高边坡开挖变形的非线性时间序列预测分析
第25卷 增1
岩石力学与工程学报 V ol.25 Supp.1
2006年2月 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering Feb.，2006
收稿日期：2005–11–05；修回日期：2005–12–02
基金项目：国家重点基础研究发展规划(973)项目(2002CB412707)；国家自然科学基金重点项目(50539110)
作者简介：周家文(1982–)，男，2003年毕业于华东交通大学建筑工程系，现为博士研究生，主要从事岩石力学方面的研究工作。E-mail ：hhzjw@https://www.360docs.net/doc/5817881002.html,
高边坡开挖变形的非线性时间序列预测分析
周家文，徐卫亚，石安池
(河海大学 岩土工程研究所，江苏 南京 210098)
摘要：在岩体高边坡开挖过程中，可以得到现场的位移监测数据，如何利用现场监测数据来预测高边坡的开挖变形是一件很有实用价值的工作。根据高边坡开挖变形时间序列的非线性特征，应用局域法对三峡高边坡的位移进行了预测分析。把局域法的思想引入到神经网络中去，按照寻找邻近点的原理构造出训练样本，通过神经网络得到的预测值与局域法得到的预测值很接近，并且可以大大地节约计算时间。计算结果表明，对于岩土体工程中的一维监测数据，通过非线性时间序列分析方法可以对其进行预测分析，该方法具有较高的实用价值。 关键词：岩石力学；开挖变形；非线性时间序列；局域法；混沌；神经网络
中图分类号：TU 457 文献标识码：A 文章编号：1000–6915(2006)增1–2795–06
APPLICATION OF NONLINEAR TIME SERIES ANALYSIS TO EXCAVATION DEFORMATION PREDICATION OF HIGH SLOPE
ZHOU Jiawen ，XU Weiya ，SHI Anchi
(Institute of Geotechnical Engineering ，Hohai University ，Nanjing ，Jiangsu 210098，China )
Abstract ：In the course of high rock slope excavation ，the deformation data in the locale can be monitored ，and it ′s useful to predicate the excavation deformation of high slope with the monitor data. According to the nonlinear characteristics of the excavation deformation of high slope ，the displacements of the high slope of the Three Gorges are predicted by local-region method. The idea of the local-region method is introduced to the neural network ，and the training samples are formed according to the theory of finding near points. The predicated displacements by the trained neural network are very close to those by the local-region method ，and computational time is saving. The result shows that ，based on the one-dimensional monitoring data ，the displacement can be predicted by the method of nonlinear time series ，and the method has practical value. Key words ：rock mechanics ；excavation deformation ；nonlinear time series ；local-region method ；chaos ；neural network
1 引 言
在岩体开挖过程中，通过对高边坡的长期监测，可以得到现场的位移监测数据，如何利用现场监测来预测高边坡的开挖变形是一件很有实用价值的工作[1]。岩石的开挖位移是一个受到多种因素影响的
复杂的非线性动力系统，如果直接通过建立开挖过程中的非线性动力学方程来进行相关分析或者是预测分析是一件很困难的事情，寻找一种可以避开上述难题来解决开挖过程中的反分析问题成了很有实际意义的研究工作。近年来，鉴于边坡变形的非线性特征和影响因素的模糊不确定性，黄志全等[2]提出了基于神经网络的边坡位移预测方法；李邵军
? 2796 ? 岩石力学与工程学报 2006年
等[3]提出了基于三维地理信息的边坡变形智能预测方法；杨成祥等[4]提出了边坡位移的进化算法识别模型；蒋 刚等[5]应用灰色理论建立了边坡变形预测模型；应用分形理论[6]、模糊数学、人工智能理论、系统控制论等方法进行边坡位移和稳定预测的研究发展也很快。非线性时间序列预测方法是20世纪80年代末发展起来的一种非线性预测方法，对于一维数据的预测，它已经在很多方面得到了应用[7～14]
，
如电力系统的短期负荷预测、证券市场股价的预
测、天气预报、边坡位移的预测等。
对三峡永久船闸高边坡现场监测的一维位移数据，首先采用一阶近似拟合局域法进行预测分析，可以得到需要预测的位移值。局域法的计算量比较大，而且计算时间较长；但是根据局域法这种思想，通过相空间重构，就可以确定输入层的神经元数目，然后构建一组学习样本，通过混沌神经网络[15]来进行预测分析，可以节约大量的时间，并且还可以大大地减少计算量。神经网络是由大量简单的神经元相连而组成的复杂系统，它不需要建立非线性动力学方程，只是依靠过去的经验去学习，就可以很好地解决开挖过程中的非线性问题。本文采用目前应用最为广泛的BP 神经网络(以下简称BP 网络)，但在BP 网络的计算过程中，存在2个缺陷：容易陷入局部最小和收敛速度过慢。引入模拟退火算法到BP 网络中去就能很好地解决BP 网络的2个缺陷，使得预测结果更加精确。根据监测数据分析变形演化规律，预测其发展趋势，已经成为设计施工的基本任务之一。
