二项式定理(1)

高三数学第一轮复习讲义（71）

二项式定理（1）

一．复习目标：

1．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们讨论整除、近似计算等相关问题．

2．能利用二项展开式的通项公式求二项式的指数、求满足条件的项或系数．

二．知识要点：

1．二项式定理：．

2．二项展开式的性质：

（1）在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数．

（2）若n 是偶数，则的二项式系数最大；若n 是奇数，则的二项式系数最大．

（3）所有二项式系数的和等于．

（4）奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和．

三．课前预习：

1．设二项式n x

x )13(3+的展开式的各项系数的和为P ，所有二项式系数的和为S ，若2=+S P ，则

（ A ）

()A 4 ()B 5 ()C 6 ()D 8 2．当+∈N n 且2≥n 时，q p n +=++++-52221142 （其中N q p ∈,,且

50<≤q ），则q 的值为

（ A ）

()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 与n 有关

3．在62)12(x x -的展开式中常数项是605=T ；中间项是34160x T -=． 4．在1033)3(x x -的展开式中，有理项的项数为第3，6，9项．

5．求62)321(x x -+展开式里5x 的系数为-168．

6．在7)1(+ax 的展开式中，3x 的系数是2x 的系数与4x 的系数的等差中项，若实数1>a ，那么=a 5

101+．四．例题分析：

例1．求9)23(x -展开式中系数绝对值最大的项．

解：9)23(x -展开式的通项为r r r r r r r r x C x C T ???-=-??=--+999913)2()2(3，

设第1+r 项系数绝对值最大，即???????≥????≥??-----++-r r r r r r r r r r r r C C C C 10191998191993

2323232，所以???≥--≥+r

r r r 322021833，∴43≤≤r 且N r ∈，∴3=r 或4=r ，

故系数绝对值最大项为3448988x T -=或45489888x T =．

例2．已知n x x )12(2lg lg ++展开式中最后三项的系数的和是方程

0)7272lg(2=--y y 的正数解，它的中间项是2lg 2410+，求x 的值．

解：由0)7272lg(2=--y y 得073722=--y y ，∴1-=y （舍去）或73=y ，

由题意知，732412=+?+?--n n n n n n C C C ，∴6=n

已知条件知，其展开式的中间项为第4项，即

20001016022lg 24)2lg (lg 3)2lg (lg 3336==?=??+++x x x x C ，

∴012lg lg 2lg lg 2=-+?+x x ，∴1lg -=x 或5lg 2lg 1lg =-=x ，∴10

x 或5=x ．经检验知，它们都符合题意。

例3．证明98322--+n n 能被64整除(+∈N n )．

证明：

)

88(88889

8188898)18(989983112111221111111111122-+-+--+++++++++++?+=?++?+=--+?++?+=--+=--=--n n n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C n C C n n n ∵11211188-+-+-++?+n n n n n C C 是整数，∴983

22--+n n 能被64整除．

五．课后作业：班级学号姓名

1．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++的

值为（ A ）

()A 1 ()B -1 ()C 0 ()D 2

2．由1003)23(+x 展开所得的x 的多项式中，系数为有理数的共有

（ B ）

()A 50项 ()B 17项 ()C 16项 ()D 15项

3．)1()2(210-+x x 的展开式中，10x 的系数为179．(用数字作答)

4．9)2

(x x a -的展开式中，3x 的系数为49，常数a 的值为4． 5．求111999除以8的余数．

解：

∵)

(7)1250(88720001)200020002000(2000

2000200020002000)12000(1999101182119111101011921110111110111111Z k k k C C C C C C C ∈+-=-+=-+-+-=-?+-?+?-?=-= 由上面展开式可知199911除以8的余数是7．

6．（1）求7)21(x +展开式中系数最大项．（2）求7)21(x -展开式中系数最大项．解：(1)设第1+r 项系数最大，则有

??????≥??≥?--++117711772222r r r r r r r r C C C C ，即???????--≥-?-+?≥-)!

8()!1(!7)!7(!!72)!6()!1(!72)!7(!!7r r r r r r r r ，即???≥--≥+r r r r )8(2)7(21， ∴3

16313≤≤r 且Z r r ∈≤≤,70，∴5=r ．所以系数最大项为5555766722x x C T =??=

(2)展开式共有8项，系数最大项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得，故系数最大项必在中间或偏右，故只需比较5T 和7T 两项系数大小即可．又因为

444475560)2(x x C T =-=，666677448)2(x x C T =-=，

所以系数最大的项是第五项为444475560)2(x x C T =-=．

7．设),()1()1()(+∈+++=N n m x x x f n m ，若展开式中关于x 的一次项系数和为11，试问n m ,为何值时，含2x 项的系数取得最小值．

