中学数学-1(斐波那契数列)
内蒙古自治区中小学教师教育技术水平（初级）试卷
（试卷科目：中学数学）
第一部分：基本知识题（本部分共8个题，每题2.5分，满分20分）
第1题 (单选题)教育技术的本质特征是（ C ）。 (2.5分)
A．运用技术手段去优化教育、教学过程，以提高教育、教学的效果、效率和效益的教学实践B．本题答案中所给出的其它3个选项都不对
C．运用技术手段去优化教育、教学过程，以提高教育、教学的效果、效率和效益的理论和实践D．运用技术手段去优化教育、教学过程，以提高教育、教学的效果、效率和效益的理论研究
第2题 (单选题)关于教学评价中收集数据的工具与方法，下列说法中不正确的是（ D ）。 (2.5分) A．形成性练习是教学评价中经常使用的方法
B．结构化观察是教学评价中经常使用的方法
C．总结性测验是教学评价中经常使用的方法
D．在教学评价中无需使用态度量表
第3题 (单选题)课程结束时进行期末考试，考试依据课程标准来确定试题范围，采用纸笔测验试卷评分的方式。就这一评价（考试）的类型，以下选项中不准确的一项是（ B ）。 (2.5分) A．它是一种定量评价
B．它是诊断性评价
C．它是总结性评价
D．它是一种绝对评价
第4题 (单选题)将认知领域的教学目标分为了解（识记）、理解、运用、分析、综合、评价六个层次的美国心理学家是（ C ）。 (2.5分)
A．加涅
B．布鲁纳
C．布卢姆
D．奥苏贝尔
第5题 (单选题)"知识积累的关键因素是刺激、反应以及两者之间的联系"，持这一观点的学习理论流派是（ D ）。 (2.5分)
A．建构主义
B．认知主义
C．人本主义
D．行为主义
第6题 (单选题)根据您对教育技术及相关基础知识的理解，下例选项不正确的一项是（ B ）。 (2.5分)
A．教学设计是运用系统方法分析教学问题和确定教学目标，建立解决教学问题的策略方案、试行解决方案、评价试行结果和对方案进行修改的过程
B．教育技术与信息技术的涵义是一样的，只是用不同的名词来表述而已
C．教育信息化是指在教育教学的各个领域中，积极开发充分应用信息技术和信息资源，以促进教育现代化，培养满足社会需求人才的过程
D．教育技术就是为了促进学习，对有关的学习过程和资源进行设计、开发、利用、管理和评价的理论与实践
第7题 (单选题)以"教"为中心的教学结构突出强调的是（ B ）。 (2.5分)
A．学生的"学"
B．教师的"主导"作用
C．"学教并重"
D．自主学习设计
第8题 (单选题)为绝对评价而进行的测验一般被称为"标准参照测验"，由于它以教学大纲规定的教学目标为依据来制定评价"基准"，所以这种测验的成绩往往形成（ A ）。 (2.5分) A．本题所给的其他选项都不对
B．均匀分布
C．双峰分布
D．标准正态分布
第二部分：案例题（包括教案设计、资源准备、教学实施和教学评价）
【说明】本主题为人教课标必修5第二章——“数列”中关于阅读与思考的内容的“斐波那契数列”，教学时间为1课时。本试卷结合具体的教学案例考查教师的教育技术应用能力，其具体教学内容、教学对象、教学环境和教学要求如下：
【教学内容】斐波那契数列
【教学对象】初中三年级学生
【教学环境】多媒体网络教室
【教学要求】遵循国家课程标准，在先进教育理念指导下，基于给定的教学环境，恰当利用教育技术，进行教案设计、资源准备、实施教学并进行评价。
教案设计（本部分共5个题，每题4分，满分20分）
在进行“斐波那契数列”一课的教案设计时，应进行学习者和教学环境分析、确定教学目标与教学内容、设计教学活动并选择合适的教学策略。下面是一份教案，请结合教案回答其中相应的问题。
一、教学内容概述
本主题是在已有数列基本知识的基础上，探索斐波那契数列的发展历史、实际生活中的斐波那契数列，以及斐波那契数列的一些特性。斐波那契数列与实际生活联系比较紧密，有着广泛的应用，而且本身也有许多特殊的性质。使学生体会数学的科学价值、应用价值，领会数学的美学价值，从而提高自身的文化素质和创新意识。
二、教学目标分析
第9题 (单选题)对于"斐波那契数列的发展历史"的知识内容，在知识与技能维度需要达到的教学目标是（ A ）。 (4 分)
A．了解斐波那契数列发展历史
B．评价斐波那契数列发展历史的应用价值
C．领悟斐波那契数列发展历史的社会意义
D．通过斐波那契数列发展历史的学习，体会数学的科学价值
三、学习者特征分析
学生已经掌握数列、等差、等比数列的知识。能在具体的情境问题中，发现数列中特殊的关系（等差或等比关系），能用相关知识解决相应的问题。部分学生有一定的自主学习能力和协作学习能力。但应用意识，因此需要一定的指导。
第10题 (单选题)为顺利完成探究任务，学生必须具备的计算机能力是（ D ）。 (4 分) A．能熟练运用程序开发知识进行编程，解决相关问题
B．能熟练运用数据库的相关知识解决问题
C．能熟练开发专题网站，展示小组作品
D．能够通过网络搜索相关资源，并能获取并简单加工处理相关资源,制作成PPT演示文稿
四、教学策略选择与设计
主要采用网络探究、小组协作的方式，复习数列相关知识，然后逐步探究斐波那契数列的历史、应用和特征。教师做好指导、协调工作，对于学生探究结论给予相应评价。
五、教学资源与工具设计
1．人教A版普通高中课程标准实验教科书必修5；
2．相关网络资源；
3．斐波那契数列计算器；
4．网络型多媒体教室。
第11题 (单选题)根据教学策略设计，为很好地完成本次教学活动，教学中对网络环境的基本要求是（ B ）。 (4 分)
A．仅教师机要求连互联网
B．教师机和学生机都要求连互联网
C．仅学生机要求连互联网
D．教师机和学生机都不需要连通网络
六、教学过程
（一）问题引入
由学生计算，教师给予相应的指导。
如果一对兔子每月能生1对小兔子（一雄一雌），而每对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生1对小兔子。假定在不发生死亡的情况下，由1对出生的小兔子开始，50个月后会有多少对兔子？
提示：每月底兔子对数是：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，……，
50个月后是12586269025 对。
这就是著名的斐波那契数列。
或许大自然懂得数学，树木的分杈、花瓣的数量、种子的排列、鹦鹉螺的螺旋线……都遵循这个数列。你能写出以后的项吗？
设计意图：通过斐波那契的兔子问题引入，让学生通过计算、思考，对斐波那契数列有感性认识。
（二）数列知识
①复习数列的起源
②复习数列的相关知识
让学生快速梳理数列的基本知识：
?数列的一般形式：，简记为。
?数列的表示方法：（1）列表法；（2）图像法；（3）通项公式法。
?数列的分类：
项数有限无限：
项数的随序号的变化情况：
?数列通项公式：；
主要方法：
?观察数列的特点，寻找项数与对应序号的关系。
?化归法（将数列变形，使原数列的倒数或与某同一常数的和成等差或等比数列）。
?逐差全加（对于后一项与前一项差中含有未知数的数列）。例如：数列中，
，求。
?逐商全乘法（对于后一项与前一项商中含有未知数的数列）。例如：数列，
，求。
?正负相间：利用或。
?隔项有零：利用或。
?数列求和的主要方法
?利用等差或等比的求和公式。
?利用通项列项求和。
?错项相减法：适用于通项为等比和等差通项之积形式的数列求和。
?倒序相加法：例如等差数列求和公式的推导。
?配对法：适合某些正负相间型的数列。
设计意图：让学生回顾数列的基本知识，便于将知识系统化，能更好的从整体上把握，灵活应用数列解决相应问题。
第12题 (单选题)在教学导入阶段，让学生回顾数列的基本知识的主要目的是（ B ）。 (4 分) A．检查学生对数列知识的掌握情况，便于评价学生的学习结果
B．建立新旧知识之间的联系，找出探究"斐波那契数列"知识内容的方法
C．为尝试应用创新教学模式
D．教学的导入阶段必须复习旧知识
③让学生回顾数列与函数的关系
④特殊数列
设计意图：对比中学中重要的两个特殊数列-----等差数列和等比数列的性质，加深对这两种数列的理解和应用，通过系统比较能更好地理解。
（三）斐波那契数列
教师将学生分成小组，并指导适当分工，布置探究任务。
教师适当地加以介绍，可以让学生利用互联网收集斐波那契数列相关资料，并进行整理讨论。
设计意图：了解斐波那契的历史，提高学习数学的兴趣，感受数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神。
（四）斐波那契数列特性
小组探究、归纳总结结论，参照提示，对于能力较强的小组可以进一步探究其它性质。教师对各小组的探究过程加以评价。
斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，……
①通项公式
观察斐波那契数列项数之间有什么关系？
提示：从第三项开始每一项等于其前两项的和，即若用表示第n项，则有
。
通过递推关系式，我们可以一步一个脚印地算出任意项，不过，当n 很大时，推算是很费事的，我们必须找到更为科学的计算方法。你能否寻找到通项公式，借助网络资源，能否给予证明？
提示：1730年法国数学家棣莫弗给出其通项表达式，19世纪初另一位法国数学家比内首先证明这一表达式，现在称为之为比内公式。可以利用归纳法证明。
网络资源：求斐波那契数列的通项公式．
②项间关系
学生根据下列问题分组探究并写下探究的结果，有能力的学生可以继续探究其他性质。同时教师提供斐波那契数列计算器的网页。
斐波那契数列有许多奇妙的性质，下面一起研究部分性质：
问题：观察相邻两项之间有什么关系？
相邻两项互素，（）
? 1 ，1 ，2 ，3 ，5 ，8 ，13 ，21 ，34 ，55 ，89 ，144 ，…
第3项、第6项、第9项、第12项、……的数字，有什么共同特点？
提示：能够被2 整除．
第4项、第8项、第12项，能够被3 整除．
第5项、第10 项、……的数字，能够被5 整除．
你还能发现哪些类似的规律？
?