2 预测模型
岩石的开挖变形是一个受多种因素影响而发展演化的非线性混沌系统。在岩石的开挖过程中，很容易得到现场的位移与时间曲线，这就是一个非线性时间序列。而其他影响开挖变形的因素的非线性时间序列比较难以得到，因此，如何避开其他因素，只利用开挖过程中位移与时间的非线性时间序列
)( )()(21n t x t x t x ，，，"来建立合适的动态模型来预测)(1+n t x ，是一个很有实际应用价值的研究工作。
2.1 重构相空间
在非线性动力学的研究中，Packard 等人建议用原始系统中的某变量的延迟坐标来重构相空间，Takens 于1980年提出了由一维数据通过相空间重构来刻画整个系统。相空间的基本思想为：系统中
任一变量的变化都受到与之相关变量的影响，这些变量的变化过程就是整个系统的发展过程。
设单变量的时间序列为} 2 1)({n i t x i ，，，，"=，其相空间重构的具体算法如下：
根据如果吸引子的维数为d ，要保证与原空间的相同状态，则m ≥2d +1，然后由互信息法第1次到达的极小值来确定时间延迟τ。这样，时间序列} 2 1)({n i t x i ，，，，"=的相空间为
)})1(( )()({)(ττ?++=m t x t x t x t Y i i i i ，，，"
) 2 1(m i ，，，"= (1)
2.2 基于相空间重构的预测方法
基于相空间重构的非线性时间序列预测方法有很多，根据拟合相空间中吸引子的方式可分为全域法和局域法。全域法是拟合轨迹中的全部点，找出时间序列的内部规律，用得到的预测函数来预测轨迹的走向。局域法是将相空间的最后一点作为中心点，把离中心点最近的几个点作为相关点，利用这些相关点来对轨迹的下一点做出预测。许多数值研究已经证明，局域法优于全域法。本文采用的预测算法是一阶近似拟合局域法，还有基于局域法的混沌神经网络法。 2.2.1 局域法
一阶近似拟合局域法的基本思想为：对于一个一维的非线性时间序列} {)(21M M Y Y Y t Y ，，，"=，把时间序列的最后一点M Y 作为中心点，找出中心点的最小邻域(即邻近点)，假设第M 点的小邻域为n j j j ，，，" 21，这几个邻近点必需满足如下的表达式：i j M Y Y ?≤i j M M Y Y ??(n i ，，，" 2 1=；n ＜M ；
)M j Y Y i ∈。而且还可知道对应于这几个邻近点的下一点的数值(1+i j Y )，根据i i j j bY a Y +=+1的关系可以确定一个方程组，利用最小二乘法就可以解出a 和b 的值。然后利用中心点即时间序列上的最后一点M Y 的值，根据M M bY a Y +=+1的关系式就可以确定下一点1+M Y 的值。接下来把1+M Y 作为中心点，按以上方法可以同样计算得到1+M Y 下一点2+M Y 的数值，如此反复，就可以得到所有需要预测的数值。 2.2.2 混沌神经网络 2.2.2.1 BP 网络
人工神经网络[16]的应用非常广泛，它不仅应用于工程、科学和数学领域，还可应用于医学、商业和文学等。人工神经网络是由大量简单的神经元相连而组成的复杂系统，它具有记忆、联想、归纳、概括和抽取以及自组织、自学习和自适应的能力，它不需要建立非线性动力学方程，即可很好地解决
第25卷 增1 周家文等. 高边坡开挖变形的非线性时间序列预测分析 ? 2797 ?
开挖过程中的非线性问题。BP 网络即反向传播网络，该网络是目前使用最为广泛的神经网络。理论上已经证明一个3层的BP 网络可以以任意精度去逼近任意非线性映射关系。典型的BP 网络具有3层结构，即输入层、隐含层和输出层。 2.2.2.2 基于模拟退火算法的BP 网络
模拟退火算法[17
～19]
最早是由Metropolis 在1953
年提出的，这是一种改进的Monte Carlo 方法。模拟退火算法是局部搜索算法的扩展，其基本思想是通过模拟高温物体退火过程的方法来寻找优化问题的全局最优解。在降温退火过程中，其能量函数服从Boltzmann 分布规律：)/exp()(T E E P ??∝?，其中)(E P ?为系统能量变化时的概率，T 为系统的温度。
基于模拟退火算法的BP 网络是利用模拟退火算法来修正权值向量的，如果发现计算陷入局部最小，则调用模拟退火算法子程序，这样通过模拟退火算法在解决局部最小问题方面的优势，能够很好地解决BP 神经网络容易陷入局部最小的问题。而且模拟退火算法还可以大大提高程序的计算速度。进行优化BP 神经网络，在预测过程中能够得到更精确的预测值。
模拟退火算法的子程序计算过程如下：设定系统初始温度为0T ，
迭代次数0=n ，对于当前的权值1W (输入层到隐含层的权值)和1V (隐含层到输出层
的权值)，计算当前的能量值E 。然后按照某一随机过程，产生一很小的扰动1W δ和1V δ，并修改权值和偏差：112W W W δ+=，112V V V δ+=，计算该状态下的能量值1E 。
若E E ＜1，则接受该状态，21W W =，21V V =；若1E ≥E ，先计算能量改变值E ?，再计算
系统能量变化的概率P ()](/)(exp[1t T E E P ??=)，)(t T 为此时的温度，产生[0，1]区间的一随机小数rand ，再按Boltzmann 分布确定是否接受当前修改。
若ε＞P 则接受这次修改；
若P ≤ε 则进入下一次的迭代计算，1+=n n ，并按给定的冷却方程对系统进行降温，直至冷却到给定的终止温度为止。通过模拟退火算法优化的BP 网络可以跳出局部最小从而达到全局最小，并且大大提高计算精度。
3 预测算法
3.1 邻近点
对于一个非线性时间序列来说，寻找时间序列上某点的邻近点对于计算很重要，如果简单的去寻
找，则增加了不必要的麻烦，而且效率不高。因为本文所提到的2个预测算法都要寻找某点的邻近点，对于一个非线性时间序列来说，根据邻近点的关系式：||i j M Y Y ?≤||i j M M Y Y ??(n i ，，，" 2 1=；n ＜M ；M j Y Y i ∈＝编制了一个简单的C 程序，从而提高了寻找邻近点的计算速度。 3.2 局域法
采用一阶近似拟合局域法进行预测，其基本预测过程为：用1?+=M M bY a Y 来拟合第M 点的小邻域，假设第M 点的小邻域为n j j j ，，
，" 21，选择n 个数很重要，一般令n ＞d +1，但又不应过大，则
??????????????????+=???