解：由题意知1111=+n m C C ，即11=+n m ，

又展开式中含2x 项的系数4

49)211(5511)]1()1([212222+-=+-=-+-=+=n n n n n m m C C n m ， ∴当5=n 或6=n 时，含2x 项的系数最小，最小值为25．

此时6,5==m n ；或6,5==n m ．

8．设n x

x )32(-展开式中第2项的系数与第4项的系数的比为4：45，试求2

x 项的系数．

解：第1+r 项2321)3(2)3()2(r

n r r n r n r r n r n r x C x

x C T ---+-??=-??=， ∴454)

3(2)3(233311=-??-??--n n n n C C ，即454)2)(1(964=--??n n n n ，∴02832=--n n ， ∴7=n 或4-=n （舍负）．令2232=-r n ，即2

3227r =-，∴1=r ． ∴2x 项的系数1344)3(21717-=-??-C ．

9．求6998.0的近似值，使误差小于001.0．

解：988.0)002.0(61)002.0()002.0(15)002.0(61)002.01(998.06266=-?+≈-++-?+-?+=-=

二项式定理

二项式定理性质：说课稿一、教材分析 1.教材的地位和作用二项式定理一节，分四个课时.这里讲的是第一课时，重点是公式的推导，其次是二项式定理及二项展开式通项公式的简单应用，至于二项式定理及二项展开式的通项公式的灵活运用和二项式系数的性质留在第二、三、四课时. 二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式——二项式的乘法的展开式，这一小节与不少内容都有着密切联系，特别是它在本章学习中起着承上启下的作用.学习本小节的意义主要在于：（1）由于二项式定理与概率理论中的三大概率分布之一-----二项分布有内在联系，本小节是学习后面的概率知识以及进一步学习概率统计的准备知识. （2）由于二项式系数都是一些特殊的组合数，利用二项式定理可得到关于组合数的一些恒等式，从而深化对组合数以及计数原理的认识. （3）基于二项式展开式与多项式乘法的联系,本小节的学习可对初中学习的多项式的变形起到复习、深化的作用. （4）二项式定理是解决某些整除性、近似计算问题的一种方法. 2.教学的重点·难点根据以上分析和新课标的教学要求确定了以下：重点：二项定理的推导及运用难点：二项式定理及通项公式的运用二、三维教学目标分析知识目标掌握二项式定理及二项展开式的通项公式，并能熟练地进行二项式的展开及求解某些指定的项. 能力目标通过探索二项式定理，培养学生观察问题发现问题,归纳推理问题的能力. 情感目标激发学生学习兴趣、培养学生不断发现，探索新知的精神，渗透事物相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点，并通过数学的对称美，培养学生的审美意识.

三、教法分析：新的数学课程标准提出：掌握数学知识只是结果，而掌握知识的活动过程才是途径，通过这个途径，来挖掘人的发展潜能才是目的，结果应让位于过程.因此，在教学中，必须贯彻好过程性原则.也就是说，在教学过程中，充分揭示每一个阶段的思维活动过程，通过思维活动过程的暴露和数学创新活动过程的演变，使教学活动成为思维活动的教学，由此来启发、引导学生直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程. 变传统的“接受性、训练性学习”为新颖的“探究式、发现式的学习”，变教师是传授者为组织者、合作者、指导者，在学习过程中，教师想尽办法激发学生探究式、发现式学习的兴趣，并使其作为一种教学方式应用于概念、定理、公式和解题教学中，让学生在探究、发现中获取知识，发展能力.从而增强学生的主体意识，提高学生学习的效果. 四、教学过程：（一）创设情境，激发兴趣提出问题：“今天是星期六，我能很快知道再过810天的那一天是星期几，你能想出来吗？” 设计意图：根据教学内容特点和学生的认识规律，给学生提出一些能引起思考和争论性的题目，即一些内容丰富、背景值得进一步探究的诙谐有趣的题目、给学生创造一个“愤”和“悱”的情境，利用问题设下认知障碍，激发学生的求知欲望. （二）问题初探（1）、从具体问题入手，启发学生将这个问题转化成一个数学问题：“求810被7除的余数是多少？”因为8=7+1，82=（7+1）2=72+2﹡ 7+1，83=（7+1）3=73+3 72+3 ﹡7+1,那810=（7+1）10又如何展开呢？更一般的（a+b）10、(a+b)n 如何展开？从而产生研究问题从特殊到一般的转化. 1、先让学生自己动手运用多项式乘多项式的法则写出（a+b） 2、（a+b） 3、（a+b）4的展开式，然后提出用这种方法写出（a+b）10的展开式容易吗？（a+b）100、（a+b）n呢？对于这个问题，我们如何解决？

