分数阶微积分的定义

分数阶微积分的定义

分数阶微积分的研究对象是分数阶微分和分数阶积分，分数阶微积分定义是整合和统一分数阶微分和分数阶积分得到的。首先介绍常用的三种分数阶微分定义，具体为：

（1）Grünwald -Letnikov 分数阶微分定义

若()f t 函数在区间[,]a t 存在1m +阶连续导数，当0α>时，

m 至少取到[]α，则其次数为(1)m m αα≤<+的分数阶微分定义为：

[()/]

()lim ()t a h a

t i h i D f t h

f t ih αα

αω--→==-∑

（2.1）

其中，α表示阶次，h 为采样步长，a 表示初始时间，[]表示取整，

= (-1)i i i ααω?? ???

是多项式系数，(1)(2)(1)

=

!

i i i ααααα??---+ ???

，我们可以用以下

递推公式直接求出该系数：

01+11,1,1,2,...,i i i n i α

αααωωω-??==-= ???

（2.2）

进一步对式（2.1）求极限，可得到其详细定义：

0,0

()lim ()()()1

()()(1)(1)a t h nh t a

i i m t m a i D f t h f t ih i f a t a t f d i i α

α

αααξξξαα-→=--+-=??

=- ???

-=+-Γ-++Γ-+∑? （2.3）

其中，()Γ?为欧拉gamma 函数，10

()t z z e t dt ∞--Γ=?，当R α∈，上述定义也称为Grünwald -Letnikov 分数阶微积分定义。

若：()=0i f t ，,q p R ∈，则微分算子D 满足式（2.4）：

（2.4）

（2）Riemann -Liouville 分数阶微分定义 对于1,m m m N α-<<∈，有

11()

()()()m t

a t m

m a d f D f t d m dt t α

αττατ-+=

Γ--?

（2.5）

其中，当R α∈，上述定义也称为Riemann -Liouville 分数阶微积分定义。 通常情况下，为了方便使用Riemann -Liouville 分数阶微积分定义，要对其取拉普拉斯变换，假设()F s 表示()f s 的原函数，则式（2.5）经过拉普拉斯变换

+(())()q p q p a

t a t a t D D f t D f t =

后的结果如下：

{}1

100

()()()|m k a t

a t t k L D f t s F s D f t αα

α+---===-∑

（2.6）

在零初始条件下，上式的结果变为：

{}0()()t L D f t s F s αα=

（2.7）

进一步由式（2.7）得到α阶微积分算子的传递函数表示为：

（2.8）

（3）Caputo 分数阶微分定义

在工程实际中，不能用物理含义诠释的数学概念是不能应用于实际的，所以，在针对实际问题研究分数阶微积分时，我们需要着重关注它能与实际应用相接轨的部分，这正是分数阶Riemann -Liouville 微分定义的不足。如式（2.5）尽管在初始条件下具备数学理论层面的可解释性，但不具备实际工程上的物理意义可解释性[65]，正因为如此，于是就有了Caputo 分数阶微分定义，其形式为：

11()

(),(1)()()m t a t m

a f D f t d m m m t α

ατταατ+-=

-<<Γ--? （2.9）

同理，当R α∈，上述定义也称为Caputo 分数阶微积分定义，该定义也有对应的拉普拉斯变换，其形式为：

{}1

1

00()()()[]k m k a t k

t k d f t L D f t s F s s

dt

α

α

α+---===-∑ （3.1）

其次，分数阶积分定义为：

1

1==

()()()a t t

a t a

I D t f d ααατττα---Γ?R α+∈（） （3.2）

其中，I 定义为积分符号。

1()H s s α

=