分数阶微积分的探讨 (2)
目录
绪论 (1)
1 分数阶微分的基本理论 (1)
1.1分数阶微积分 (2)
1.2分数阶微积分的定义 (3)
1.3分数阶微积分的性质 (5)
1.4各种定义之间的联系与区别 (6)
1.5一些初等函数的分数阶微积分 (8)
1.6分数阶微积分的物理意义 (10)
1.7分数阶微积分在自然中的存在 (11)
2 分数阶微积分的应用 (12)
2.1 医学图像处理 (12)
2.2 天气和气候的研究 (13)
2.3 地震奇异性分析 (14)
参考文献 (15)
致谢 (16)
分数阶微积分及其应用
摘要
分数阶微积分作为整数阶微积分的推广，其概念早已提出，近300年来，分数阶微积分这一重要数学分支渐成体系，它是研究分形分析的重要工具被应用于许多工程计算中。本文给出了分数阶微积分的一些性质及其推导过程，并给出一些初等函数的分数阶微积分,及其应用。
【关键词】分数阶微积分分数阶微分分数阶积分图像增强模板应用
Fractional calculus and its applications
Abstract
Fractional Calculus as extention of integral calculus, its concept has long been proposed, for nearly 300 years, fractional calculus of this important branch of mathematics that had gradually become the system , it is the study of fractal analysis tools are used in many engineering calculations .in his paper, some properties of the fractional calculus and the derivation process of the fractional calculus are given, Besides some elementary functions of fractional calculus and its applications.
【Key Words】Fractional Calculus Fractional derivatives Fractional integrals image enhancement applications
绪论
分数阶微积分是微积分的一个分支，它对函数进行分数阶微分积分，如对函数求1/2阶导数。分数阶微积分(Fractional Calculus)是相对传统意义上的整数阶微积分提出来的。普通的微积分运算，如一阶微分、二阶微分、一阶积分、高阶积分等都是在积分运算次数为整数情况下的微积分运算，而分数阶微分，顾名思义，就是将通常意义下的整数阶微积分运算推广到运算阶次为分数的情况。例如：对x^n求1/2阶导数;分数阶微积分就可以看作是整数阶微积分运算的推广。值得注意的是，其实将上述这种非整数阶的微积分称之为“分数阶微积分”或“分数阶演算”是一种不严格的命名，其中的“分数”是一个不准确的归类。因为指数v可以被推广到有理分数、无理数甚至复数，所以从严格数学意义上讲，它应该被称为“非整数阶微积分”或“非整数阶演算”。但是由于历史的原因，“分数阶微积分”或“分数阶演算”的命名己经成为习惯用法。
分数阶微积分的概念虽然早就提出来了，但是由于对分数阶微分方程的求解缺乏相应的数学工具，所以它在工程中的应用一直到上世纪后期才有研究。实际系统中有许多是分数阶的而不是整数阶的，之所以将它们作为整数阶系统来考虑是由于其复杂性。然而随着分数阶微积分理论的发展，对于分数阶微积分在实际系统中的应用开始了研究。
分数阶微积分是一个古老而新鲜的概念。早在整数阶微积分创立的初期，就有一些数学家，如L‘hospital、Leibniz等开始考虑它的含义。然而，由于缺乏应用背景支撑等多方面的原因，它长期以来并没有得到较多的关注和研究。随着自然科学和社会科学的发展、复杂工程应用需求的增加，尤其是20世纪七八十年代以来对分形和各种复杂系统的深入研究，分数阶微积分理论及其应用开始受到广泛关注。
进入21世纪以来，分数阶微积分建模方法和理论在高能物理、反常扩散、复杂粘弹性材料力学本构关系、系统控制、流变性、地球物理、生物医学工程、经济学等诸多领域有了若干非常成功的应用，凸显了其独特优势和不可代替性，其理论和应用研究在国际上已成为一个热点。近年来分数阶微积分被广泛的应用于反常扩散、信号处理与控制、流体力学、图像处理、软物质研究、地震分析、粘弹性阻尼器、电力分形网络、分数阶正弦振荡器、分形理论、分数阶PID控制器设计。但是由于分数阶微积分具有历史依赖性与全域相关性，增加了分数阶导数方程的数值计算复杂性。特别是在信息科学领域中，一些新颖的应用被相继地实现，如系统建模、曲线拟合、信号滤波、模式识别、图像边界提取、系统辨识、系统稳定性分析等等。
分数阶微积分的非局域性质，导致分数阶导数控制方程数值模拟的计算量和存储量随问题规模的增大而增加得比相应整数阶方程快得多，一些计算整数阶方程十分有效的数值方法对分数阶方程也完全失效。而且，目前大多数的分数阶微积分方程模型还是唯象模型，其内在的物理和力学机理还不是很清楚，有待进一步的深入研究。同时一些学者提出的短期记忆方法只对很少一些情况有效，并不具有普适性。因而长时间历程问题的解决任重道远。⑵在原有算法基础上开发出时间－空间混合的分数阶导数方程的算法和软件。一种数学工具要在工程中有广泛的应用，那么就必须有成熟的算法与软件，像有限元的计算模拟软件就有很多，所以有限元才能在工程界有如此广泛的应用。⑶分数阶导数的定义还不完善，现在分数阶导数的定义有多种，至今还没有一个完善到大多数学者能够接受的定义。
1 分数阶微分的基本理论
1.1 分数阶微分
目前通常使用的分数阶微积分记法是：
如果对于自变量为 x 的函数 y = f ( x)，自变量取值范围为( a , b )区间，在该区间上，对函数 f ( x )的v 阶分数阶微积分记为：
()()
()v v
a b
D f x f x =
其中微积分阶次v 是分数，若 v > 0,v ∈ R 则称为分数阶微分。如果v< 0, 则称为分数
阶积分。
对于连续函数()y f t =,依据整数阶导数的定义，它的一阶导数定义为： ()()lim h o f t f t h df
f dt h
→--'=
= （1.1） 依据相同的定义，可以推出二阶导数的定义式：
()()()220lim h f t f t h f
f t t h
→''--?''==?
()()()()021lim
h f t f t h f t h f t h h h h →-----??
=-????
()()()
2
22lim
h f t f t h f t h h
→--+-= （1.2） 根据（1.1）和（1.2）我们得知：
()()()()()333
03323lim h f t f t h f t h f t h d f
f t dt h →--+---'''==
更一般的，n 阶导数的一般定义可以记为：
()
()
()()()00
1lim 1r
n n
n n r
n n
h r d f f
t f t rh dt h →===--∑，
其中
()n r
为二项式系数，
(
)()()()
!
12...1n r
n n n n r r
---+=
， 现在，让我们考虑一般化分数阶在表达式中的情况：
()
()()
()()11n
r
p p h
r
p
r o
f t f t rh h
==--∑
公式中：p,n 是两个任意的整数。 显然对于p ≤n,我们有 ()
()()
()0
lim p p p h
p h d f
f t f
t dt
→=
=，因为在这种情况下，开始的分
子中所有的系数在p 之后都等于零。
让我们考虑p 为负值的情况。为方便起见，我们定义为：
()()()()!lim 12...t
N N N t t t t t N →∞??Γ=??+++??
因此我们有
()()()()!
1...11r
p
p
r r p p p r r
------+??-=
=?? 如果用-p 代替p 可以写作：
()()()()11
1!
p t a
t f d p τττ---?， 其中p 是一个正整数。
如果n 是一个固定的数，那么当h →0时，()
()p h f t -的极限趋近于零。当时，为了渠
到一个非零的极限，我们必须假设n →∞，我们可以令h=(t-a)/n ，其中a 是一个实常
数，并且考虑到()
()p h
f t -的极限可能为无限或有限值，我们可以表示为：
()()()0
lim p p h a t h f t D f t --→=
我们可以推导出一般的表达式为：
()p a
t
D f t -=0
lim h →()n
p
p
r
r o
h
f t rh =??-?