如果你把前五加起来再加1，结果会等于第七项；如果把前六项加起来，再加1，就会得出第八项．那么前n 项加起来再加1，会不会等于第n + 2 项呢？
提示：
1 + 1 +
2 +
3 + 5 + 1 = 13
1 + 1 +
2 +
3 + 5 + 8 + 1 = 21
由于每一项都是其前两项的和，
所以
?如果我们分别对偶数项与奇数项做加法运算的话，情形又如何呢？
1 +
2 + 5 = 8
1 +
2 + 5 + 1
3 = 21
1 + 1 + 3 + 8 = 13
1 + 1 + 3 + 8 + 21 = 34
提示：
我们可以得到下列的结果：
你能否给出证明？
?不可思议的是，如果我们把第三项的平方加上第四项的平方会得到第七项。
22 + 32 = 4 + 9 = 13
32 + 52 = 9 + 25 = 34
82 + 132 = 64 + 169 = 233
试试看其它的情形．是不是都成立呢？
?更不可思议的是，你能想象到吗，斐波那契数列与杨辉三角居然有联系？
提示：
动手做一下：把斐波那契数列中从第二项开始的每一项除以前一项，得到一个新的数列，并画出图像，分析新数列的特点。
提示：
1，2，1.5，1.67，1.6，1.63，1.615，1.619，1.618.....
下图中横轴为n 的值，纵轴为的取值：
看起来好像会趋近某个定值，大约为1.61……。这为人所知作为黄金比率, 并且因此斐波那奇的序列并且称黄金序列，开普勒发现斐波那契数列的黄金比率。
④探究其它特性
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
112813
35
利用斐波那契数列计算器和互联网，每小组探究斐波那契数列的其它性质，然后利用网络搜索所得到的性质，是否已经被发现。再在网络中查找一下是否还有其它性质，将得到的结论填入表—1。表—1
第13题 (单选题)在学生探究斐波那契数列的其它特性时，需要填写表-1，您认为教师向学生出示表一1的最佳时机应在（ D ）。 (4 分)
A．教学的导入阶段
B．学生探究"斐波那契数列的其它特性"过程中
C．学生探究"斐波那契数列的其它特性"之后
D．学生探究"斐波那契数列的其它特性"之前
设计意图：通过系列的、逐层深入的问题串，引导学生利用数列的知识探索斐波那契数列的特性，进一步加深学生对数列的认识和运用。
（五）联系生活
将学生分组，利用网络搜索斐波那契数列与生活的联系，将收集的资源加工整理，制作成PPT 演示文稿，以小组为单位展示，并加以说明。
尝试一下，能否借助斐波那契数列的特性设计图案？在网络中查找一下利用斐波那契数列设计的图案，并分析其中蕴含的数列。
下面是从生物、艺术、计算机设计图形等方面简单示例：
①生物学与斐波那契数列
在现实的自然世界中，《算盘书》里那样的神奇兔子自然是找不到的，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列。起绒草椭球状的花头，你可以看见那上面有许多螺旋。很容易想象，如果从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向的，还有些是逆时针方向的。逆时针与顺时针的螺旋数就是斐波那契数列中相邻的两项。
斐波那契数列在自然界中的出现是如此地频繁，人们深信这不是偶然的。以这样的形式排列种子、花瓣或叶子的植物还有很多（最容易让人想到的是向日葵），事实上许多常见的植物，我们食用的蔬菜如青菜，包心菜，芹菜等的叶子排列也具有这个特性，只是不容易观察清楚。尽管这些顺逆螺旋的数目并不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契序列中的相邻数字，这样的螺旋被称为斐波那契螺旋。
展示自然界中各种各样的斐波那契螺旋图片。
②艺术
展示埃及的图像
古埃及的人体画像的绘画都是基于"神圣比例"﹐也就是我们所了解的黄金分割。
展示希腊神庙的图片。
③计算机设计
由于是自然规律而并非抽象的数学或哲学原理决定了植物各种器官的排列图样；另外还有具体环境的影响，比如地形、气候或病害，因此你并不总能找到完美的斐波那契螺旋。即使是生长得很健康的植物，也难免有这样那样的缺陷。仔细观察上面的图片，你会发现螺旋的中心经常是一片混乱。所以最后还是让我们来欣赏一下由计算机绘制出来的完美的斐波那契螺旋吧。
展示计算机绘制的斐波那契螺旋图片。
设计意图：通过展示斐波那契数列与生物、艺术、建筑、计算机等方面的联系，增强学生的应用意识、扩展学生的视野、激发学生学习数学的兴趣。
七、教学评价设计
借助于网络资源，探索斐波那契数列的其它特性，并给出相应的说理过程。
调查周围的生物、艺术作品或建筑，能否找出与斐波那契数列的联系？写出调查报告。
评价方式：过程性评价和总结性评价相结合，教师评价与同伴评价相结合，组内评价与组间评价相结合。
小组汇报评价量表和组内互评量表请参照附录二和附录三。
注：此表算出的是小组成员的平均分数，个人分数还得根据小组成员互评量表和回答问题的情况来调整．
资源准备（本部分共5个题，每题4分，满分20分）
在讲授“斐波那契数列”一课以前，需要收集相关的资源，制作演示文稿。
第14题 (单选题)在教学资源准备过程中，教师欲在word文档中插入数学公式，具体操作方法是（ C ）。 (4 分)
A．通过菜单中"插入"-"图示"-"microsoft 公式 3.0"，然后进行公式的输入与编辑
B．通过菜单中"视图"-"图示"-"microsoft 公式 3.0"，然后进行公式的输入与编辑
C．通过菜单中"插入"-"对象"-"microsoft 公式 3.0"，然后进行公式的输入与编辑
D．通过菜单中"视图"-"对象"-"microsoft 公式 3.0"，然后进行公式的输入与编辑
第15题 (单选题)教师在制作评价量表的过程中，欲在Word文档中插入一个4×7的表格，具体操作步骤是（ D ）。 (4 分)
A．在菜单栏中选择"插入"-"图表"，在弹出的对话框中的列和行选项中分别输入4和7，然后单击确定
B．在菜单栏中选择"格式"-"表格"，在弹出的对话框中的列和行选项中分别输入4和7，然后单击确定
C．在菜单栏中选择"视图"-"表格"，在弹出的对话框中的列和行选项中分别输入4和7，然后单击确定
D．在菜单栏中选择"表格"-"插入"-"表格"，在弹出的对话框中的列和行选项中分别输入4和7，然后单击确定
（本题的正确答案原来有乱码，已修正）
第16题 (单选题)在探究开始阶段学生经过小组讨论之后要填写电子版的"小组任务分工及计划表"，从教学效率方面考虑，"小组任务分工及计划表"最好以（ B ）方式呈现给学生。 (4 分) A．课前打印一份发给学生，学生课上再利用计算机绘制
B．教师利用广播系统分发到每一台学生机上
C．利用投影呈现给学生，学生在本人的计算机上仿照投影重新绘制
D．教师利用U盘依次地拷给学生
第17题 (单选题)在探究过程中，学生需要在网络中寻找资源，进行自主阅读相关资料。考虑到课堂教学时间和防止迷航等因素，你认为最好的资料组织方式是（ A ） (4 分) A．教师课前搜索与课题相关的资源做成专题网站，供学生课上阅读
B．学生在课上利用网络自主检索阅读
C．学生课前搜索与课题相关的资源做成专题网站，课上阅读
D．教师课上利用网络进行检索之后，利用多媒体展示给学生
第18题 (单选题)教师用个人电脑在网上查询与本课主题相关的网站时，发现了一个资料丰富的数学网站，对以后的教学很有参考价值。为了再次浏览并查找该网站的新内容，以下方法中较便捷的是( A )。 (4 分)
A．将网址添加到收藏夹中
B．记住该网站的某些关键词，到时用搜索引擎查找即可
