铁路客票最优动态票价理论研究

文章编号:100128360(2002)0120001204

铁路客票最优动态票价理论研究

史　峰,　郑国华,　谷　强

(中南大学经济管理学院,湖南长沙　410075)

摘　要:客票票价体系是旅客运输市场化程度的标志,我国铁路旅客运输通过多年改革的摸索,逐步打破了客票

票价几十年一成不变的僵化局面,在一定范围、一定时段内实行了票价浮动。相比之下,西方国家在动态票价方面

早已进行了多年的市场化经营与研究,形成了一整套成熟的客票票价体系。本文结合我国铁路运输市场票价管理

的发展趋势和西方国家多年的研究成果,研究了我国铁路动态客票票价的最优策略和实用性问题,给出的递推公

式可用于最优策略和实用策略的求解,为全国铁路客票发售和预订系统的票价计算子系统功能升级提供了理论

依据,为开展我国铁路客票动态票价研究进行了有意义的尝试。

关键词:客票票价;马氏决策;动态规划

中图分类号:U293.1 文献标识码:A

Opti m al dynam ic pr ic i ng of ra ilway passenger ticket

SH I Feng,　ZH EN G Guo2hua,　GU Q iang

(Econom y and M anagem ent Co llege,Central South U niversity,Changsha410075,Ch ina)

Abstract:A p assenger ticket p ricing system rep resen ts the m arketing degree of a p assenger tran spo rtati on sys2 tem.B y m any years refo rm ati on,Ch inese rail w ay p assenger tran spo rtati on has changed its fixed p ricing system and floating the p assenger ticket p rices som e ti m https://www.360docs.net/doc/5215199478.html, p aring w ith w est coun tries,Ch ina is beh ind in th is field.M o re researches and op erati on s have been done in w est coun tries.In th is p ap er,the op ti m al dynam ic p ricing po licy and the p ractical po licy of Ch inese rail w ay p assenger ticket are researched.B ased on the develop2 ing trend of Ch inese rail w ay p assenger ticket p ricing and the w estern researches,a fo rm u lati on is given w h ich can be u sed to find the op ti m al dynam ic p ricing po licy and the p ractical po licy.T hese resu lts supp ly theo retic bases fo r design ing p ricing sub system of the Passenger T icket Selling and R eserving System of Ch inese R ail2 w ay.

Keywords:p assenger ticket p rice;M arkov decisi on;dynam ic p rogramm ing

客票票价体系是旅客运输市场化程度的标志,我国铁路旅客运输通过多年改革的摸索,逐步打破了客票票价几十年一成不变的僵化局面,在一定范围、一定时段内实行了票价浮动,使客票票价在一定程度上反应了客运市场的供求关系。我国铁路正在简化铁路客票票价的计算方法,增加票价透明度,提高市场经济条件下的竞争能力,为铁路全面推向市场做准备,希望尽快在国家的政府指导价控制下,实行企业自主经营。同时,全国铁路客票发售和预订系统的建立,也为灵活调整客票票价提供了强有力的实施手段。

在西方国家,多年的市场化经营与研究形成了一收稿日期:2001208221;修回日期:2001210223

作者简介:史　峰(1956—),男,湖南芷江人,教授,博士。整套成熟的客票票价体系,通过优惠预售票价,有效地吸引了更多的旅客,使客票期望收益最大化。

K incaid和D arling于1963年就已开始用决策方法研究产品的动态价格[1],M iller讨论了与动态价格相关的连续时间马氏决策并证明了重要的基础性定理[2],Gallego和van R yzin研究了连续商品数量的动态价格问题[3],Feng和Gallego研究了较低价格增加至较高价格或较高价格减少至较低价格的一次变更价格问题[4],Rob in son研究了预售飞机票的动态价格问题[5],Gallego和van R yzin还研究了多种产品的动态价格问题[6]。所有这些研究,为动态价格问题奠定了理论基础。

本文结合我国铁路客票票价管理的发展趋势和西

第24卷第1期铁 道 学 报V o l.24　N o.1 2002年2月JOU RNAL O F TH E CH I NA RA I LW A Y SOC IET Y Feb ruary2002

方国家多年的研究成果,研究了我国铁路客票动态票价的最优策略和实用性问题,给出的递推公式可用于最优策略和实用策略的求解,为全国铁路客票发售和预订系统的票价计算子系统功能升级提供了理论依据,为开展我国铁路客票动态票价研究进行了有意义的尝试。

1　动态票价的马氏纯灭过程模型

铁路客票销售机构在组织客票发售过程中,假设有多个优惠票价方案提供选择,不同的优惠票价方案确定了不同的购票需求强度,购票旅客以这个需求强度的Po isson 流到达。考虑到列车多席别、多停站的特殊性,我们仅对某站及以远站实行优惠,以统一折扣率来描述不同到站的优惠票价,并且对不同席别指定不同的优惠票价方案。