?
?
????
??
?????
?
?+++n n j j j j j j Y Y Y b a Y Y Y ##2121111 (2) 用最小二乘法计算出式中的a 和b ，最后通过：
M M bY a Y +=+1 (3)
可以得到1+M Y 的预测值。然后把1+M Y 作为中心点，也可以得到它的小领域，如上所述，得到另一组a 和b 值，利用得到的1+M Y 可以对下一未知量2+M Y 进行预测，如此下去，就可以得到所有需要预测的未知量。
3.3 混沌神经网络预测算法
混沌神经网络预测算法的基本计算过程如下： (1) 对一个一维的非线性时间序列)(t Y M ，利用相空间重构来确定输入层神经元的数目，通过对监测数据的计算，得到监测数据的嵌入维，可以得出输入层的神经元数目；对于隐含层的神经元数目来说，为了提高计算精度，这里尽量把隐含层的神经元数目设的多一点；对于输出层来说，因为就是1个输出，所以输出层的神经元数目为1。
(2) 构造训练样本，来对神经网络进行训练。利用)(t Y M 时间序列中前1?M 个数据来构造一定数量的训练样本。对于其中的一点j Y (j ＜1≤1?M )来说，首先找出j Y 的几个邻近点i j Y (1≤i ≤n )，把i j Y 作为网络的输入，j Y 的下一点值1+j Y 作为网络的输出。将训练样本输入神经网络，计算输出值和监测值的均方误差，通过误差控制，如果计算结果达到允许的范围之内，就直接可以认为网络训练成功，如果误差没有达到允许的范围之内，还需对其进行判断，通过考虑训练的次数来判断陷入局部最小，如果陷入局部最小就调用模拟退火子程序。通过模
? 2798 ? 岩石力学与工程学报 2006年
拟退火算法，来对权值和偏值进行修改，直到达到误差所允许的范围之内，即网络拟和达到了规定的要求。
(3) 混沌预测过程，对于所需要预测数值1+M Y ，首先利用M Y 来构造一个输入样本，
构造方法与训练样本的构造方法一样，也是找到M Y 的几个邻近点，就可以构造出输入样本。将构造好的样本输入到训练好的神经网络中，就可以得到所需要预测的值，即1+M Y 。
(4) 对于下一点2+M Y 的预测，首先要更新训练样本，即把点M Y 构造出的训练样本添加到原来的训练样本中去，再对网络重新训练一次，然后利用1+M Y 构造出2+M Y 的输入样本即可对2+M Y 进行预测。如果不更新训练样本的话，虽然也可以对2+M Y 进行预测，但精度就有所降低。
4 工程实例
长江三峡工程永久船闸为双线五级船闸，在山体中深挖修建。由于三峡工程规模巨大、技术复杂、综合效益显著，在船闸南、北坡及中隔墩部位布置有大量的监测设施来对高边坡的变形进行监测。通过对监测数据的研究，来对开挖变形进行预测分析，具有很高的实用价值。用上述算法对三峡永久船闸三闸首高边坡17–17剖面的外观测点TP/BM 28GP02的位移监测数据进行了预测分析。TP/BM28 GP02的位移监测数据如图1所示，位移监测数据的时间是1995年4月15日～2004年4月14日，监测时间的间隔基本上都为1个月，总共有110个数据点。为了提高预测的精度，这里只选取位移时间序列的后20个点进行预测分析，前面的90个点作为混沌神经网络的训练样本。对于3个方向的位
图1 监测点TP/BM28GP02的位移曲线
Fig.1 Displacement curves of monitoring point TP/BM28GP02
移数据，选取y 方向(沿临空方向)的位移数据进行预测分析，另外2个方向上的位移预测方法与y 方向上的位移预测方法是一样的，这里就不再具体说明。
首先采用一阶近似拟合的局域法进行预测，进行局域法预测的过程中，选择邻近点的个数n 很重要，一般令n ＞d +1，这里设3=n 。在预测过程中，a 和b 的值在不断的变化，其预测过程如下：
为了预测位移时间序列上的第91点位移值，先要找到中心点第90点的位移值40.2 mm ，然后找到这个点的小邻域(即3个邻近点40.14，40.25和40.54 mm)，构造出1个方程组：
??