C．将网页另存到特定文件夹中
D．复制网页上的内容到Word文档
教学实施（本部分共5个题，每题4分，满分20分）
在完成教学规划和教学资源准备后，您将进入教学方案实施阶段。在这一阶段，您需要解决一些在课堂实施过程中可能遇到的问题，包括硬件设备的简单操作、教学资源的使用以及课堂活动的组织和管理。
第19题 (单选题)教师编制"小组汇报量化评分表"属于（ B ）。 (4 分)
A．教学准备
B．教学评价
C．教学反思
D．教学实施
第20题 (单选题)学生探究结束后，利用多媒体教室中放映PPT演示文稿时，为了让其他学生有更清晰的视觉感受，以下操作中最恰当的一项是( A )。 (4 分)
A．在"视图"中选择"幻灯片放映"
B．在"视图"中选择"母版"
C．在"视图"中选择"幻灯片浏览"
D．在"视图"中选择"普通"
第21题 (单选题)在让学生分组讨论并填写"小组任务分工及计划表"的时候，下列选项中教师的不恰当行为是（ C ）。 (4 分)
A．教师参与到小组讨论中，解答填写过程中的疑问
B．指导学生进行合理的小组分工
C．教师可以在学生讨论的时候，不必介入
D．对于填写中遇到的计算机操作问题给予个别指导
第22题 (单选题)学生在探究结束后，将小组作品通过邮件发给教师，计算机是师生间的（ D ）工具。 (4 分)
A．演示
B．认知
C．评价
D．交流
第23题 (单选题)在教学实施过程中，本课没有采用的交互方式是（ B ）。 (4 分)
A．生生互动
B．师师互动
C．人机互动
D．师生互动
教学评价（本部分共5个题，每题4分，满分20分）
在完成教学规划、教学资源准备和教学方案实施后，您将进入教学评价阶段。在这部分中，您需要评价已完成的课堂教学及学生的学习情况。这部分中既有关于教学评价与反思基本知识方面的试题，也有需要结合具体的教学案例来回答的教学评价与反思方面的试题。
第24题 (单选题)根据您对教学评价的理解，以下描述不准确的是（ A ）。 (4 分)
A．教学评价可以分为形成性评价、总结性评价和选拔性评价
B．教学评价的内容可以是教师实施教学的过程，也可以是学生的表现
C．教学评价的主体是多元的，可以是教师，也可以是学生
D．对于学生学习效果的评价不能只看他的考试成绩
第25题 (单选题)教师利用量规对小组汇报的结果进行评价，这属于（ A ）。 (4 分)
A．定量和定性评价相结合
B．描述性评价
C．定量评价
D．定性评价
第26题 (单选题)下列对教学评价的内容描述不准确的是（ A ）。 (4 分)
A．评价标准的制定，主要依据教学策略，不需要依据教学目标
B．对认知类的目标，可以采用测验的方法；对于情感态度类的目标，可以采用调查的方法；对于技能类目标，可以使用观察的方法
C．日常教学中，教师可以从学生课堂的发言情况、回答问题的反应情况判断教学效果
D．对教学效果的评价，应根据教学目标的要求选择合适的评价方法
第27题 (单选题)在对学生探究过程的表现进行评价时，采用教师评价与同伴评价相结合，组内评价与组间评价相结合的方式，体现了（ B ）。 (4 分)
A．评价方法多样化
B．评价主体多元化
C．评价过程阶段化
D．评价策略多样化
第28题 (单选题)在教学结束后，教师通过阅读学生的探究作品和课堂对学生探究行为的观察，发现大部分学生都能够很好地掌握 "斐波那契数列"的特性，只有少数学生没有掌握。对这部分未达到教学目标要求的学生应进行（ B ）。 (4 分)
A．批评性反馈
B．帮助性反馈
C．校正性反馈
D．鼓励性反馈
斐波那契数列
第1章绪论 布置的作业共6题： 基础知识题：1.6 1.7 1.8 1.10 算法设计题：1.17 1.20 一、基础知识题 ◆1.6 ③在程序设计中，常用下列三种不同的出错处理方式： （1）用exit语句终止执行并报告错误； （2）以函数的返回值区别正确返回或错误返回； （3）设置一个整型变量的函数参数以区别正确返回或某种错误返回。 试讨论这三种方法各自的优缺点。] 答题思路：查错和容错能力 答：程序出错处理是指发现错误并根据出错的原因作出适当的处理，处理的目的是找到出错的原因。出错的原因一般包括缺乏某些资源和程序设计有问题两类。如果是前者，程序仍然可以继续运行，只是处于等待资源或执行其他流程的状态。如果是后者，则需要修改源代码。
◆1.7 ③在程序设计中，可采用下列三种方法实现输出和输入： （1）通过scanf和printf语句； （2）通过函数的参数显式传递； （3）通过全局变量隐式传递。 试讨论这三种方法的优缺点。 答题思路：错误局部化（软件模块化）、执行效率（内存开销） 答：在正规的软件设计中，要求各模块之间以恰当的方式进行调用，以便使各模块中出现的错误局部化。 其是方式3，在出现错误时查错的开销将很大，尽量不使用。
◆1.8 ④设n为正整数，试确定下列各程序段中前置以记号@的语句的频度。评析：频度≠时间复杂度 注意：（1）、（2）、（3）三个程序段中任何两段都不等效(即k和i的终值不相同 )
书后附有答案 标答：程序段（8）取自著名的McCarthy91函数 ? ??≤+>-=100 ))1((10010)(x x M M x x x M 对任何 x ≤100，M(x)=91。此程序实质上是一个双重循环，对每个y(>0)值，@语句执行11次，其中10次是执行x++。 刘解：请注意x 的初值已经是91了，必须加到101才能终止程序的循环。if 语句从x=91开始直到x=101都执行，共执行11次，其中10次是执行x++。
1生活中的“斐波那契数列”
2014年温州市小学数学小课题评比 学校: 苍南县钱库小学 成员姓名：陈耀坤吴文强金旭杭 指导教师：陈瑞帐
生活中的“斐波那契数列” ——台阶中的数学 一、问题的提出 周末爸爸妈妈带我去龙港影城看3D电影,影城的大门口有16级水泥台阶,我发现老年人大多是一级一级地往上走的,年轻的小伙子喜欢两级两级地往上走，小朋友则是一会儿走一级,一会儿又蹦两级……很快,一个念头闪入我的脑海：按照他们这样不同的走法，走完这16级台阶，一共会有多少种不同的走法呢?会不会有什么规律呢？于是,在爸爸妈妈的鼓励下,我决定开始台阶走法的研究。 二、研究过程 1.从最简单的做起 该怎样开展研究呢？我找了两个好朋友,做合作伙伴。我们想起了老师曾经提到过的华罗庚说的话:“善于退，足够地退,退到最原始的而不失重要的地方是学好数学的一个诀窍。”也就是说可以“从最简单的做起”于是我们通过画楼梯入手。 1个台阶(1种) 2个台阶(2种) ３个台阶（3种） ４个台阶（5种） …… 后来我觉得用这种表示方法实在太麻烦了，有没有更简捷的表达方法呢？于是在数学老师的启发下就想到了用最简单的数字来表达： 楼梯台阶数及方法楼梯上法表示 一个台阶（１种）（1) 二个台阶(2种) (1，1)(2） 三个台阶(3种) （1,１,1)（1，2)(２,1) 四个台阶（５种）（１，1，1 ,1)(1，１，2)（１，2,1)（２,1，1）(2,2) 五个台阶(8种） (1，１,1,１,１)（1,1,1,２）（1,１，2，1)(1，2,1,１）