(完整版)二项式定理典型例题解析

二项式定理概念篇【例1】求二项式(a －2b )4的展开式. 分析：直接利用二项式定理展开. 解：根据二项式定理得(a －2b )4=C 04a 4+C 14a 3(－2b )+C 24a 2(－2b )2+C 34a (－2b )3 +C 44(－ 2b )4 =a 4－8a 3b +24a 2b 2－32ab 3+16b 4. 说明：运用二项式定理时要注意对号入座，本题易误把－2b 中的符号“－”忽略. 【例2】展开(2x － 223x )5 . 分析一：直接用二项式定理展开式. 解法一：(2x －223x )5=C 05(2x )5+C 15(2x )4(－223x )+C 25(2x )3(－223x )2+C 35(2x )2(－2 23x )3+ C 4 5 (2x )(－223x )4+C 55(－2 23x )5 =32x 5－120x 2+x 180－4135x +78405 x －10 32243x . 分析二：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开. 解法二：(2x －223x )5=105 332)34(x x =10321x ［C 05(4x 3)5+C 15(4x 3)4(－3)+C 25(4x 3)3(－3)2+C 35(4x 3)2(－3)3+C 45(4x 3)(－3)4+ C 55(－3)5 ］ = 10 321 x (1024x 15－3840x 12+5760x 9－4320x 6+1620x 3－243) =32x 5－120x 2+x 180－4135x +78405 x －10 32243x . 说明：记准、记熟二项式(a +b )n 的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提条件.对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便. 【例3】在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是 . 解法一：根据二项式定理可知x 6的系数是C 4 10. 解法二：(x －3)10的展开式的通项是T r +1=C r 10x 10－ r (－3)r . 令10－r =6，即r =4，由通项公式可知含x 6项为第5项，即T 4+1=C 410x 6(－3)4=9C 410x 6. ∴x 6的系数为9C 410. 上面的解法一与解法二显然不同，那么哪一个是正确的呢？问题要求的是求含x 6这一项系数，而不是求含x 6的二项式系数，所以应是解法二正确. 如果问题改为求含x 6的二项式系数，解法一就正确了，也即是C 4 10. 说明：要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异. 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项

二项式定理(通项公式).

二项式定理二项式知识回顾 1. 二项式定理 0111 ()n n n k n k k n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=++ ++ +, 以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k k k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项. （请同学完成下列二项展开式） 0111()(1)(1)n n n k k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-+ +-，1(1)k k n k k k n T C a b -+=- 01(1)n k k n n n n n n x C C x C x C x +=++ +++ ① 01 11 (21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=++ ++ + 1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=++++ + ② ① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 01 2n n n n n C C C ++ +=，即二项式系数和等于2n ；偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即0213 12n n n n n C C C C -++=++ = ② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和. 2. 二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n m n n C C -=. （2）二项式系数k n C 增减性与最大值：当12n k +< 时，二项式系数是递增的；当1 2 n k +≥时，二项式系数是递减的. 当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n n C -和12n n C +相等，且同时取得最大值. 3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质：f(x )= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n ⑴ a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f(1) ⑵ a 0-a 1+a 2-a 3……+(-1)n a n =f(-1) ⑶ a 0+a 2+a 4+a 6 (2) 1()1(-+f f ⑷ a 1+a 3+a 5+a 7……= 2 ) 1()1(--f f

二项式定理经典习题及标准答案

二项式定理经典习题及答案

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二项式定理 1. 求()x x 2 9 12- 展开式的：（1）第6项的二项式系数；（2）第3项的系数；（3）x 9 的系数。分析：（1）由二项式定理及展开式的通项公式易得：第6项的二项式系数为C 95 126=；（2）T C x x x 392 27 2 12129=??-=()()，故第3项的系数为9；（3）T C x x C x r r r r r r r +--=??- =-?192991831212 ()()()，令1839-=r ，故r ＝3，所求系数是()-=- 1 2 212 393 C 2. 求证：51151 -能被7整除。分析：5114921494924922151 51 5105151150515150515151 -=+-=+?++?+-()C C C C Λ，除C 5151 51 2 1-以外各项都能被7整除。又C C C C C 5151 51 31717170171711617161717 2 1217117771?-=-=+-=++++-()()Λ 显然能被7整除，所以51151 -能被7整除。 3. 求9192 除以100的余数。分析：91 90190909092 92920929219192919292=+=++++()C C C C Λ 由此可见，除后两项外均能被100整除，而C C 9291 9292 9082818210081+==?+ 故9192 除以100的余数为81。 4.（2009北京卷文）若4 (12)2(,a b a b +=+为有理数），则a b += A ．33 B ． 29 C ．23 D ．19 【答案】B .w 【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵() () ()() () ()4 1 2 3 4 012344 4 4 4 4 12 22222C C C C C +=++++ 1421282417122=++++=+，由已知，得171222a b +=+，∴171229a b +=+=.故选B . 5.（2009北京卷理）若5 (12)2(,a b a b +=+为有理数），则a b += （） A ．45 B ．55 C ．70 D ．80 【答案】C 【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵

