2
< ∴>
∴≠∴=
A C C π
ππ
35
6
6
∴选A
说明：此题极易错选为C ，条件cos A <1
3
比较隐蔽，不易发现。这里提示我们要注意对题目条件的挖掘。
10． ABC ?中,A 、B 、C 对应边分别为a 、b 、c .若x a =,2=b ,?=45B ,且此三角形有两解,则x 的取值范围为 ( )
A.)22,2(
B.22
C.),2(+∞
D. ]22,2( 正确答案：A 错因：不知利用数形结合寻找突破口。
11．已知函数 y=sin(ωx+Φ)与直线y ＝21的交点中距离最近的两点距离为3
π
，那么此函数的周期是（ ）
A
3
π
B π
C 2π
D 4π 正确答案：B 错因：不会利用范围快速解题。 12．函数]),0[)(26
sin(2ππ
∈-=x x y 为增函数的区间是………………………… ( )
A. ]3,0[π
B. ]127,12[ππ
C. ]65,3[ππ
D. ],6
5[ππ
正确答案：C 错因：不注意内函数的单调性。 13．已知??
?
??∈ππβα,2,且0sin cos >+βα，这下列各式中成立的是（ ） A.πβα<+ B.23πβα>
+ C.23πβα=+ D.2
3π
βα<+ 正确答案(D) 错因:难以抓住三角函数的单调性。
14．函数的图象的一条对称轴的方程
是（）
正确答案D 错因：没能观察表达式的整体构造，盲目化简导致表达式变繁而无法继续化简。 15．ω是正实数，函数x x f ωsin 2)(=在]4
,3[π
π-上是增函数，那么（ ）
A ．2
3
0≤<ω B ．20≤<ω
C ．7
24
0≤<ω D ．2≥ω
正确答案A
错因：大部分学生无法从正面解决，即使解对也是利用的特殊值法。
16．在(0，2π)内，使cos x ＞sin x ＞tan x 的成立的x 的取值范围是 （ ） A 、 (
43,
4π
π) B 、 (
23,45ππ) C 、（ππ2,23） D 、(4
7,
23π
π) 正确答案：C 17．设()sin()4
f x x π
=+
，若在[]0,2x π∈上关于x 的方程()f x m =有两个不等的实根
12,x x ，则12x x +为
A 、2π或52π
B 、2
π
C 、52π
D 、不确定 正确答案：A
18．△ABC 中，已知cosA=
135，sinB=5
3
，则cosC 的值为（ ） A 、6516 B 、6556 C 、6516或6556 D 、65
16
-
答案：A 点评：易误选C 。忽略对题中隐含条件的挖掘。
19．在△ABC 中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C 的大小为（ ）
A 、6π
B 、65π
C 、6π或65π
D 、3
π或32π
答案：A 点评：易误选C ，忽略A+B 的范围。 20．设cos1000=k ，则tan800是（ ）
A 、k k 21-
B 、k k 21--
C 、k k 2
1-± D 、21k
k -±
答案：B 点评：误选C ，忽略三角函数符号的选择。 21．已知角α的终边上一点的坐标为（3
2cos
,32sin
π
π），则角α的最小值为（ ）。 A 、65π B 、32π C 、35π D 、6
11π
正解：D
παπαπα61165,3332cos tan ==∴-==或，而032sin >π03
2cos <π
所以，角α的终边在第四象限，所以选D ，πα6
11
= 误解：παπα32
,3
2tan tan =
=,选B 22．将函数x x f y sin )(=的图像向右移4π
个单位后，再作关于x 轴的对称变换得到的函数
x y 2sin 21-=的图像，则)(x f 可以是（ ）。
A 、x cos 2-
B 、x cos 2
C 、x sin 2-
D 、x sin 2
正解：B
x x y 2cos sin 212=-=,作关于x 轴的对称变换得x y 2cos -=,然后向左平移
4
π个单位得函数)4
(2cos π
+
-=x y x x f x sin )(2sin ?== 可得x x f cos 2)(=
误解：未想到逆推，或在某一步骤时未逆推，最终导致错解。
23． A ，B ，C 是?ABC 的三个内角，且B A tan ,tan 是方程01532
=+-x x 的两个实数根，则?ABC 是（ ）
A 、钝角三角形
B 、锐角三角形
C 、等腰三角形
D 、等边三角形 正解：A
由韦达定理得：???
????==+31
tan tan 5
3tan tan B A B A 253235
tan tan 1tan tan )tan(==-+=+∴B A B A B A
在ABC ?中，02
5
)tan()](tan[tan <-
=+-=+-=B A B A C π C ∠∴是钝角，ABC ?∴是钝角三角形。
24．曲线θθ
θ
(sin cos ??
?==y x 为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（ ）。
A 、
2
1
B 、22
C 、1
D 、2
正解：D 。
θθsin cos +=d
由于?
?
?==θθ
s in cos y x 所表示的曲线是圆，又由其对称性，可考虑I ∈θ的情况，即
θθcos sin +=d
则??? ?
?
+=
4sin 2πθd ∴2max =d
误解：计算错误所致。
25．在锐角⊿ABC 中，若1tan +=t A ，1tan -=t B ，则t 的取值范围为（ ）
A 、),2(+∞
B 、),1(+∞
C 、)2,1(
D 、)1,1(-
错解: B. 错因:只注意到,0tan ,0tan >>B A 而未注意C tan 也必须为正. 正解: A. 26．已知53sin +-=
m m θ，524cos +-=m m θ（πθπ
<<2），则=θtan （C ） A 、324--m m B 、m m 243--± C 、12
5- D 、12543--或
错解：A
错因：忽略1cos sin 2
2
=+θθ，而不解出m 正解：C
27．先将函数y=sin2x 的图象向右平移π
3个单位长度，再将所得图象作关于y 轴的对称变换，
则所得函数图象对应的解析式为 （ ）
A ．y=sin(－2x+π3 )
B ． y=sin(－2x －π
3)
C ．y=sin(－2x+ 2π3 )
D ． y=sin(－2x －2π
3
)
错解：B 错因：将函数y=sin2x 的图象向右平移π3个单位长度时，写成了)32sin(π
-=x y
正解：D
28．如果2
π
log |3π|log 212
1≥-
x ，那么x sin 的取值范围是（ ） A ．21[-
，]21 B ．21[-，]1 C ．21[-，21()21 ，]1 D ．2
1
[-，23(
)23 ，]1 错解: D ． 错因:只注意到定义域3
π
≠x ,而忽视解集中包含3
2π=
x . 正解: B ． 29．函数x x y cos sin =的单调减区间是（ ）
A 、]4
,4
[π
ππ
π+
-
k k （z k ∈） B 、)](43
,4[z k k k ∈++
πππ
π C 、)](2
2,4
2[z k k k ∈+
+
π
ππ
π D 、)](2
,4
[z k k k ∈+
+
π
ππ
π
答案：D
错解：B 错因：没有考虑根号里的表达式非负。
30．已知y x y x sin cos ,2
1
cos sin 则=的取值范围是（ ） A 、]21,21[- B 、]21,23[- C 、]2
3
,21[- D 、]1,1[-
答案：A 设t y x y x t y x 2
1
)sin )(cos cos (sin ,sin cos ==则，可得sin2x sin2y=2t,由
2
1
211212sin 2sin ≤≤-∴≤≤t t y x 即。
错解：B 、C
错因：将t y x t y x y x +=+==
21
)sin(sin cos 21cos sin 相加得与由 2
1
2312111)sin(1≤≤-≤+≤-≤+≤-t t y x 得得选B ，相减时选C ，没有考虑上述两种
情况均须满足。
31．在锐角?ABC 中，若C=2B ，则
b
c
的范围是（ ） A 、（0，2） B 、)2,2( C 、)3,2( D 、)3,1( 答案：C
错解：B 错因：没有精确角B 的范围
40．函数[]上交点的个数是，
的图象在和ππ22tan sin -+=x y x y （ ） A 、3 B 、5 C 、7 D 、9
正确答案：B
错误原因：在画图时，0＜x ＜
2
π
时，x tan ＞x sin 意识性较差。 41．在△ABC 中，,1cos 3sin 4,6cos 4sin 3=+=+A B B A 则∠C 的大小为 （ ） A 、30° B 、150° C 、30°或150° D 、60°或150° 正确答案：A
错误原因：易选C ，无讨论意识，事实上如果C=150°则A=30°∴2
1
s in =
A ，∴
B A cos 4s in 3+＜
2
11
＜6和题设矛盾 42．()的最小正周期为函数x x x x x f cos sin cos sin -++= （ ） A 、π2 B 、π C 、
2π D 、4
π 正确答案：C
错误原因：利用周期函数的定义求周期，这往往是容易忽视的，本题直接检验得
()2,2ππ==??? ?