?∑
=()()()()11
1!
p t a t f d p τττ---? 1.2分数阶微积分的定义
当分数阶微积分阶次v 取自然数n 时(n ∈ Z)，即v = n 时，表示为通常意义下的整数阶微分；v = ? n 时表示整数阶积分。由此可见，分数阶微积分是整数阶微积分的推广，整数阶微积分可以看成是分数阶微积分的特例。
在分数阶微积分理论发展过程中，出现了很多种函数的分数阶微积分的定义，如由整数阶微积分直接扩展而来的 Cauchy 积分公式，Grünwald-Letnikov 分数阶微积分定义、Riemann-Liouville 分数阶微积分定义以及 Caputo 定义等。
关于分数阶导数的定义，许多数学家各自从不同角度入手，给分数阶导数分别以不同的定义。其定义的合理性与科学性已在实践中得以检验。这个数学分支的发展已在实际问题中，得到了广泛的应用。本文这部分重点将分析各种不同的定义，也说明各种定义之间的区别与联系。
1.2.1 Cauchy 积分公式
该公式由整数积分直接扩展而来
()()()
()
112v v c v f D f t d j t ττπτ+Γ+=
-? 其中c 为包含()f t 单值和解析开区域的光滑曲线， Γ (v + 1)为 Gamma 函数，它也是第二类欧拉积分，在分数阶微积分的运算中有着非常重要的作用。完全的Γ函数是以
Euler 极限的形式给出，如下面所示：
()()()()!lim 12...t
N N N t t t t t N →∞??Γ=??+++??
常用的Γ函数的形式是积分变换形式： ()10
t y
t y e dy ∞
--Γ=
? 1.2.2 Grunwald-Letnikov 分数阶微积分定义
()p
a t
D
f t -=0
lim h →()n
p
p
r
r o
h
f t rh =??-?
?∑
1.2.3 Riemann-Liouville 分数阶微积分定义
()p
a t
D f t -=()()()1
1t
a
t f d p ατττ--Γ? 0 <α< 1，且α为初值，特别地，D 左右侧的下标分别表示积分的下、上界限。 还可以定义出分数阶微分，假设分数阶 n ? 1< α≤ n ，则定义其分数阶微分为
()()()()()
()()11t n n
n a t a t n n n
a f d d
D f t D f t f dt n dt t αα
ατταα---+????==????Γ--????
?
1.2.4 Caputo 分数阶微分定义
()()()()
1001
1m t
t v f D f d v t α
ττττ+=Γ--? 其中m v α=+，m 为整数，0 < v< 1。类似地，Caputo 分数阶积分定义为
()()()()
0101t
r
t v y D y t d v t τττ+=Γ--?，v <0 对很广一类实际函数来说，Grunwald-Letnikov 分数阶微积分定义及 Riemann-Liouville 分数阶微积分定义是完全等效的，
1.3 分数阶微积分的性质
对上述所有分数阶微积分的定义形式，都有如下几条共同性质: (1) 解析函数()f t 的分数阶()0t D f t α导数对t 和α都是解析的。
(2) α=n 为整数时，分数阶微分与整数阶微分与整数阶微分的值完全一样，且
()00t D f t =()f t 。
(3) ()()
11x u u x
a t
x D t t x u -Γ+=Γ-+，1x u m ≤-≤为整数时，()x u D t =0 .
(4) 分数阶微积分算子是线性的，亦即对任意常数 x,y ，有
()()()()0
00t t t D xf t yg t x D f t y D g t ααα
+=+???? .
（5） 分数阶微积分算子满足交换律
()()()00000t t t t t D D f t D D f t D f t αββαβα
+????==????
. （6） 当N>0且N 为整数，u 为分数时
()()0
00N u N u t t t D f t D D f t += .
（7）()0,1u ∈，且u N λ+=，*N N ∈，则
()()()0
000,u N t t t N D D f t D f t Q t N λ=+- .
证明：
（2）当α=n 为整数时，明显可得分数阶微分与整数阶微分与整数阶微分的值完全一样；()0
0t D f t 相当于整数阶微积分，也就相当于没有做运算，所以依然等于()f t ，（也
可根据定义式带入求解）.
（3） ()
x
u D
t ()()
()
1
1m x m t
u
d t t tz tz dz m x dt --??=- ?Γ-??? ，
()()
1
1m x m t
u d t y y dy m x dt --??=- ?Γ-??
?，
()()11,m
m x u
d t B u m x m x dt -+??=+- ?Γ-??
(u 1)(u x 1)u x t -Γ+=
Γ-+ 1;y m x m z t ??
-<≤= ???
.
（4）由()0t D f t α的微分算子是线性的，即有
()()0
t D xf t yg t α+????=()()00t t D xf t D yg t αα
+????????
=()()00t t x D f t y D g t αα+ . （5）由定义易得知.
（6）令v m u =-且m 为大于v 的最小整数则
()()000N u N m v
t t t D f t D D f t ++-??=??
()()()0
000000N u N m v N m v
t t t t t t t D D f t D D D f t D D f t -+-??==?? ，
即证.
（7） ()()
()00000N u u N t t t t t
D D f t D D D f t λλ--=
(
)
()()0000,N u N u t t t t N D D D f t D Q t N N λλ--=+--
()
()()0000,N u N u
t t t t N D D D f t D Q t λλ--=+-
(
)
(
)
()()0000,N N N u t t
t t N D D D f t D Q t λλλ---=+-
()()()()0000,0,N u N t t t N t N D f t D D Q t D f t Q t N λ=+=+-.
1.4 各种定义之间的联系与区别
从最初提出分数阶微积分的概念开始，许多数学家从不同的分析角度入手，结合实际问题的应用，分别给出了分数阶微积分的不同定义，这就是目前对于分数阶微积分存在多个运算定义的原因。在这众多的定义之间，存在着一定的区别和联系，或者在某些条件下它们之间可以进行相互转换。目前最为常用的分数阶微积分定义应当是 Riemann-Liouville 分数阶微积分定义。
用Grunwald-Letnikov 分数阶导数定义分数阶向后分差2是不方便的。计算得到的表达式中因为有整数的原因，所以表面上看是比较好一些；单对于非整数的情况显然不适合计
算。因为其表达式中所要求的函数必须是m 次以上连续可微，其所能表达的分数阶导数的定义也包含在Riemann-Liouville 分数阶微积分定时的使用情况之中。因此，
()()
()1m t
m p
p
a t a
d D f t t f d dt τττ+-??=- ?
??
?
()()()()()1
1()11p k
k t
m
m p m k a
f a t a t f p k p k ττ-+-+=-=
+-Γ-++Γ-++∑
? ()(),1p a t D f t m p m =≤<+
因此，如果我们考虑函数()f t ，当t>0时，才在m+1阶可微且连续，那么Grunwald-Letnikov 分数阶导数定义：
()
()()()()00
1lim
1r
n n
n n r
n n h r d f f
t f t rh dt
h →===--∑
又因为 ()p
a t
D f t -=0lim h →()n
p p r
r o
h f t rh =??-??∑=()()()()11
1!p t a t f d p τττ---? 由 ()()1(n 1)(n 2)...21!n n n Γ+=--?Γ=，可得
()p
a t D f t =()(
)()00
1
lim 1r
n
n r
n
h r f t rh h
→=--∑=()()()11t
a
t f d p ατττ--Γ?
由上式可知，对于整数阶微积分运算，即微积分阶次v = n ∈ Z 时，Riemann-Liouville(R-L) 定义与 Grünwald-Letnikov(G-L) 定义计算所得到的结果一致。对于运算阶次为分数阶 v ( n ? 1 < v < n)时，在假设函数 f ( x )满足具有 m+ 1阶连续导数，并且m 至少取 m = n? 1的条件下，Grünwald-Letnikov 定义与 Riemann-Liouville 定义等价。但他们在相当广的一类函数中还是相等的，Riemann-Liouville 分数阶微积分定义是Grunwald-Letnikov 分数阶微积分定义的推广
而Caputo 分数阶微分定义：
()a t D f t α
=()()()
1
1
n t
n a f d n t αττατ-+Γ--? （[]1,1,n n n t ααα=+-<≤>），式子中n 为大于a 的最小正整数：()n
f
τ为函数
()f τ的n 阶导数。将其与Riemann-Liouville 分数阶定义相比，Caputo 定义将函数的整数
阶导数的运算转移到了积分内部，改为对τ的求导，运用分部积分公式，可以转变为如下形式：
()()()()()
11n
t
a t n a f d D f t n t α
αττατ-+=Γ--?