（2，１,1，1） (2，1，2）（２，2,1) （1，2,2）５个台阶有８种走法,那现在求1６个台阶有几种走法,该怎么办呢?我们想用这个方法继续进行进去,我尝试着: 六个台阶(13种) （1,1,１，１，1，1）(1,2,1,1，1）(1，1，2，1,1） (１,1,1,2,1）(1,1,1，１，２)（2,1,1,1,1) (1,1,2,2）(2，1，1,2）（2，1，2,1）（2，２,１,１，) （1,２，２,1)（１，2,１,2)(2,2,2) 七个台阶(21种）(1,1,1,1，1,1,1）(1，1，1，１,1，2)(１,１,1,１，2，1) （1，１，1,2,1，1)(1，1，2,１,1,1）(１,2,1，1，1,1) （2，1,1,１，１，1）(1，１，１，２,2） (1,１,2,2，1) （1，2，2，1，１) (2,2，１,１,1) (１,2，１，1，2) （1，2,1,２，１）（1,2，2,１，１，）（2，1，1，1，2） (２，1，1，2,1）（2,1，2，１,1）(2，2，2,１) (2，2,1，2) (2，1,2,2) (１,2,2，2) …… ２.整理数据,发现规律 这样写下去还是很麻烦，数字会越来越大,而且很容易出现遗漏或重复。有没有规律呢？我们重新整理了数据,发现台阶上法数据之间有关联： 7个台阶的走法=6个台阶的走法＋5个台阶的走法,也就是１3＋8=21。６个台阶的走法＝5个台阶的走法＋4个台阶的走法，也就是８+5＝1３…… 那走台阶的上法是否有规律？是否是后一个数都是前两个数的和呢?照这样推理,8个台阶数的走法应该是3４种呢?我决定用数字拆分来进行验证,发现答案完全符合。
斐波那契数列资料
斐波那契数列
斐波那契数列 一、简介 斐波那契数列（Fibonacci），又称黄金分割数列，由数学家斐波那契最早以“兔子繁殖问题”引入，推动了数学的发展。故斐波那契数列又称“兔子数列”。 斐波那契数列指这样的数列：1,1,2,3,5,8,13,……，前两个数的和等于后面一个数字。这样我们可以得到一个递推式，记斐波那契数列的第i项为F i，则F i=F i-1+F i-2. 兔子繁殖问题指设有一对新生的兔子，从第三个月开始他们每个月都生一对兔子，新生的兔子从第三个月开始又每个月生一对兔子。按此规律，并假定兔子没有死亡，10个月后共有多少个兔子？ 这道题目通过找规律发现答案就是斐波那契数列，第n个月兔子的数量是斐波那契数列的第n项。 二、性质 如果要了解斐波那契数列的性质，必然要先知道它的通项公式才能更简单的推导出一些定理。那么下面我们就通过初等代数的待定系数法计算出通项公式。 令常数p,q满足F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2)。则可得： F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2) =q2(F n-2-pF n-3) =…=q n-2(F2-pF1) 又∵F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2) ∴F n-pF n-1=qF n-1-pqF n-2 F n-1+F n-2-pF n-1-qF n-1+pqF n-2=0 (1-p-q)F n-1+(1+pq)F n-2=0 ∴p+q=1,pq=-1是其中的一种方程组 ∴F n-pF n-1= q n-2(F2-pF1)=q n-2(1-p)=q n-1 F n=q n-1+pF n-1=q n-1+p(q n-2+p(q n-3+…))=q n-1+pq n-2+p2q n-3+…+p n-1 不难看出，上式是一个以p/q为公比的等比数列。将它用求和公式求和可以得到： 而上面出现了方程组p+q=1,pq=-1，可以得到p(1-p)=-1,p2-p-1=0，这样就得到了一个标准的一元二次方程，配方得p2-p+0.25=1.25,(p-0.5)2=1.25,p=±√1.25+0.5。随意取出一组解即可： 这就是著名的斐波那契数列通项公式。有了它，斐波那契数列的一些性质 也不难得出了。比如斐波那契数列相邻两项的比值趋向于黄金分割比，即：
斐波那契数列的通项公式推导解析
斐波那契数列的通项公式推导 山西省原平市原平一中任所怀 做了这些年的数学题，我时常有这样的感受。一个新的数学题初次接触时，会觉得这个题的解题技巧很妙，甚至有点非夷所思，但如果把同类型问题多做几个，你就会发现原来所谓的技巧，其实是一种再正常不过的想法，是一种由已知到未知的必然之路。这样我们就由解题的技巧而转化到了通解通法，进一步就会形成解题的思想，所以我对于数学爱好者建议，做题时要把同类型题多种总结和分析，这样你的数学才会有长足的进步。 下面我们就由递推推导通项的问题，进行对比分析。 例1在数列中，，求数列的通项。（普通高中课程标准实验教科书人教A版必修5第69页6题） 分析：此题可分两步来进行，首先由构造一个等比数列，其中 ，并写出的通项；然后利用，两边同除以得 ，由累加法，就可求出数列的通项。 解：（ 设，则（）所以数列为等比数列，且首项为 ，公比为3。所以。 于是有，两边都除以得 设，则有 由累加法可得
因为所以（） 于是有。 总结：上面的求解过程实质，求是一个把已知条件逐步化简的过程，由相邻三项的递推关系化为相邻两项的递推关系，进一步求出通项公式。 下面我们来研究一下著名的斐波那契数列的通项。 已知数列，其中，，求数列的通项。 解：首先我们要构造一个等比数列，于是设 则有。（1） 则由已知得（2） 对照（1）（2）两式得解得或。 我们取前一解，就会有。 设，则有 所以数列为等比数列，首项为，公比为
所以。即（3） 再次构造等比数列，设 则有 对照（3）式，可得所以 x=. 于是有 设，则有数列为等比数列，首项为，公比为，于是= 所以有。
斐波那契数列的性质
斐波那契数列的性质 一、通项公式：a n = 5〔1+ 52〕n - 5 〔1? 52〕n 二、设p,q,u,v 为自然数且p = min{ p ,q , u , v} . 若p + q = u + v , 则对于斐波那契数列{ an} ,以下公式恒成立:a p a q - a u a v = (-1)p+1a u-p a q-u 三、a n +1a n?1 - a n 2 = (?1)n (n >= 1, n 属于 N) 四、a 2n +1 = a n +12 + a n 2 （n 属于N ） 五、a n +12 - a n?12 = a n 2 (n >= 1, n 属于N) 六、a n +m = a n?1a m + a n a m +1 (n >= 1, n 和m 属于N) 七、a 2n +2a 2n?1 - a 2n a 2n +1 = 1(n >= 1, n 属于N) 八、a m +n 2 - a m?n 2 = a 2m * a 2n (m > n >= 1) 九、a n?1?a n +2 - a n ?a n +1 = (?1)n (n >= 2) 十、{f 2n f 2n +1} 有极限且等于黄金分割率 5 ?12
下面是一篇文章：
斐波那契数列通项公式 斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、…… 这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。它的通项公式为:(见图)（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。） 有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。 奇妙的属性 随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887…… 从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。（注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如第四项3是奇数，但它是偶数项，第五项5是奇数，它是奇数项，如果认为数字3和5都是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通） 如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64