二项式定理知识点总结

二项式定理一、二项式定理： ()n n n k k n k n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110（*∈N n ）等号右边的多项式叫做 ()n b a +的二项展开式，其中各项的系数k n C )3,2,1,0(n k ???=叫做二项式系数。对二项式定理的理解：（1）二项展开式有1+n 项（2）字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1到0；字母b 按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n （3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数b a ,，等式都成立，通过对b a ,取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设x b a ==，1，则 ()n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x +++++=+- 101（*∈N n ）（4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式()n b a +展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式()n b a + 二、二项展开式的通项：k k n k n k b a C T -+=1 二项展开式的通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=是二项展开式的第1+k 项，它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用对通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=的理解：（1）字母b 的次数和组合数的上标相同（2）a 与b 的次数之和为n （3）在通项公式中共含有1,,,,+k T k n b a 这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素

二项式定理第一课时教学设计

二项式定理第一课时教学设计广西北海市第五中学蒙旭芬一、教材分析： 1、【教材的地位及作用】“二项式定理”是全日制普通高，结合新课标的理念，制订如下的教学目标和教学重，难点）。教学目标： 1、知识目标：通过对二项式定理的学习，使学生理解二项式定理，会利用二项式定理求二项展开式。并理解和掌握二项展开式的规律，利用它能对二项式展开，进行相应的计算。还会区别“系数”、“二项式系数”等概念，灵活正用和逆用展开式。级中学教科书《数学第二册（下A）》的第十章第四节，它既是安排在排列组合内容后的自成体系的知识块，也是初中学习的多项式乘法。它所研究的是一种特殊的多项式——二项式幂的展开式。它与后面学习的概率的二项分布有着内在的联系，利用二项式定理还可以进一步深化对组合数的认识。因此，二项式定理起着承上启下的作用，是本章教学的一个重点。本小节约需3个课时，本节课是第一课时。【学生情况分析】授课的对象是高中二年级中等程度班级的学生。他们具有一般的归纳推理能力，学生思维也较活跃，但创新思维能力较弱。在学习过程中，大部分学生只重视定理、公式的结论，而不重视其形成过程，因而对定理、公式不能做到灵活运用，更做不到牢牢记住。（根据以上分析 2、能力目标：在学 3、情感目标：通过“二项式定理”的学习，培养学生解决数学问题的兴趣和信心，让学生感受数学内在的和谐，对称美及数学符号应用的简洁美，进一步结合“杨辉三角”，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感和为国富民强而勤奋学习的热情，培养学生勇于探索，勇于创新的精神。一、教学重点，难点，关键：重点：（1）使学生参与并深刻体会二项式定理的形成过程，理解和掌握二项展开式的规律。（2）利用二项展开式的规律对二项式展开，进行相应的计算。（3）区别“系数”、“二项式系数”等概念，灵活正用和逆用展开式。难点：

杨辉三角与二项式定理导学案

§1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质主讲：泉州中远学校高二数学组朱坤城【三维目标】 1. 使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律； 2．能运用函数观点分析处理二项式系数的性质； 3. 理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用。 4. 引导学生发现、欣赏数学中的美，弘扬民族文化。【教学重难点】教学重点：二项式系数的性质及其应用；教学难点：杨辉三角的基本性质的探索和发现。【教学过程】【问题探究1】。杨辉三角的来历及规律早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和；指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它.这表明我国发现这个表不晚于11世纪；在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角.这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右. 认识杨辉三角： 1 1 1 12 1 133 1

1464 1 1510105 1 161520156 1 你能发现这个三角数阵的几个规律：从以上的数阵，想想我们学过的哪些知识和它有联系？【问题探究2】二项式定理与杨辉三角的联系。问题1：二项式展开式是：试把( a+b) n（n=0，1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数填入课本P32的表格。问题2：为了方便，我们将上表改写成如下形式. (a+b)0 (1) (a+b)1 …………………………………………………1 1 (a+b)2…………………………………………………12 1 (a+b)3………………………………………………133 1 (a+b)4……………………………………………1464 1 (a+b)5…………………………………………1510105 1 (a+b)6………………………………………161520156 1 …………………………… 【问题探究3】、从函数角度分析二项式系数：