?
+T x f x f 故
43． 的最小正周期为函数??
? ??
?+=2tan tan 1sin x x x y （ ） A 、π B 、π
2 C 、
2
π
D 、23π
正确答案：B
错误原因：忽视三角函数定义域对周期的影响。
44．已知奇函数()[]上为，在01-x f 等调减函数，又α，β为锐角三角形内角，则（ ）
A 、f(cos α)＞ f(cos β)
B 、f(sin α)＞ f(sin β)
C 、f(sin α)＜f(cos β)
D 、f(sin α)＞ f(cos β) 正确答案：（C ）
错误原因：综合运用函数的有关性质的能力不强。
45．设()[]上为增函数，
，在＝函数43sin ,0ππωω->x x f 那么ω的取值范围为（ ） A 、20≤>ω B 、2
3
0≤
>ω C 、7240≤>ω D 、2≥ω
正确答案：(B)
错误原因：对三角函数的周期和单调性之间的关系搞不清楚。
二填空题：
1．已知方程01342
=+++a ax x （a 为大于1的常数）的两根为αtan ，βtan ， 且α、∈β ??-
2π,??
?
2π，则2tan βα+的值是_________________.
错误分析：忽略了隐含限制βαtan ,tan 是方程01342
=+++a ax x 的两个负根，从而
导致错误.
正确解法：1>a ∴a 4t a n t a n -=+βα0<，o a >+=?13tan tan βα ∴βαt a n ,t a n 是方程01342
=+++a ax x 的两个负根 又??? ??-
∈2,2,ππβα ???
??-∈∴0,2,πβα 即??
? ??-∈+0,22πβα
由tan ()βα+=
βαβαtan tan 1tan tan ?-+=()1314+--a a =34可得.22
tan -=+β
α
答案: -2 .
2．已知αβαcos 4cos 4cos 522=+,则βα2
2cos cos +的取值范围是_______________.错
误分析:由αβαcos 4cos 4cos 52
2
=+得ααβ22
cos 4
5
cos cos -
=代入βα22cos cos +中,化为关于αcos 的二次函数在[]1,1-上的范围,而忽视了αcos 的隐含限制,导致错误.
答案: ??
?
???2516,
0. 略解: 由αβαcos 4cos 4cos 52
2
=+得ααβ22
cos 4
5
cos cos -
= ()1 []1,0c o s 2
∈β ??
????∈∴5
4,0c o s α
将（1）代入βα22cos cos +得βα2
2cos cos +=()12cos 41
2+--α∈??
????2516,0. 3．若()π,0∈A ,且137cos sin =
+A A ,则=-+A A A
A cos 7sin 15cos 4sin 5_______________. 错误分析:直接由13
7cos sin =+A A ,及1cos sin 2
2=+A A 求A A cos ,sin 的值代入求
得两解,忽略隐含限制??
?
??∈ππ,2A 出错. 答案:
43
8. 4．函数f x a x b ()sin =+的最大值为3，最小值为2，则a =______，b =_______。 解：若a >0
则a b a b +=-+=???32 125
2
a b ?=??∴?
?=??
若a <0
则-+=+=???a b a b 32∴=-
=
??
???
??a b 1252 说明：此题容易误认为a >0，而漏掉一种情况。这里提醒我们考虑问题要周全。 5．若Sin
532
=
α
cos 5
4
2-=α，则α角的终边在第_____象限。 正确答案：四 错误原因：注意角
2
α
的范围，从而限制α的范围。 6．在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，则2
tan 2tan 32tan 2tan C
A C A ++的值为_________. 正确答案：3
错因：看不出是两角和的正切公式的变形。 7．函数sin (sin cos )y x x x =+([0,
])2
x π
∈的值域是 ．
正确答案：10,2??
????
8．若函数cos y a x b =+的最大值是1，最小值是7-，则函数cos sin y a x b x =+的最大值是 ．正确答案：5
9．定义运算b a *为:()
(),?
??>≤=*b a b b a a b a 例如，121=*,则函数f (x )=x x cos sin *的值域为
．正确答案：[- 10．若135sin =α，α是第二象限角，则2
tan α
=__________ 答案：5
点评：易忽略
2α的范围，由2
tan 12tan
2sin 2
αα
α+=
得2tan α=5或51。
11．设ω>0，函数f(x)=2sin ωx 在]4
,3[π
π-上为增函数，那么ω的取值范围是_____ 答案：0<ω≤32 点评：]2
,2[]4,
3[π
ππω
πω-
?-
12．在△ABC 中，已知a=5，b=4，cos(A －B)=32
31
，则cosC=__________ 答案：
8
1 点评：未能有效地运用条件构造三角形运用方程思想实施转化。
13．在ABC ?中，已知a ，b ，c 是角A 、B 、C 的对应边，则①若b a >，则
x B A x f ?-=)s in (s in )(在R 上是增函数；
②若2
22)cos cos (A b B a b a +=-，则?ABC 是?Rt ；③C C s in c o s +的最小值为2-；④若B A 2c o s c o s =，则A=B ；⑤若
2)tan 1)(tan 1(=++B A ，则π4
3
=+B A ，其中错误命题的序号是_____。
正解：错误命题③⑤。
① 0sin sin ,sin sin >-∴>?>B A B A b a 上是增函数。在R )sin (sin )(x B A x f -=∴ ②??+==-Rt ABC c b a c b a 是则,,2
2
2
2
2
2
。 ③,21)4
sin(),4
sin(2cos sin --=+
+
=
+时最小值为当π
π
c c c c
显然2,0-<<得不到最小值πc 。 ④B A B A i B A ==>?=222cos 2cos
>ii πππ=+-=-=B A B A B A ,,222(舍) ，B A =∴。
⑤B A B A B A B A tan tan tan tan 1,2tan tan tan tan 1+=?-=?+++
4
1)tan(1tan tan 1tan tan π
=+∴=+=?-+∴
B A B A B A B A ，，即
∴错误命题是③⑤。
误解：③④⑤中未考虑π<14．已知)1(3tan m +=α，且βαββα,,0tan )tan ,(tan 3=++m 为锐角，则β
α+的值为_____。
正解：
60，令,0=m 得,60
=α代入已知，可得,0
=β
60=+∴βα
误解：通过计算求得,βα+计算错误.