小学奥数 斐波那契数列典型例题
拓展目标： 一：周期问题的解决方法 （1）找出排列规律，确定排列周期。 （2）确定排列周期后，用总数除以周期。 ①如果没有余数，正好有整数个周期，那么结果为周期里的最后一个 ②如果有余数，即比整数个周期多n个，那么结果为下一个周期的第n个。 例1： （1）1，2，1，2，1，2，…那么第18个数是多少？ 这个数列的周期是2，1829 ÷=，所以第18个数是2．（2）1，2，3，1，2，3，1，2，3，…那么第16个数是多少？ 这个数列的周期是3，16351 ÷=???，所以第16个数是1．二：斐波那契数列 斐波那契是 的有关兔子的问题：
假设一对刚出生的小兔，一个月后就能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔。一年内没有发生死亡。那么，由一对刚出生的兔子开始，12个月后会有多少对兔子呢？ 斐波那契数列（兔子数列） 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, … 你看出是什么规律：。【前两项等于1，而从第三项起，每一项是其前两项之和，则称该数列为斐波那契数列】 【巩固】 （1）2，2，4，6，10，16，（），（） （2）34，21，13，8，5，（），2，（） 例1：有一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34…..这个有趣的“兔子”数列，在前120个数中有个偶数？个奇数？第2004个数是数（奇或偶）？
【解析】120÷3=40 2004÷3=668 【巩固】有一列数按1、1、2、3、5、8、13、21、34……的顺序排列，第500个数是奇数还是偶数？ 例2：（10秒钟算出结果！） （1）1+1+2+3+5+8+13+21+34+55= （2）1+2+3+5+8+13+21+34+55+89= 数学家发现：连续10个斐波那契数之和，必定等于第7个数的11 倍！ 巩固：34+55+89+144+233+377+610+987+1597+2584== 例3：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, … （1）这列数中第2013个数的个位数字是几？ 分析：相加，只管个位,发现60个数一循环
(完整版)斐波那契数列、走台阶问题
走台阶问题 如： 总共100级台阶（任意级都行），小明每次可选择走1步、2步或者3步，问走完这100级台阶总共有多少种走法？ 解析： 这个问题本质上是斐波那契数列，假设只有一个台阶，那么只有一种跳法，那就是一次跳一级，f(1)=1；如果有两个台阶，那么有两种跳法，第一种跳法是一次跳一级，第二种跳法是一次跳两 级,f(2)=2。如果有大于2级的n级台阶，那么假如第一次跳一级台阶，剩下还有n-1级台阶，有f(n-1)种跳法，假如第一次条2级台阶，剩下n-2级台阶，有f(n-2)种跳法。这就表示f(n)=f(n- 1)+f(n-2)。将上面的斐波那契数列代码稍微改一下就是本题的答案f(n)=f(n-1)+f(n+2) 斐波那契数列 斐波那契数列：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... 如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N*），那么这句话可以写成如下形式：F(n)=F(n-1)+F(n-2) 递推数列显然这是一个线性。 数学定义： 递归斐波纳契数列以如下被以的方法定义：F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*） 由兔子生殖问题引出、生物 (计算科学)
特性： 这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。 特别指出：第1项是0，第2项是第一个1。 代码： public class Test { static final int s = 100; //自定义的台阶数 static int compute(int stair){ if ( stair <= 0){ return0; } if (stair == 1){ return1; } if (stair == 2){ return2; } return compute(stair-1) + compute(stair-2); //return 递归进行计算 --->递归思想进行数据计算处理 在斐波那契数列中后一项的值等于前两项的和 } public static void main(String args[]) { System.out.println("共有" + compute(s) + "种走法"); } } return compute(stair-1) + compute(stair-2); 在return子句中调用调用compute函数 由斐波那契数列特性得到最后的值 分值拆分
斐波那契数列的来历
斐波那契是意大利的数学家.他是一个商人的儿子.儿童时代跟随父亲到了阿尔及利亚,在那里学到了许多阿拉伯的算术和代数知识,从而对数学产生了浓厚的兴趣. 长大以后,因为商业贸易关系,他走遍了许多国家,到过埃及,叙利亚,希腊,西西里和法兰西.每到一处他都留心搜集数学知识.回国后,他把搜集到的算术和代数材料,进行研究,整理,编写成一本书,取名为《算盘之书》,于1202年正式出版. 这本书是欧洲人从亚洲学来的算术和代数知识的整理和总结,它推动了欧洲数学的发展.其中有一道"兔子数目"的问题是这样的: 一个人到集市上买了一对小兔子,一个月后,这对小兔子长成一对大兔子.然后这对大兔子每过一个月就可以生一对小兔子,而每对小兔子也都是经过一个月可以长成大兔子,长成大兔后也是每经过一个月就可以生一对小兔子.那么,从此人在市场上买回那对小兔子算起,每个月后,他拥有多少对小兔子和多少对大兔子? 这是一个有趣的问题.当你将小兔子和大兔子的对数算出以后,你将发现这是一个很有规律的数列,而且这个数列与一些自然现象有关.人们为了纪念这位兔子问题的创始人,就把这个数列称为"斐波那契数列". 你能把兔子的对数计算出来吗? 解: 可以这么推算: 第一个月后,小兔子刚长成大兔子,还不能生小兔子,所以只有一对大兔子. 第二个月后,大兔子生了一对小兔子,他有了一对小兔子和一对大兔子. 第三个月后,原先的大兔子又生了一对小兔子,上月出生的小兔子也长成了大兔子,他共有一对小兔子和两对大兔子. 第四个月后,两对大兔子各生一对小兔子,上月出生的小兔子又长成了大兔子,他共有两对小兔子和三对大兔子.
第五个月后,三对大兔子各生一对小兔子,上月出生的两对小兔子也长成了大兔子,他共有三对小兔子和五对大兔子. …… 以此类推,可知: 每月的小兔子对数等于上月大兔子的对数,每月大兔子的对数等于上月大兔子与小兔子的对数之和. 我们把大小兔子的对数写成上下两行,从买回小兔子算起,每个月后他所拥有的兔子对数便是: 仔细观察两行数发现它们是很有规律的: 每行数,相邻的三项中,前两项的和便是第三项. 有趣的是: 雏菊花花蕊的蜗形小花,有21条向右转,有34条向左转,而21和34,恰是斐波那契数列中相邻的两项;松果树和菠萝表面的凸起,它们的排列也分别成5:8和8:13这样的比例,也是斐波契数列中相邻两项的比. 这个数列不仅在数学,生物学中,还在物理,化学中经常出现,而且它还具有很奇特的数学性质,真是令人叫绝!