【X2304】二项式定理1

高二同步之每日一题【X2304】二项式定理【1】 X2-3041.在5)21(x +的展开式中,2 x 项的系数为 . 解:由二项式定理的通项公式得 51551(2)2r r r r r r r T C x C x -+=??=. 令2r =可得222235240T C x x ==. 故2x 项的系数为40. X2-3042.在12)13(x x -展开式中,3-x 的系数为 . 解:由二项式定理的通项公式得 11212122 11212(3) (3(1)r r r r r r r r r T C x C x x ----+=??=?-??? 312122123 (1)r r r r C x --=?-??. 令31232 r -=-可得10r =, 即121010103311123 (1)594T C x x ---=?-??=. 故3-x 项的系数为594. X2-3043.若n x x x )1 (3+的展开式的常数项为84,则n = . 解:由二项式定理的通项公式得 33332 1() r r n r r r n r r n n T C x C x x ---+=??=?? 932n r r n C x -=?. 令9302 n r -=可设3,2n k r k ==,其中k N +∈. 故有23384r k k n k k C C C ===,解得3k =. 故39n k ==.

X2-3044.在10)31(x x - 的二项展开式中含x 的正整数指数幂的项的系数为 . 解:由二项式定理的通项公式得 15 1021101011()()33 r r r r r r r r T C C x x x ---+=??-=-??? 352101()3 r r r C x -=-??. 由352 r -为正整数可得0r =,或2r =. 当0r =时, 350005 21101()3 T C x x -?=-??=. 当2r =时, 352222 23101()53 T C x x -?=-??=. 故所求项的系数为1,或5. X2-3045.在84)1(x x + 展开式中,含x 的整数次幂的所有项的系数之和为 . 解:由二项式定理的通项公式得 114 824 188r r r r r r r T C C x x ---+=??=?? 3448r r C x -=?. 由352 r -为整数可得0r =,或4r =,或8r =. 当0r =时, 34004418T C x x -?=?=. 当4r =时, 344445870T C x x -?=?=. 当8r =时,

二项式定理公开课教案

二项式定理公开课教案 1、重点：二项式定理的发现、理解和初步应用。 2、难点：二项式定理的发现。三、教学过程 1、情景设置问题1：若今天是星期一，再过30天后是星期几？怎么算？预期回答：星期三，将问题转化为求“30被7除后算余数”是多少。问题2：若今天是星期一，再过)(8* ∈N n n 天后是星期几？怎么算？预期回答：将问题转化为求“n n )17(8+=被7除后算余数”是多少，也就是研究)()(*∈+N n b a n 的展开式是什么？这就是本节课要学的内容，学完本课后，此题就不难求解了。2、新授第一步：让学生展开 b a b a +=+1)( 2222)(b ab a b a ++=+； 32232333)()()(b ab b a a b a b a b a +++=++=+； 43223434464)()()(b ab b a b a a b a b a b a ++++=++=+ 5432234555510105)()()(b ab b a b a b a a b a b a b a +++++=++=+ 教师将以上各展开式的系数整理成如下模型 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 问题1：请你找出以上数据上下行之间的规律。预期回答：下一行中间的各个数分别等于上一行对应位置的相邻两数之和。问题2：以5 )(b a +的展开式为例，说出各项字母排列的规律；项数与乘方指数的关系；展开式第二项的系数与乘方指数的关系。

预期回答：①展开式每一项的次数按某一字母降幂排列、另一字母升幂排列，且两个字母的和等于乘方指数；②展开式的项数比乘方指数多1项；③展开式中第二项的系数等于乘方指数。初步归纳出下式： ()()()()()n n n n n n b b a b a b a a b a +++++=+--- 33221)( （※）（设计意图：以上呈现给学生的由系数排成的“三角形”，起到了“先行组织者”的作用，虽然，教师将此“三角形”模型以定论的形式呈现给学生，但是，它毕竟不是最后的结果，而是一种寻找系数规律的有效工具，便于学生将新的学习材料同自己原有的认知结构联系起来，并纳入到原有认知结构中而出现意义。这样的学习是有意义的而不是机械的，是主动建构的而不是被动死记的心理过程。）练习：展开7 )(b a + 教师作阶段性评价，告诉学生以上的系数表是我国宋代数学家杨辉的杰作，称为杨辉三角形，这项发明比欧洲人帕斯卡三角早400多年。你们今天做了与杨辉同样的探索，以鼓励学生探究的热情，并激发作为一名文明古国的后代的民族自豪感和爱国热情。第二步：继续设疑如何展开100) (b a +以及)()(*∈+N n b a n 呢？（设计意图：让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的，激发学生继续学习新的更简捷的方法的欲望。）继续新授师：为了寻找规律，我们将))()()(()(4b a b a b a b a b a ++++=+中第一个括号中的字母分别记成11,b a ；第二个括号中的字母分别记成22,b a ；依次类推。请再次用多项式乘法运算法则计算：))()()(()(443322114b a b a b a b a b a ++++=+

第50讲二项式定理-新高考数学一轮专题复习(新高考专版)

第50讲二项式定理一、考情分析 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理； 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 二、知识梳理 1.二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N+)； (2)通项公式：T r＋1＝C r n a n－r b r，它表示第r＋1项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，C n n. 2.二项式系数的性质 3.各二项式系数和 (1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n. (2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n ＋…＝2n－1. [微点提醒] (a＋b)n的展开式形式上的特点 (1)项数为n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.

