用Mathematica计算椭圆形电流的磁场分布

分类号UDC单位代码10642

密级公开学号2002466040

重庆文理学院

学士学位论文

论文题目：用Mathematica计算椭圆形电流的磁场分布

论文作者：王伯超

指导教师：石东平教授

专业：物理学

提交论文日期：2006年06月日

论文答辩日期：2006年06月日

学位授予单位：重庆文理学院

中国 重庆

2006年06月

Graduate Thesis of Chongqing University of Arts and sciences

Calculation on the Magnetic Field Distribution of the Ellipse Current with Mathematica

Candidate: Wang Bo-chao

Supervisor: Shi Dong-ping

Major: Physics

Department of Physics & Information Engineering Chongqing University of Arts and Sciences

June 2006

2002级物理学专业毕业论文目录

目录

摘要 ......................................................................................................................................... I Abstract ...................................................................................................................................... II 1 引言 . (1)

1.1 问题的提出及研究意义 (1)

1.1.1 问题的提出 (1)

1.1.2 研究的意义 (1)

1.2 国内外研究现状 (1)

1.2.1 圆形电流磁场分布研究现状 (1)

1.2.2 椭圆形电流磁场分布研究现状 (1)

2 基本原理 (1)

3 椭圆形电流的磁场分布 (2)

3.1 物理模型的建立 (2)

3.2 运用Mathematica进行计算 (3)

4 讨论 (3)

4.1 椭圆电流垂直轴上的磁场 (3)

4.2 椭圆电流焦点的磁场 (4)

4.3 圆形电流的磁场 (4)

5 结语 (5)

参考文献 (5)

致谢 (7)

用Mathematica计算椭圆形电流的磁场分布

物理学专业1班王伯超指导教师石东平

摘要：环形电流的磁场分布是电磁理论的典型问题，对它的研究一直都倍受关注。关于环形电流的磁场分布问题，中外许多文献都做了一定的计算、探讨。圆电流是一个经典的物理模型，对圆电流磁场分布特性的研究有助于进一步研究磁介质的磁性特征；而椭圆形电流又是环形电流中一个典型的物理模型,对椭圆形电流磁场分布情况的研究，将让我们进一步认识环形电流的磁场问题。鉴于此，本文将在前人的研究基础之上，通过合理利用数学计算软件Mathematica对椭圆形电流磁场分布情况做进一步的探讨。

关键词：磁场；椭圆形电流；椭圆积分

Abstract

The ring-like electric current magnetic field distribution is the typical problem of electromagnetic theory. The researches on it have been paid much attention. Many Chinese and foreign scholars have done calculation and discussion on the circular electric current magnetic field distribution. Circular electric current is a classical physical model. The researches on the magnetic field distribution characteristics of the circular current are helpful for the further study on magnetic characteristics of magnetic dielectric. The ellipse electric current is a typical physical model of ring-like electric current. The researches on the magnetic field distribution of it make us obtain more understandings of magnetic problem of ring-like electric current. Based on former researches. In this paper, a further explorations and discussions on ellipse electric current field distribution would be done with Mathematica.

Keywords:magnetic field; ellipse current; ellipse integral

2002级物理学专业毕业论文

1 引言

1.1 问题的提出及研究意义

1.1.1 问题的提出

圆形电流的磁场是电磁理论的典型问题，对它的研究一直都倍受关注。对它的研究从来都没有间断过，当然关于这方面的文献也层出不穷。从这些文献看，圆形电流的磁场分布情况已经研究的非常的透彻，已经得到了全空间的磁场分布表达式[1]

。可是，对于椭圆形电流这一典型物理模型的磁场分布情况，没能得到全空间的磁场分布表达式，还有待进一步研究。 1.1.2 研究的意义

椭圆形电流是续圆形电流后的又一典型的物理模型，对它的进一步研究，不仅可以进一步认识椭圆型电流的磁场分布情况，而且在结合数学软件Mathematica [2]