(
)
()()()
()()()
()1111n a
n t
n n a
f a t a t f d n n αττταα--+-=
+-Γ-+Γ-+? 其式子的右端第一项为整数阶导数的初始条件，这在某一方面就增加了定义式的适用性。因此它在物理学的流体学和力学中对于问题的求解相比其他定义而言比较方便。当
n α→时，及分数阶导数靠近整数阶导数：
()lim a t n
D f t α
α→(
)
()()
()
()()()
()11lim
11n a
n t
n n n
a
f a t a t f d n n ααττταα--+→-=+-Γ-+Γ-+? ()
()()()1t
n n a
f
a f d ττ+=+?
()
()n f
t = （n 为自然数）
比较Caputo 定义式子与Riemann-Liouville 定义式，两式的区别在于对微分与积分顺序
的不同，前面是积分在内而后面则是积分在外。从对函数的要求来看，Caputo 定义式的更严格，它需要函数n 阶可微。与Grunwald-Letnikov 定义扩展到Riemann-Liouville 定义的思维方式相似，Caputo 定义也是对Grunwald-Letnikov 定义的另一种改进。对于函数的正的非整数阶导数，先进行阶导数，再进行阶积分。前者对常数的求导是有界的(为 0)，而后者求导是无界的，Caputo 定义更适用于分数阶微分方程初值问题的描述。
Caputo 定义式最主要的优点是分数阶微分方程的初始条件，对Caputo 定义采取了与整数阶微分方程一样的形式，加强了在端点值时的限制。
1.5 一些初等函数的分数阶微积分
（i ）常数C 的分数阶微积分：
()()1001x
m p p
x
m dm D C x t Cdt m p dx --??=-? ?Γ-???()1m p m dm C
x m p dx m p
-??= ?
Γ--?? ()
,(m 1p m)1p
Cx p -=-<<Γ-
(ii) 指数函数e λx 的分数阶微积分:
()()1
1,(0)x
p p x t p x x
D e x t e dt e p λλλλλ---∞-∞
=-?=>Γ-? (iii) (A)正弦函数sin x λ的分数阶微积分:
()()11sin sin t sin ,(0,p 1)2x
p p p
x
D x x t dt x p p πλλλλλ---∞-∞??=-?=+>>- ?Γ-?
?? (B)余弦函数cos x λ的分数阶微积分:
()()11cos cos t cos ,(0,p 1)2x
p p p
x
D x x t dt x p p πλλλλλ---∞-∞??=-?=+>>- ?Γ-?
?? 明显，当上面几个式子中的p 为整数时，其积分结果可验证与整数阶微积分结果相同，只是积分的下界不一致。表1-5-1是一些函数半阶导数和半阶积分
1.6 分数阶微积分的物理意义
对于整数阶微积分理论而言，有着明确的物理意义与几何意义解释，然而对于分数阶微积分，目前仍然没能找到一种明确的物理与几何解释。
分数阶微积分缺少物理与几何意义的解释这个问题从一开始就被人们所注意，直到1974 年在美国 New Haven 召开的第一届分数阶微积分国际会议上再次被人们提出，随后的多次国际会议也被提出进行讨论，仍然没能得到满意的结果。许多科学家分别从不同的角度，对该问题进行了深入探讨研究，取得了众多的研究结果，对于分数阶微积分的物理与几何意义做出了部分解释。但是多数解释是从一些分数阶微积分特例中得到，普适性不强，并不能很好地完全解释分数阶微积分的物理意义与几何意义。该问题仍然是一个亟待解决的富有挑战性的问题。
以下将介绍一种关于分数阶微积分物理意义与几何意义解释，该观点是Igor Podlubny 教授在 2001 年提出的。其解释是基于多种分数阶微积分定义所做出，其中也包括了Riemann-Liouville 分数阶微积分的定义，这里对该观点进行简单阐述。
首先介绍两个不同的时间的概念：个人时间τ 和宇宙时间T 。宇宙时间是均匀的、等间隔的流逝的时间，也叫做绝对时间，记为T ，个人时间τ 是非均匀的时间。两种时间表示可以如图所示：
（i）绝对时间T
（ii）个人时间τ
上图为两种时间示意图，图（i）为绝对时间，其每个时间间隔都是均匀的，等间隔流失的。图（ii）为个人时间，明显可看出每个时间间隔是非均匀的。
可以这样理解，如果有某个观测者甲对一运动物体进行观测，他使用时钟进行记时，但是这个时钟由于某种故障而越走越慢，每个时间间隔都比上一个时间间隔要长，那么观测者甲拥有一个自己并不知道的错误的计时时间τ。另一个观测者乙同样对该运动的物体
进行观测，但是他的时间是宇宙时间T ，每个时间间隔都是均匀的。两个时间的转换关系为()T g τ=。
设观测者 甲(拥有个人时间τ)对运动物体测出的速度为()u τ ，那么他将测出该运动物体运行的距离为：
()()0
t
A S t u d ττ=?
那么，对于同一个运动物体，观测者乙(拥有宇宙时间T )测出的该物体运动的距离为：
()()()()0
t
B S t u d g ττ=?
实际上，该运动物体运动的距离应该是观测者B 测量出来的距离，即()B S t
另外，考虑分数阶微积分的 Riemann-Liouville 分数阶积分定义：
()()()()()()()1
00
1t
t
p p
t D f t f t d f d g p τττττ-=-=Γ?? （1.6.1） 如果将式中的函数 看作物体运动的速度，绝对时间T 与个人时间τ满足关系 T = ()g τ如式（1.6.1）所示中的函数()f
τ看作物体运动的速度()u τ，绝对时间T 与个人时间τ 满足
关系()T g τ=如式(1.6.1)所示。则 Riemann-Liouville 定义下的分数阶积分运算其物理意义就是：在个人时间测度τ上，所观测的运动物体以速度()f
τ 实际走过的距离 ，记为：
()()0p B t S t D f t =
类似地对分数阶微分运算分析其物理意义，同样使用 Riemann-Liouville 分数阶微分定义。根据物体的运动速度是该物体移动距离的一阶导数关系，可得：
()()()()()100p p B B B t t d d
u t S t S t D f t D f t dt dt
-'====
也就是说，观测者乙测量到物体的速度()B u t 就是函数()f t 的()1p -阶Riemann-Liouville 微分。这就是 Riemann-Liouville 定义下的分数阶微分运算的物理解释。
1.7 分数阶微积分在自然中的存在
分数阶微积分现象在自然界中是存在的，比如生物的神经电脉冲信号等。能否找到自
然界中的某种物质或材料，或者通过实际的电子电路实现分数阶微积分，一直是众多科研工作者研究的问题。能否在自然界中找到一种材料或器件，它的某种电气或物理特性与分数阶微积分特性相同，这样就可以利用该物质的这一特性进行分数阶微积分的有效运算，从而避免了较为繁琐的模拟或数字电路实现。另一方面，如果该材料存在，那么也能证明分数阶微积分确实蕴含在自然界中，人们有必要对分数阶微积分的独特特性进行深入研究和认识。如果自然界中确实存在着具有分数阶微积分特性的材料，那么同时也肯定了分数
阶微积分的存在，其性质不同于通常的整数阶微积分特性，如果此时仍使用整数阶微积分特性进行分析，是达不到预期效果的。
2 分数阶微分的应用
分数阶导数在很多领域都有应用，下面拿与生活联系比较紧密的气候研究、医学图像处理、地震分析为例进行进一步地阐述与说明。
2.1 医学图像处理
医学图像一般是指为了清楚地看到病人内部的局部器官病变情况而通过一定的设备仪器得到的图片，例如CT 、B 超等图片。由于设备，技术等方面的原因，得到的医学图像有可能模糊不清。图像的不清晰对临床诊断带来很大的麻烦。所以要考虑怎样处理，可以得到更清晰的医学图像。由于分数阶微分的阶数是可以连续变化的，因此在图像处理的过程中可以通过调节微分算子的阶数，在适当增加高频信息的同时又保留一定的低频信息以达到图像增强的目的，这是整数阶微分算子不能实现的。
图像增强的方法分为两大类：空域增强法和频域增强法。空域增强法是对图像的像素直接进行处理。频域增强法主要是将图像在频域里进行图像平滑和锐化滤波等，然后进行反变换以达到图像增强的方法。目前图像增强的算法主要有：直方图均衡化，直方图规定化，直方图映射变换灰度变换，邻域平均法，低通滤波法，多图像平均法，高通滤波法，微分锐化法和同态图像增强法。文中用的图像增强的方法属于空域中的微分增强法。
从前面知道分数阶导数的G-L 定义如式(1)。将一元函数的持续期按等间隔等分，由此可以推导出一元函数分数阶微分的差分表达式：
()()()()()()()112
2!a a
d f t a a f t f t a f t dt -+-≈+--+-+…()()
()1!1a f t n n a n Γ-++-Γ-++ 将一元的分数阶微积分的表达式推到二元函数，令二元函数的分数阶微积分的表达式在x 方向和y 方向的形式如下：
()()()()()()1,1,2,2a a
a a f
f x y a f x y f x y x δδ-+-≈+--+- ()()()()()()1,,1,12
a a a a f
f x y a f x y f x y x δδ-+-≈+--+- 如此，由此式，可以得到作用到二维图像上的分数阶微积分在x,y 方向的模板。为了可以简化运算，使得掩模操作更加方便，可以将x,y 方向的模板叠加在一起，并且从模板中可看出，x,y 的作用中心点并不一致，可以将作用点选作为模板中心，然后又考虑到倾斜方向上其他因素的影响，可以加上适当的系数，得到了新的微分模板。同此也可以得到分数阶积分的模板，显然a 的值便变为负数。