(4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C n n . 三、经典例题考点一通项公式及其应用多维探究角度1 求二项展开式中的特定项【例1－1】 (1)(x 2 ＋1)? ????1x －25 的展开式的常数项是( ) A.5 B.－10 C.－32 D.－42 (2)? ?????3x －123x 10 的展开式中所有的有理项为________. 解析 (1)由于? ????1x －25 的通项为C r 5·? ?? ??1x 5－r ·(－2) r ＝C r 5·(－2)r ·x r －5 2，故(x 2＋1)·? ????1x －25 的展开式的常数项是C 15·(－2)＋C 55(－2)5 ＝－42. (2)二项展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 10? ????－12k x 10－2k 3 . 由题意 10－2k 3∈Z ，且0≤k ≤10，k ∈N . 令10－2k 3＝r (r ∈Z )，则10－2k ＝3r ，k ＝5－32r ， ∵k ∈N ，∴r 应为偶数. ∴r 可取2，0，－2，即k 可取2，5，8， ∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为45 4x 2，－ 638，45256 x －2. 答案 (1)D (2)454x 2，－638，45 256x －2 规律方法求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r ＋1，代回通项公式即可. 角度2 求二项展开式中特定项的系数

二项式定理典型例题

二项式定理典型例题-- 典型例题一例1 在二项式n x x ??? ? ?+421的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决．解：二项式的展开式的通项公式为： 4324121C 21)(C r n r r n r r n r n r x x x T --+=??? ??= 前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8141C ,2121C ,1231 21-=====n n t n t t n n ，由已知：)1(8 1123 12-+=+=n n n t t t ， ∴8=n 通项公式为 1431681,82,1,021C +- +==r r r r r T r x T Λ为有理项，故r 316-是4的倍数， ∴.8,4,0=r 依次得到有理项为228889448541256 121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-．说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类似地，1003)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有 17页系数和为n 3．典型例题四例4 （1）求103)1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21(++x x 展开式中的常数项．分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式．解：（1）10 3)1()1(x x +-展开式中的5x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：

2018年高考二项式定理十大典型问题及例题

学科教师辅导讲义 1．二项式定理： 011 ()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=++ ++ +∈， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。 4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+- ++ +-∈ 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1) k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C +++++ +=，变形式1221r n n n n n n C C C C ++ ++ +=-。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123 (1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=，从而得到：02421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++ ++???= ?= ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

(完整版)二项式定理典型例题

1. 在二项式n x x ??? ? ? +4 21的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决．解：二项式的展开式的通项公式为： 4324121C 21)(C r n r r n r r n r n r x x x T --+=?? ? ??= 前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8 141C ,2121C ,123121-=====n n t n t t n n ，由已知：)1(8 1 12312-+=+=n n n t t t ， ∴8=n 通项公式为 14 3168 1,82,1,02 1C +- +==r r r r r T r x T Λ为有理项，故r 316-是4的倍数， ∴.8,4,0=r 依次得到有理项为22 888944 8 541256 121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-．说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类似地，100 3)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有系数和为n 3． 2.（1）求10 3 )1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21 (++ x x 展开式中的常数项．分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式．解：（1）10 3)1()1(x x +-展开式中的5x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：用3)1(x -展开式中的常数项乘以10)1(x +展开式中的5x 项，可以得到5 510C x ；用 3)1(x -展开式中的一次项乘以10)1(x +展开式中的4x 项可得到54104410C 3)C )(3(x x x -=-；

高二数学二项式定理1 (2)

二项式定理 ●课时安排 3课时 ●从容说课 (1)本小节的内容是二项式定理及其有关概念、二项式系数的性质. (2)本小节的教学要求：理解并掌握二项式定理及二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题. (3)本小节在教材中的地位：本小节内容在本章中起着承上启下的作用.由于二项式定理与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有其内在联系，本小节是为学习后面的概率知识以及进一步学习概率统计知识作准备；又由于二项式系数是一些特殊的组合数，利用二项式定理可得到关于组合数的一些恒等式，从而深化对组合数的认识. (4)本小节重难点：本小节的重点是二项式定理；本小节的难点是二项式定理及二项式系数的性质的灵活应用. (5)本小节重难点的处理：对于二项式定理的学习要求学生抓住二项展开式的通项公式的特点，并与数列的通项公式相联系；通过对二项展开式进行赋值获得二项式系数的性质；注重函数思想在研究二项式系数性质时的应用. (6)教学中应注意的问题：在二项式定理的推导过程中，从学生熟悉的完全平方和公式入手，并注重归纳思想的应用；注意区分二项式系数与相应的某一项的系数的不同；根据“杨辉三角”这一古代数学