后，减少了大量异常烦琐的计算工作，会使得到的结果更加精确，将对电磁理论的进一步发展起到一定的促进作用。同时也在计算机科学与物理学的研究的有机结合方面起到一定的促进作用。 1.2 国内外研究现状

1.2.1 圆形电流磁场分布研究现状

圆形电流的磁场分布是电磁理论的典型问题，有许多学者对其进行过研究[1][3] [4]，成果也比较显著。现在已经可以从不同角度出发对圆形电流的磁场分布情况进行推导。文献[1]是从矢势的计算出发，然后再经旋度运算求得圆形磁场的普遍表达式，而且还对圆电流平面内、中心轴上和远区的场作了特例讨论；也可以根据毕—萨定律，运用磁场叠加原来和第一、第二类完全椭圆积分求得圆形磁场的普遍表达式，而且还找到了其在不同坐标系中的表示[3]

。 1.2.2 椭圆形电流磁场分布研究现状

椭圆形电流是圆形电流的普遍化，对其进行研究更为困难。进展比较慢。不过现在已经可以根据毕—萨定律，利用矢量的方法，来分析椭圆形电流焦点处的磁场[5]

。文献[6]应用毕—萨定律、磁场的叠加原理及第二类完全椭圆积分，得到了椭圆形电流垂直轴上磁场的解析表达式。也曾有学者通过数学上的保角变换得出了椭圆形电流的磁场在变换空间分布的柱坐标表示，对椭圆型电流的磁场在空间中极端位置的直角坐标进行了求解，并得到了在圆外区域无穷远处的磁场极限值[7]。

本文将在前人研究成果的基础之上，结合数学软件Mathematica 对椭圆形电流的磁场分布问题做进一步探讨。寻求椭圆形电流的空间表达式。让大家进一步认识椭圆型电流的磁场分布情况，促进电磁学理论的进一步发展。 2 基本原理

毕奥—萨伐尔定律[8] 实验测出两个电流之间有作用力。和静电作用一样，这种作用力也需要通过一种物质作为媒介来传递，这种特殊物质称为磁场。电流激发磁场，另一个电流处于该磁场中，就受到磁场对它的作用力。对电流有作用力是磁场的特征性质，我们就利用这一特性来描述磁场。实验指出，一个电流元在磁场中所受到的力可以表为

d F I d l B = r r r (1) 矢量B 描述电流元所在点上磁场的性质，称为磁感应强度。恒定电流激发磁场的规律由毕奥—萨 尔定律给出。设、()J x ? 为源点、x 上的电流密度，r ?

为由、x 点到场点x 的距离，则场点上的磁感

应强度为

用Mathematica 计算椭圆形电流的磁场分布

3()()4J x r B x d V r m p ￠′￠=òr r r

(2)

式中0m 为真空中磁导率，积分遍及电流分布区域。如果电流集中于细线上，以d l r 表示闭合回路L

上的线元，n d S 为导线横截面元，则电流元N J d V J d S d l =r r r ，对导线截面积分后得I d l r 。因此，

细导线上恒定电流激发磁场的毕奥—萨伐尔定律写为 0

3()4I d l r

B x r m p ′=òr r r

? (3)

3 椭圆形电流的磁场分布

3.1 物理模型的建立

如图1，建立直角坐标系，椭圆方程，c o s x a f =，sin y a f =（其中a 和b （a b > ）分别为椭圆的长半轴和短半轴）载有电流I ；在椭圆上任意一点(,,)Q x y o 处取电流元I d l ，(,,)P p q z 为空间任意一点。则有：

(sin co s )d l d x i d y j a i b j d f f f =+=-+r r r r r

()()(c o s )(s in )r p x i q y j z k

p a i q b j z k

f f =-+-+=-+-+r r r r r r r

r =

=(4) 又 222a b c -= （为焦距c ）则：

r =所以：c o s s in [s in (s in )c o s (c o s )]c o s s in [s in c o s ]d l r z b d i z a d j a q b b p a d k

z b d i z a d j a q bp a b k

f f f f f f f f f f f f f f f ?+--+-=+-+-r r r r r r r

由：0

3()4I d l r B x r m p ′=òr r r ? （毕奥—萨伐尔定律）得：

y

2002级物理学专业毕业论文

222000333000c o s s in s in c o s 444i j k I z b I z a I a b a q bp B d i d j d k r r r B i B j B k p p p m f m f m f f f f f p p p --=++=++蝌 r r r r r r r