?
?
???
=+=+=+61.4054.4054.4025.4025.4014.40b a b a b a (4)
由此可以得到a 和b 的解为：=a －65.573 6，
=b 2.636 36，根据第90点的位移值就可以推求下1点第91点的位移值为40.408 2 mm 。接下来把第91点作为中心点，找出这个点的小邻域(即3个邻近点40.25，40.54和40.59 mm)，构造出1个方程组：
??
?
?
???
=+=+=+20.4059.4061.4054.4054.4025.40b a b a b a (5)
由此可以得到a 和b 的解为：=a 30.824 5，=b 0.241 38，根据第91点的位移值就可以推求第92
点的位移值为40.578 1 mm 。
把第92点作为中心点，继续如上的计算，则可以计算得到第93点的位移值，如此反复往下操作，就可以得到后面所有点的位移数据，计算结果如表1所示，并作了误差分析。
再进行混沌神经网络的预测，根据相空间重构原理，计算出嵌入维数3=m ，确定输入神经元的数目为3，选取隐层的神经元数目为10，输出层的神经元数目为1。根据局域法的原理，用位移监测数据的前90个数据来构造出一组训练样本，数目有
50个，如表2所示。把训练样本输入神经网络，待
训练成功后，输入需要预测的样本，即第91点的输入样本(40.25，40.14，40.54)，可以得到需要预测的位移。对于下1点的预测，先要更新训练样本，对网络重新训练1次，
然后输入需要预测的样本(输入 －－位移/m m
第25卷增1 周家文等. 高边坡开挖变形的非线性时间序列预测分析 ? 2799 ?
表1 监测点TP/BM28GP02的y方向位移数据
Table 1 Displacement data in y direction of monitor point
TP/BM28GP02
序号实测值
/mm
预测值
(局域法)
/mm
误差
/%
预测值
(混沌神经网络)
/mm
误差
/%
91 40.81 40.408 －0.985 05040.59 －0.539 080
92 40.98 40.578 －0.980 97040.63 －0.854 080
93 41.09 40.800 －0.705 77040.73 －0.876 130
94 41.23 40.759 －1.142 37040.81 －1.018 680
95 40.58 40.650 0.172 49940.93 0.862 494
96 41.44 41.160 －0.675 68041.01 －1.037 640
97 42.76 40.379 －5.568 29041.32 －3.367 630
98 41.66 40.571 －2.614 02041.54 －0.288 050
99 41.45 40.765 －1.652 59041.68 0.554
885
100 42.03 40.853 －2.800 38041.63 －0.951 700
101 41.58 40.617 －2.316 02041.34 －0.577 200
102 41.11 40.995 －0.279 74041.55 1.070
299
103 42.54 40.581 －4.605 08041.72 －1.927 600
104 41.61 40.815 －1.910 60041.51 －0.240 330
105 41.38 40.712 －1.614 31041.62 0.579
990
106 40.92 40.995 0.183 28441.32 0.977 517
107 41.11 41.200 0.218 92541.43 0.778 399
108 41.47 40.337 －2.732 10041.56 0.217
024
109 41.62 40.561 －2.544 45041.68 0.144
161
110 41.49 40.715 －1.867 92041.61 0.289
226
样本也在不停的变化)，即可得到该点的预测值，计
算结果如表1所示，并进行了误差分析。
由表1可知，局域法和混沌神经网络得到的预
测值与监测位移值相差很小，局域法预测值的最大
误差为5.568 290%，最小误差为0.172 499%，平均
误差为1.778 501%；混沌神经网络预测值的最大误
差为3.367 630%，最小误差为0.144 161%，平均误
差为0.857 610%。因为混沌神经网络是根据局域法
的思想构造训练样本，所以其计算结果与局域法的
计算结果比较接近，由于对神经网络进行了优化，
其计算精度有所提高。
根据计算结果，可以画出监测点TP/BM28GP02
的非线性时间序列预测曲线，如图2所示。
表2 第91点的训练样本
Table 2 Training samples of point No.91