数学-斐波那契数列01
内蒙古自治区中小学教师教育技术水平（初级）试卷（试卷科目：中学数学）01 第一部分：基本知识题（本部分共8个题，每题2.5分，满分20分） 第1题 (单选题)根据您对教育技术及相关基础知识的理解，下例选项不正确的一项是（ C）。 (2.5分) A．教育技术就是为了促进学习，对有关的学习过程和资源进行设计、开发、利用、管理和评价的理论与实践 B．教学设计是运用系统方法分析教学问题和确定教学目标，建立解决教学问题的策略方案、试行解决方案、评价试行结果和对方案进行修改的过程C．教育技术与信息技术的涵义是一样的，只是用不同的名词来表述而已D．教育信息化是指在教育教学的各个领域中，积极开发充分应用信息技术和信息资源，以促进教育现代化，培养满足社会需求人才的过程 第2题 (单选题)在美国，教育技术作为一个新兴的实践和研究领域而出现始于下列选项内容的是（ A）。 (2.5分) A．视听运动 B．计算机辅助教育 C．程序教学法 D．网络技术应用 第3题 (单选题)"教师不应一味以传统集体传授教学的方式进行教学，而应使用能够让学生进行操作或进行社会活动的方式来学习"，这反映的是（ A ）的学习观。 (2.5分) A．建构主义 B．人本主义 C．行为主义 D．认知主义 第4题 (单选题)在视听教学运动背景下，对教育技术基本内涵表述不恰当的是（ C）。 (2.5分) A．在教学过程中所应用的媒体技术手段和技术方法 B．在教学过程中所应用的媒体技术和系统技术 C．在教学过程中所应用的媒体技术 D．在教学过程中所应用的媒体开发和教学设计 第5题 (单选题)关于教学方法的选择，下列选项中说法正确的是（ C ）。 (2.5分) A．教学方法的选择不涉及学习者特征方面因素
详解由递推公式求斐波那契数列的通项公式
详解由递推公式求斐波那契数列的通项公式 武汉市黄陂区第四中学 蔡从江 斐波那契数列的递推公式是121==a a ，11-++=n n n a a a （2≥n 且N n ∈），那么它的通项公式是怎样的呢？不少同学经常问到这个问题。 下面详细解答用待定系数法构造过渡数列求其通项公式。 由递推公式11-++=n n n a a a ，可设)(11-++=+n n n n a a a a λμλ，比较得1=-λμ且1=μλ，即012=-+λλ，解得251±-= λ。若251+-=λ，则251+=μ；若251--=λ，则2 51-=μ。 先以2 51+-=λ，251+=μ求解， 此时)2)(2 15(21521511≥-++=-+-+n a a a a n n n n ， 所以)2()215()215()215(2151211≥+=-++=-+ -+n a a a a n n n n ， 即)2()2 15(2511≥++-=+n a a n n n ， 再另)2]()215([251)215( 11≥+--=+-++n x a x a n n n n 即n n n x x )2 15()215(215)215(1+=+-+++， 所以12 15215=-++x x 即55=x ， 所以 ])215(55[251)215(5511n n n n a a +--=+-++， )2]()2 15(551[)251()215(552111≥+--=+--++n a n n n ，
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高三数学 教案 斐波那契数列通项公式推导过程
斐波那契数列 斐波那契数列，又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递推的方法定义：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=3，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963年起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。 定义 斐波那契数列指的是这样一个数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368........ 自然中的斐波那契数列 这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。 斐波那契数列的定义者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契，生于公元1170年，卒于1250年，籍贯是比萨。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《算盘全书》（Liber Abacci）一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点于阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯等地研究数学。 通项公式 递推公式 斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... 如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N*），那么这句话可以写成如下形式：:F(n)=F(n-1)+F(n-2) 显然这是一个线性递推数列。 通项公式
斐波那契提出的问题
斐波那契是欧洲中世纪颇具影响的数学家，公元1170年生于意大利的比萨，早年曾就读于阿尔及尔东部的小港布日，后来又以商人的身份游历了埃及、希腊、叙利亚等地，掌握了当时较为先进的阿拉伯算术、代数和古希腊的数学成果，经过整理研究和发展之后，把它们介绍到欧洲。公元1202年，斐波那契的传世之作《算法之术》出版。在这部名著中，斐波那契提出了以下饶有趣味的问题：假定一对刚出生的小兔一个月后就能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔。一年内没有发生死亡。问一对刚出生的兔子，一年内能繁殖成多少对兔子？图 1 逐月推算，我们可以得到数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。这个数列后来便以斐波那契的名字命名。数列中的每一项，则称为“斐波那契数”。第十三位的斐波那契数，即为一对刚出生的小兔，一年内所能繁殖成的兔子的对数。这个数字等于233。从斐波那契数的构造明显看出：斐被那契数列从第三项起，每项都等于前面两项的和。假定第n项斐波那契数为，于是我们有：通过以上关系式，我们可以一步一个脚印地算出任意，不过，当n很大时，推算是很费事的。我们必须找到更为科学的计算方法。为此，我们在以下一列数中去导求满足关系式的解答。解上述q的一元二次方程得： [!--empirenews.page--] 。据此，设，并结合，可确定α，β，从而可以求出：以上公式是法国数学家比内首先求得的，通称比内公式。令人惊奇的是，比内公式中的是用无理数的幂表示的，然而它所得的结果却是整数。读者不信，可以找几个n的值代进去试试看！斐波那契数列有许多奇妙的性质，其中有一个性质是这样的：有兴趣的读者，不难自行证明上述等式。斐波那契数列的上述性质，常被用来构造一些极为有趣的智力游戏。例如，美国《科学美国人》杂志就曾刊载过一则故事：一位魔术师拿着一块边长为8英尺的正方形地毯，对他的地毯匠朋友说：“请您把这块地毯分成四小块，再把它们缝成一块长13英尺，宽5英尺的长方形地毯。”这位匠师对魔术师算术之差深感惊异，因为商者之间面积相差达一平方英尺呢！可是魔术师竟让匠师用图2和图3的办法达到了他的目的！这真是不可思议的事！亲爱的读者，你猜得到那神奇的一平方英尺究竟跑到哪儿去呢？斐波那契数列在自然科学的其他分支，也有许多应用。例如，树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗在一段间隔（如图4），例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。
