分数阶微积分发展现状及展望

在数学领域中，大体分为五种研究方向：基础数学，应用数学，计算数学，概率论与数理统计，统计学与控制论。这五个方向对数学在当代的发展都有不可或缺的作用。从研究内容来讲，方程、算子、群论、图论、代数、几何等等都是数学领域重要的研究对象。作为基础数学专业分数阶微分方程方向的博士生，本文将从分数阶微分方程的发展的历史及现状、本人对分数阶微分方程未来发展的看法来介绍分数阶微分的基本知识。

(一)、发展历史及现状

牛顿和莱布尼兹发明的微积分是现代数学与古典数学的分水岭。分数阶微积分是关于任意阶微分和积分的理论，它与整数阶微积分是统一的，是整数阶微积分的推广。整数阶微积分作为描述经典物理及相关学科理论的解析数学工具已为人们普遍接受，很多问题的数学模型最终都可以归结为整数阶微分方程的定解问题，其无论在理论分析还是数值求解方面都已有了比较完善的理论。但当人们进入到复杂系统和复杂现象的研究时，经典整数阶微积分方程对这些系统的描述将遇到一些问题，如：需要构造非线性方程，并引入一些人为的经验参数和与实际不符的假设条件；因材料或外界条件的微小改变就需要构造新的模型等等。基于以上原因，人们迫切期待着有一种可用的数学工具和可依据的基本原理来对这些复杂系统进行建模。分数阶微积分方程非常适合于刻画具有记忆和遗传性质的材料和过程，其对复杂系统的描述具有建模简单、参数物理意义清楚、描述准确等优势，因而成为复杂力学与物理过程数学建模的重要工具之一。

对大多数研究人员和工程师而言，分数阶微积分也许还是比较陌生的，但它实际上早在300多年前就被提出。1695年9月，洛必达（L’Hospital）在给莱布尼兹的著名信件中就写到“对于简单的线性函数f(x)=x，如果函数导数次数为分数而不是整数那会怎样”。这是公认的第一次提及分数阶微分。1832年，刘维尔（Liouville）成功的应用了自己提出的分数阶导数的定义，解决了势理论问题。之后刘维尔发表的一系列文章使他成为分数阶微积分理论的实际级创始人。1974年，Oldham与Spanier出版了第一本关于分数阶微积分理论的专著。

在近三个世纪里，对分数阶微积分理论的研究主要在数学的纯理论领域里进行，但是从近几十年，分数阶微分方程越来越多的被用来描述光学和热学系统、流变学及材料和力学系统、信号处理和系统识别、控制和机器人及其他应用领域中的问题。分数阶微积分理论也受到越来越多的国内外学者的广泛关注，特别是从实际问题抽象出来的分数阶微分方程成为很

多数学工作者的研究热点。随着分数阶微分方程在越来越多的科学领域里出现，无论对分数阶微分方程的理论分析还是数值计算的研究都显得尤为迫切。但是目前分数阶微积分的实际工程应用存在许多障碍，很重要的一个原因是分数阶微积分的数学基础仍未完善。

目前就数学领域而言，分数阶微积分存在的主要问题有:多种分数阶微分算子定义形式，在实际应用中都各有优势，尚不能做到统一；在理论研究方面，几乎所有结果全都假定了满足李氏条件，而且证明方法也和经典微积分方程一样，换句话说，这些工作基本上可以说只是经典微积分方程理论的一个延拓。对分数阶微分方程的定性分析很少有系统性的结果，大多只是给出了一些非常特殊的方程的求解，且常用的求解方法都具有局限性。在数值求解方面，现有分数阶方程数值算法还很不成熟，主要表现为：（1）在数值计算中一些挑战性难题仍未得到彻底解决，如长时间历程的计算和大空间域的计算等；（2）成熟的数值算法比较少，现在研究较多的算法主要集中在有限差分方法与有限单元；（3）未形成成熟的数值计算软件，严重滞后于应用的需要。

(二)、对未来发展的看法

鉴于此目前分数阶微积分发展的现状及主要问题，我认为未来分数阶微积分的发展要抓住几个关键点：（1）分数阶微积分还处在探索阶段，其理论体系还需要进一步扩充和完善。这也是我们方向未来的主要工作。（2）分数阶微积分作为一种新颖的数学工具，在应用来解决物理、力学、生物、信号处理、材料等学科问题还任重而道远。未来要着重于理论研究与实际应用相结合。（3）在数值计算方面应发展新数值算法，特别是在保证计算可靠性和精度的前提下，提高计算效率，解决分数阶微分方程计算量和存储量过大的难点问题，发展相应的计算力学应用软件成为迫切需要关注的课题。