为了使处理之后的每个像素的灰度值不变化，一边保持原本图像的大概包络，将模板中的每个系数都除以4+22
a -6a 。
用模板对已有的图像进行滤波处理，令m(p,q)为模板中方位为（p ，q ）的元素，f
（x,y ）是模板作用于图像的中心像素，f （x+p,y+q ）是离中心f （x,y ）距离（p ，q ）的点，将得到模板的映射规则：()()()11
11
,,,a
p q D
x y m p q f x p y q =-=-=++∑∑
移动模板，使其可以作用到图片中的每一个元素，到达曾强图像的目的。当元素距离图片边缘小于两个点位的距离时，模板不能完全的覆盖到图片上，此时将其忽略，可以不进行运算。
采用的微分阶数都是正数，，图像的细节和边缘就变得更明显，原图比较模糊的地方得到了明显的改善，但是在当阶数大到一定程度时就会出现明显的锐化现象，图像质反而降低。由此可以看出，文中设计的微分增强掩模在阶数0.2—0.6时，增强效果比较明显。当微分阶数为负数的时候，设计的掩模就可以看成是积分掩模，其对图像具有平滑去噪的效果，当获得的图像具有一定噪声的时候，就可以通过对负阶数的选取，从而得到去噪后的图像。
下面分别运用空间滤波的分数阶微分算子(阶数=0．5)、巴特沃斯算子、拉普拉斯算子对人脑的CT 图像进行增强，结果如图3所示。从图中的比较可以看出，经过拉普拉斯算子处理过的图像出现了明显的锐化现象，经过巴特沃斯滤波后图像增强效果并不理想，而通过设计的掩模对图像处理后明显对细节进行了加强，同时，可以根据不同需求，调节分数阶微分阶数以得到符合医学上面需要的图片。分数阶微分掩模有很好的图像增强功能，同时可以通过改变微分的阶数，来适当增强高频信息的同时保留一定的低频信息以满足不同的要求，需要注意的是，当微分阶数过大时将会出现明显的锐化现象。与其它空间滤波算子的效果比较，可以看出，分数阶微分算子弥补了传统图像增强算子不能通过改变参数来得到连续变化的增强效果。当微分阶数为负数时，分数阶微分算子就成了分数阶积分算子，也可以通过调节积分阶数，以得到平滑效果不同的平滑图像，因此，该算子可以将分数阶微分和积分进行统一，在结构简单的同时也具有很强的灵活性。同时作为一个新兴的图像处理方法，分数阶微积分还具有更大的发展空间。
2.2 天气和气候的研究
我们都知道没有一天天气是一样的，而气候的预测也不可能提到日程上来研究。这说明天气和气候的研究是比较困难的。天气和气候虽然遵从流体力学规律，但是却显示出随机性，研究天气和气候之间的关系必须引入分数阶的导数和积分，从物理上讲不外乎说明天气和气候的随机程度是不相同的。为此提出气候的q (0 ≤q ≤1） 阶微商是天气。此时引入天气和气候之间的桥梁——分数阶导数，这为天气与气候的研究带来很大的方便。
现在从分数阶微分基本定义出发，可以作用于二维医学图像的分数阶微分掩模，掩模可以根据对图像的需求进行增强。通过实验证明，这个方法可以有效完成对医学图像的处理,并且弥补了传统方法不能连续改变处理效果的缺点，是一种简单可行并且效果较好的图像增强方法。
2.3地震奇异性分析
我们知道传统的地震解释主要是观测地震资料的振幅及相位的变化，而振幅往往并不能反映真实的地质情况。地震界面可能是岩性分界面也可能是岩性过渡带，岩性过渡带的地震反射波是入射波的分数阶导数。
因此我们将分数阶导数引入地震属性计算中，构建一种对波形敏感而对振幅变化不敏感的新属性——奇异性，用以刻画反射界面的横向变化。
方法的基本原理是首先计算地震子波的不同分数阶导数，然后利用匹配追踪算法将地震数据分解成地震子波的不同分数阶导数，进而获得反射波同相轴的分数阶。对胜利油田某区块实际二维地震资料进行了试处理，结果表明分数阶导数剖面能很好地描述不整合面，反映实际界面的横向变化。
参考文献
[1] 陈遵德, 陈富贵，《非整数阶微积分的滤波特性及数值算法.数值计算与计算机应用》
[J]，1999
[2] 王竹溪，郭敦仁, 《特殊函数概论》[M]，北京，北京大学出版社, 2000
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[5] 段俊生，天津轻工业学院学报，《含 Caputo 分数阶导数的分数阶微分方程》[J]，
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程科学版)，2004
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[10] Vinagre B M and YangQuan Chen, Fractional calculus applications in automatic control and robotics, Las Vegas, 41st IEEE CDC, Tutorial workshop 2, 2002
致谢
本文是在陈老师精心指导和大力支持下完成的。陈娜老师以其严谨求实的治学态度、高度的敬业精神、兢兢业业、孜孜以求的工作作风和大胆创新的进取精神对我产生重要影响。她渊博的知识、开阔的视野和敏锐的思维给了我深深的启迪。同时，在此次毕业论文设计过程中我也学到了许多的关于分数阶微积分方面的知识，视野得到了极大的开阔。同时我还要感谢我们班的同学，是他们的督促与指导给了我好大的动力。
另外，我还要特别感谢学校为我完成这篇论文提供了巨大的帮助，使我得以顺利完成论文。最后，再次对关心、帮助我的老师和同学表示衷心地感谢
湖北大学本科毕业论文（设计）外文翻译
微积分在现实中的应用
微积分的应用 微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近",好像一个事物始终在变化你不好研究,但通过微元分割成一小块一小块,那就可以认为是常量处理,最终加起来就行。微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。 微积分建立之初的应用：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。 微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛
的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。 微积分作为一种实用性很强的数学方法和根据，在数学发展中的地位是十分重要的。例如，微分可以解决近似计算问题。比如：求sin29°的近似值，求不规则图形面积或几何体体积的近似值等。通过微积分求极限、利用微分中值定理，能够及时的放缩多项式，有利于不等式的化简和证明。极限求和、导数求和、积分求和也都是解决求数列前n项和的好方法。其次，数理化不分家。而且微积分在不等式中也有很大的运用，我们可以运用微积分中值定理，泰勒公式，函数的单调性，极值，最值，凸函数法等来证明不等式。在物理问题上，通过解微分方程研究物体运动问题、气体问题、电路问题也是非常普遍的。已知位移——时间函数计算速度，已知速度——时间函数计算加速度（即生活中交通管理方面的应用）；运动学中的曲线轨迹求解（即生活中在篮球投篮训练中的应用）；求不规则物体的重心；力学工程中计算变力和非恒力做功等等。在化学领域，用气相色谱仪和液相色谱仪做样品化学成分分析时，我们得到的并不是直观的数字结果，而是一张色谱图。色谱图是由一个一个的峰组成的，而我们进行定量计算的根据，就是这些峰的面积。而求这些峰的面积，就需要用到积分。现在的仪器里都集成了自动积分仪，只要选定某一个峰，它就能把积分计算出来。最终得到的成分含量就是基于积分原理计算出来的 微积分的应用不仅仅遍及各个学科，也渗透到了社会的各个行业，甚至深入人们日常生活和工作。利用微积分进行边际分析（经济函数的
微积分在实际中的应用
微积分在实际中的应用 一、微积分的发明历程 如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。微积分是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，“无限细分”就是微分，“无限求合”就是积分。微分学包括求导的运算，是一套关于变化的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可以用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念、求面积的无限小方法、积分与微分的互逆关系。前两阶段的工作，欧洲及中国的大批数学家都做出了各自的贡献。 从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分枝还是牛顿和莱布尼茨。 二、微积分的思想 从微积分成为一门学科来说，是在17世纪，但是，微分和积分的思想早在古代就已经产生了。公元前3世纪，古希腊的数学家、力学家阿基米德（公元前287~前212）的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有微积分的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。作为微积分的基础极限理论来说，早在我国的古代就有非常详尽的论述， 与此同时，战国时期庄子在《庄子·天下篇》中说“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，体现了无限可分性及极限思想。公元3世纪,刘徽在《九章算术》中