序号输入输出序号输入输出114.9915.1315.2214.9926 25.21 26.68 26.7726.99 214.9915.1315.1914.3027 26.68 26.74 26.9927.28 314.9915.1314.9914.9728 27.64 28.38 29.4833.14 414.9915.1314.9914.9929 28.38 29.48 31.2133.58 514.9915.1314.9915.2830 29.48 31.21 33.1435.57 615.1315.2215.1916.9431 31.21 33.14 33.5835.71 715.2215.1915.2817.7632 33.14 33.58 35.5735.93 815.2215.2816.9419.1133 35.71 35.93 35.5736.04 915.2816.9417.7619.2534 35.71 35.93 36.0334.16 1016.9417.7619.1119.7735 33.58 35.71 35.5734.48 1117.7619.1119.2520.3436 33.58 35.57 34.1632.40 1219.2519.7720.3420.2137 31.21 33.14 33.5833.90 1319.7720.3420.6019.6338 34.78 36.66 36.3138.23 1419.1119.2519.7719.58 39 37.86 38.23 38.637.29 15
19.2519.7719.6319.7440 38.23 37.29 38.0536.22 1619.7719.6319.5819.8641 37.29 37.39 37.2438.58 1719.6319.7719.7419.8642 38.60 38.23 38.0538.61 1819.7719.7419.8621.0443 38.23 38.05 38.5839.11 1920.3420.6020.2122.0944 38.60 38.58 38.6138.58 2020.3420.6021.0423.4445 38.60 38.61 38.5839.36 2120.621.0422.0924.5046 37.86 37.39 37.4938.97 2221.0422.0923.4425.2147 39.36 40.25 40.1440.61 2322.0923.4424.5026.6848 40.25 40.54 40.6140.59 2423.4424.5025.2126.7749 40.54 40.61 40.2540.20 2524.5025.2126.6827.6450 39.36 40.25 40.1440.61
图2 监测点TP/BM28GP02的非线性时间序列曲线
Fig.2 Nonlinear time series curves of monitoring point TP/BM28GP02
5 结语
利用非线性时间序列可以很好解决高边坡开挖
时间/月
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变形过程中的非线性动力学特性，在预测分析过程中有很大的实用价值。本文利用非线性时间序列方法，对三峡船闸高边坡的开挖变形首先利用局域法进行了预测，得到了较好的预测结果。然后把局域法的思想引入到神经网络中去，通过局域法计算过程中寻找邻近点的思想构造了训练样本，并且混沌神经网络得到的预测值与局域法得到的预测值比较接近，精度比局域法高一些。计算结果表明，对于岩土体工程中的一维监测数据，通过非线性时间序列的方法，可以对其进行较好的预测分析，对实际工程来说有较高的实用价值。
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1 827.(in Chinese))
统计基础知识第五章时间序列分析习题及答案
第五章时间序列分析 一、单项选择题 1.构成时间数列的两个基本要素是( C )（2012年1月） A.主词和宾词 B.变量和次数 C.现象所属的时间及其统计指标数值 D.时间和次数 2．某地区历年出生人口数是一个( B )（2011年10月） A．时期数列 B.时点数列 C.分配数列 D.平均数数列 3.某商场销售洗衣机，2008年共销售6000台，年底库存50台，这两个指标是( C ) （2010年10） A.时期指标 B.时点指标 C.前者是时期指标，后者是时点指标 D.前者是时点指标，后者是时期指标 4.累计增长量( A ) （2010年10） A.等于逐期增长量之和 B.等于逐期增长量之积 C.等于逐期增长量之差 D.与逐期增长量没有关系 5.某企业银行存款余额4月初为80万元，5月初为150万元，6月初为210万元，7月初为160万元，则该企业第二季度的平均存款余额为（ C ）（2009年10） 万元万元万元万元 6.下列指标中属于时点指标的是( A ) （2009年10） A.商品库存量 B.商品销售量 C.平均每人销售额 D.商品销售额 7.时间数列中，各项指标数值可以相加的是( A ) （2009年10） A.时期数列 B.相对数时间数列 C.平均数时间数列 D.时点数列 8.时期数列中各项指标数值（ A ）（2009年1月） A.可以相加 B.不可以相加 C.绝大部分可以相加 D.绝大部分不可以相加 10.某校学生人数2005年比2004年增长了8%，2006年比2005年增长了15%，2007年比2006年增长了18%，则2004-2007年学生人数共增长了（ D ）（2008年10月） ％+15％+18％％×15％×18％ C.（108％+115％+118％）-1 ％×115％×118％-1 二、多项选择题 1.将不同时期的发展水平加以平均而得到的平均数称为( ABD )（2012年1月） A.序时平均数 B.动态平均数 C.静态平均数 D.平均发展水平 E.一般平均数2．定基发展速度和环比发展速度的关系是( BD )（2011年10月） A．相邻两个环比发展速度之商等于相应的定基发展速度 B.环比发展速度的连乘积等于定基发展速度