分数阶微分方程-课件

分数阶微分方程第三讲分数阶微分方程基本理论一、分数阶微分方程的出现背景及研究现状 1、出现背景分数阶微积分是关于任意阶微分和积分的理论，它与整数阶微积分是统一的，是整数阶微积分的推广。整数阶微积分作为描述经典物理及相关学科理论的解析数学工具已为人们普遍接受，很多问题的数学模型最终都可以归结为整数阶微分方程的定解问题，其无论在理论分析还是数值求解方面都已有较完善的理论。但当人们进入到复杂系统和复杂现象的研究时，经典整数阶微积分方程对这些系统的描述将遇到以下问题：（1）需要构造非线性方程，并引入一些人为的经验参数和与实际不符的假设条件；（2）因材料或外界条件的微小改变就需要构造新的模型；（3）这些非线性模型无论是理论求解还是数值求解都非常繁琐。基于以上原因，人们迫切期待着有一种可用的数学工具和可依据的基本原理来对这些复杂系统进行建模。分数阶微积分方程非常适合于刻画具有记忆和遗传性质的材料和过程，其对复杂系统的描述具有建模简单、参数物理意义清楚、描述准确等优势，因而成为复杂力学与物理过程数学建模的重要工具之一。 2、研究现状在近三个世纪里，对分数阶微积分理论的研究主要在数学的纯理论领域里进行，似乎它只对数学家们有用。然而在近几十年来，分数阶微分方程越来越多的被用来描述光学和热学系统、流变学及材料和力学系统、信号处理和系统识别、控制和机器人及其他应用领域中的问题。分数阶微积分理论也受到越来越多的国内外学者的广泛关注，特别是从实际问题抽象出来的分数阶微分方程成为很多数学工作者的研究热点。随着分数阶微分方程在越来越多的科学领域里出现，无论对分数阶微分方程的理论分析还是数值计算的研究都显得尤为迫切。然而由于分数阶微分是拟微分算子，它的保记忆性（非局部性）对现实问题进行了优美刻画的同时，也给我们的分析和计算造成很大困难。在理论研究方面，几乎所有结果全都假定了满足李氏条件，而且证明方法也和经典微积分方程一样，换句话说，这些工作基本上可以说只是经典微积分方程理论的一个延拓。对分数阶微分方程的定性分析很少有系统性的结果，大多只是给出了一些非常特殊的方程的求解，且常用的求解方法都是具有局限性的。在数值求解方面，现有分数阶方程数值算法还很不成熟，主要表现为：（1）在数值计算中一些挑战性难题仍未得到彻底解决，如长时间历程的计算和大空间域的计算等；（2）成熟的数值算法比较少，现在研究较多的算法主要集中在有限差分方法与有限单元法；（3）未形成成熟的数值计算软件，严重滞后于应用的需要。

分数阶微积分发展现状及展望教学文稿

分数阶微积分发展现状及展望在数学领域中，大体分为五种研究方向：基础数学，应用数学，计算数学，概率论与数理统计，统计学与控制论。这五个方向对数学在当代的发展都有不可或缺的作用。从研究内容来讲，方程、算子、群论、图论、代数、几何等等都是数学领域重要的研究对象。作为基础数学专业分数阶微分方程方向的博士生，本文将从分数阶微分方程的发展的历史及现状、本人对分数阶微分方程未来发展的看法来介绍分数阶微分的基本知识。 (一)、发展历史及现状牛顿和莱布尼兹发明的微积分是现代数学与古典数学的分水岭。分数阶微积分是关于任意阶微分和积分的理论，它与整数阶微积分是统一的，是整数阶微积分的推广。整数阶微积分作为描述经典物理及相关学科理论的解析数学工具已为人们普遍接受，很多问题的数学模型最终都可以归结为整数阶微分方程的定解问题，其无论在理论分析还是数值求解方面都已有了比较完善的理论。但当人们进入到复杂系统和复杂现象的研究时，经典整数阶微积分方程对这些系统的描述将遇到一些问题，如：需要构造非线性方程，并引入一些人为的经验参数和与实际不符的假设条件；因材料或外界条件的微小改变就需要构造新的模型等等。基于以上原因，人们迫切期待着有一种可用的数学工具和可依据的基本原理来对这些复杂系统进行建模。分数阶微积分方程非常适合于刻画具有记忆和遗传性质的材料和过程，其对复杂系统的描述具有建模简单、参数物理意义清楚、描述准确等优势，因而成为复杂力学与物理过程数学建模的重要工具之一。对大多数研究人员和工程师而言，分数阶微积分也许还是比较陌生的，但它实际上早在300多年前就被提出。1695年9月，洛必达（L’Hospital）在给莱布尼兹的著名信件中就写到“对于简单的线性函数 f(x)=x，如果函数导数次数为分数而不是整数那会怎样”。这是公认的第一次提及分数阶微分。1832年，刘维尔（Liouville）成功的应用了自己提出的分数阶导数的定义，解决了势理论问题。之后刘维尔发表的一系列文章使他成为分数阶微积分理论的实际级创始人。1974年，Oldham与Spanier出版了第一本关于分数阶微积分理论的专著。在近三个世纪里，对分数阶微积分理论的研究主要在数学的纯理论领域里进行，但是从近几十年，分数阶微分方程越来越多的被用来描述光学和热学系统、流变学及材料和力学系统、信号处理和系统识别、控制和机器人及其他应用领域中的问题。分数阶微积分理论也受到越来越多的国内