分数阶微分方程-课件
分数阶微分方程 第三讲分数阶微分方程基本理论 一、分数阶微分方程的出现背景及研究现状 1、出现背景 分数阶微积分是关于任意阶微分和积分的理论，它与整数阶微积分是统一的，是整数阶微积分的推广。 整数阶微积分作为描述经典物理及相关学科理论的解析数学工具已为人们普遍接受，很多问题的数学模型最终都可以归结为整数阶微分方程的定解问题，其无论在理论分析还是数值求解方面都已有较完善的理论。但当人们进入到复杂系统和复杂现象的研究时，经典整数阶微积分方程对这些系统的描述将遇到以下问题： （1）需要构造非线性方程，并引入一些人为的经验参数和与实际不符的假设条件； （2）因材料或外界条件的微小改变就需要构造新的模型； （3）这些非线性模型无论是理论求解还是数值求解都非常繁琐。 基于以上原因，人们迫切期待着有一种可用的数学工具和可依据的基本原理来对这些复杂系统进行建模。分数阶微积分方程非常适合于刻画具有记忆和遗传性质的材料和过程，其对复杂系统的描述具有建模简单、参数物理意义清楚、描述准确等优势，因而成为复杂力学与物理过程数学建模的重要工具之一。 2、研究现状 在近三个世纪里，对分数阶微积分理论的研究主要在数学的纯理论领域里进行，似乎它只对数学家们有用。然而在近几十年来，分数阶微分方程越来越多的被用来描述光学和热学系统、流变学及材料和力学系统、信号处理和系统识别、控制和机器人及其他应用领域中的问题。分数阶微积分理论也受到越来越多的国内外学者的广泛关注，特别是从实际问题抽象出来的分数阶微分方程成为很多数学工作者的研究热点。随着分数阶微分方程在越来越多的科学领域里出现，无论对分数阶微分方程的理论分析还是数值计算的研究都显得尤为迫切。然而由于分数阶微分是拟微分算子，它的保记忆性（非局部性）对现实问题进行了优美刻画的同时，也给我们的分析和计算造成很大困难。 在理论研究方面，几乎所有结果全都假定了满足李氏条件，而且证明方法也和经典微积分方程一样，换句话说，这些工作基本上可以说只是经典微积分方程理论的一个延拓。对分数阶微分方程的定性分析很少有系统性的结果，大多只是给出了一些非常特殊的方程的求解，且常用的求解方法都是具有局限性的。 在数值求解方面，现有分数阶方程数值算法还很不成熟，主要表现为： （1）在数值计算中一些挑战性难题仍未得到彻底解决，如长时间历程的计算和大空间域的计算等； （2）成熟的数值算法比较少，现在研究较多的算法主要集中在有限差分方法与有限单元法； （3）未形成成熟的数值计算软件，严重滞后于应用的需要。
高等数学在实际生活中的应用
高等数学在实际生活中的应用 在学习高数之前，总是听学长、学姐提起，高数十分难学，我对高数的印象一直都是：高数是一门特别难、特别高深的学科。但在学习了高等数学之后，我发现了数学的美，同时我发现在实际生活中也时常可以看高数的身影。 高等数学在实际生活中的应用十分广泛，而且也特别有趣。我就简单的举几个生活中常见的，我所发现的高等数学在生活中的运用的例子分析一下。 首先，我发现在支付宝当中，有一个小功能，叫做蚂蚁森林，这个功能是模拟出了一颗树苗，当人们在生活中做出了一些绿色、低碳的行为时，对用户发放绿色能量进行奖励，当用户的绿色能量积累到一定的值时，支付宝模拟出的小树苗就会长成一颗大树，用户可以通过兑换，将这颗模拟出来的小树（电子数据）兑换成为一颗真实的、种植在沙漠里的树木，现在可以兑换的树木类型越来越丰富了，有梭梭树、沙柳、樟子松、胡杨树等一些树苗。 这个时候我就发现，不同的地区的树苗不尽相同，而且，肯定不同的树木类型各自的水土保持能力也不尽相同，因此，在什么地区选择什么样的树木类型、分别种植在哪里，可以起到最好的水土保持功能以及，每平方米需要种植几颗树苗，我相信，这些问题都离不开高等数学进行周密的计算。 首先，我们需要认真计算防护林需要种植多大面积、到底种植在哪里可以起到最佳的水土保持作用，我们需要了解到风沙的源地与我
们需要保护的地区的距离，同时量化考虑风沙的强度，将不同的树苗类型的水土保持力以及他们的防风沙能力量化考虑。我们所了解到的资料很少，因此只能做一下简单的模型的建立，以及一些较为简单的分析。当然，这只是我的个人想法，很不成熟，也很可能有错误。我是这样考虑的，比如：我们设距离风沙源地越远，风沙程度越弱，当风沙强度吹到我们所居住的地区时即为0，风沙的总强度为F，风沙源地与我们所居住地区的距离为f。因此可以得出结论，距离风沙源地越远，所需要的防护林面积就越小，设防护林种植地与风沙源地之间的距离为x，设所需要的防护林面积为y，同时将不同的树苗类型的水土保持能力量化：当种植了梭梭树之后，其每平米的水土保持力即可以阻挡的风沙的程度为a，沙柳为b，樟子松为c，胡杨树则为d。这时我们可以相应的依据量化关系列出一个方程式来：y=（F - F/f*x）/a（其中的a是指当所种的防护林是梭梭树时的方程式，相应的，当我们分析的是其他的树木，沙柳、樟子松以及胡杨树等，我们则可以将a替换为b、c以及d）。 根据上述所列的方程式，当我们了解了各种类型的树木的水土保持能力以及他们的防风沙的能力时，我们可以代入上述的方程式中进行计算，计算当距离风沙源地的距离不同时，所需要种植的防护林的面积也不尽相同。同时，我们可以分析得出，当x趋于无限小或者无穷大时，即防护林的种植地距离风沙源地极近或者极远时，这个方程式就转换为了一个极限问题的研究。 如果我们可以再多收集一些资料，具体了解到风沙强度与距离远
分数阶微积分发展现状及展望教学文稿
分数阶微积分发展现状及展望 在数学领域中，大体分为五种研究方向：基础数学，应用数学，计 算数学，概率论与数理统计，统计学与控制论。这五个方向对数学在当 代的发展都有不可或缺的作用。从研究内容来讲，方程、算子、群论、 图论、代数、几何等等都是数学领域重要的研究对象。作为基础数学专 业分数阶微分方程方向的博士生，本文将从分数阶微分方程的发展的历 史及现状、本人对分数阶微分方程未来发展的看法来介绍分数阶微分的 基本知识。 (一)、发展历史及现状 牛顿和莱布尼兹发明的微积分是现代数学与古典数学的分水岭。分数阶微积分是关于任意阶微分和积分的理论，它与整数阶微积分是统一的，是整数阶微积分的推广。整数阶微积分作为描述经典物理及相关学科理论的解析数学工具已为人们普遍接受，很多问题的数学模型最终都可以归结为整数阶微分方程的定解问题，其无论在理论分析还是数值求解方面都已有了比较完善的理论。但当人们进入到复杂系统和复杂现象的研究时，经典整数阶微积分方程对这些系统的描述将遇到一些问题，如：需要构造非线性方程，并引入一些人为的经验参数和与实际不符的假设条件；因材料或外界条件的微小改变就需要构造新的模型等等。基于以上原因，人们迫切期待着有一种可用的数学工具和可依据的基本原理来对这些复杂系统进行建模。分数阶微积分方程非常适合于刻画具有记忆和遗传性质的材料和过程，其对复杂系统的描述具有建模简单、参数物理意义清楚、描述准确等优势，因而成为复杂力学与物理过程数学建模的重要工具之一。 对大多数研究人员和工程师而言，分数阶微积分也许还是比较陌生的，但它实际上早在300多年前就被提出。1695年9月，洛必达 （L’Hospital）在给莱布尼兹的著名信件中就写到“对于简单的线性函数 f(x)=x，如果函数导数次数为分数而不是整数那会怎样”。这是公认的第一次提及分数阶微分。1832年，刘维尔（Liouville）成功的应用了自己提出的分数阶导数的定义，解决了势理论问题。之后刘维尔发表的一系列文 章使他成为分数阶微积分理论的实际级创始人。1974年，Oldham与Spanier出版了第一本关于分数阶微积分理论的专著。 在近三个世纪里，对分数阶微积分理论的研究主要在数学的纯理论领域里进行，但是从近几十年，分数阶微分方程越来越多的被用来描述光学和热学系统、流变学及材料和力学系统、信号处理和系统识别、控制和机器人及其他应用领域中的问题。分数阶微积分理论也受到越来越多的国内
分数阶微积分发展现状及展望讲课讲稿
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分数阶微分方程_课件
分数阶微分方程 一、 预备知识 1、 分数阶微积分经典定义回顾 作为分数阶微积分方程的基础，本书在第二章中对分数阶微积分的定义及性质做了系统的介绍，为了接下来讨论的需要，我们首先对其进行一个简要的回顾。 （1）分数阶微积分的主要思想 如上图所示，分数阶微积分的主要思想是推广经典的整数阶微积分，从而将微积分的概念延拓到整个实数轴，甚至是整个复平面。但由于延拓的方法多种多样，因而根据不同的需求人们给出了分数阶微积分的不同定义方式。然而这些定义方式不仅只能针对某些特定条件下的函数给出，而且只能满足人们的某些特定需求，迄今为止，人们仍然没能给出分数阶微积分的一个统一的定义, 这对分数阶微积分的研究与应用造成了一定的困难。 1、分数阶微分的定义 为了满足实际需要，下面我们试图从形式上对分数阶微积分给出一种统一的表达式。 分数阶微积分的主要思想是推广经典的累次微积分，所有推广方法的共同目标是以非整数参数p 取代经典微积分符号中的整数参数n ，实际上，任意的n 阶微分都可以看成是一列一阶微分的叠加： ()()n n n d f t d d d f t dt dt dt dt = （1） 由此，我们可以给出一种在很多实际应用中十分重要的分数阶微积分的推广方 式。首先，我们假设已有一种合适的推广方式来将一阶微分推广为α（01α≤≤） 阶微分，即d D dt α→是可实现的。那么类似地可得到（1）的推广式为： ()()n n D f t D D D f t αααα= （2） 这种推广方式最初是由..K S Miller 和.B Ross 提出来的，其中D α采用的是R L -分数阶微分定义，他们称之为序列分数阶微分。序列分数阶微分的其他形式可以通过将D α替换为G L -分数阶微分、Caputo 分数阶微分或其他任意形式