非线性时间序列
近代时间序列分析选讲: 一. 非线性时间序列 二. GARCH模型 三. 多元时间序列 四. 协整模型
非线性时间序列 第一章.非线性时间序列浅释 1.从线性到非线性自回归模型 2.线性时间序列定义的多样性第二章. 非线性时间序列模型 1. 概述 2. 非线性自回归模型 3.带条件异方差的自回归模型 4.两种可逆性 5.时间序列与伪随机数 第三章.马尔可夫链与AR模型 1. 马尔可夫链 2. AR模型所确定的马尔可夫链 3. 若干例子 第四章. 统计建模方法 1. 概论 2. 线性性检验 3.AR模型参数估计 4.AR模型阶数估计 第五章. 实例和展望 1. 实例 2.展望
第一章.非线性时间序列浅释 1. 从线性到非线性自回归模型 时间序列{x t}是一串随机变量序列, 它有广泛的实际背景, 特别是在经济与金融领域中尤其显著. 关于它们的从线性与非线性概念, 可从以下的例子入手作一浅释的说明. 考查一阶线性自回归模型---LAR(1): x t=αx t-1+e t, t=1,2,…(1.1) 其中{e t}为i.i.d.序列，且Ee t=0, Ee t=σ2<∞, 而且e t与{x t-1,x t-1,…}独立. 反复使用(1.1)式的递推关系, 就可得到 x t=αx t-1+e t = e t + αx t-1 = e t + α{ e t-1 + αx t-2} = e t + αe t-1 + α2 x t-2 =… = e t + αe t-1 + α2e t-2
+…+ αn-1e t-n+1 +αn x t-n. (1.2) 如果当n→∞时, αn x t-n→0, (1.3) {e t+αe t-1+α2e t-2+…+αn-1e t-n+1} →∑j=0∞αj e t-j . (1.4) 虽然保证以上的收敛是有条件的, 而且要涉及到具体收敛的含义, 但是, 对以上的简单模型, 不难相信, 当|α|<1时, (1.3)(1.4)式成立. 于是, 当|α|<1时, 模型LAR(1)有平稳解, 且可表达为 x t=∑j=0∞αj e t-j . (1.5) 通过上面叙述可见求LAR(1)模型的解有简便之优点, 此其一. 还有第二点, 容易推广到LAR(p)模型. 为此考查如下的p阶线性自回归模型LAR(p):
非线性时间序列模型的波动性建模(中)
非线性时间序列模型的波动性建模 Song-Yon Kim and Mun-Chol Kim 朝鲜平壤金日成综合大学数学学院 本文出自于2011年5日朝鲜平壤举行的第一届PUST国际会议 本版修订于2013年11月3日 摘要：在本文中的非线性时间序列模型被用来描述金融时间序列数据的波动。描述两种由波动的非线性时间序列组合成TAR（阈值自回归模型）与AARCH（非对称自回归条件异方差 模型）的误差项和参数估计的研究。 关键词：非线性时间序列模型；波动；ARCH（自回归条件异方差模型）；AARCH；TAR；QMLE（拟极大似然估计） 一介绍 在金融市场中，资产价格的波动是一个极其重要的变量，其建模在投资，货币政策，金融风险管理等方面中有重要意义 在投资持有期的资产价格波动的一个很好的预测是评价投资风险的一个很好的起点。资产价格波动是金融衍生证券定价的最重要的变量。对于定价我们需要知道的波动性范围是从现在相关资产，直至期权到期。事实上，市场惯例是根据波动单位列出价格期权。如今，波动性的定义和测量可能在衍生工具合约明确规定。在这些新的合同，波动成为潜在的“资产”。波动率模型已成为一个在金融时间序列模型分析的主要对象并且使许多科学家沉浸其中。
其中σ称为波动，在上面的公式中所示，σ准确估计成为期权定价和估计的一个非常重要的问题。此外，如对关联时间t 的波动σt 的估计等问题开始提出。 1982，罗伯特恩格尔提出了一个新的模型来用一个更准确的方法[ 7 ]对波动作出估计。他重视ARCH 模型中的误差项，这是大多线性时间序列模型如AR 、ARMA 、ARIMA 等所忽略的。同时他提出一种新的非线性模型，通过相加取代简单的白噪声，误差项的条件异方差性偏差的变化自动回归。误差项的条件异方差性偏差的 自动回归 1986年，Bollerslev 将Engle 的 ARCH (q)模型修改变为GARCH (p, q) model [8]. ???? ???++==∑∑==--q i p i i t i i t i t t t t t h h d i i z h z 112021..:,βεααε 在他的论文中，他提出了GARCH （1，1）过程中的存在，静止状态和MLE （最大似然估计）。 此后，大量ARCH 模型相继被开发出来，例如ARCH-M ，IGARCH 和LogGARCH 等。 在整个研究中，波动性已被证明是更受“坏消息”，而不是“好消息”的影响，也就是说，是不对称的，这导致对非对称模型的研究。 1991年，Nelson 提出了指数GARCH 模型（EGARCH ）描述了不对称冲击。[ 6 ] () ()()x E x x x g g h t t t -+=-+-+=λωεγγ11h 10 但在许多研究论文，有效的参数估计和固定的条件是没有明确解释的，而且这种困难难以克服[ 9 ]。 但在1993，Glosten 开始使用阈值自回归条件异方差（TARCH ）模型和其后提出的许多非对称模型[ 2 ]，试图对不对称的波动进行建模。 特别是在2003年，Wai Mi Bei 开发了非对称ARCH （q ）模型[ 10 ]。 ()∑∑==---+++=q i p j j t j i t i i t i t h 1120H γεβεαα 直到现在，持续的研究正在努力拟出更好的波动模型以显示各种ARCH 模型的影响。 在本文中，利用非线性时间序列模型的波动性建模是基于对前人研究成果分析的观察而得出。