15\给出四个命题：①存在实数α，使1c o s s i n =αα；
②存在实数α，使2
3
c o s s i n =+αα；③)225sin(
x y -=π是偶函数；④8
π
=x 是函数)452sin(π+=x y 的一条对称轴方程；⑤若βα,是第一象限角，且βα>，则βαsin sin >。其中所有的正确命题的序号是_____。
正解：③④
① 1cos sin ],2
1
,21[2sin 21cos sin =∴-∈=
ααααα不成立。 ② ∴-∈-∈+=+],2,2[2
3
],2,2[)4sin(2cos sin πααα不成立。
③ )225sin(x y -=πx x 2cos )22
sin(=-=π
是偶函数，成立。
④ 将8π=x 代入452π+x 得23π,∴8
π
=x 是对称轴，成立。
⑤ 若 390=α，,,60βαβ>=
但βαsin sin <，不成立。 误解：①②没有对题目所给形式进行化简，直接计算，不易找出错误。 ⑤没有注意到第一象限角的特点，可能会认为是)90,0(
的角，从而根据x y sin =做出了错误的判断。
16．函数|3
1
)32sin(|-+=π
x y 的最小正周期是 错解：
2
π 错因：与函数)3
2sin(|π
+=x y 的最小正周期的混淆。
正解：π 17．设
θ
θ
sin 1sin 1+-=tan θθsec -成立，则θ的取值范围是_______________
错解：]2
32,22[πππ
πθ++
∈k k 错因：由tan θθsec -0≥不考虑tan θθsec ,不存在的情况。
正解：)2
32,22(πππ
πθ++
∈k k 18．①函数x y tan =在它的定义域内是增函数。
②若βα,是第一象限角，且βαβαtan tan ,>>则。 ③函数)sin(?ω+=x A y 一定是奇函数。
④函数)3
2cos(π
+=x y 的最小正周期为
2
π。 上述四个命题中，正确的命题是 ④ 错解：①②
错因：忽视函数x y tan =是一个周期函数 正解：④ 19．函数f(x)=x
x x
x cos sin 1cos sin ++的值域为______________。
错解：??
????---
2122,2122 错因：令x x t cos sin +=后忽视1-≠t ,从而12
1
)(-≠-=t t g 正解：???
?
?--????????---
2122,11,2122 20．若2sin 2
α
βααβ2
22sin sin ,sin 3sin +=+则的取值范围是 错解：]2,4[-
错因：由
)1(,1sin 3sin sin sin 2
22-+-=+ααβα其中1sin 1≤≤-α，得错误结果；由1sin 2sin 3sin 022≤-=≤ααβ
得1sin =α或2
1
sin 0≤≤α结合（1）式得正确结果。 正解：[0 ,
4
5
]{}2? 21．关于函数))(3
2sin(4)(R x x x f ∈+
=π
有下列命题，○
1y=f(x)图象关于直线6
π
-=x 对
称 ○2 y=f(x)的表达式可改写为)6
2cos(4π
-
=x y ○
3 y=f(x)的图象关于点)0,6
(π
-对称
○4由21210)()(x x x f x f -==可得必是π的整数倍。其中正确命题的序号是 。 答案：○
2○3 错解：○
2○3○4 错因：忽视f(x) 的周期是π，相邻两零点的距离为
2
2π
=T 。 22．函数)sin(2x y -=的单调递增区间是 。 答案：)](2
3
2,22[z k k k ∈++
πππ
π
错解：)](2
1
2,22[z k k k ∈+-
πππ
π 错因：忽视这是一个复合函数。 23． ()()，那么为常数，且已知C C 0tan tan tan 33
=++?=
+αβαπ
βα
=βtan 。
正确答案：()C +13
错误原因：两角和的正切公式使用比较呆板。
24()的值域，函数???
?
????????∈+=20cos sin sin πx x x x y 是 。
正确答案：???
??
?+2210，
错误原因：如何求三角函数的值域，方向性不明确
三、解答题：
1．已知定义在区间[-π，π3
2
] 上的函数y=f(x)的图象关于直线x= -6π对称，当x ∈[-6
π，π32
]时，函数f(x)=Asin(ωx+?)(A>0, ω>0,-2π
2
]的表达式；
(2)求方程f(x)=
2
2
的解。 解：(1)由图象知A=1，T=4(6
32π
π-)=2π，ω=12=T
π
在x ∈[-6
π，32π]时
将(6
π
，1)代入f(x)得
f(
6π)=sin(6
π
+?)=1 ∵-
2π
∴?=
3
π
∴在[-6
π，32π]时
f(x)=sin(x+
3
π) ∴y=f(x)关于直线x=-6
π
对称
∴在[-π，-6
π
]时 f(x)=-sinx
综上f(x)=?????
-+x x sin )
3sin(π
]6
,[]32,6[πππ
π--∈-∈x x (2)f(x)=
2
2
在区间[-6
π，32π]内
可得x 1=
125x x 2= -12
π ∵y=f(x)关于x= - 6
π
对称 ∴x 3=-4
π
x 4= -
4
3π ∴f(x)=
22的解为x ∈{-4
3π,-4π,-12π,125π}
2． 求函数y x x =+-
sin cos 4
4
3
4
的相位和初相。 解：y x x x x =+--(s i n cos )sin cos 22222
234
=-+=-?-+==+122141214214
1
441442
2sin cos cos sin()x x x x π
∴原函数的相位为42
x +
π
，初相为
π
2
说明：部分同学可能看不懂题目的意思，不知道什么是相位，而无从下手。应将所给函数式
变形为y A x A =+>>sin()()ω?ω00，的形式（注意必须是正弦）。 3． 若sin cos αβ=
1
2
，求sin cos βα的取值范围。 解：令αβα=sin cos ，则有
∴+=+-=-??
?????∴-≤+≤-≤-≤??
?????∴-≤≤
1
212
1112
1112121212
a a a a a s i n ()s i n ()()
.()αβαβ
说明：此题极易只用方程组（1）中的一个条件，从而得出-
≤≤3212a 或-≤≤123
2
a 。原因是忽视了正弦函数的有界性。另外不等式组（2）的求解中，容易让两式相减，这样做
也是错误的，因为两式中的等号成立的条件不一定相同。这两点应引起我们的重视。 4．求函数y x x =-+162
sin 的定义域。 解：由题意有 2244
k x k x πππ≤≤+-≤≤??
?(*)
当k =-1时，-≤≤-2ππx ； 当k =0时，0≤≤x π； 当k =1时，23ππ≤≤x
∴函数的定义域是[][]--40，，ππ
说明：可能会有部分同学认为不等式组（*）两者没有公共部分，所以定义域为空集，原因是没有正确理解弧度与实数的关系，总认为二者格格不入，事实上弧度也是实数。 5 ．已知2+=αβπ，求y =-cos sin βα6的最小值及最大值。 解： 2αβπ+=
∴=-∴=--=--
βπα
ααα2261232112
22y sin sin (sin )
令t =sin α 则||t ≤1
∴=--y t 232112
2() 而对称轴为t =
32
∴当t =-1时，y max =7； 当t =1时，y min =-5 说明：此题易认为sin α=
32时，y m i n =-112
，最大值不存在，这是忽略了条件|sin |α≤13
2
，不在正弦函数的值域之内。
6．若02
<<
x π
，求函数y tgx ctg x =+492
的最大值。
解： 02
<<
x π
∴>∴=+=++≥??=t g x y t g x ctg x
tgx tgx ctg x tgx tgx ctg x 0
492293229336
22233 当且仅当292
tgx ctg x =
即tgx =9
2
3
时，等号成立 ∴=y m i n 3363
说明：此题容易这样做：y tgx ctg x tgx tgx ctg x =+=++≥49392
2
339923tgx tgx ctg x ??=，但此时等号成立的条件是tgx tgx ctg x ==392，这样的x 是不存
在的。这是忽略了利用不等式求极值时要平均分析的原则。 7． 求函数f x tgx
tg x
()=
-212的最小正周期。
解：函数f x tgx
tg x
()=
-212
的定义域要满足两个条件； t g x 要有意义且tg x 2
10-≠
∴≠+
x k ππ
2
，且x k k Z ≠
+∈ππ
24
() 当原函数式变为f x tg x ()=2时， 此时定义域为x k k Z ≠
+∈ππ
24
() 显然作了这样的变换之后，定义域扩大了，两式并不等价
而原函数的图象与y tg =2 只是在上图中去掉x k =π 说明：此题极易由y tg x =2的周期是
π2而得出原函数的周期也是π
2
，这是错误的，原因正如上所述。那么是不是说非等价变换周期就不同呢？也不一定，如1993年高考题：函
数y tg x tg x =-+121222
的最小正周期是（ ）。A. π4 B. π
2
C. π
D. 2π。此题就可以
由y x =cos4的周期为
π2而得原函数的周期也是π
2
。但这个解法并不严密，最好是先求定义域，再画出图象，通过空点来观察，从而求得周期。 8．已知Sin α=
55 Sin β=10
10，且α，β为锐角，求α+β的值。 正确答案：α+β=
4
π
错误原因：要挖掘特征数值来缩小角的范围
9．求函数y=Sin(
4
π
—3x)的单调增区间： 正确答案：增区间[ππππ127
32432++k k ，]（Z k ∈）
错误原因：忽视t=4π
—3x 为减函数
10．求函数y=x
x
2
tan 1tan -的最小正周期 正确答案：最小正周期π
错误原因：忽略对函数定义域的讨论。 11．已知Sinx+Siny=
3
1
，求Siny —cos 2x 的最大值。
正确答案：
9
4 错误原因：挖掘隐含条件
12．（本小题满分12分）
设b x a x x f ++=1log 2)(log 2)(2
22,已知2
1
=x 时)(x f 有最小值-8。 (1)、求a 与b 的值。（2）求满足0)(>x f 的x 的集合A 。
错解：2)2(log 2)(222a b a x x f -+-=，当???