(5)

其中i B 、j B 、k B 分别表示B 在x 、y 、z 的分量，

20302030222000333000

cos 4sin 41sin cos 444i j k I zb B d r I za B d r I a b I a q I bp B d d d r r r p p p p p m f f p m f f p m m f m f f f f p p p =

=

=

--òò蝌 (6)0 3.2 运用Mathematica 进行计算

由于（6）式积分异常复杂，而且积分式为非解析式。运用Mathematica 软件进行计算也很难得到一个明确的表达式。作为特例，以下将从椭圆电流垂直轴上的磁场、椭圆电流焦点的磁场和圆形电流的磁场三个方面做一定探讨。

4 讨论

4.1 椭圆电流垂直轴上的磁场

当（6）式中的0p =， 0q =时，P 点也就成为椭圆形电流垂直轴上的点。因而可得椭圆电流垂直轴上的磁场为：

2200322223/2002200322223/2002200322223/200c o s s in 44(s in )s in c o s 44(c o s )1144(s in )i j k I z b I z b d B d r a z c I z a

I z a d B d r b z c I a b

I a b B d d r a z c p p p p p p m f m f f p p f m f m f f p

p f m m f f p p

f =

=+-==-++==+-蝌蝌蝌 用Mathematica 进行计算很容易得到0i j B B

==，所以：k B B = 2200222223/2223/20023/222114(s in )4()(1s in )I a b

I a b B d d c

a z c a z a z

p p m m f f p f p f ==+-+-+蝌 令 2222c

k a z =+，、2222221z b k k

a z +=-=+

得 20223/222

3/2014()(1s i n )I a b

B d a z k p m f p f =+-ò 令 s i n t f =得：

10223/221/2223/2

01()(1)(1)I a b

B d t a z t k t m p =+--ò 由文献[9]得：

用Mathematica 计算椭圆形电流的磁场分布

、1/22

221121/2223/22001()(1)(1)1k k t d t d t E k t k t t 骣-÷?=

=÷?÷÷?---桫蝌

式中()E k 为第二类完全椭圆积分。

所以：

、0223/221()()()I a b

B E k k a z k m p =?+ (7)

4.2 椭圆电流焦点的磁场

当P 点坐标为(,0,0)P c 时，由（6）式可以得到椭圆电流焦点的磁场为：

2220003330001co s co s 444k I a b I bc I b a c B B d d d r r r p p p m m f m f f f f p p p -==-=蝌

又

r ==所以： 220032

00c o s 144(c o s )k I b

a c I

b B B d d r a

c p p m f m f f p p f -===-蝌 因为此时电流的分布以x 轴对称，由上式可得： 020

1

24(c o s )I b

B d a c p m f p f = -ò 上式与文献[5]达到很好的吻合。根据文献[5]中的计算和运用Mathematica 计算可以得到椭圆电流焦点的磁场为： 0223/23()I ba

B a c m =- (8)

4.3 圆形电流的磁场

当a b =

，即0c =

=时，椭圆电流也就随之退化成圆形电流，又由于圆形电流I 关于Z 轴旋转对称，我们可以令(,0,)P p z 而不失一般性。这样根据（6）式可以得到圆形电流在全空间的分布表达式为：

220032223/200c o s c o s 44(2c o s )i I z a I z a B d d r a p z p a p p m f m f f f p

p f ==++-蝌 220032223/200s in s in 44(2c o s )j I z a

I z a B d d r a p z p a p p m f m f f f p

p f ==++-蝌 2222000332223/20001c o s c o s 444(2c o s )k I a

I a p I a a p B d d d r r a p z p a p p p m m f m f f f f p

p p f -=-=++-蝌 很容易得到0j B =，所以：i k B B i B k ?