成就，对学生进行爱国主义教育. ●课题 10.4.1 二项式定理(一) ●教学目标 (一)教学知识点 1.二项式定理： n b a) ( =0C n a n+1C n a n-1b1+…+r n C a n-r b r+…+n n C b n(n∈N*). 2.通项公式： T r+1=r n C a n-r b n(r=0,1,…,n). (二)能力训练要求 1.理解并掌握二项式定理，从项数、指数、系数、通项几个特征熟记它的展开式. 2.能运用展开式中的通项公式求展开式中的特定项. (三)德育渗透目标 1.提高学生的归纳推理能力. 2.树立由特殊到一般的归纳意识. ●教学重点 1.二项式定理及结构特征二项式定理(a+b)n=0C n a a n+1C n a a n-1b+…+r n C a a n-r b r+…+n n C a b n有以下特征： (1)展开式共有n+1项； (2)字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，

高中数学《二项式定理》公开课优秀教学设计一

课题：§1.3.1二项式定理（人教A版高中课标教材数学选修2-3）

《二项式定理》教学设计一、教学内容解析《二项式定理》是人教A 版选修2-3第一章第三节的知识内容，它是初中学习的多项式乘法的继续．在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用，另一方面也是解决整除、近似计算、不等式证明的有力工具，同时也是后面的数学期望等内容的基础知识，二项式定理起着承上启下的作用．另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，利用二项式定理可进一步深化对组合数的认识．总之，二项式定理是综合性较强的、具有联系不同内容作用的知识．二、教学目标设置新课标指出教学目标应体现学生学会知识与技能的过程也同时成为学生学会学习，形成正确价值观的过程．新课标要求：用计数原理分析2()a b +，3()+a b ，4()+a b 的展开式，归纳类比得到二项式定理，并能用计数原理证明．掌握二项展开式的通项公式，解决简单问题；学会讨论二项式系数性质的方法．根据新课标的理念及本节课的教学要求，制定了如下教学目标： 1.学生在二项式定理的发现推导过程中，掌握二项式定理及推导方法、二项展开式、通项公式的特点，并能运用二项式定理计算或证明一些简单的问题． 2.学生经历二项式定理的探究过程，体验“从特殊到一般发现规律，从一般到特殊指导实践”的思想方法，获得观察、归纳、类比、猜想及证明的理性思维探究能力． 3.通过二项展开式的探究，培养学生积极主动、勇于探索、不断创新的精神，感受合作探究的乐趣，感受数学内在的和谐、对称美及数学符号应用的简洁美．结合数学史，激发学生爱国热情和民族自豪感．三、学情分析１．有利因素授课对象是高二的学生，具有一般的归纳推理能力，思维较活跃，初步具备了用联系的观点分析问题的能力．学生刚刚学习了计数原理和排列组合的知识，对本节()+n a b 展开式中各项系数的研究会有很大帮助．２．不利因素本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求，学生学习起来有一定难度．在数学学习过程中，大部分学生习惯于重视定理、公式的结论，而不重视其形成过程．四、教法策略分析遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则，采用“启发式教学法”，学生主要采用“探究式学习法”，并利用多媒体辅助教学．本课以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，完成二项式定理的探究，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程．五、教学过程（一）创设情境引入课题引入：通过“牛顿发现二项式定理”的历史引入课题．提出问题：2()+=a b ？ 3()+=a b ？