????-=-=8221
22
a b a 时，得???
??-==2151b a 错因：没有注意到应是2
21log 2
a
=时，)(x f 取最大值。 正解：2)2(log 2)(222a b a x x f -+-=，当???
????-=-=8
22
21log 2
2a b a 时，得???-=-=62b a 13．求函数3)4
cos(222sin )(+++=x x x f π
的值域
答案：原函数可化为,
3)sin (cos 22sin )(+-+=x x x x f 设]
2,2[,sin cos -∈=-t t x x 则
2
12sin t x -=则
5)1(42)(22+--=++-=t t t x f 5)(,1m ax ==∴x f t 时当，
当222min )(,2-=-=x f t 时 错解：]5,(-∞
错因：不考虑换元后新元t 的范围。
14．已知函数f(x)=－sin 2x+sinx+a ，（1）当f(x)=0有实数解时，求a 的取值范围；（2）若x ∈R ，有1≤f(x)≤
4
17
，求a 的取值范围。 解：（1）f(x)=0，即a=sin 2x －sinx=(sinx －21)2－4
1 ∴当sinx=21时，a min =4
1
，当sinx=－1时，a max =2， ∴a ∈[4
1
-
，2]为所求
（2）由1≤f(x)≤47得???
??+-≥+-≤1
sin sin 417sin sin 2
2
x x a x x a
∵ u 1=sin 2x －sinx+
2)2
1
(sin 417-=x +4≥4 u 2=sin 2x －sinx+1=4
3
)21(sin 2+-x ≤3
∴ 3≤a ≤4
点评：本题的易错点是盲目运用“△”判别式。
15．已知函数0,0)(sin()(>Φ+=ωωx x f ≤Φ≤)π是R 上的偶函数，其图像关于点M )0,43(π对称，且在区间[0，
2
π
]上是单调函数，求Φ和ω的值。 正解：由)(x f 是偶函数，得)()(x f x f =-
故)sin()sin(Φ+=Φ+-x x ωωx x ωωsin cos sin cos ,Φ=Φ-∴ 对任意x 都成立，且0cos ,0=Φ∴>ω 依题设0≤Φ≤π，2
π
=
Φ∴
由)(x f 的图像关于点M 对称，得)4
3()43(x f x f +-=-ππ
取0)4
3(),4
3()43(0=∴-==πππf f f x 得 0)4
3cos(),43cos()243sin(
)43(=∴=+=x
x x f ωωπωπ 又0>ω，得......2,1,0,2
43=+=k k x ππ
ω
...2,1,0),12(3
2
=+=∴k k ω
当0=k 时，)232sin()(,32πω+==x x f 在]2
,0[π
上是减函数。
当1=k 时，)22sin()(,2π
ω+==x x f 在]2
,0[π
上是减函数。 当k ≥2时，)2sin()(,310πωω+==
x x f 在]2,0[π
上不是单调函数。 所以，综合得3
2
=ω或2=ω。
误解：①常见错误是未对K 进行讨论，最后ω只得一解。 ②对题目条件在区间]2
,
0[π
上是单调函数，不进行讨论，故对ω≥
3
10
不能排除。
函数零点易错题、三角函数重难点教师版)
函数零点易错题 三角函数重难点 教师版 函数的零点是函数图象的一个重要的特征，同时也沟通了函数、方程、不等式以及算法等内容，在分析解题思路、探求解题方法中起着重要的作用，因此要重视对函数零点的学习．下面就函数的零点判定中的几个误区进行剖析，希望对大家有所帮助． 1． 因＂望文生义＂而致误 例１．函数23)(2+-=x x x f 的零点是 （ ） Ａ．()0,1 Ｂ．()0,2 Ｃ．()0,1，()0,2 Ｄ．１，２ 错解：Ｃ 错解剖析：错误的原因是没有理解零点的概念，＂望文生义＂，认为零点就是一个点．而函数的零点是一个实数，即使()0=x f 成立的实数x ，也是函数 ()x f y =的图象与x 轴交点的横坐标． 正解：由()0232=+-=x x x f 得，x ＝１和２，所以选Ｄ． 点拨：求函数的零点有两个方法，⑴代数法：求方程()0=x f 的实数根，⑵几何法：由公式不能直接求得，可以将它与函数的图象联系起来，函数的图象与x 轴交点的横坐标． 即使所求． 2． 因函数的图象不连续而致误 例２．函数()x x x f 1 +=的零点个数为 （ ） Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３ 错解：因为2)1(-=-f ，()21=f ，所以()()011<-f f ，函数()x f y =有一个零点，选Ｂ．
错解剖析：分析函数的有关问题首先考虑定义域，其次考虑函数()x x x f 1+=的图象是不是连续的，这里的函数图像是不连续的，所以不能用零点判定定理． 正解：函数的定义域为()()+∞?∞-,00,，当0>x 时，()0>x f ，当0-f f ，函数()32-=x x f 在区间[]1,1-内没有零点． 错解剖析：上述做法错误地用了函数零点判定定理，因为函数()x f 在区间[]b a ,上的函数图像是连续曲线，且()()0>b f a f ，也可能在[]b a ,内有零点．如函数 ()12-=x x g 在区间[]1,1-上有()()011>-g g ，但在[]1,1-内有零点2 1±=x ． 正解：当∈x []1,1-时，()132-≤-=x x f ，函数()x f y =在[]1,1-上的图象与x 轴没有交点，即函数()32-=x x f 在区间[]1,1-内没有零点． 法二：由032=-x 得?±=2 3x []1,1-，故函数()32-=x x f 在区间[]1,1-内没有零点．
高中数学易错题举例解析
高中数学易错题举例解析 高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。 ● 忽视等价性变形，导致错误。 ??? x >0 y >0 ? ??? x + y >0 xy >0 ，但 ??? x >1 y >2 与 ??? x + y >3 xy >2 不等价。 【例1】已知f(x) = a x + x b ，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围。 错误解法 由条件得?? ? ??≤+≤≤+≤-62230 3b a b a ②① ②×2－① 156≤≤a ③ ①×2－②得 32 338-≤≤- b ④ ③+④得 .3 43 )3(310,34333310≤≤≤+≤f b a 即 错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数b x ax x f + =)(，其值是同时受b a 和制约的。当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。 正确解法 由题意有?? ? ??+=+=22)2()1(b a f b a f , 解得： )],2()1(2[3 2 )],1()2(2[31f f b f f a -=-= ).1(9 5 )2(91633)3(f f b a f -=+=∴ 把)1(f 和)2(f 的范围代入得 .3 37)3(316≤≤f 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】 (1) 设βα、是方程0622 =++-k kx x 的两个实根，则2 2 )1()1(-+-βα的最小值是
三角函数中的易错题