【经济预测与决策】时间序列分析预测法
经济预测与决策第四章时间序列分析预测法时间序列分析预测法时间序列分析预测法是将预测目标的历史数据按照时间的顺序排列成为时间序列，然后分析它随时间的变化趋势, 外推预测目标的未来值。本章学习目的与要求通过本章的学习，了解时间序列的概念；掌握移动平均法和指数平滑法。本章学习重点和难点重点是移动平均法；难点是指数平滑法。本章内容提示第一节时间序列第二节移动平均法第三节指数平滑法第一节时间序列一、时间序列二、时间序列的影响因素三、时间序列因素的组合形式四、时间序列预测的步骤一、时间序列时间序列是指某种经济统计指标的数值，按时间先后顺序排列起来的数列。时间序列是时间t 的函数，若用Y 表示，则有：Y=Y（t ）。时间序列时间序列按其指标不同，可分为绝对数时间序列、相对数时间序列和平均数时间序列三种。 绝对数时间序列是基本序列。可分为时期序列和时点序列两种。时期序列是指由反映某种社会经济现象在一段时期内发展过程的总量指标所构成的序列。如各个年度的国民生产总值。时点序列是指由反映某种社会经济现象在一定时点上的发展状况的指标所构成的序列。如各个年末的人口总数。 二、时间序列的影响因素一个时间序列是多种因素综合作用的结果。这些因素可以分为四种：1. 长期趋势变动2. 季节变动3. 循环变动4. 不规则变动1. 长期趋势变动长期趋势变动又称倾向变动，它是指伴随着经济的发展，在相当长的持续时间内，单方向的上升、下降或水平变动的因素。它反映了经济现象的主要 变动趋势。长期趋势变动是时间t 的函数，它反映了不可逆转的倾向的变动。长期趋势变动通常用T表示，T=T( t )。2.循环变动循环变动是围绕于
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-------------精选文档 ----------------- 非线性时间序列 第一章 .非线性时间序列浅释 1.从线性到非线性自回归模型 2.线性时间序列定义的多样性第二章 . 非线性时间序列模型 1.概述 2.非线性自回归模型 3.带条件异方差的自回归模型 4.两种可逆性 5.时间序列与伪随机数 第三章 . 马尔可夫链与 AR 模型 1.马尔可夫链 2.AR 模型所确定的马尔可夫链
-------------精选文档 ----------------- 3.若干例子 第四章 . 统计建模方法 1.概论 2.线性性检验 3.AR 模型参数估计 4.AR 模型阶数估计 第五章 . 实例和展望 1.实例 2.展望 第一章 .非线性时间序列浅释 1.从线性到非线性自回归模型 时间序列 {x t } 是一串随机变量序列 , 它有广泛的实际背景 , 特别是在经济与金融
-------------精选文档 ----------------- 领域中尤其显著. 关于它们的从线性与非线 性概念 , 可从以下的例子入手作一浅释的说 明. 考查一阶线性自回归模型---LAR(1): x t = x t-1 +e t ,t=1,2, (1.1) 其中 {e t } 为i.i.d.序列，且Ee t =0, Ee t = 2 <, 而且e t与 {x t-1 ,x t-1 ,} 独立 . 反复使用 (1.1) 式的递推关系 , 就可得到 x t =x t-1 +e t =e =e =e t t t +x t-1 +{ e t-1 +x t-2 } +e t-1 + 2 x t-2
第五章 时间序列的模型识别
第五章时间序列的模型识别 前面四章我们讨论了时间序列的平稳性问题、可逆性问题，关于线性平稳时间序列模型，引入了自相关系数和偏自相关系数，由此得到ARMA(p, q)统计特性。从本章开始，我们将运用数据开始进行时间序列的建模工作，其工作流程如下： 图5.1 建立时间序列模型流程图 在ARMA(p,q)的建模过程中，对于阶数(p,q)的确定，是建模中比较重要的步骤，也是比较困难的。需要说明的是，模型的识别和估计过程必然会交叉，所以，我们可以先估计一个比我们希望找到的阶数更高的模型，然后决定哪些方面可能被简化。在这里我们使用估计过程去完成一部分模型识别，但是这样得到的模型识别必然是不精确的，而且在模型识别阶段对于有关问题没有精确的公式可以利用，初步识别可以我们提供有关模型类型的试探性的考虑。 对于线性平稳时间序列模型来说，模型的识别问题就是确定ARMA(p,q)过程的阶数，从而判定模型的具体类别，为我们下一步进行模型的参数估计做准备。所采用的基本方法主要是依据样本的自相关系数（ACF）和偏自相关系数（PACF）初步判定其阶数，如果利用这种方法无法明确判定模型的类别，就需要借助诸如AIC、BIC 等信息准则。我们分别给出几种定阶方法，它们分别是（1）利用时间序列的相关特性，这是识别模型的基本理论依据。如果样本的自相关系数（ACF）在滞后q+1阶时突然截断，即在q处截尾，那么我们可以判定该序列为MA(q)序列。同样的道理，如果样本的偏自相关系数（PACF）在p处截尾，那么我们可以判定该序列为AR(p)序列。如果ACF和PACF 都不截尾，只是按指数衰减为零，则应判定该序列为ARMA(p,q)序列，此时阶次尚需作进一步的判断；（2）利用数理统计方法检验高阶模型新增加的参数是否近似为零，根据模型参数的置信区间是否含零来确定模型阶次，检验模型残差的相关特性等；（3）利用信息准则，确定一个与模型阶数有关
