分数阶微积分的应用研究
分数阶微积分的应用研究
王福兴，蒲亦非，周激流
（四川大学 电子信息学院，四川 成都 610065） 分数阶微积分作为数学的重要分支在信号分析与处理等领域得到 摘 要 随着信息技术的飞速发展， 了广泛的研究和运用。在很多问题的处理过程中，分数阶微积分所拥有的优点正逐渐显露出来。本文 阐述了分数阶微积分的时域和频域定义，介绍了其在工程技术中的应用。 关键词 分数阶微积分
Research on Application of Fractional Calculus
WANG Fu-xing,PU Yi-fei,ZHOU Ji-liu
(School of Electronics and Info.,Sichuan Univ.,Chengdu 610065,China) Abstract: With the rapid development of information technology, fractional calculus as an important branch of mathematics in signal analysis and processing and other fields has been widely studied and applied. In a lot of problems in the process, fractional calculus have advantages are gradually revealed. This paper expounds the fractional calculus in time domain and frequency domain definition, introduces its application in engineering. Keywords: fractional calculus
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引言
分数阶微积分与菲涅耳衍射、Wigner 分布、小波变换等有着密切的联系，已经被 广泛应用于科学研究和工程技术的很多方面，如神经网络、解微分方程、量子力学、衍 射理论、光学系统、 光图像处理以及雷达、 通信、声纳等领域，成为跨学科的研究方向。 继1980年被提出之后很快在光学领域得到广泛应用， 其在信号处理领域的潜力在20世纪 90年代中期得到发掘。近十年来，随着人们对分数阶微积分的研究不断深入，分数阶微 积分的理论体系被逐步建立起来，并且被信息领域的研究人员所广泛接受。 随着信息技术的飞速发展， 分数阶微积分的应用越来越多地得到人们的重视， 在很 多问题的处理过程中所拥有的优点正逐渐显露出来。 许多科学家从不同的角度进行了不 同的尝试，得到了不同的定义，其中比较有名的有 G-L 定义、R-L 定义和 Caputo 定义 [1,2] 。 分数阶微积分是整数阶微积分运算的推广， 在信号分析与处理等领域得到了广泛应 用， 特别是在信号的奇异性检测和提取方面具有特殊的作用。 分数阶微积分的实现算法 分为解析算法、数值算法两种。解析算法如拉普拉斯变换法、傅里叶变换法以及 FFT 法；数值算法如 Zhang and Shimizu 法，L-1 法和池田法等。另外，在信号处理方面，有 学者尝试用数字滤波器和模拟分抗电路来实现分数阶微积分并取得了一些进展。 本文阐 述了分数阶微积分的时域和频域两种定义方法，介绍了其在工程技术领域的应用。
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概念
2.1 时域定义
文献[1，2]对分数阶微积分进行了 3 种时域的定义。Grumwald-Letnikov 定义是从 研究连续函数整数阶导数的
经典定义出发， 将微积分的阶数与因次由整数扩大到分数推 衍而来的。Grumwald-Letnikov 的 v 阶导数定义为：
G a
Dtv s ( t )
n
( lim shv ) ( t )
h→0
? ?v ? lim h ? v ∑ X i ? ? s ( t ? rh ) h→0 r =0 ?r? nh = t ? a
(1)
式中， v ∈ R ，用 [ v ] 表示 v 的整数部分；信号 s ( t ) ∈ [ a, t ] ( a < t , a ∈ R, t ∈ R ) ；并且 假设信号 s ( t ) 存在 ( p + 1) 阶连续导数， p ∈ Z ， Z 为整数域；当 v > 0 时， p 至少取 到 [ v ] 。在定义中，上标 G 表示 Grumwald-Letnikov 定义，上标 v 表示求 v 阶微分，下 标 a 和 t 表示积分式的下界和上界。 a 为时间 t 的初值。当 v 为负实数时，公式转化为 积分公式。 Riemann-Liouville 定义从分数阶微积分应满足的性质入手，对 Grumwald-Letnikov 定义进行了改进，使之计算简单化。Riemann-Liouville 定义的分数阶微分公式如下：
? d ns ,v = n∈ N ? dt n ? t s (τ ) ? dn 1 G Dtv s ( t ) = ? n a ∫a ( t ? τ )v?n+1 dτ ? dt Γ ( n ? v ) ? 0 ≤ n ?1 < v < n ? ?