?=+，其中i B ，k B 两式可化为椭圆积分，运用第三类完全椭圆积分得到[10]：

(,,)(,)]122(,,)(

,)]122i k I z N B P K F K N a N p B P K p F K N m p p p p =-+-=++?? (9)

2002级物理学专业毕业论文

其中(,,)2P K p

?为第三类完全椭圆积分，222

12p a z N a p +=>，,0p z >，取定空间的P 点后，

通过查椭圆积分表就可算出 P 点的i B 和j B 值。

5 结语

椭圆形电流是继圆形电流后的又一典型的物理模型。其磁场的分布情况比圆形电流的分布情况更为复杂。本文尝试借助计算机软件Mathematica 对椭圆形电流的磁场分布做了探讨。在得到椭圆形电流的磁场在全空间分布的积分式后，着重分析了椭圆电流垂直轴上的磁场、椭圆电流焦点的磁场和椭圆退化成圆形电流的后的磁场分布，分析结果与其他相关文献得到了很好的自洽。但本文还不够，只是做了一些初步的尝试，要想更深入的了解椭圆形电流的磁场分布情况，还任重而道远，还有待于更多的物理工作者进行进一步的研究。

参考文献

[1] 向裕民 圆环电流磁场的普遍分布[J] 大学物理，1999年，第18卷第1期 14～17

[2] 嘉木工作室 Mathematica 应用实例教程[M] 机械工业出版社 2002年

[3] TIAN Ye(田野)，KONG Xiang ～Yan （孔祥燕）,WANG Hui ～Wu(王会武)， ZHAO Shi ～Ping （赵

士平），CHEN Geng ～Hua （陈赓华），YANG Qian ～sheng(杨乾声)，CAO Lie ～Zhao(曹烈兆) Current Density and Local Magnetic Field of spontaneous Magnetization States in One ～Dimensional Superconducting Corner Junction Arrays CHIN.PHYS.LETT 2004 1344～1347;Nikolal Nikolov. A Generalizaton of an Ineequality from IMO 2005. arXiv:math., 2005-12, 8: 1-6

[4] 李永平，张帆 圆环电流的磁场分布[J] 济南大学学报 1998年，第8卷第4期 61～64

[5] 李久会 椭圆电流焦点的磁场[J] 辽宁工学院学报 2002年4月，第22卷第2期 69～70

[6] 赵锡平，李永平 椭圆形电流环垂直轴上的磁场[J] 青岛建筑工程学院学报 1998年，第 20卷

第2期 102～104

[7] 胡跃辉 椭圆形电流的磁场分布[J] 江西师范大学学报(自然科学版) 2000年2月 第24卷第1

期 83～86

[8] 郭硕鸿 电动力学[M] 高等教育出版社 1997

[9] 王竹溪，郭敦仁 特殊函数概论[M] 北京大学出版社 2000

[10]张弢，孙建刚 利用椭圆积分法计算某些电磁场问题[J] 山东大学学报（工学版），2003年4月

第33卷第2期

用Mathematica 计算椭圆形电流的磁场分布

2002级物理学专业毕业论文

致谢

本文的研究工作是在我的导师石东平教授的精心指导和悉心关怀下完成的，在我的学业和论文的研究工作中无不倾注着导师辛勤的汗水和心血。导师的严谨治学态度、渊博的知识、无私的奉献精神使我深受的启迪。从尊敬的导师身上，我不仅学到了扎实、宽广的专业知识，也学到了做人的道理。在此我要向我的导师致以最衷心的感谢和深深的敬意。

在多年的学习生活中，还得到了许多领导和老师的热情关心和帮助，如吴强老师。

在日常学习和生活中，我的师兄、弟及校友给予了我很大帮助。

在此，向所有关心和帮助过我的领导、老师、同学和朋友表示由衷的谢意！

王伯超

2006年6月于重庆