三角函数中的易错题 三角函数是中学数学的重要内容，但涉及知识重复、题型多样，解题方法灵活多变，但不少学生由于对知识理解的不深或思维不严密，做题过程中往往由于忽视一些条件而导致错误，现针对学生们容易出现的一些问题给予点拨。 一．例1、求函数y= x x 2tan 1tan 2- 的最小正周期 错解：∵ y=x x 2tan 1tan 2-= tan 2x ∴ T= π/2 假如 T=π/2 是y=x x 2tan 1tan 2- 的最小正周期 则有∫（0+π/2)=∫(0) 成立 而实际上 当x=0+π/2时，函数y= x x 2tan 1tan 2- 无意义 ∴T=π/2不是函数y= x x 2tan 1tan 2-的最小正周期 正解： y= x x 2tan 1tan 2- 其定义域为x=k π±π/4 x ≠k π+π/2 由图像可知：函数y= x x 2tan 1tan 2- 最小正周期应为π 练习： 求函数y=x x x x cos 3cos sin 3sin ++ 的周期T ［T= π ］ 二、例2、设sin α+ sin β =1/3 求sin α-cos 2β的最值。 错解：sin α=1/3-sin β 由 -1≤sin α≤1 知 -1≤1/3-sin β≤1 ∴-2/3≤sin β≤4/3 ∵sin β≤1 ∴-2/3≤sin β≤1 ∴sin α-cos β=1/3-sin β-(1-sin β）=(sin β-1/2)-11/12 当 sin β=1/2时，有最小值-11/12
当sinβ=-1时, 有最大值4/3 分析：最大值不对，原因在于未注意函数的有界性 正解：sinα-cosβ=(sinβ-1/2)-11/12 当sinβ=1/2时，有最小值-11/12 当sinβ=2/3时, 有最大值4/9 练习：若sinαsinβ=1/3 则cosαcosβ的取值范围。［-2/3,2/3］三、例3、在△ABC中，sinA=3/5, cosB=5/13 求cosC 错解：∵sinA=3/5 ∴cosA=±4/5 ∵cosB=5/13 ∴sinB=12/13 ∴cosC=-cos(A+B)=16/65或56/65 分析：A、B、C是三角形的内角，当A+B＜π时应深入讨论A、B的实际变化范围。 即由sinA=3/5 而1/2<3/5π 不合题意 ∴只有π/680个高中数学易错题
2017年高考备考：高中数学易错点梳理 一、集合与简易逻辑 易错点1 对集合表示方法理解存在偏差 【问题】1: 已知{|0},{1}A x x B y y =>=>，求A B I 。 错解：A B =ΦI 剖析：概念模糊，未能真正理解集合的本质。 正确结果：A B B =I 【问题】2: 已知22 {|2},{(,)|4}A y y x B x y x y ==+=+=，求A B I 。 错解： {(0,2),(2,0)}A B =-I 正确答案：A B =ΦI 剖析：审题不慎，忽视代表元素，误认为A 为点集。 反思：对集合表示法部分学生只从形式上“掌握”，对其本质的理解存在误区，常见的错误是不理解集合的表示法，忽视集合的代表元素。 易错点2 在解含参数集合问题时忽视空集 【问题】: 已知2 {|2},{|21}A x a x a B x x =<<=-<<，且B A ?，求a 的取值范围。 错解：[-1，0） 剖析：忽视A =?的情况。 正确答案：[-1，2] 反思：由于空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，因此对于集合B A ?就有可能忽视了A =?，导致解题结果错误。尤其是在解含参数的集合问题时，更应注意到当参数在某个范围内取值时，所给的集合可能是空集的情况。考生由于思维定式的原因，往往会在解题中遗忘了这个集合，导致答案错误或答案不全面。 易错点3 在解含参数问题时忽视元素的互异性 【问题】: 已知1∈{2a +,2 (1)a +, 2 33a a ++ }，求实数a 的值。 错解：2,1,0a =-- 剖析：忽视元素的互异性，其实当2a =-时，2 (1)a +=233a a ++=1；当1a =-时， 2a +=2 33a a ++=1；均不符合题意。 正确答案：0a = 反思：集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，集合元素的三性中的互异性对解题的影响最大，特别是含参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。解题时可先求出字母参数的值，再代入验证。 易错点4 命题的否定与否命题关系不明 【问题】: 写出“若a M a P ??或，则a M P ?I ”的否命题。 错解一：否命题为“若a M a P ??或，则a M P ∈I ” 剖析：概念模糊，弄错两类命题的关系。 错解二：否命题为“若a M a P ∈∈或，则a M P ∈I ” 剖析：知识不完整，a M a P ??或的否定形式应为a M a P ∈∈且。 正确答案：若a M a P ∈∈且，则a M P ∈I
人教历年中考数学易错题汇编-锐角三角函数练习题含详细答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．下图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知BC=4 m,AB=6 m,中间平台宽度DE=1 m,EN,DM,CB为三根垂直于AB的支柱,垂足分别为N,M,B,∠EAB=31°,DF⊥BC于点 F,∠CDF=45°,求DM和BC的水平距离BM的长度.(结果精确到0.1 m.参考数据:sin 31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60) 【答案】2.5m. 【解析】 试题分析：设DF=x，在Rt△DFC中，可得CF=DF=x，则BF=4-x，根据线段的和差可得 AN=5-x，EN=DM=BF=4－，在Rt△ANE中，∠EAB=，利用∠EAB的正切值解得x的值． 试题解析：解：设DF=，在Rt△DFC中，∠CDF=， ∴CF=tan·DF=， 又∵CB=4， ∴BF=4－， ∵AB=6，DE=1，BM= DF=， ∴AN=5－，EN=DM=BF=4－， 在Rt△ANE中，∠EAB=，EN=4－，AN=5－， tan==0．60， 解得=2．5， 答：DM和BC的水平距离BM为2．5米． 考点：解直角三角形． 2．如图，在⊙O的内接三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过C作AB的垂线l交⊙O 于另一点D，垂足为E.设P是上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G. (1)求证：△PAC∽△PDF； (2)若AB＝5，，求PD的长； (3)在点P运动过程中，设＝x，tan∠AFD＝y，求y与x之间的函数关系式．(不要求写出x的取值范围)
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）. 【解析】 试题分析：（1）应用圆周角定理证明∠APD＝∠FPC，得到∠APC＝∠FPD，又由∠PAC＝∠PDC，即可证明结论. （2）由AC=2BC，设，应用勾股定理即可求得BC，AC的长，则由AC=2BC得 ，由△ACE∽△ABC可求得AE，CE的长，由可知△APB是等腰直角三角形，从而可求得PA的长，由△AEF是等腰直角三角形求得EF=AE=4，从而求得DF的长， 由（1）△PAC∽△PDF得，即可求得PD的长. （3）连接BP，BD，AD，根据圆的对称性，可得，由角的转换可得 ，由△AGP∽△DGB可得，由△AGD∽△PGB可得，两式相乘可得结果. 试题解析：（1）由APCB内接于圆O，得∠FPC＝∠B， 又∵∠B＝∠ACE＝90°－∠BCE，∠ACE＝∠APD，∴∠APD＝∠FPC. ∴∠APD＋∠DPC＝∠FPC＋∠DPC，即∠APC＝∠FPD. 又∵∠PAC＝∠PDC，∴△PAC∽△PDF. （2）连接BP，设，∵∠ACB=90°，AB=5， ∴.∴. ∵△ACE∽△ABC，∴，即. ∴. ∵AB⊥CD，∴. 如图，连接BP， ∵，∴△APB是等腰直角三角形. ∴∠PAB＝45°，. ∴△AEF是等腰直角三角形. ∴EF=AE=4. ∴DF=6. 由（1）△PAC∽△PDF得，即. ∴PD的长为. （3）如图，连接BP，BD，AD，