分数阶微积分发展现状及展望讲课讲稿

精品文档分数阶微积分发展现状及展望在数学领域中，大体分为五种研究方向：基础数学，应用数学，计算数学，概率论与数理统计，统计学与控制论。这五个方向对数学在当代的发展都有不可或缺的作用。从研究内容来讲，方程、算子、群论、图论、代数、几何等等都是数学领域重要的研究对象。作为基础数学专业分数阶微分方程方向的博士生，本文将从分数阶微分方程的发展的历史及现状、本人对分数阶微分方程未来发展的看法来介绍分数阶微分的基本知识。 (一)、发展历史及现状牛顿和莱布尼兹发明的微积分是现代数学与古典数学的分水岭。分数阶微积分是关于任意阶微分和积分的理论，它与整数阶微积分是统一的，是整数阶微积分的推广。整数阶微积分作为描述经典物理及相关学科理论的解析数学工具已为人们普遍接受，很多问题的数学模型最终都可以归结为整数阶微分方程的定解问题，其无论在理论分析还是数值求解方面都已有了比较完善的理论。但当人们进入到复杂系统和复杂现象的研究时，经典整数阶微积分方程对这些系统的描述将遇到一些问题，如：需要构造非线性方程，并引入一些人为的经验参数和与实际不符的假设条件；因材料或外界条件的微小改变就需要构造新的模型等等。基于以上原因，人们迫切期待着有一种可用的数学工具和可依据的基本原理来对这些复杂系统进行建模。分数阶微积分方程非常适合于刻画具有记忆和遗传性质的材料和过程，其对复杂系统的描述具有建模简单、参数物理意义清楚、描述准确等优势，因而成为复杂力学与物理过程数学建模的重要工具之一。对大多数研究人员和工程师而言，分数阶微积分也许还是比较陌生的，但它实际上早在300多年前就被提出。1695年9月，洛必达（L’Hospital）在给莱布尼兹的著名信件中就写到“对于简单的线性函数f(x)=x，如果函数导数次数为分数而不是整数那会怎样”。这是公认的第一次提及分数阶微分。1832年，刘维尔（Liouville）成功的应用了自己提出的分数阶导数的定义，解决了势理论问题。之后刘维尔发表的一系列文章使他成为分数阶微积分精品文档

分数阶微分方程_课件

分数阶微分方程一、预备知识 1、分数阶微积分经典定义回顾作为分数阶微积分方程的基础，本书在第二章中对分数阶微积分的定义及性质做了系统的介绍，为了接下来讨论的需要，我们首先对其进行一个简要的回顾。（1）分数阶微积分的主要思想如上图所示，分数阶微积分的主要思想是推广经典的整数阶微积分，从而将微积分的概念延拓到整个实数轴，甚至是整个复平面。但由于延拓的方法多种多样，因而根据不同的需求人们给出了分数阶微积分的不同定义方式。然而这些定义方式不仅只能针对某些特定条件下的函数给出，而且只能满足人们的某些特定需求，迄今为止，人们仍然没能给出分数阶微积分的一个统一的定义, 这对分数阶微积分的研究与应用造成了一定的困难。 1、分数阶微分的定义为了满足实际需要，下面我们试图从形式上对分数阶微积分给出一种统一的表达式。分数阶微积分的主要思想是推广经典的累次微积分，所有推广方法的共同目标是以非整数参数p 取代经典微积分符号中的整数参数n ，实际上，任意的n 阶微分都可以看成是一列一阶微分的叠加： ()()n n n d f t d d d f t dt dt dt dt = （1）由此，我们可以给出一种在很多实际应用中十分重要的分数阶微积分的推广方式。首先，我们假设已有一种合适的推广方式来将一阶微分推广为α（01α≤≤）阶微分，即d D dt α→是可实现的。那么类似地可得到（1）的推广式为： ()()n n D f t D D D f t αααα= （2）这种推广方式最初是由..K S Miller 和.B Ross 提出来的，其中D α采用的是R L -分数阶微分定义，他们称之为序列分数阶微分。序列分数阶微分的其他形式可以通过将D α替换为G L -分数阶微分、Caputo 分数阶微分或其他任意形式