分数阶微积分的性质
分数阶微积分的性质 根据上述三种分数阶微积分的定义，可以得到分数阶微积分一些性质如下 [66] ： （1） 记忆属性。当t 在时刻时，函数()f t 的分数阶微分值由初始时刻到t 时 刻的所有时刻的函数值取值。 （2） 当1a t D β算子的1β是整数时，整数阶微积分和分数阶微积分二者为等 同关系，1β为任意阶时，整数阶微积分被包含在分数阶微积分内。 （3） 分数阶微积分算子1a t D β是线性的，符合线性系统中的齐次特性和迭 加特性，即对任意常数,a b 均满足： 1110 00[()()]()()t t t D af t bg t a D f t b D g t βββ+=+ （4） 解析函数()f t 分数阶导数10()t D f t β对t 和a 都是可以解析的。 2.4 分数阶系统的模型描述 实际生活中，大多数的对象的内在特性都能通过整数阶微分方程的形式来表征，比如物理特性、化学特性等。但往往存在一些特别的对象其特性无法靠整数阶微分方程精确表征，但分数阶次的微分方程刚好能考虑到整数阶次微分方程所忽略的特性，所以，用分数阶微分方程描述的系统，其内在特性反应更真实、更全面。 一个典型的单输入单输出分数阶线性系统的微分方程可用如下形式来表示： 3123 1 2 123122()()()()=()()()() m n m n a D y t a D y t a D y t a D y t b D u t b D u t b D u t b D u t ααααββββ+++++++ + （2.10） 其中,(1,2, ,),(1,2, ,)i j a i m b j n ==分别表示输出和输入相应的系数， 12m ααα<<<，12n βββ<<<分别表示输出和输入分数阶的阶次，()() u t y t 、分别表示系统的输入和输出。 结合前面的式（2.6）和式（2.10）对系统进行拉普拉斯变换，得到系统的传递函数模型为： 121 2 1212()n m n m b s b s b s G s a s a s a s βββααα++=+++ （2.11） 若(1,2, ,)i i i m αα==，(1,2, ,)i i i n ββ==，该系统可称为“同源次”分 数阶系统，则上式进一步可表示为: 11 ()n j j j m i i i b s G s a s β α === ∑∑ （2.12）
关于高等数学在实际生活中的应用
高等数学知识在实际生活中的应用 一、数学建模的应用 数学建模的一般方法是理论分析的方法，即根据客观事物本身的性质，分析因果关系，在适当的假设下用数学工具去描述其数量特征。 （一）数学建模的一般方法和步骤 （1）了解问题，明确目的。在建模前要对实际问题的背景有深刻的了解，进行全面的、深入细致的观察。明确所要解决问题的目的和要求，并按要求收集必要的数据。 （2）对问题进行简化和假设。一般地，一个问题是复杂的，涉及的方面较多，不可能考虑到所有的因素，这就要求我们在明确目的、掌握资料的基础上抓住主要矛盾，舍去一些次要因素，对问题进行适当的简化，提出几条合理的假设。不同的简化和假设，有可能得出不同的模型和结果。 （3）建立模型。在所作简化和假设的基础上，选择适当的数学理论和方法建立数学模型。在保证精度的前提下应尽量用简单的数学方法，以便推广使用。 （4）对模型进行分析、检验和修改。建立模型后，要对模型进行分析，即用解方程、推理、图解、计算机模拟、定理证明、稳定性讨论等数学的运算和证明得到数量结果，将此结果与实际问题进行比较，以验证模型的合理性。一般地，一个模型要经过反复地修改才能成功。 （5）模型的应用。用已建立的模型分析、解释已有的现象，并预测未来的发展趋势，以便给人们的决策提供参考。 归纳起来，数学建模的主要步骤可以用下面的框图来说明： 问题假设建模分析应用 检验、修改 图1 （二）数学建模的范例
例 教室的墙壁上挂着一块黑板，学生距离墙壁多远，能够看得最清楚 这个问题学生在实际中经常遇到，凭我们的实际经验，看黑板上、下边缘的视角越大，看得就会越清楚，当我们坐得离黑板越远，看黑板上、下边缘的视角就会越小，自然就看不清楚了，那么是不是坐得越近越好呢 先建立一个非常简单的模型： 模型1： 先对问题进行如下假设： 1．假设这是一个普通的教室（不是阶梯教室），黑板的上、下边缘在学生水平视线的上方a 米和b 处。 2．看黑板的清楚程度只与视角的大小有关。 设学生D 距黑板x 米，视黑板上、下边缘的的仰角分别为βα,。 由假设知： 所以，当且仅当ab x = 时，)tan(βα-最大，从而视角βα-最大。从结果我们可以 看出，最佳的座位既不在最前面，也不在最后面。坐得太远或太近，都会影响我们的视觉，这符合我们的实际情况。 下面我们在原有模型的基础上，将问题复杂一 些。 模型2：设教室是一间阶梯教室，如图所示。为了简化计算我们将阶梯面看成一个斜面，与水平线为 x 面成γ角，以黑板所在直线为y 轴，以水平轴，建立坐标系（见图）。则直线O E 的方程（除原 点）为： 若学生D 距黑板的水平距离为x ，则D 在坐标系中的坐标为)tan ,(γx x ，
我看微积分方程在实际生活中的应用
我看微积分方程在实际生活中的应用 冯天昊 （华中科技大学文华学院环境工程100205021112） 微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。微积分在实际生活中无处不在，可以说和我们的生活密切相关。微积分的应用可以体现在生活中很多不同的方面。微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学个分支中，有越来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。 首先，先介绍一下微积分。微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支，是建立在实数、函数和极限的基础上的。极限和微积分的概念可以追溯到古代。到了十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，理论基础是不牢固的。直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学个分支中，有越来越广泛的应用，特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。微积分学是微分学和积分学的总称。牛顿、莱布尼兹发明微积分以后，人们才有能力把握运动和过程。有了微积分，就有了工业革命，就有了大工业生产，也就有了现代化的社会。航天飞机、宇宙飞船等现代化交通工具都是在微积分的帮助下制造出来的。微积分在人类社会从农业文明跨入工业文明的过程中起到了决定性的作用。微积分是为了解决变量的瞬时变化率而存在的。从数学的角度讲，是研究变量在函数中的作用。从物理的角度讲，是为了解决长期困扰人们的关于速度与加速度的定义的问题。“变”这个字是微积分最大的奥义。因此，了解微积分在生活中的应用对于我们解决实际问题有很大的帮助。 微积分的基本内容研究函数，从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本方法。这种方法叫做数学分析。本来从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科，但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词，一提数学分析就知道是指微积分。微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。微积分是与应用联系着发展起来的，最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了开普勒行星运动三定律。此后，微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。 数学的价值不仅在于掌握知识，而且数字是解决生活中世纪问题的重要工具，并能促使人类智慧的进步。通过数学不断发展，改变了人们的观察能力，思维能力，分析能力以及个人素质等，以更好的思维方式知道行动，能适应当前发展迅速的新社会，新形势。本文将介个微积分在生活中的多方面应用，对微积分只是进行深入探索。 在现实生活中，我们身边的一切事物都能为数学研究提供服务，实际上，微积分本身就存在于生活中的各项事物中，只有不断深入挖掘，才能透过现象看本质，将抽象的数学付诸于具体事物中，也就是实现“具体——抽象——具体”的思维方式，以求不断进步，不断完善。 在物理中的应用： 究变力做功问题时；对于恒力做功，我们可以利用公式直接求出；但对于变力，我们不能利用公式；这种情况下，我们要借助于微积分，我们可以把位移无限细分，在每一个小位
简述微积分发展史及实际应用