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【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 2．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交⊙O于点H，连接DC，AC． （1）求证：∠AEC=90°； （2）试判断以点A，O，C，D为顶点的四边形的形状，并说明理由； （3）若DC=2，求DH的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）四边形AOCD为菱形； （3）DH=2． 【解析】 试题分析：（1）连接OC，根据EC与⊙O切点C，则∠OCE=90°，由题意得 ，∠DAC=∠CAB，即可证明AE∥OC，则∠AEC+∠OCE=180°，从而得出 ∠AEC=90°； （2）四边形AOCD为菱形．由（1）得，则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形，再由OA=OC，即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）； （3）连接OD．根据四边形AOCD为菱形，得△OAD是等边三角形，则∠AOD=60°，再由 DH⊥AB于点F，AB为直径，在Rt△OFD中，根据sin∠AOD=，求得DH的长． 试题解析：（1）连接OC，
高中数学三角函数易错题精选
三角部分易错题选 一、选择题： 1．为了得到函数?? ? ? ?- =62sin πx y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ） A 向右平移 6π B 向右平移3π C 向左平移6π D 向左平移3 π 答案: B 2．函数?? ? ? ??+=2tan tan 1sin x x x y 的最小正周期为 ( ) A π B π2 C 2 π D 23π 答案: B 3．曲线y=2sin(x+)4πcos(x-4π)和直线y=2 1 在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为 P 1、P 2、P 3……，则|P 2P 4|等于 （ ） A ．π B ．2π C ．3π D ．4π 正确答案：A 4．下列四个函数y=tan2x ，y=cos2x ，y=sin4x ，y=cot(x+ 4π),其中以点(4 π ,0)为中心对称的三角函数有（ ）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 正确答案：D 5．函数y=Asin(ωx+?)(ω>0,A ≠0)的图象与函数y=Acos(ωx+?)(ω>0, A ≠0)的图象在区间 (x 0,x 0+ω π )上（ ） A ．至少有两个交点 B ．至多有两个交点 C ．至多有一个交点 D ．至少有一个交点 正确答案：C 6． 在?ABC 中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=3，则∠C 的大小应为( ) A ． 6 π B ． 3 π C ． 6 π或π65 D ． 3π或3 2π 正确答案：A 错因：学生求∠C 有两解后不代入检验。 7．已知tan α tan β是方程x 2 +33x+4=0的两根，若α，β∈(-2 ,2π π)，则α+β=（ ） A ． 3 π B ． 3 π或-π32 C ．- 3 π或π32 D ．-π3 2 正确答案：D 错因：学生不能准确限制角的范围。 8． 若sin cos θθ+=1，则对任意实数n n n ，sin cos θθ+的取值为（ ） A. 1 B. 区间（0，1） C. 121 n - D. 不能确定 解一：设点(sin cos )θθ，，则此点满足 x y x y +=+=???1 1 22
高一数学必修一易错题集锦答案
高一数学必修一易错题集锦答案 1. 已知集合M={y |y =x 2 ＋1,x∈R },N={y|y =x ＋1,x∈R }，则M∩N=（ ） 解：M={y |y =x 2 ＋1,x∈R }={y |y ≥1}， N={y|y=x ＋1,x∈R }={y|y∈R }． ∴M∩N={y |y ≥1}∩{y|(y∈R)}={y |y ≥1}, 注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x |y =x 2＋1}、{y |y =x 2 ＋1,x ∈R }、{(x ,y )|y =x 2 ＋1,x ∈R }，这三个集合是不同的． 2 .已知A={x |x 2－3x ＋2=0},B={x |ax －2=0}且A∪B=A，求实数a 组成的集合C ． 解：∵A∪B=A ∴B A 又A={x |x 2－3x ＋2=0}={1，2}∴B=或{}{}21或∴C={0，1，2} 3 。已知m ∈A,n ∈B, 且集合A={}Z a a x x ∈=,2|，B={}Z a a x x ∈+=,12|，又C={}Z a a x x ∈+=,14|，则有：m +n ∈ (填A,B,C 中的一个) 解：∵m ∈A, ∴设m =2a 1,a 1∈Z , 又∵n B ∈,∴n =2a 2+1,a 2∈ Z , ∴m +n =2(a 1+a 2)+1,而a 1+a 2∈ Z , ∴m +n ∈B 。 4 已知集合A={x|x 2－3x －10≤0}，集合B={x|p ＋1≤x≤2p－1}．若B A ，求实数p 的取值范围． 解：①当B≠时，即p ＋1≤2p－1p≥2.由B A 得：－2≤p＋1且2p －1≤5. 由－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3 ②当B=时，即p ＋1>2p －1p ＜2. 由①、②得：p≤3. 点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题． 5 已知集合A={a,a ＋b,a ＋2b}，B={a,ac,ac 2 }．若A=B ，求c 的值． 分析：要解决c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式． 解：分两种情况进行讨论． （1）若a ＋b=ac 且a ＋2b=ac 2，消去b 得：a ＋ac 2 －2ac=0， a=0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0． ∴c 2 －2c ＋1=0，即c=1，但c=1时，B 中的三元素又相同，此时无解． （2）若a ＋b=ac 2且a ＋2b=ac ，消去b 得：2ac 2 －ac －a=0， ∵a≠0，∴2c 2 －c －1=0， 即(c －1)(2c ＋1)=0，又c≠1，故c=－ 21． 点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验. 6 设A 是实数集，满足若a∈A，则 a -11∈A ，1≠a 且1?A. ⑴若2∈A，则A 中至少还有几个元素？求出这几个元素⑵A 能否为单元素集合？请说明理由. ⑶若a∈A，证明：1－ a 1∈A.⑷求证：集合A 中至少含有三个不同的元素.