分数阶微积分的性质

分数阶微积分的性质根据上述三种分数阶微积分的定义，可以得到分数阶微积分一些性质如下 [66] ：（1）记忆属性。当t 在时刻时，函数()f t 的分数阶微分值由初始时刻到t 时刻的所有时刻的函数值取值。（2）当1a t D β算子的1β是整数时，整数阶微积分和分数阶微积分二者为等同关系，1β为任意阶时，整数阶微积分被包含在分数阶微积分内。（3）分数阶微积分算子1a t D β是线性的，符合线性系统中的齐次特性和迭加特性，即对任意常数,a b 均满足： 1110 00[()()]()()t t t D af t bg t a D f t b D g t βββ+=+ （4）解析函数()f t 分数阶导数10()t D f t β对t 和a 都是可以解析的。 2.4 分数阶系统的模型描述实际生活中，大多数的对象的内在特性都能通过整数阶微分方程的形式来表征，比如物理特性、化学特性等。但往往存在一些特别的对象其特性无法靠整数阶微分方程精确表征，但分数阶次的微分方程刚好能考虑到整数阶次微分方程所忽略的特性，所以，用分数阶微分方程描述的系统，其内在特性反应更真实、更全面。一个典型的单输入单输出分数阶线性系统的微分方程可用如下形式来表示： 3123 1 2 123122()()()()=()()()() m n m n a D y t a D y t a D y t a D y t b D u t b D u t b D u t b D u t ααααββββ+++++++ + （2.10）其中,(1,2, ,),(1,2, ,)i j a i m b j n ==分别表示输出和输入相应的系数， 12m ααα<<<，12n βββ<<<分别表示输出和输入分数阶的阶次，()() u t y t 、分别表示系统的输入和输出。结合前面的式（2.6）和式（2.10）对系统进行拉普拉斯变换，得到系统的传递函数模型为： 121 2 1212()n m n m b s b s b s G s a s a s a s βββααα++=+++ （2.11）若(1,2, ,)i i i m αα==，(1,2, ,)i i i n ββ==，该系统可称为“同源次”分数阶系统，则上式进一步可表示为: 11 ()n j j j m i i i b s G s a s β α === ∑∑ （2.12）

分数阶微积分的定义

分数阶微积分的定义分数阶微积分的研究对象是分数阶微分和分数阶积分，分数阶微积分定义是整合和统一分数阶微分和分数阶积分得到的。首先介绍常用的三种分数阶微分定义，具体为：（1）Grünwald -Letnikov 分数阶微分定义若()f t 函数在区间[,]a t 存在1m +阶连续导数，当0α>时， m 至少取到[]α，则其次数为(1)m m αα≤<+的分数阶微分定义为： [()/] ()lim ()t a h a t i h i D f t h f t ih αα αω--→==-∑ （2.1）其中，α表示阶次，h 为采样步长，a 表示初始时间，[]表示取整， = (-1)i i i ααω?? ??? 是多项式系数，(1)(2)(1) = ! i i i ααααα??---+ ??? ，我们可以用以下递推公式直接求出该系数： 01+11,1,1,2,...,i i i n i α αααωωω-??==-= ??? （2.2）进一步对式（2.1）求极限，可得到其详细定义： 0,0 ()lim ()()()1 ()()(1)(1)a t h nh t a i i m t m a i D f t h f t ih i f a t a t f d i i α α αααξξξαα-→=--+-=?? =- ??? -=+-Γ-++Γ-+∑? （2.3）其中，()Γ?为欧拉gamma 函数，10 ()t z z e t dt ∞--Γ=?，当R α∈，上述定义也称为Grünwald -Letnikov 分数阶微积分定义。若：()=0i f t ，,q p R ∈，则微分算子D 满足式（2.4）：（2.4）（2）Riemann -Liouville 分数阶微分定义对于1,m m m N α-<<∈，有 11() ()()()m t a t m m a d f D f t d m dt t α αττατ-+= Γ--? （2.5）其中，当R α∈，上述定义也称为Riemann -Liouville 分数阶微积分定义。通常情况下，为了方便使用Riemann -Liouville 分数阶微积分定义，要对其取拉普拉斯变换，假设()F s 表示()f s 的原函数，则式（2.5）经过拉普拉斯变换 +(())()q p q p a t a t a t D D f t D f t =

