圆环形电流的磁场分布

圆环形电流的磁场分布

福建省石狮市石光中学

陈龙法

摘 要

本文详细推算岀圆环形电流的磁场分布（包括磁标势、磁感应强度） ，证明了圆电流平面上圆内的磁感应强

度为r 的单调增函数，且在圆心处磁感应强度有极小值。

设圆环形电流强度为 I

，圆半径为 R 。，以圆心为原点，过圆心垂直于圆面的轴为极轴，建立球坐 标系。如图所示。用半径为 R o

的球面把整个空间分成两个区域，在这两个区域内，磁场的标势分别满

足拉普拉斯方程

▽2

°

耐=0 (r

V 2

°m2

=° (r>R o )

r=R o

的球面上，' mi 和爲2满足边值关系:

「m2 八二1

〉f

e r 「「m2 一 ' mi = 0

解上列⑴⑵⑶⑷式得:

P n cos i 亠 一 na n R°14P n cos 二-°

n

日—一 I ， I 是圆环中的电流强度 '、、2 丿

二可按连带勒让德函数展

n -1

a

n R

°

d

j

b n dP n COST

萨—

f

开: 2n 1 n -1!

平石比 fnPgep 2 (n +1!

P n COS^

由于具有轴对称性，磁标势与方位角 0无关，所以满足边界条件

的通解可取为：

a n r n

P n COST

m2

有限

(r

)

m2

K

借巳COST

r

(r>R o

)

(r I )

n 1 b n

其中，面电流密度

R o

r

又P n COSJ「dP d0^，P2k 0 =0，卩2「1 0 = -1

k! 2于是⑸⑹式可化为：

Z a n R；' -R n^ Pn(cosT )=—占瓦na n R0’Pn(cos日)

n i R0 J R0 n

、n n12bn P n COST 、、n3n Ro J P n COS^ =0

n R°n

于是得到系数a n和b n满足的方程：

n」b n a n R0 'VI.

R0

b「丄a n R^— 0

n 1

解⑻⑼式，当n=2k时，有：

b2k -a2k R04k1 =0

b

2k氏a2kR T "

这是关于a2k和b2k的齐次方程组，其系数行列式

-R：k1

2k

2k 1

所以方程组只有零解，即

a2k - b2k - 0

当n=2k+1时，有:

b2k 1 _ 1 k 1 _I 4k * 3 2k !

￡k 3一R0 2k 2 22k 1 k!2

解得:

a2k 1

I 2k !

R；k1 k!222k1(11)

I 2n 1

2k

a2k 1 R0

b2k1 菩a2「R4k3

-0

b i

k Ip 2k2

2k 12k!

b 2k 1 - - I IR 0

2T7

2

(2k+2p 2k41(k!)2

由⑽(11)(12)及⑴⑵式，得到球内外的磁标势：

于是球内外的磁感应强度为:

2k

R o k!222ki R o ?

k 1P

2ki C0

"

er

/ 、2k 书一

R o 2k 2k!222ki 7 _

2k 2P

2ki C

妙

er

根据(15)(16)式，当 时，利用

2

便得到圆电流平面上圆内和圆外的磁感应强度为:

2k 3

(r>R o )

从7式知，

dBi

「

0 ,故圆电流平面上圆内的磁感应强度 dr

I

B i r 为极小，有B i 0

—，这正是用毕奥一萨伐尔定律求出的圆电流中心的磁感应强度。

2R

(2001/10/22

)

mi

k+

I

(一

1)

RT k^vU ki C 。^ (r

)

(13)

'm2

=11

k

-1*2

2k 边2

：! ”*』"0

^

(r>R o

)

(r

)

(15)

(r>R

。)

(16)

a k

e

日

R 0

-

(r

)

(17)

其中

滋1

],

(2k +121k (k!l

如+1

卩 k —

2k 2 24k

k! 4

B

厂-％mi 二

-1

k

k I 2k ! B 2 T m2 f -1

k 1

2k

^!

k

df 1 COST

d ：

dP 2k i 曲 1

k

2k 1!

7)両尹

d(cos^)

(18)

B ! r 为 r 的单调增函数。当r=0时,