微积分论文:简述微积分发展史及物理应用 陆柳洋20110266 茅7 一．摘要 牛顿、莱布尼兹发明微积分以后，人们才有能力把握运动和过程。有了微积分，就有了工业革命，就有了大工业生产，也就有了现代化的社会。航天飞机、宇宙飞船等现代化交通工具都是在微积分的帮助下制造出来的。微积分在人类社会从农业文明跨入工业文明的过程中起到了决定性的作用。 (After Newton and Leibniz invent this calculus, people are not capable of holding sports and process. Only if having the calculus, we can have the industrial revolution, and also there is a big industrial production, have a modern society. Space shuttle, the spacecraft and other modern traffic tools are in the help of calculus made out. Calculus in human society entered from agricultural civilization of industrial civilization process has played a crucial role.) 二．[关键词] 微分(differential) 积分(integral) 物理(physics) 应用(application)。 三．引言： 微积分学是微分学和积分学的总称。客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。 通过研究微积分在物理方面的具体应用，得到微积分在现实生活中的重要意义，从而能够利用微积分这一数学工具科学地解决问题。 四．微积分发展史 1、微积分学的创立 微积分作为一门学科，是在十七世纪产生的。它的主要内容包括两部分：微分学和积分学。然而早在古代微分和积分的思想就已经产生了。公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、旋转双曲体的体积等问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代就有了比较清楚的论述。如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。这些都是朴素的极限概念。 到了十七世纪，人们因面临着有许多科学问题需要解决，如研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题；求曲线的切线的问题等，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。 十七世纪的许多著名的数学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作。十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作。在创立微积分方面，莱布尼茨与牛顿功绩相当。这两位数学家在微积分学领域中的卓越贡献概括起来就是：他们总结出处理各种有关问题的一般方法,认识到求积问题与切线问题互逆的特征，并揭示出微分学与积分学之间的本质联系。两人各自建立了微积分学基本定理，并给出微积分的概念、法则、公式及其符号。有了这些理论知识作为前提为以后的微积分学的进一步发展奠定了坚实而重要的基础。微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。可以说微积分学的诞生是数学发展的一个里程碑式的事件。
高等数学在实际生活中的应用72690
高等数学知识在实际生活中的应用 （4）对模型进行分析、检验和修改。建立模型后，要对模型进行分析，即用解方程、推理、图解、计算机模拟、定理证明、稳定性讨论等数学的运算和证明得到数量结果，将此结果与实际问题进行比较，以验证模型的合理性。一般地，一个模型要经过反复地修改才能成功。 （5）模型的应用。用已建立的模型分析、解释已有的现象，并预测未来的发展趋势，以便给人们的决策提供参考。 归纳起来，数学建模的主要步骤可以用下面的框图来说明： 图1 （二）数学建模的范例 例教室的墙壁上挂着一块黑板，学生距离墙壁多远，能够看得最清楚？ 这个问题学生在实际中经常遇到，凭我们的实际经验，看黑板上、下边缘的视角越大，看得就会越清楚，当我们坐得离黑板越远，看黑板上、下边缘的视角就会越小，自然就看不清楚了，那么是不是坐得 越近越好呢？ 先建立一个非常简单的模型： 模型1： A 黑 板 a B b D C 图2.3-1
先对问题进行如下假设： 1．假设这是一个普通的教室（不是阶梯教室），黑板的上、下边缘在学生水平视线的上方a 米和b 处。 2．看黑板的清楚程度只与视角的大小有关。 设学生D 距黑板x 米，视黑板上、下边缘的的仰角分别为βα,。 由假设知： ab b a x a b x b a ab x x b a tna x b x a 2)(tan 1tan tan )tan(,tan ,tan 2-≤ + -=+-=+-=-∴= βαβαβαβα 所以，当且仅当ab x = 时，)tan(βα-最大，从而视角βα-最大。 从结果我们可以看出，最佳的座位既不在最前面，也不在最后面。坐得太远或太近，都会影响我们的视觉，这符合我们的实际情况。 下面我们在原有模型的基础上，将问题复杂一些。 模型2：设教室是一间阶梯教室，如图2.3-2所示。为了简化计算我们将阶梯面看成一个斜面，与水平面成γ角，以黑板所在直线为y 轴，以水平线为x 轴，建立坐标系（见图2.3-2）。则直线O E 的方程（除原点）为： γtan x y = )0(>x 若学生D 距黑板的水平距离为x ，则D 在坐标系中的坐标为 )tan ,(γx x ， 图2.3-2
分数阶微积分的定义
分数阶微积分的定义 分数阶微积分的研究对象是分数阶微分和分数阶积分，分数阶微积分定义是整合和统一分数阶微分和分数阶积分得到的。首先介绍常用的三种分数阶微分定义，具体为： （1）Grünwald -Letnikov 分数阶微分定义 若()f t 函数在区间[,]a t 存在1m +阶连续导数，当0α>时， m 至少取到[]α，则其次数为(1)m m αα≤<+的分数阶微分定义为： [()/] ()lim ()t a h a t i h i D f t h f t ih αα αω--→==-∑ （2.1） 其中，α表示阶次，h 为采样步长，a 表示初始时间，[]表示取整， = (-1)i i i ααω?? ??? 是多项式系数，(1)(2)(1) = ! i i i ααααα??---+ ??? ，我们可以用以下 递推公式直接求出该系数： 01+11,1,1,2,...,i i i n i α αααωωω-??==-= ??? （2.2） 进一步对式（2.1）求极限，可得到其详细定义： 0,0 ()lim ()()()1 ()()(1)(1)a t h nh t a i i m t m a i D f t h f t ih i f a t a t f d i i α α αααξξξαα-→=--+-=?? =- ??? -=+-Γ-++Γ-+∑? （2.3） 其中，()Γ?为欧拉gamma 函数，10 ()t z z e t dt ∞--Γ=?，当R α∈，上述定义也称为Grünwald -Letnikov 分数阶微积分定义。 若：()=0i f t ，,q p R ∈，则微分算子D 满足式（2.4）： （2.4） （2）Riemann -Liouville 分数阶微分定义 对于1,m m m N α-<<∈，有 11() ()()()m t a t m m a d f D f t d m dt t α αττατ-+= Γ--? （2.5） 其中，当R α∈，上述定义也称为Riemann -Liouville 分数阶微积分定义。 通常情况下，为了方便使用Riemann -Liouville 分数阶微积分定义，要对其取拉普拉斯变换，假设()F s 表示()f s 的原函数，则式（2.5）经过拉普拉斯变换 +(())()q p q p a t a t a t D D f t D f t =
基于分数阶微积分理论的软土应力_应变关系_殷德顺