基于分数阶微积分理论的软土应力_应变关系_殷德顺

第28卷增1 岩石力学与工程学报 V ol.28 Supp.1 2009年5月 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering May ，2009 收稿日期：2007–12–21；修回日期：2008–03–24 基金项目：河海大学科技创新基金资助项目(2006407911) 作者简介：殷德顺(1972–)，男，博士，1996年毕业于河海大学工程力学专业，现任副教授，主要从事土的本构模型及基本理论方面的教学与研究工作。E-mail ：yindeshun@https://www.360docs.net/doc/4f17078698.html, 基于分数阶微积分理论的软土应力–应变关系殷德顺1，任俊娟2，和成亮1，陈文1 (1. 河海大学土木工程学院工程力学系，江苏南京 210098；2. 鲁东大学数学与信息学院，山东烟台 264025) 摘要：利用分数阶微积分理论提出等应变率加载情况下的软土应力–应变关系。关系式显示应力–应变之间呈乘幂函数关系。通过大量的常规(等应变率加载情况下)三轴试验验证基于分数阶微积分理论的软土应力–应变关系，同一种土的分数阶阶数β 不随围压变化并能够反映土的“软硬”程度。试验发现，初始弹模与围压呈较好的线性关系。与邓肯–张模型相比，应力–应变的乘幂关系具有明确的理论基础，这一点与邓肯–张模型纯粹基于曲线形状相似的应力–应变双曲线假设形成鲜明的区别。创新点在于将软土看作介于理想固体和理想流体之间的物质进行研究，并用分数阶微积分理论给出应力–应变关系，这在以往的研究中都没有先例。关键词：土力学；软土；分数阶微积分；应力–应变关系；等应变率加载；邓肯–张模型中图分类号：TU 43 文献标识码：A 文章编号：1000–6915(2009)增1–2973–07 STRESS-STAIN RELATION OF SOFT SOIL BASED ON FRACTIONAL CALCULUS OPERATORS THEORY YIN Deshun 1，REN Junjuan 2，HE Chengliang 1，CHEN Wen 1 (1. Department of Engineering Mechanics ，College of Civil Engineering ，Hohai University ，Nanjing ，Jiangsu 210098，China ； 2. Department of Mathematics and Information ，Ludong University ，Yantai ，Shandong 264025，China ) Abstract ：On the basis of the fractional calculus operator theory ，the stress-strain relation of soft soil under the condition of loading with constant strain rate is proposed. The analysis results show that stress –strain of soft soil performs exponent relation ，which can be proved by large amounts of triaxial tests(under constant strain rate). It is found that the order βof fractional calculus keeps constant to the same kind of soil and characterize soft or hard soil. The test results show that there is a linear relationship between confining pressures and initial tangent modulus. Compared with Duncan-Chang model that hypothesizes stress-strain relation is hyperbolic in response to similar shape of experimental curve ，the stress-strain relation from the fractional calculus has rigorous theoretical background. The major innovation of our researches is that the soil is considered as the matter whose behaviors are intermediate between that of the ideal solid and fluid ，and it also may be the first known application of fractional calculus in soil stress-strain relation. Key words ：soil mechanics ；soft soil ；fractional calculus ；stress-strain relationship ；loading with constant strain rate ；Duncan-Change model 1 引言长期以来工程界非常重视软土地基上的工程建设，但同时，软土土质十分软弱和不稳定问题也给海岸、土木和水利等工程建设带来非常大的困惑[1 ～5] 。改革开放以前，深厚软土广泛分布的上海仅有一条2 736 m 的越江隧道，费时7 a 建造(1965～1971)，

分数阶微积分的探讨 (2)

