同类项后一共有（ ? ）项

?、n ； ?、3n n +??

???； ?、4n ?? ???

； ?、!n

?．多项式40123(24)x x x x +++中项2012x x x 的系数是（ ? ） ?、 ?? ； ?、 ??? ； ?、 ?? ；

?、 ???

?．有 个相同的红球， 个相同的白球，则这 个球有（ ? ）种不同的排列

方式

Ａ、 ?? ； Ｂ、 ??? ； Ｃ、 ??? ； Ｄ、 ???? ?? 设,x y 均为正整数且10x y +≤，则这样的有序数对()y x ,共有（ ? ）个

?? ??? ； ?? ?? ； ?? ?? ； ?? ???

?? 递推关系12432(2)n n n n a a a n --=-+≥的特解形式是（ ? ）（α为待定常数）

?、2n n α?； ?、2n α； ?、32n

n α； ?、22n n α

?．递推关系()6(1)9(2)f n f n f n =---的一般解是（ ? ）（12,C C 为任意常数）

?、11233n n C C -+； 、12()3n C C n +； ?、1(1)3n C n +； ?、

1233n n C C +

?? 数列n a n =的普通母函数是（ ? ）

?、11t - ； ?、1t t

- ； ?、2-1(1)t - ； ?、2(1)

t t -

三、解答题（每小题 ?分，共 ?分）

?? 用数字 、 、 、 （数字可重复使用）可组成多少个含奇数个 、偶数个 且至少含一个 的?位数 ? ? ? ??

解：由指数母函数

()4!2!11!2!1!21!3!1342223t

t t e e e t t t t t t t t A -+-=???

? ??+++???? ??++???? ??++???? ??++= ()()!134410n t n n n n n -+-∑∞=，!n t n 的系数()4314n

n n -+- 即为所求 ………… ?分

?? 解递推关系：12012749562(2),

,.44n n n a a a n n a a --=-++≥==， 解：递推关系2165---=n n n a a a ()2≥n （ ）

的特征方程为0652=+-x x ，特征根为.3,221==x x 故其通解为

.3221n n n c c a ?+?= …………………………………（ 分）

因为（ ）式无等于 的特征根，所以递推关系

()226521≥++-=--n n a a a n n n （ ）

有特解 B An a n +=，其中?和 是待定常数，代入（ ）式得

2])2([6])1([5+++--+-=+n B n A B n A B An

化简得,2722+=-+n A B An 所以 ???=-=2

7212A B A

解之得.4

11,21==B A 于是 ,4

1213221++?+?=n c c a n n n ……………………………（ 分） 其中21,c c 是待定常数 由初始条件得???

????=+++=++44941121324274112121c c c c 解之得.1,321==c c 所以).2(4

1121323≥++

+?=n n a n n n ……………………（ ?分）

?? 求 到 ???之间不能被 、 或 整除的自然数的个数

解：设?为 至 ???的整数中能被 整除的数的个数； 为 至 ???的整数中能被 整除的数的个数； 为 至 ???的整数中能被 整除的数的个数 则81201000,41241000,25401000,33301000,12581000,16661000,20051000=??

????==??????==??????==??????==??????==??????==??????=C B A C B C A B A C B A 所以 400

8412533125166200C B A =+---++=+---++=C

B A

C B C A B A C B A 即

所求为：6004001000=- ……………………………………………… ?分

四、证明题（每小题 ?分，共 ?分）

?? 设0[]:0,[]:(1)(1),k x x x x x k k ==--+∈N ，s(,),(,)n k S n k 分别为第

一、第二类 ???●???数，定义为：0[](,)n k n k x s n k x ==

∑，0(,)[]n n k k x S n k x ==∑

证明： （ ）第二类 ???●???数满足递推关系：(1,)(,1)(,),,1S n k S n k kS n k n k +=-+≥；

（ ）两类 ???●???数满足关系：0,(,)(,)1,n k m m n S n k s k m m n =≠?=?=?∑ 证明：（ ）

[]1100011111(,)[][()](,)[](,)[](,1)[](,)[](,1)(,)[](,)[]n n n

n n

k k k k k k n n n

k k k n k m k x x x S n k x x k k S n k x kS n k x S n k x kS n k x S n k kS n k x S n n x ++===++====?=-+=+=-+=-++∑∑∑∑∑∑因为1

10(1,)[]n n k k x S n k x ++==+∑，所以比较两等式的[]k x 的系数，即得递推关系：

(1,)(,1)(,),,1S n k S n k kS n k n k +=-+≥ ………………… 分

（ ）因为0

0(,)[],[](,)n k

n m k

k k m x S n k x x s k m x ====∑∑，所以 000(,)(,)(,)(,)n k n n n m m k m m k m

x S n k s k m x S n k s k m x ======∑∑∑∑

比较两等式的m

x 的系数，即得： 0,(,)(,)1,n

k m m n S n k s k m m n =≠?=?=?∑ ……………………… ?分

?? 考虑?个数12,,,n a a a 的乘积123n a a a a ，依据乘法的结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积 设n p 为?个数乘积的? ?对括号插入的不同方案数 （ ）证明n p 的递推关系为：112211,(2)n n n n p p p p p p p n ---=+++≥；

（ ）用母函数方法证明：221,(2).1n n p n n n -??=≥ ?-??

证明：（ ） ?个数12,,,n a a a 的乘积的最后一次乘法运算是前 个数的积与后? 个数的积之间进行，其中1,2,,1k n =- 前 个数可以有k p 种不同的方法加括号，而后???个数可以用n k p -种不同的方法加括号 这样，当 取遍{}1,2,,1n -时，

集所有可能性，于是我们得到

112211,(2).n n n n p p p p p p p n ---=++

+≥ ……………… 分 （ ）显然121p p ==，设1()n n n G x p x ∞==

∑，由递推公式11, 2.n n k n k k p p p n --==≥∑

有 1111221

11121111()()

n n

n n n

n n n k n k k n k n n n k n k n k n k n k k n k n k k n G x p x x p x x p p x x p p x x p p x x p x p x x G x ∞∞∞-∞+--+======∞∞∞∞+-+======+=+=+=+=+=+∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

2 [()]()0G x G x x ∴-+=，解得114

().2

x G x ±-= 因为(0)0G =，所以“ ”舍去，114()2

x G x --= 又因为

所以，当1n ≥时，n p =

?分