用初等数学方法求斐波那契数列的通项公式
用初等数学方法求斐波那契数列的通项公式 斐波那契 (Fibonacci) 数列是着名的数列，有很高的实用价值。多年来，学者们一直在探究它的通项公式的求解方法，已经涌现出了多种方法。但据笔者们所知，这些方法大都需要比较高深的数学知识，例如组合数学的方法、概率的方等等，让人比较难理解，不容易接受。基于此，研究给出了一种简易的初等数学方法，先探求它们的特征多项式，然后通过求解线性方程组的思想，得出它们的通项公式。这种方法深入浅出，有一定的实用价值。 1.斐波那契数列的由来 13 世纪意大利数学家斐波那契在他的《算盘书》的修订版中增加了一道着名的兔子繁殖问题. 问题是这样的: 如果每对兔子（一雄一雌）每月能生殖一对小兔子（也是一雄一雌，下同），每对兔子第一个月没有生殖能力，但从第二个月以后便能每月生一对小兔子.假定这些兔子都没有死亡现象，那么从第一对刚出生的兔子开始，12 个月以后会有多少对兔子呢解释说明为：一个月：只有一对兔子；第二个月：仍然只有一对兔子；第三个月：这对兔子生了一对小兔子，共有1+1=2 对兔子.第四个月：最初的一对兔子又生一对兔子，共有2+1=3对兔子.则由第一个月到第十二个月兔子的对数分别是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……，人为了纪念提出兔子繁殖问题的斐波纳契，将这个兔子数列称为斐波那契数列，即把 1，1，2，3，5，8，13，21，34…这样的数列称为斐波那契数列。 2.斐波那契数列的定义 定义:数列F1,F2,… ,Fn,…如果满足条件121==F F ,21--+=n n n F F F (对所有的正整数n ≥ 3),则称此数列为斐波那契(Fibonacci)数列。
试验一斐波那契数列
试验一 斐波那契数列 一、 实验目的与要求 1．认识Fibonacci 数列，体验发现其通项公式的过程； 2．了解matlab 软件中进行数据显示与数据拟合的方式； 3．掌握matlab 软件中plot, polyfit 等函数的基本用法； 4．提高对数据进行分析与处理的能力。 二、 问题描述 某人养了一对兔，一个月后生育了一对小兔。假设小兔一个月后就可以长大成熟，而每对成熟的兔每月都将生育一对小兔，且兔子不会死亡。问：一年后共有多少对兔子？ 三、 问题分析 这个问题，最早由意大利数学家斐波那契(Fibonacci)，于1202年在其著作《珠算原理》中提出。根据问题的假设，兔子的总数目是如下数列： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，… 问题的答案就是此数列的第12项，即一年后共有144对兔子。 这个数列通常被称为斐波那契(Fibonacci)数列，研究这个问题就是研究Fibonacci 数列。把这个问题作更深入的研究，我们会问：第n 个月后，总共有多少对兔子？即Fibonacci 数列的第n 项是多少？这就需要我们探素Fibonacci 数列的通项公式。根据问题的描述，我们知道第n+2个月后兔子的对数，等于第n+1个月后兔子的对数（表示原来就有的老兔子对数），加上第n 个月后兔子的对数（表示生育出来的新兔子对数）。这样就得到关于Fibonacci 数列的一个递推公式： 21n n n F F F ++=+ 利用matlab 软件的数据可视化功能将这些数据显示成平面曲线的形式后，我们可以观察到Fibonacci 数列的变化规律；通过matlab 软件的数据拟合功能，我们可以大概知道Fibonacci 数列的函数关系式，结合上面的递推公式，就可以推导出来Fibonacci 数列的通项公式。 四、 背景知识介绍 1． 数据的可视化。 将离散的数据：1234,,,,,,n F F F F F ， 看成平面坐标系里的点：1234(1,),(2,),(3,),(4,),,(,),n F F F F n F ， 利用matlab 软件的plot 函数在平面坐标系里划出一个点列，就可以实现离散数据的可视化。plot 函数的基本使用格式为：plot(y)，其中参数y 表示竖坐标，即需要显示的数据。
1.生活中的“斐波那契数列”
2014年温州市小学数学小课题评比 学校：苍南县钱库小学 成员姓名：陈耀坤吴文强金旭杭 小课题题目：生活中的“斐波那契数列”——台阶中的数学 指导教师：陈瑞帐
生活中的“斐波那契数列” ——台阶中的数学 一、问题的提出 周末爸爸妈妈带我去龙港影城看3D电影，影城的大门口有16级水泥台阶，我发现老年人大多是一级一级地往上走的，年轻的小伙子喜欢两级两级地往上走，小朋友则是一会儿走一级，一会儿又蹦两级……很快，一个念头闪入我的脑海：按照他们这样不同的走法，走完这16级台阶，一共会有多少种不同的走法呢？会不会有什么规律呢？于是，在爸爸妈妈的鼓励下，我决定开始台阶走法的研究。 二、研究过程 1.从最简单的做起 该怎样开展研究呢？我找了两个好朋友，做合作伙伴。我们想起了老师曾经提到过的华罗庚说的话:“善于退，足够地退，退到最原始的而不失重要的地方是学好数学的一个诀窍。”也就是说可以“从最简单的做起”于是我们通过画楼梯入手。 1个台阶（1种） 2个台阶（2种） 3个台阶（3种） 4个台阶（5种） …… 后来我觉得用这种表示方法实在太麻烦了，有没有更简捷的表达方法呢？于是在数学老师的启发下就想到了用最简单的数字来表达： 楼梯台阶数及方法楼梯上法表示 一个台阶（1种）（1） 二个台阶（2种）（1，1）（2） 三个台阶（3种）（1，1，1）（1，2）（2，1） 四个台阶（5种）（1，1，1 ，1）（1，1，2）（1，2，1）（2，1，1）（2，2）五个台阶（8种）（1，1，1，1，1）（1，1，1，2）（1，1，2，1）（1，2，1，1） （2，1，1，1）（2，1，2）（2，2，1）（1，2，2） 5个台阶有8种走法，那现在求16个台阶有几种走法，该怎么办呢？我们想用这个方法继
斐波那契数列的通项公式推导
斐波那契数列的通项公式推导 一个新的数学题初次接触时，会觉得这个题的解题技巧很妙，甚至有点非夷所思，但如果把同类型问题多做几个，你就会发现原来所谓的技巧，其实是一种再正常不过的想法，是一种由已知到未知的必然之路。这样我们就由解题的技巧而转化到了通解通法，进一步就会形成解题的思想，所以我对于数学爱好者建议，做题时要把同类型题多种总结和分析，这样你的数学才会有长足的进步。 下面我们就由递推推导通项的问题，进行对比分析。 例1 在数列{}n a 中，1=5a ，2=2a ，13=23n n n a a a --+ (3)n ≥，求数列{}n a 的通项。 （普通高中课程标准实验教科书人教A 版必修5第69页6题） 分析：此题可分两步来进行，首先由构造一个等比数列，其中 ，并写出的通项；然后利用，两边同除以得 ，由累加法，就可求出数列{}n a 的通项。 解：（ 设，则（）所以数列 为等比数列，且首项为 ，公比为3。所以 。 于是有，两边都除以得 设，则有 由累加法可得 因为 所以（） 于是有。 总结：上面的求解过程实质，求是一个把已知条件逐步化简的过程，由相邻三项的递推关系化为相邻两项的递推关系，进一步求出通项公式。 下面我们来研究一下著名的斐波那契数列的通项。 已知数列{}n a ，其中，，求数列{}n a 的通项。
解：首先我们要构造一个等比数列，于是设 则有。（1） 则由已知得（2） 对照（1）（2）两式得解得或。 我们取前一解，就会有。 设，则有 所以数列为等比数列，首项为，公比为 所以。即（3） 再次构造等比数列，设 则有 对照（3）式，可得所以 x=. 于是有 设，则有数列为等比数列，首项为，公比为，于是= 所以有。
斐波那契数列通项求法
斐波那契数列通项求法 为求得費波那西數列的一般表达式，可以借助线性代数的方法。高中的初等数学知识也能求出。 初等代数解法 已知 ? a 1 = 1 ? a 2 = 1 ? a n = a n ? 1 + a n ? 2 首先构建等比数列 设a n + αa n ? 1 = β(a n ? 1 + αa n ? 2) 化简得 a n = (β ? α)a n ? 1 + αβa n ? 2 比较系数可得: 不妨设β > 0,α > 0 解得： 所以有a n + αa n ? 1 = β(a n ? 1 + αa n ? 2)， 即 为等比数列。 求出数列{a n + αa n ? 1} 由以上可得：