注意到各到站优惠票价的折扣率相同,所以在忽略票价递远递减的情况下,最大收益票价方案只需要考虑所有席位都出售到终点站的情形。下面,我们在所有席位都出售到终点站的假设下,对单一席别用连续时间马氏纯灭过程来描述动态票价问题:设席位数量构成状态空间S ={0,1,2,…},递减率依赖于客票票价的需求强度,可供选择的票价集为P ={p 1,p 2,…,

p M },满足p 1

的需求强度为Κi ,记+={Κ1,Κ2,…,ΚM )为需求强度集,满足Κ1>Κ2>…>ΚM 。

在客流稳定不变的情况下,票价与需求强度是一一对应的,为方便叙述起见,认为销售机构先选择需求强度Κ,相应确定票价p Κ,相应收入率为r Κ=Κp Κ。对任何Κi ∈+,记r i =r Κi

。对于状态空间S 中的任意状态n ,定义所选择的需求强度?n 构成一个决策?=(?n ),或者说剩余席位为n 时的决策为选择需求强度?n (票价p n 随之得到确定)。一个策略为(预售)时间[0,∞)上、值为决策?的函数Π=(?t

),?t

的分量?t

n

表示预售时间为t 、剩余席

位为n 时所选择的需求强度。

最优动态票价问题就是要求解最优策略Π=(?t ),使期望收益最大。记V t n

为预售时间t 、剩余席位n 时的最大期望收益。

M iller 在讨论连续时间马氏决策时得到如下结

论[2]:存在一个最优策略Π

λ=(?λt n

),对任何状态n ∈S ,存在序列{z k }:0=z 0

在t ∈(z k -1,z k ]中为常数。也就是说最优需求强度?

λt n

仅仅在每一个z k (k >0)处才变换其值。

2　动态票价的最优策略

当购票旅客以需求强度Κ的Po isson 流到达时,

充分小的时间段(t ,t +?t )内,购买一个席位的概率为Κ?t +o (?t ),购买多于一个席位的概率为o (?t ),不购买席位的概率为1-Κ?t +o (?t ),由于时间段(t ,t +?t )内发售一个席位增加收入p Κ,根据动态规划B ell 2m an 最优化原理V t +?t n =m ax Κ∈+

{(1-Κ?t )V t n +Κ?t (V

t

n -1

+p Κ)+o (?t )}

由此可得

d V t

n

d t

=m ax Κ∈+{Κ(V

t

n -1

-V t

n

)+r Κ} 由前面提到的M iller 的结论,当?t 充分小时,最

优需求强度?t

n 在时间段[t -?t ,t ]内为常数Β,上式便可改写为

d V t

n

d t

=Β(V t n -1

-V t

n

)+r Β解此线性微分方程得

V t

n

=

∫

t

t -?t

(ΒV s

n -1+r Β)e -

Β(t -s )

d s +

e -

Β?t

V

t -?t n

改写t 为t +?t ,得

V

t +?t n

=

∫

t +?t

t

(ΒV s

n -1+r Β)e -

Β(t +?t -s )

d s +

e -

Β?t

V

t n

进而得

V

t +?t n

=[(V s n -1+p Β)e -

Β(t +?t -s )

]t +?t t -∫

t +?t t

d V s n -1d s

e -Β(t +?t -s )

d s +

e -

Β?t

V t

n =

V

t +?t n -1

+p Β-e -

Β?t

[p Β-(V t n -V t n -1)]-

∫

t +?t

t

d V s n -1d s

e

-Β(t +?t -s )

d s 当?t 充分小时,d V s n -1

d s

=

V t +?t n -1

-V t n -1

?t ,得

V t +?t n =V t +?t n -1+p Β-e

-Β?t

[p Β-

(V t n -V t n -1

)]-V

t +?t

n -1

-V t

n -1

Β?t

(1-e -

Β?t

)

(1)

式中注意到V

t +?t n

为最大期望收益,消除Β的最优性,

得到最大期望收益V t

n 的递推公式

V

t +?t n

=m ax Κ∈+

{V

t +?t n -1

+p Κ-e -

Κ?t

[p Κ-(V t n -V t

n -1

)]-

V

t +?t

n -1

-V t

n -1

Κ?t

(1-e -Κ?t

)}(2)

在t =0和n =0的边界上,t =0表示开车时间已到,本文从发车前组织售票的意义上认为不能再产生任何收益(必要时也可对车上补票和前方站在开车以后发售剩余席位的收益进行估计);n =0表示票已售完,自然不会产生任何收益。所以边界条件为

V t 0=0　V 0

n =0　t ∈[0,∞)　n ∈S

(3)

2　铁 道 学 报第24卷

利用递推公式(2)和边界条件公式(3),选择较

小的?t 值(亦可取几个值,预售期越短时?t 越小),递推地求解动态票价问题,当递推过程中存在多个需求强度都为最优解时,我们选择较小的作为最优需求强度。3　计算分析与实用策略

设某席别有500个席位需要在发车前60天开始组织出售,票价分别为p 1=228元,p 2=288元,p 3=328元,需求强度

Κ1=

27.0,　0

Κ2=

26.