必修4第一章三角函数难题易错题集锦
1．（2010?嘉祥县校级模拟）已知函数 （ω＞0）， ，且f （x ）在区间 单调递减，则ω的值为（ ） 2．（2006?奉贤区一模）函数，则集合{x|f （f （x ））=0} 元素的个数有（ ） 3.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为 4．（2011?安徽）已知函数f （x ）=sin （2x+φ），其中φ为实数，若f （x ）≤|f （）|对x ∈R 恒成立，且)()2 (ππ f f ＞，则f （x ）的单调递增区间是（ ） 5．已知ω＞0，函数f （x ）=cos （﹣ωx ）在（，π）上单调递减，则ω的取值范围是（ ） 6．（2014?大庆一模）已知函教f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0）的图象与直线y=b （0＜b ＜A ）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f （x ）的单调递增区间是（ ） 7.（2013?和平区校级二模）函数f （x ）在R 上既是奇函数又是减函数，且当θ∈（0，）时，f （2cos 2θ+2msin θ）+f （﹣2m ﹣3）＞0恒成立，则实数m 的取值范围是 ． 8．（2012?安徽模拟）函数)2 sin()(?π +=x a x f 的一个零点为，且 ， 对于下列结论：①；②；③ ④f （x ）的单 调减区间是 ；⑤f （x ）的单调增区间是
．其中正确的结论是．（填写所有正确的结论编号） 9.（2014?陕西校级一模）方程在区间[0，π]内的所有实根之和为．（符号[x]表示不超过x的最大整数）． 10.（2009?静安区一模）（理）已知函数a cos 4 )(sin cos ) (的 =) 2 sin ( x a x x - x - x - f+ 定义域为，则实数a的取值范围是．11.（2014秋?宿豫区校级期中）已知函数f（x）=2x2﹣3x+1．（1）当0≤x≤时，求y=f（sinx）的最大值；（2）问a取何值时，方程f（sinx）=a﹣sinx在[0，2π）上有两解 12.（2013春?下城区校级期中）已知函数f（x）=，x∈[0，） （1）若g（x）=f（x）+，求g（x）的最小值及相应的x值 （2）若不等式（1﹣sinx）?f（x）＞m（m﹣sinx）对于恒成立，求实数m的取值范围． 13．设f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0．若f（x）≤|f（）|对一切x∈R恒成立，则 ①f（）=0；②|f（）|＜|f（）|；③f（x）既不是奇函数也不是偶函数； ④f（x）的单调递增区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）；⑤经过点（a，b）的所有直线均与函数f（x）的图象相交．以上结论正确的是（写出所有正确结论的编号）．
高中数学易错题集锦
高中数学易错题集锦 指导教师：任宝安 参加学生：路栋胡思敏 李梅张大山 ?【例1②×2①×2③+b a 和 993)3(f ∴3 3在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】解下列各题 (1) 设βα、是方程0622=++-k kx x 的两个实根，则22)1()1(-+-βα的最小值是 思路分析本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα 有的学生一看到4 49 - ，常受选择答案（A ）的诱惑，盲从附和，这正是思维缺乏反思性的体现。如
果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。 原方程有两个实根βα、 ∴0)6k (4k 42≥+-=??.3k 2k ≥-≤或 当3≥k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是8； 当2-≤k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是18 这时就可以作出正确选择，只有（B ）正确。 (2)已知(x+2)2+=1,求x 2+y 2的取值范围。 错解∴当分析∴ x 2 【例3错解)2的最小 值是分析2 1 ,第二 原式 由ab ∴原式≥2×17+4=2(当且仅当a=b=2时，等号成立)， ∴(a+a 1)2+(b+b 1 )2的最小值是。 ●不进行分类讨论，导致错误 【例4】已知数列{}n a 的前n 项和12+=n n S ，求.n a 错误解法.222)12()12(1111----=-=+-+=-=n n n n n n n n S S a 错误分析显然，当1=n 时，1231111=≠==-S a 。 错误原因：没有注意公式1--=n n n S S a 成立的条件是。
高中数学三角函数易错题
高中数学易做易错题 专题一：三角比 1．若角α终边上一点P的坐标为（θ cos，θ sin）（Z k k∈ + ≠, 2 π π θ），则θ α-＝。错解：由θ αtan tan=得π θ αk = -（Z k∈）。 正解：同时θ αsin sin=，θ αcos cos=，∴π θ αk2 = -（Z k∈）。 2．已知β α β αtan 3 tan , sin 2 sin= =，求α 2 cos。 错解：由1 cot csc2 2= -β β消去β得1 cot 9 csc 42 2= -α α，解得 8 3 cos2= α。 分析：遗漏0 sin= α的情形。还有1 cos2= α的情形。 3．已知α、β∈（0，π）， 13 5 ) sin( , 2 1 2 tan= + =β α α ，求β cos。 错解： 5 4 4 1 1 2 1 2 2 tan 1 2 tan 2 sin 2 = + ? = + = α α α， 5 3 4 1 1 4 1 1 2 tan 1 2 tan 1 cos 2 2 = + - = + - = α α α ∵α、β∈（0，π），∴ 13 12 169 25 1 ) ( sin 1 ) cos(2± = - ± = + - ± = +β α β α， ∴α β α α β α α β α βsin ) sin( cos ) cos( ] ) cos[( cos+ + + = - + = ∴ 65 16 cos- = β，或 65 56 cos= β。 分析：∵) sin( 13 5 5 4 sinβ α α+ = > =，∴ 2 π β α> +，∴ 13 12 ) cos(- = +β α，∴ 65 16 cos- = β。
(完整)高一数学必修一易错题(提高篇)
集合部分错题库 1．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有（ ） A ．3个 B ．5个 C ．7个 D ．8个 2.已知集合M ＝{(x ，y)|x ＋y ＝3}，N ＝{(x ，y)|x －y ＝5}，那么集合M ∩N 为 A.x ＝4，y ＝－1 B.(4，－1) C.{4，－1} D.{(4，－1)} 3.已知集合A ＝{x|x 2－5x+6<0}，B ＝{x|x< a 2 }，若A B ，则实数a 的范围为 A.［6，+∞) B.(6，+∞) C.(－∞，－1) D.(－1，+∞) 4.满足{x|x 2－3x ＋2＝0}M {x ∈N|035种高中数学易错题失分题汇总解析
35种高中数学易错题失分题汇总解析 关键词：高考数学易错题 全文摘要：“会而不对，对而不全”严重影响考生成绩.易错题的特征：心理因素、易错点的隐蔽性、形式多样性、可控性.易错题的分类解析:分为五大类即审题不严、运算失误、概念模糊、公式记忆不准确、思维不严，每类再分为若干小类，列举高中数学中的典型易错题进行误解与正解和错因分析.本文既是对高考中的易错题目的分类解析，同时又是第一轮复习中的一本易错题集.下表是易错题分类表： 正文 数学学习的过程，从本质上说是一种认识过程，其间包含了一系列复杂的心理活动.从数学学习的认知结构上讲，数学学习的过程就是学生头脑里的数学知识按照他自己理解的深度与广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维与联想，组合成的一个整体结构.所以，数学中
有许多题目，求解的思路并不繁杂，但解题时，由于读题不仔细，或者对某些知识点的理解不透彻，或者运算过程中没有注意转化的等价性，或者忽略了对某些特殊情形的讨论……等等原因，都会导致错误的出现.“会而不对，对而不全”，一直以来都是严重影响考生数学成绩的重要因素. 解题出错是数学答题过程中的正常现象，它既与数学学习环境有关,又与试题的难易程度有关.同时也与考生的数学水平、身体与心理状况有关. 1．考生自我心理素质：数学认知结构是数学知识的逻辑结构与学生的心理结构相互作用的产物.而数学解题是考生主体感受并处理数学信息的创造性的心理过程.部分考生题意尚未明确，加之考试求胜心切，仅凭经验盲目做题，以至于出现主观认识错误或陷入主观思维定势，造成主观盲动性错误和解题思维障碍. 2．易错点的隐蔽性：数学知识的逻辑结构是由数学知识之间的内在的联系联结而成的整体，而其心理结构是指智力因素及其结构，即观察力、记忆力、想象力、注意力和思维力等五个因素组成.数学解题是考生借助特定“数学语言”进行数学思维的过程，在这个过程中考生的数学知识结构和数学思维习惯起着决定性的作用.个体思维的跳跃性是产生思维漏洞的根本原因，这种思维漏洞一旦产生，考生自己是很难发现的，因此易错点的隐蔽性很强. 3．易错点形式多样性：根据数学学习的一般过程及数学认知结构的特点，数学易错点一般有知识性错误和心理性错误两种等形式：而知识性错误主要包括数学概念的理解不透彻、数学公式记忆不准确两方面；心理性错误包括审题不严、运算失误、数学思维不严谨等. 4．易错题的可控性：学生的认识结构有其个性特点.在知识总量大体相当的情况下，有的学生对知识不仅理解深刻，而且组织得很有条理，便于储存与撮；相反，有的学生不仅对知识理解肤浅，而且支离破碎，杂乱无章，这就不利于储存，也不容易提取.在学生形成了一定的数学认知结构后，一旦遇到新的信息，就会利用相应的认知结构对新信息进行处理和加工，随着认识活动的进行，学生的认知结构不断分化和重组，并逐渐变得更加精确和完善，所谓“吃一堑长一智”.只要我们在容易出错的地方提高警戒意识，建立建全解题的“警戒点”,养成严谨的数学思维好习惯，易错点就会逐渐减少. 1.数学概念的理解不透 数学概念所能反映的数学对象的属性，不仅是不分精粗的笼统的属性，它已经是抓住了数学对象的根本的、最重要的本质属性.每一个概念都有一定的外延与内涵.而平时学习中对