1.3.1二项式定理说课稿

1.3.1二项式定理说课稿执教人：罗杰一、说教材二项式定理一节，分三个课时.这里讲的是第一课时，重点是公式的推导，其次是二项式定理及二项展开式通项公式的简单应用，至于二项式定理及二项展开式的通项公式的灵活运用和二项式系数的性质留在第二、三课时. 二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式——二项式的乘法的展开式，这一小节与不少内容都有着密切联系，特别是它在本章学习中起着承上启下的作用.学习本小节的意义主要在于：（1）由于二项式定理与概率理论中的三大概率分布之一-----二项分布有内在联系，本小节是学习后面的概率知识以及进一步学习概率统计的准备知识. （2）由于二项式系数都是一些特殊的组合数，利用二项式定理可得到关于组合数的一些恒等式，从而深化对组合数的认识. （3）基于二项式展开式与多项式乘法的联系,本小节的学习可对初中学习的多项式的变形起到复习、深化的作用. （4）二项式定理是解决某些整除性、近似计算问题的一种方法. 因此，结合重点中学学生的实际情况，确定本节课的教学目标如下： 1、掌握二项式定理及二项展开式的通项公式，并能熟练地进行二项式的展开及求解某些指定的项. 2、通过探索二项式定理，培养学生观察问题发现问题,归纳推理问题的能力. 3、激发学生学习兴趣、培养学生不断发现，探索新知的精神，渗透事物相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点，并通过数学的对称美，培养学生的审美意识. 重点：二项定理的推导及运用难点：二项式定理及通项公式的运用二、说教法、学法：新的数学课程标准提出：掌握数学知识只是结果，而掌握知识的活动过程才是途径，通过这个途径，来挖掘人的发展潜能才是目的，结果应让位于过程.没有途径，学生无法达到目的，因此，在教学中，必须贯彻好过程性原则，既要重视学生的参与过程，又要重视知识的重现过程.也就是说，在教学过程中，充分揭示每一个阶段的思维活动过程，通过思维活动过程的暴露和数学创新活动过程的演变，使教学活动成为思维活动的教学，由此来启发、引导学生直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程. 变传统的“接受性、训练性学习”为新颖的“探究式、发现式的学习”，变教师是传授者为组织者、合作者、指导者，在学习过程中，教师想尽办法激发学生探究式、发现式学习的兴趣，并使其作为一种教学方式应用于概念、定理、公式和解题教学中，让学生在探究、发现中获取知识，发展能力.从而增强学生的主体意识，提高学生学习的效果. 三、教学过程：（一）、复习引入： ⑴22202122 222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++； ⑵3322303122233333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b +=+++=+++ ⑶4 ()()()()()a b a b a b a b a b +=++++的各项都是4次式，

高考《排列组合二项式定理概率统计》试题全集

2004年高考《排列组合二项式定理概率统计》试题全集 1、【全国Ⅰ(河南、河北、山东、山西、安徽江西文科（11）5分】从1，2， (9) 九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（C ） A ．95 B ．94 C ．2111 D ．21 10 2、【全国Ⅰ(河南、河北、山东、山西、安徽江西)理科（11）5分】从数字1，2，3，4， 5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（D ） A ．12513 B ．12516 C ．12518 D ．125 19 3、【全国Ⅰ(河南、河北、山东、山西、安徽江西)文科（20）12分】从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验.每位女同学能通过测验的概率均为 54，每位男同学能通过测验的概率均为5 3.试求：（I ）选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；（II ）10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率. 【（Ⅰ）65；（Ⅱ）125 4】 4、【全国Ⅰ(河南、河北、山东、山西、安徽江西)理科（18）12分】一接待中心有A 、B 、 C 、 D 四部热线电话，已知某一时刻电话A 、B 占线的概率均为0.5，电话C 、D 占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望. 【P(ξ=0)=0.09，P(ξ=1)＝0.3，P(ξ=2)=0.37，P(ξ=3)=0.2，P(ξ=4)=0.04； E ξ=1.8】 5、【全国Ⅱ卷文12理12四川等】在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5 位数中，大于23145且小于43521的数共有（C ） A ．56个 B ．57个 C ．58个 D ．60个 6、【全国Ⅱ卷理13四川等】从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2 个球，设其中有 ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布列为 7、【全国Ⅱ卷文19理18四川等】已知8支球队中有3支弱队，以抽签的方式将这8 支球队分为A 、B 两组，每组4支，Ⅰ.A 、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率；Ⅱ.A 组中至少有两支弱队的概率。【Ⅰ. 76，Ⅱ.2 1 】 8、【上海文9理9】从二项式(x+1)10的展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率是 (11 4).(用分数表示) 9、【天津文13理13】某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：

1.3.1二项式定理检测(1)

1.3.1二项式定理限时训练一．选择题 1.1231248(2)n n n n n n C C C C -+-++-等于（） A.1 B.-1 C.(-1)n D.3n 2.化简432(1)4(1)6(1)4(1)1x x x x -+-+-+-+得 ( ) A.x 4 B.(x-4)4 C.(x+1)4 D.x 5 3.在251(2)x x -的二项展开式中，x 的系数为（） A ．10 B.-10 C.40 D.-40 4. 在二项式521??? ? ?-x x 的展开式中，含4x 的项的系数是( ) A ．-10 B. 10 C. -5 D. 5 5.在23132n x x ??- ?? ?的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 6. 在24 的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有（） A ．3项 B.4项 C.5项 D.6项二．填空题 7. (201的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为______________________ 8. (2+3x)7的展开式的第5项是_______________,其二项式系数是____________________ 三．解答题

9.（必做题）已知在 n x x?? ? ? ? ? - 3 3 2 1 的展开式中，第6项为常数项，求含2x的项的系数。 10（选做题）.求8 的展开式中的所有有理项参考答案： 1.C 2A 3D 4B 5B 6C 7. 0

8. 22680x 4 35 9.454 10.41T x =, 5358 T x =,921256T x =