0,　0

8.0,　10

25.0,　0

2.0,　10

这里用分段函数描述需求强度,能更加充分地反应越接近开车时间需求强度越大的客观规律。

由递推公式(2)和边界条件公式(3)并取?t 为1天,递推地求解上述问题得最大期望收益为142798元,最优动态票价策略如图1所示,形成3块不规则票价区域。由于给定的需求强度在开车前10天较大,所以开车前10天票价最高。

图1　最优动态票价策略

至于一般情况下临近开车时到底应该降价还是应该涨价,不同的需求强度将出现不同的答案。高强度需求(如春运时期)的计算结果将是只有最高票价区域,其它票价不出现;低强度需求的计算结果将是以原点为端点的射线为票价区域分界线,非常明显的反应出

“在同一时刻,席位数越少票价越高,在同一席位数量,预售期越短票价越低”的基本特征。

然而,图1所示的最优动态票价不便于实际操作,票价区域的分界曲线较为复杂,售票过程中票价的变化次数较多,既不便于管理,也不便于向旅客公布票价规则。为了增强票价策略的可操作性,可采用结构较简单的实用策略:选择点A =(t a ,n a )和B =(t b ,n b )使t a ≥t b 且n a ≥n b ,票价p 1的区域为(t ≥t a 且n ≥n a ),票价p 2

的区域为(t

按照上述实用策略结构,利用公式(1)和边界条件公式(3)并取?t 为1天,搜索出最优关键点A =(10,416)和B =(10,179),得实用策略如图2所示,其直观解释为:提前10天以上售票时,发售85张票价为228元的优惠票,237张票价为288元的优惠票,其它

情形票价为全价328元。此实用策略的期望收益为

142575元,与最优策略相比仅少收入223元。

图2　实用动态标价策略

两种票价的动态票价体系中,实用策略结构类似,但只要1个关键点。

4　进一步的研究

对于动态客票票价问题,票价集的制定和需求强度的统计调查是极端重要的,不仅涉及到旅客对票价的反应,还涉及到其它运输工具的定价策略,要在整个运输系统的竞争环境中来考虑问题,为了进一步反应客观实际,需求强度还可用“时变非增函数”进行精确描述。另外,最优动态票价策略的实用化研究也非常重要,实用策略较最优策略可能减少一些期望收益,但实用策略是一个易于实施的方案,使实现较高的期望收

3

第1期铁路客票最优动态票价理论研究　

益成为可能。本文的研究仅限于动态客票票价的最优策略和一类实用策略的求解问题,作为计算方法也可直接用于时变非增需求强度条件下最优策略和实用策略的求解,但票价集和需求强度只作为已知条件来使用。从某种意义上来说,动态票价的最优性更依赖于票价集和需求强度集的合理性。

虽然动态客票票价问题已逐步受到铁路旅客运输经营和管理部门的重视,国外也有多年的应用经验,但国内的理论研究刚刚起步,仍有大量的基础工作需要研究,只有投入更多的研究力量,才能满足市场经济发展的需要。

参考文献:

[1]K incaid W M,D arling D A.A n inven to ry p ricing p rob lem

[J].Jou rnal of M athem atical A nalysis and A pp licati on s.

1963,(7):183—208.[2]M iller B L.F in ite state con tinuou s ti m e M arkov decisi on

p rocesses w ith a fin ite state p lann ing ho rizon[J].S I AM Jou rnal of Con tro l,1968,(6):266—280.

[3]Gallego G,van R yzin G.Op ti m al dynam ic p ricing of in2

ven to ries w ith stochastic dem and over fin ite ho rizon s[J].

M anagem en t Science,1994,(40):999—1020.

[4]Feng Y,Gallego G.Op ti m al starting ti m es foe end2of2sea2

son sales and op ti m al stopp ing ti m es fo r p romo ti onal fares [J].M anagem en t Science,1995,(41):1371—1391. [5]Rob in son L W.Op ti m al and app rox i m ate con tro l po licies

fo r airline book ing w ith sequen tial fare classes[J].Opera2 ti on s R esearch,1995,(43):252—263.

[6]Gallego G,van R yzin G.A m u lti p roduct dynam ic p ricing

p rob lem and its app licati on to netw o rk yield m anagem en t [J].Operati on s R esearch,1997,(45):24—41.

(责任编辑　李淑萍　刘梅林)

下　期　要　目

　○路网发展规划模型

　○工业编组站解体车列选定的模糊综合评判

　○高速列车隧道会车压力波的数值分析方法

　○高速动力车车轴强度分析的工程方法

　○车轴稳态曲线通过性能的延续算法

　○随机减量法在机车车辆轮对系统模态参数识别中的应用　

　○分布式远程视频监控差错控制技术

　○光纤光栅应变时特性的研究

　○遗传算法中的基因流

　○无缝道岔群对钢轨位移和纵向力的影响研究

　○隧道及地下工程喷膜防水技术

　○不同轨下基础轨道连接的动力特性分析

　○不明混凝土桥梁疲劳问题的变化相似解

　○材质与工艺因素优化的数学模拟

4　铁 道 学 报第24卷