(完整版)高中数学易错题(含答案)
高中数学易错题 一．选择题（共6小题） 1．已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，P是AB上一点，则点P到AC，BC的距离乘积的最大值是（）A．2B．3C．4D．5 2．在△ABC中，边AB=，它所对的角为15°，则此三角形的外接圆直径为（） A．缺条件，不能求出B．C．D． 3．在△ABC中，边a，b，c分别为3、4、5，P为△ABC内任一点，点P到三边距离之和为d，则d的取值范围是（） A．3＜d＜4 B．C．D． 4．在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A（﹣6，0）和C（6，0），顶点B在双曲线的左支上，则等于（） A．B．C．D． 5．（2009?闸北区二模）过点A（1，﹣2），且与向量平行的直线的方程是（） A．4x﹣3y﹣10=0 B．4x+3y+10=0 C．3x+4y+5=0 D．3x﹣4y+5=0 6．（2011?江西模拟）下面命题： ①当x＞0时，的最小值为2； ②过定点P（2，3）的直线与两坐标轴围成的面积为13，这样的直线有四条； ③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=sin（2x﹣）的图象； ④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12． 其中正确的命题是（） A．①②④B．②④C．②③D．③④ 二．填空题（共10小题） 7．Rt△ABC中，AB为斜边，?=9，S△ABC=6，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，AC的距离分别为x，y，z，则x+y+z的取值范围是_________． 8．（2011?武进区模拟）在△ABC中，，且△ABC的面积S=asinC，则a+c的值=_________．9．锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．边长a，b是方程的两个根，且
高中数学易错题知识讲解
高中数学易错题 数学概念的理解不透 必修一（1）若不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，则实数a 的取值范围（ ） A.a ≤-2 1或a ≥2 1 B.a ＜2 1 C.-2 1≤a ≤2 1 D.a ≥ 2 1 【错解】选A.由题意，方程ax 2+x+a=0的根的判别式20140a ?0且20140120 a a a ??≤?-≤?≥?>?. 必修一（2）判断函数f(x)=(x －1) x x -+11的奇偶性为____________________ 【错解】偶函数.f(x)= (x -===，所以 ()()f x f x -===，所以f （x ）为偶函数. 【正解】非奇非偶函数.y=f(x)的定义域为： (1)(1)0101110 1x x x x x x +-≥?+≥??-≤
高中数学必修易错题精选(含部分答案)
必修2易错填空题集锦 2011-10-26 1. 下列四个命题： ① 两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行； ② 和两条异面直线都垂直的直线是这两条异面直线的公垂线； ③ 平行移动两条异面直线中的任一条，它们所成的角不变； ④ 四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形。 其中错误的说法有 ①、② 、④。 2. 有下列四个命题： ① 平行于同一条直线的两个平面平行； ② 平行于同一个平面的两个平面平行； ③ 垂直于同一条直线的两个平面平行； ④ 与同一条直线成等角的两个平面平行。 其中正确的命题是 ②、③ 。（写出所有正确命题的序号） 3. 以下四个命题： ① PA 、PB 是平面α的两条相等的斜线段，则它们在平面α内的射影必相等； ② 平面α内的两条直线l 1、l 2，若l 1、l 2均与平面β平行，则α//β； ③ 若平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α//β； ④ α、β为两斜相交平面，面α内有一定直线a ，则在平面β内有无数条直线与a 垂直. 其中正确命题的序号是 ④ 4. 两条异面直线在同一平面内的射影可能是： ①两条平行线；②两条相交直线；③一条直线；④两个点；⑤一条直线和一个点。 上述五个结论正确的是 ①②⑤ 。（写出所有正确结论的序号） 5. 直线,l m 与平面,αβ满足,l m αβ⊥?，有下列命题： ①//l m αβ?⊥ ；②//;l m αβ⊥?； ③//.l m αβ?⊥ 其中正确的命题是 ① ③ 。（写出所有正确命题的序号） 6. 已知m n 、是不重合的直线，αβ、是不重合的平面，有下列命题： （1）若,//n m n αβ=I ，则//,//m m αβ； （2）若,m m αβ⊥⊥，则//αβ； （3）若//,m m n α⊥，则n α⊥； （4）若,m n αα⊥?，则.m n ⊥ 其中所有正确命题的序号是 （2）（4） 7. 已知直线a 、b 、c ，平面α、β、γ，并给出以下命题： ①若α∥β，β∥γ，则α∥γ， ②若a ∥b ∥c ，且α⊥a ，β⊥b ，γ⊥c ，则α∥β∥γ， ③若a ∥b ∥c ，且a ∥α，b ∥β，c ∥γ，则α∥β∥γ； ④若a ⊥α，b ⊥β，c ⊥γ，且α∥β∥γ，则a ∥b ∥c ． 其中正确的命题有 . ①②④ 8. 已知βα,,γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，给出下列四个命题： ①若ββα⊥⊥l ,，则α//l ； ②若βα//,l l ⊥，则βα⊥； ③若l 上有两个点到α的距离相等，则α//l ； ④若γαβα//,⊥，则βγ⊥。 其中正确命题的序号是 ②④
最新初中数学锐角三角函数的易错题汇编含答案(1)
最新初中数学锐角三角函数的易错题汇编含答案(1) 一、选择题 1．如图，从点A 看一山坡上的电线杆PQ ，观测点P 的仰角是45?，向前走6m 到达B 点， 测得顶端点P 和杆底端点Q 的仰角分别是60?和30°，则该电线杆PQ 的高度（ ） A ．623+ B ．63+ C ．103- D ．83+ 【答案】A 【解析】 【分析】 延长PQ 交直线AB 于点E ，设PE=x 米，在直角△APE 和直角△BPE 中，根据三角函数利用x 表示出AE 和BE ，列出方程求得x 的值，再在直角△BQE 中利用三角函数求得QE 的长，则问题求解． 【详解】 解：延长PQ 交直线AB 于点E ，设PE=x ． 在直角△APE 中，∠A=45°， AE=PE=x ； ∵∠PBE=60° ∴∠BPE=30° 在直角△BPE 中，33x ， ∵AB=AE-BE=6米， 则3， 解得：3 则3．
在直角△BEQ 中，QE=33BE=33 （33+3）=3+3． ∴PQ=PE-QE=9+33-（3+3）=6+23． 答：电线杆PQ 的高度是（6+23）米． 故选：A ． 【点睛】 本题考查解直角三角形的实际应用，解答关键是根据题意构造直角三角形解决问题. 2．如图，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工．在AC 上找一点B ，取145ABD ∠=o ，500BD m =，55D ∠=o ，要使A ，C ，E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ） A ．500sin55m o B ．500cos55m o C ．500tan55m o D ．500cos55m o 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知利用∠D 的余弦函数表示即可． 【详解】 在Rt △BDE 中，cosD= DE BD ， ∴DE=BD ?cosD=500cos55°． 故选B ． 【点睛】 本题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键． 3．如图，AB 是O e 的弦，直径CD 交AB 于点E ，若3AE EB ==，15C ∠=o ，则OE 的长为( ) A 3 B ．4 C ．6 D ．33【答案】D 【解析】