目录绪论 (1) 1 分数阶微分的基本理论 (1) 1.1分数阶微积分 (2) 1.2分数阶微积分的定义 (3) 1.3分数阶微积分的性质 (5) 1.4各种定义之间的联系与区别 (6) 1.5一些初等函数的分数阶微积分 (8) 1.6分数阶微积分的物理意义 (10) 1.7分数阶微积分在自然中的存在 (11) 2 分数阶微积分的应用 (12) 2.1 医学图像处理 (12) 2.2 天气和气候的研究 (13) 2.3 地震奇异性分析 (14) 参考文献 (15) 致谢 (16)

分数阶微积分及其应用摘要分数阶微积分作为整数阶微积分的推广，其概念早已提出，近300年来，分数阶微积分这一重要数学分支渐成体系，它是研究分形分析的重要工具被应用于许多工程计算中。本文给出了分数阶微积分的一些性质及其推导过程，并给出一些初等函数的分数阶微积分,及其应用。【关键词】分数阶微积分分数阶微分分数阶积分图像增强模板应用

Fractional calculus and its applications Abstract Fractional Calculus as extention of integral calculus, its concept has long been proposed, for nearly 300 years, fractional calculus of this important branch of mathematics that had gradually become the system , it is the study of fractal analysis tools are used in many engineering calculations .in his paper, some properties of the fractional calculus and the derivation process of the fractional calculus are given, Besides some elementary functions of fractional calculus and its applications. 【Key Words】Fractional Calculus Fractional derivatives Fractional integrals image enhancement applications

分数阶控制理论概述--总成

得分：_______ 南京林业大学研究生课程论文 2013 ～2014 学年第 1 学期课程号：PD03088 课程名称：工程应用专题题目：分数阶控制理论研究及工程领域的应用学科专业：机械工程学号：8133013 姓名：钱东星任课教师：陈英二○一四年一月

分数阶控制理论研究及工程领域的应用摘要: 作为控制科学与工程中一个新的研究领域，分数阶控制的研究愈来愈被关注。本文简要介绍分数阶控制的数学背景和基本知识,对分数阶控制理论及应用(分数阶系统模型、系统分析、分数阶控制器、非线性分数阶系统、系统辨识) 的研究作了总结、评述和展望。关键词:控制理论；分数阶微积分(FOC)；分数阶系统 Fractional Control Theory and Engineering Applications Qian Dongxing （Nanjing Forestry University, Nanjing Jiangsu 210037）Abstract: As a new study field of control theory and applications , the fractional order control is attracted much attention recently. In this paper, an overview in this field is surveyed. The historical development and the basic knowledge of fractional-order control are introduced. The latest works of fractional-order control are summarized and reviewed, including mathematical model, system analysis, fractional-order controller, nonlinear fractional order system and identification, etc. Some future trends in its further studies are prospected. Key words: Theory of control ；Fractional order calculus( FOC) ；Fractional order system

分数阶微积分理论

分数阶微积分理论 2.1 引言一般我们熟知的微积分理论都是整数阶的，比如一阶微分方程，二阶微分方程，一重积分、二重积分等等，而分数阶微积分，指的是微积分的阶次可以为包括整数以内的其它任意数，比如小数、有理数、无理数等，可以说分数阶微积分可以描述任何对象，它的作用要远超常规整数阶微积分。虽然在无数的学者前赴后继地努力下，分数阶微积分理论方面的研究成果丰硕，而关于分数阶微积分的定义，不同的学者表述上有所区别，综合各个理论层面的评估，同时具有实际工程上的应用可行性的分数阶微积分定义只剩下三种，分别是Grünwald -Letnikov 定义，Caputo 定义，Riemann -Liouville 定义[64]。 2.2 分数阶微积分的定义分数阶微积分的研究对象是分数阶微分和分数阶积分，分数阶微积分定义是整合和统一分数阶微分和分数阶积分得到的。首先介绍常用的三种分数阶微分定义，具体为：（1）Grünwald -Letnikov 分数阶微分定义若()f t 函数在区间[,]a t 存在1m +阶连续导数，当0α>时， m 至少取到[]α，则其次数为(1)m m αα≤<+的分数阶微分定义为： [()/] ()lim ()t a h a t i h i D f t h f t ih αα αω--→==-∑ （2.1）其中，α表示阶次，h 为采样步长，a 表示初始时间，[]表示取整， = (-1)i i i ααω?? ??? 是多项式系数，(1)(2)(1) = ! i i i ααααα??---+ ??? ，我们可以用以下递推公式直接求出该系数： 01+11,1,1,2,...,i i i n i α αααωωω-??==-= ??? （2.2）进一步对式（2.1）求极限，可得到其详细定义：