第28卷 增1 岩石力学与工程学报 V ol.28 Supp.1 2009年5月 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering May ，2009 收稿日期：2007–12–21；修回日期：2008–03–24 基金项目：河海大学科技创新基金资助项目(2006407911) 作者简介：殷德顺(1972–)，男，博士，1996年毕业于河海大学工程力学专业，现任副教授，主要从事土的本构模型及基本理论方面的教学与研究工作。E-mail ：yindeshun@https://www.360docs.net/doc/9416274914.html, 基于分数阶微积分理论的软土应力–应变关系 殷德顺1，任俊娟2，和成亮1，陈 文1 (1. 河海大学 土木工程学院工程力学系，江苏 南京 210098；2. 鲁东大学 数学与信息学院，山东 烟台 264025) 摘要：利用分数阶微积分理论提出等应变率加载情况下的软土应力–应变关系。关系式显示应力–应变之间呈乘幂函数关系。通过大量的常规(等应变率加载情况下)三轴试验验证基于分数阶微积分理论的软土应力–应变关系，同一种土的分数阶阶数β 不随围压变化并能够反映土的“软硬”程度。试验发现，初始弹模与围压呈较好的线性 关系。与邓肯–张模型相比，应力–应变的乘幂关系具有明确的理论基础，这一点与邓肯–张模型纯粹基于曲线形状相似的应力–应变双曲线假设形成鲜明的区别。创新点在于将软土看作介于理想固体和理想流体之间的物质进行研究，并用分数阶微积分理论给出应力–应变关系，这在以往的研究中都没有先例。 关键词：土力学；软土；分数阶微积分；应力–应变关系；等应变率加载；邓肯–张模型 中图分类号：TU 43 文献标识码：A 文章编号：1000–6915(2009)增1–2973–07 STRESS-STAIN RELATION OF SOFT SOIL BASED ON FRACTIONAL CALCULUS OPERATORS THEORY YIN Deshun 1，REN Junjuan 2，HE Chengliang 1，CHEN Wen 1 (1. Department of Engineering Mechanics ，College of Civil Engineering ，Hohai University ，Nanjing ，Jiangsu 210098，China ； 2. Department of Mathematics and Information ，Ludong University ，Yantai ，Shandong 264025，China ) Abstract ：On the basis of the fractional calculus operator theory ，the stress-strain relation of soft soil under the condition of loading with constant strain rate is proposed. The analysis results show that stress –strain of soft soil performs exponent relation ，which can be proved by large amounts of triaxial tests(under constant strain rate). It is found that the order βof fractional calculus keeps constant to the same kind of soil and characterize soft or hard soil. The test results show that there is a linear relationship between confining pressures and initial tangent modulus. Compared with Duncan-Chang model that hypothesizes stress-strain relation is hyperbolic in response to similar shape of experimental curve ，the stress-strain relation from the fractional calculus has rigorous theoretical background. The major innovation of our researches is that the soil is considered as the matter whose behaviors are intermediate between that of the ideal solid and fluid ，and it also may be the first known application of fractional calculus in soil stress-strain relation. Key words ：soil mechanics ；soft soil ；fractional calculus ；stress-strain relationship ；loading with constant strain rate ；Duncan-Change model 1 引 言 长期以来工程界非常重视软土地基上的工程建 设，但同时，软土土质十分软弱和不稳定问题也给海岸、土木和水利等工程建设带来非常大的困惑[1 ～5] 。 改革开放以前，深厚软土广泛分布的上海仅有一条2 736 m 的越江隧道，费时7 a 建造(1965～1971)，
分数阶微积分的探讨 (2)
目录 绪论 (1) 1 分数阶微分的基本理论 (1) 1.1分数阶微积分 (2) 1.2分数阶微积分的定义 (3) 1.3分数阶微积分的性质 (5) 1.4各种定义之间的联系与区别 (6) 1.5一些初等函数的分数阶微积分 (8) 1.6分数阶微积分的物理意义 (10) 1.7分数阶微积分在自然中的存在 (11) 2 分数阶微积分的应用 (12) 2.1 医学图像处理 (12) 2.2 天气和气候的研究 (13) 2.3 地震奇异性分析 (14) 参考文献 (15) 致谢 (16)
分数阶微积分及其应用 摘要 分数阶微积分作为整数阶微积分的推广，其概念早已提出，近300年来，分数阶微积分这一重要数学分支渐成体系，它是研究分形分析的重要工具被应用于许多工程计算中。本文给出了分数阶微积分的一些性质及其推导过程，并给出一些初等函数的分数阶微积分,及其应用。 【关键词】分数阶微积分分数阶微分分数阶积分图像增强模板应用
Fractional calculus and its applications Abstract Fractional Calculus as extention of integral calculus, its concept has long been proposed, for nearly 300 years, fractional calculus of this important branch of mathematics that had gradually become the system , it is the study of fractal analysis tools are used in many engineering calculations .in his paper, some properties of the fractional calculus and the derivation process of the fractional calculus are given, Besides some elementary functions of fractional calculus and its applications. 【Key Words】Fractional Calculus Fractional derivatives Fractional integrals image enhancement applications
微积分在生活的应用
创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者：别如克* 微积分在生活中的应用 摘要：微积分作为一种重要的数学工具，在解决实际问题时并不是一开始就得心应手的,在开始应用微积分解决间题时,常常会感到困惑,主要表现在：积分元的选取,积分限的确定及模型的建立等等.比如，利用微积分来确定一些简单的学习方法、投资决策、对实际问题进行数学建模等,这些问题都可以通过微积分的知识和方法来进行分析，并找出其中的规律,从而做出决策.本文将结合它在几何、物理与经济等方面的应用,利用理论知识付诸于实践中,有利于于人们更好的学习了解微积分的应用. 关键词：微积分物理经济应用 摘要字数偏多，再去掉两三行。摘要是反映你文章中的内容，前面两句介绍微积分，后面直接说文章通过哪些内容反映你的主题
引言 通过微积分可以描述运动的事物,描述一种变化的过程,可以说,微积分的创立极大地推动了生活的进步.由于微积分是研究变化规律的方法，因此只要与变化、运动有关的研究都要与微积分发生联系，都需要运用微积分的基本原理和方法. 随着现代科学的发展和各学科之间的相互交融，微积分仍会进一步丰富和发展人们的生活，进一步将微积分的理论应用于实践，从而为人类社会的进步作出更大的贡献.无论是在生活中还是学习中,微积分都能实现其最大化、最优化的作用.在学习数学中,利用微积分能很好的计算平面上那些不规则图形的面积、曲线的弧长、三维空间中旋转曲面的表面积、旋转体的体积及在我们生活中“切菜”的物体的体积等;在物理上,利用微积分可以研究物体做匀速直线运动的位移问题、研究匀速圆周向心加速度的方向问题及研究物体的变力做功等;在经济中,利用微积分能分析边际分析在经济中的应用、弹性在经济中的应用及学会用微积分解决实际中的最优问题与投资决策等.可见，微积分存在于生活中的方方面面，是解决实际问题最方便的工具. 如果没有微积分的出现,生活中遇到的问题就不能转化为数学语言来进行研究,生活中存在的大量的实际问题就不能够解决,因此,要想解决这些问题我们就必须学好微积分的有关知识，好好利用微积分这个工具. 本文将通过具体的实例分析微积分在数学、物理及经济中的具体的应用，进一步加强人们对于微积分的理解及其在实际的广泛的应用. 引言部分写的还可以，暂时不用动，最后在修改细节。