变形得：。令 求数列{b n}进而得到{a n} 设，解得。故数列为等比数列 即。而，故有 又有和 可得 得出a n表达式 线性代数解法 构建一个矩阵方程 设J n为第n个月有生育能力的兔子数量，A n为这一月份的兔子数量。
上式表达了两个月之间，兔子数目之间的关系。而要求的是，A n+1的表达式。求矩阵的特征值：λ 行列式：-λ*(1-λ)-1*1=λ2-λ-1 当行列式的值为0，解得λ1=或λ2= 特征矢量 将两个特征值代入 求特征矢量得 = = 分解首矢量 第一个月的情况是兔子一对，新生0对。 将它分解为用特征矢量表示。
（4）用数学归纳法证明 从 = 可得 （5） 化简矩阵方程 将（4）代入（5） 根据 3 求A的表达式 现在在6的基础上，可以很快求出A n+1的表达式，将两个特征值代入 6 中
(7) (7)即为A n+1的表达式 近似值 用计算机求解 可通过编程观察斐波那契数列。分为两类问题，一种已知数列中的某一项，求序数。第二种是已知序数，求该项的值。 可通过递归递推的算法解决此两个问题。事实上当n相当巨大的时候，O(n)的递推/递归非常慢……这时候要用到矩阵加速这一技巧。
斐波那契数列问题
斐波那契数列问题。（专业C++作业ch4-1） 题目描述 著名意大利数学家斐波那契（Fibonacci）1202年提出一个有趣的问题。某人想知道一年内一对兔子可以生几对兔子。他筑了一道围墙，把一对大兔关在其中。已知每对大兔每个月可以生一对小兔，而每对小兔出生后第三个月即可成为“大兔”再生小兔。问一对小兔一年能繁殖几对小兔？ 提示： 由分析可以推出，每月新增兔子数Fn={1,1,2,3,5,8,13,21,34,…}（斐波那契数列），可归纳出F1=1，F2=1，……，Fn=Fn-2+Fn-1。 仿照课本P128页的“2.基本题（1）”进行编程。注意，（1）课本上的程序显示出数列的前16项的所有数值，这里要求只显示第n项数值；（2）课本上的程序在每次循环时显示数列中的两个数值（i=3时，显示了数列的第3项和第4项）。输入描述 一个正整数n，表示求第n个月的新增的兔子数。 输出描述 对输入的n，求第n个月的新增的兔子数。 输入样例 16 输出样例 987 2. (18分) 求阶乘和。（专业C++作业ch4-2） 题目描述 编程求出阶乘和1!+2!+3!+…+n!。 注意：13!=6 227 020 800已经超出unsigned long的范围，故程序中不宜采用整型数据类型，而应使用双精度类型存放结果。 输入描述 一个正整数n，n的值不超过18。 输出描述 对输入的n，求阶乘和1!+2!+3!+…+n!。（输出结果时，可以用输出格式控制“cout< 内蒙古自治区中小学教师教育技术水平（初级）试卷 （试卷科目：中学数学） 第一部分：基本知识题（本部分共8个题，每题2.5分，满分20分） 第1题 (单选题)教育技术的本质特征是（ C ）。 (2.5分) A．运用技术手段去优化教育、教学过程，以提高教育、教学的效果、效率和效益的教学实践B．本题答案中所给出的其它3个选项都不对 C．运用技术手段去优化教育、教学过程，以提高教育、教学的效果、效率和效益的理论和实践D．运用技术手段去优化教育、教学过程，以提高教育、教学的效果、效率和效益的理论研究 第2题 (单选题)关于教学评价中收集数据的工具与方法，下列说法中不正确的是（ D ）。 (2.5分) A．形成性练习是教学评价中经常使用的方法 B．结构化观察是教学评价中经常使用的方法 C．总结性测验是教学评价中经常使用的方法 D．在教学评价中无需使用态度量表 第3题 (单选题)课程结束时进行期末考试，考试依据课程标准来确定试题范围，采用纸笔测验试卷评分的方式。就这一评价（考试）的类型，以下选项中不准确的一项是（ B ）。 (2.5分) A．它是一种定量评价 B．它是诊断性评价 C．它是总结性评价 D．它是一种绝对评价 第4题 (单选题)将认知领域的教学目标分为了解（识记）、理解、运用、分析、综合、评价六个层次的美国心理学家是（ C ）。 (2.5分) A．加涅 B．布鲁纳 C．布卢姆 D．奥苏贝尔 第5题 (单选题)"知识积累的关键因素是刺激、反应以及两者之间的联系"，持这一观点的学习理论流派是（ D ）。 (2.5分) A．建构主义 B．认知主义 C．人本主义 D．行为主义 第6题 (单选题)根据您对教育技术及相关基础知识的理解，下例选项不正确的一项是（ B ）。 (2.5分) A．教学设计是运用系统方法分析教学问题和确定教学目标，建立解决教学问题的策略方案、试行解决方案、评价试行结果和对方案进行修改的过程 B．教育技术与信息技术的涵义是一样的，只是用不同的名词来表述而已 C．教育信息化是指在教育教学的各个领域中，积极开发充分应用信息技术和信息资源，以促进教育现代化，培养满足社会需求人才的过程 D．教育技术就是为了促进学习，对有关的学习过程和资源进行设计、开发、利用、管理和评价的理论与实践 摘要 本论文主要研究斐波那契数列的性质及其应用，从“兔子繁殖”问题建立数学模型，引出斐波那契数列的定义；运用二阶常系数齐次线性递归方程的特征根解法推导出了斐波那契数列的通项公式。论述并证明了有关斐波那契数列的恒等式和相关结论，涉及斐波那契数列相邻两项之比（即黄金分割比率）在广泛的应用，以及运用斐波那契数列解决一些实际数学问题。 目录 绪论 (1) 论文提出的背景和价值及国内外研究动态 (1) 一斐波那契数列的提出 (2) 1.1 问题的引出 (2) 1.2 斐波那契额数列的定义迭代表示 (3) 二斐波那契数列通项公式的推导 (3) 2.1 线性递归数列线性递归方程及其特征方程的解法 (3) 2.2 斐波那契数列通项公式的特征方程方法的推导 (4) 三斐波那契数列的部分相关性质 (5) 3.1 有关斐波那契数列的等式关系性质 (5) 3.2 有关斐波那契数列的结论 (12) 四斐波那契数列的有关应用 (13) 4.1 斐波那契数列前项与后项比例极限和黄金分割比例 (13) 4.2 运用斐波那契数列解决实际问题 (14) 绪论 论文提出的背景和价值及国内外研究动态 斐波那契数列十三世纪初叶就已经提出了，但是现如今我们学习工作生活中仍然对它有所触及。随着它的一些奇妙属性慢慢被世人所发现：从埃及金字塔到准晶体结构，从艾略特波浪理论到华罗庚的优选法（0.618），从达芬?奇的《蒙娜丽莎的微笑》到生物学的“鲁德维格定律”……吸引了国内外许多学者去研究它。斐波那契数列在现代物 理、准晶体结构、化学、生物、金融﹑美术等领域都有直接的应用，为此，美国数学会从1960年代起出版了《斐波那契数列》季刊，专门刊载这方面的研究成果。 我在这片论文中主要研究了有关斐波那契数列的关系式和结论，通过观察斐波那契数列前几项，猜测推算提出结论，验证、论证命题，采用了数学建模的思想，数学归纳法，线性递归等方法论述论文。 一斐波那契数列的提出 1.1 问题的引出 斐波那契数列是由13世纪的意大利数学家列昂纳多·斐波那契提出的。在1202年他所撰写的《珠算原理》（由于翻译差别，有多种中文译名）以兔子繁殖问题为例而引人，故称“兔子数列”。下面引述该问题： 一般的，兔子在出生一个月后就有繁殖能力。假设一对兔子（一雌一雄）每个月可繁殖出一对小兔子来，并且所有的兔子都不死，这样在笼中圈养一对有繁殖能力的兔子，那么一年后可以繁殖多少对兔子。 分析： 经过一个月，原来的大兔子繁殖了一对小兔子，小兔子没繁殖能力，大兔子一对，小兔子一对； 经过二个月，原来的大兔子继续繁殖了一对小兔子，上个月的小兔子长成了大兔子，现在大兔子有两对，小兔子一对 经过三个月，上个月大兔子繁殖了一共两对小兔子，上个月的小兔子长成了大兔子，现在大兔子有三对，小兔子两对； …… 依次类推列下表： 经过月数123456789101112小兔子对数1123581321345589144大兔子对数123581321345589144233兔子总对数23581324345589144233377中学数学-1(斐波那契数列)
斐波那契数列(1)