(2)
Riemann-Liouville 定义的分数阶微分是先进行 ( n ? v ) 阶积分，然后进行 n 阶微分。 Riemann-Liouville 定义的分数阶积分为：
R a
Dtv s ( t ) =
? v ?1 t 1 ( t ? τ ) s (τ ) dτ , v < 0 Γ ( ?v ) ∫a
(3)
Caputo 定义是对 Grumwald-Letnikov 定义的另一种改进， 其目的是为了让拉普拉斯 变换更加简洁，从而便于分数阶微分方程，易于工程应用。Caputo 定义是对 GL 定义 的另一种改进，其分数阶微分定义为：
v 0 Dt f ( t ) = t f ( n ) (τ ) 1 dτ Γ ( n ? v ) ∫0 ( t ? τ )v ? n +1
n ? 1 < v < n, n ∈ N
(4)
类似地，其分数阶积分定义为：
0
Dtv f ( t ) =
1 t f (τ ) dτ Γ ( v ) ∫0 ( t ? τ )1?v
?1 < v < 0, t > 0
(5)
该定义先进行 n 阶微分，再进行 n ? v 阶积分。 在上述众多的定义之间存在着一定的区别和联系， 或者在某些条件下它们之间可以 相互转换。可以证明，对于很广一类实际函数来说，GL 定义和 RL 定义是完全等效 的。RL 定义是 GL 定义的推广，其应用范围更为广泛。Caputo 定义和 RL 定义都是 在 Grünwald-Letniko 定义的基础上进行改进的，二者主要区别表现在对常数求导的定 义上，前者对常数的求导是有界的(为 0)，而后者求导是无界的，Caputo 定义让分数阶 微积分的拉普拉氏变换式更为简洁，它更适合用于分数阶微分方程初值问题的描述[3]。 2.2 傅里叶变换域定义
? 根据傅里叶变换的性质， v 阶微分算子 Dv = D 是 v 阶微分乘子函数 d ( ω ) = ( iω )
v
v
的乘性算子，在复数域中分数阶微积分指数形式为：
? ?d (ω ) = ( iw )v = av (ω ) ? exp ( iθ v (ω ) ) = a (ω ) ? pv (ω ) ? ? ? ? ? vπ v ? ? av (ω ) = ω ,θ v (ω ) = sgn (ω ) ? 2 ?
其中， sgn
(6)
(
?) 为符号函数。从通信调制角度看，信号分数阶微分的物理意义可以理解为广义的
调幅调相，其振幅随频率成分数阶幂指数变化，其相位是频率的广义Hilbert变换。从信号处理角 度看， v 阶微积分运算其实是对信号的一个线性时不变滤波系统，其滤波函数为
v v ? d v (ω ) = ( iw ) = ω ? exp ( iθ v (ω ) )
(7)
3
应用
分数阶微积分运算应用在工程实践中， 是近几十年来新兴的研究方向。 随着计算技 术的发展和对分数阶微积分运算应用研究探索的深入， 分数阶微积分运算在多个领域中 起到了越来越重要的作用，其中包括机械力学、电子学、化学、生物学、经济学、控制 理论、机器人、材料科学、岩石力学、分形理论、电磁场理论、图像与信息处理等方面。 特别是在信息科学领域中，一些新颖的应用被相继地实现，如系统建模、曲线拟合、信 号滤波、模式识别、图像边界提取、系统辨识、系统稳定性分析等等。 3.1 指纹识别系统[4] 指纹识别的方法随着计算机技术、图像处理与模式识别方法的不断发展正日臻完 善，目前使用的指纹识别系统大多是数字处理指纹识别系统，具有可自动化、可编程等 [5] 优点。分数阶微积分具有时频旋转特性 ，可以展示出信号从时域逐步变化到频域的更 多特征， 这一优势有助于将分数阶微积分的应用研究扩展到了生物医学领域， 例如可用 于有效解决指纹识别领域中存在的问题和改进传统指纹识别算法的不足， 特别是分数阶
傅立叶变换算法对发生形状畸变的图像有很好的识别能力， 可获得比基于经典傅立叶变 换的算法性能更好的识别准确性和灵活性。 分数阶傅里叶变换具有典型的光学含义，它有两种基本的方式可以在光学上实现， 一种是利用透镜等分立光学元件， 另一种是利用渐变折射率介质(GRIN)。 基于分数阶傅 里叶变换这一新兴信号处理手段进行指纹等生物特征认证和识别具有研究价值和应用 前景。在文献[4]中，作者给出了基于分数阶傅里叶联合变换相关器的指纹识别光电混 合系统，如图1所示。CCD1 将采集的待检测的目标指纹图像传输到计算机，同时计算机 从指纹数据库中调用作为参考的指纹图像， 目标指纹图像和参考指纹图像在计算机中分 别进行相位掩模调制，然后计算机将调制后的目标指纹图像输出到空间光调制器SLM1 上， 将调制后的参考指纹图像输出到空间光调制器SLM2 上； 再分别经过透镜L1 和L2 进 行分数阶傅里叶变换，它们的分数阶傅里叶变换谱在分光镜处叠加，由CCD2 得到分数 傅里叶联合变换功率谱， 并经计算机输出到SLM2， 经过透镜L2 完成分数阶傅里叶变换， 最后CCD2 接收到