非线性时间序列
第六章 时间序列的平滑 引论 上一章我们引进非参数函数估计的基本概念，现在将它应用到时间序列别的重要平滑问题上. 对估计慢变化时间趋势，平滑技术是有用的图示工具，它产生了时域平滑（§）. 对将来事件和与之相联系的现在与过去变量之间的关系的非参数统计推断导致了§的状态域平滑. § 引入的样条方法是对§引入的局部多项式方法的有用替代. 这此方法能够容易地推广到时间序列的条件方差（波动性）的估计，甚至整个条件分布的估计，参阅§. 时域平滑 6.2.1 趋势和季节分量 分析时间序列的第一步是画数据图. 这种方法使得人们可以从视觉上检查一个时间序列是否像一个平稳随机过程. 如果观察到趋势或季节分量，在分析时间序列之前通常要将它们分离开来. 假定时间序列{}t Y 能够分解成 t t t t Y f s X =++， （） 其中t f 表示慢变函数，称为“趋势分量”，t s 是周期函数，称为“季节分量”，t X 是随机分量，它被假定是零均值的平稳序列. 在使用这种分解之前，可以先用方差稳定变换或Box-Cox 变换. 这类幂变换有如下以参数λ为指标的形式 ,0,()log(),0, u g x u λλλ?≠=?=? （） 或具有在0λ=点处连续的变换形式 ()(1)/g u u λλ=-. 这类变换由Box 和Cox （1964）给出. 注意，由在幂变换中数据必须是非负的，因此，在使用幂变换之前，可能必须先实施平移变换. 我们的目的是估计和提取确定性分量t f 和t s . 我们希望残差分量t X 是平稳的， 且能够用线性和非线性技术做进一步的分析. 通过推广Box 和Jenkins （1970）而发展的一个替代方法是对时间序列{}t Y 重复应用差分算子，直到被差分的序列表现为平稳为止. 这时，被差分的序列可以进一步平衡时间序列技术来处理. 作为说明Box 和Jenkins 方法的一个例子，我们先取S&P500指数的对数变换，然后计算一阶差分. 图给出了这个预处理序列. 所得序列基本上是该指数中变化的每日价格的百分比. 除了几个异常值（即1987年10月19日%的市场崩盘，金融市场称之为“黑色星期一”）外，这个序列显示出平稳性. 这个变换与金融工程中常用资产定价的几何布朗运动模型的离散化有关. 图 1972年1月3日至1999年12月31日（上图）和1999年1月4日至 1999年12月31日（下图）S&P500指数对数变换的差分
第八章 时间序列分析 思考题及练习题
第八章思考题及练习题 (一) 填空题 1、时间数列又称数列,一般由和两个基本要素构成。 2、动态数列按统计指标的表现形式可分为、和三 大类，其中最基本的时间数列是。 3、编制动态数列最基本的原则是。 4、时间数列中的四种变动（构成因素）分别是：、、、和 5、时间数列中的各项指标数值，就叫，通常用a表示。 6、平均发展水平是对时间数列的各指标求平均，反映经济现象在不同时间的平均水平或代表性水平，又称：平均数，或平均数。 7、增长量由于采用的基期不同，分为增长量和增长量，各增长量之和等于相应的增长量。 8、把报告期的发展水平除以基期的发展水平得到的相对数叫，亦称动态系数。根据采用的基期不同，它又可分为发展速度和发展速度两种。 9、平均发展速度的计算方法有法和法两种。 10、某企业2000年的粮食产量比90年增长了2倍，比95年增长了0.8倍，则95年粮食产量比90年增长了倍。 11、把增长速度和增长量结合起来而计算出来的相对指标是：。 12、由一个时期数列各逐期增长量构成的动态数列，仍属时期数列；由一个时点数列各逐期增长量构成的动态数列，属数列。 13、在时间数列的变动影响因素中，最基本、最常见的因素是，举出三种常用的测定方法、、。 14、若原动态数列为月份资料，而且现象有季节变动，使用移动平均法对之修匀时，时距宜确定为项，但所得各项移动平均数，尚需，以扶正其位置。 15、使用最小平方法配合趋势直线时，求解 a、b参数值的那两个标准方程式为。16、通常情况下，当时间数列的一级增长量大致相等时，可拟合趋势方程，而当时间数列中各二级增长量大致相等时，宜配合趋势方程。 17、用半数平均法求解直线趋势方程的参数时，先将时间数列分成的两部分，再分别计算出各部分指标平均数和的平均数，代入相应的联立方程求解即得。 18、分析和测定季节变动最常用、最简便的方法是。这种方法是通过对若干年资料的数据，求出与全数列总平均水平，然后对比得出各月份的。 19、如果时间数列中既有长期趋势又有季节变动，则应用法来计算季节比率。 20、商业周期往往经历了从萧条、复苏、繁荣再萧条、复苏、繁荣……的过程，这种变动称为变动。 (二) 单项选择题 1、组成动态数列的两个基本要素是( )。 A、时间和指标数值 B、变量和次数（频数）
第八章时间序列分析
第八章 时间序列分析 、填空题: 1. 由于决定时间数列变化的因数是多方面的，因此通常把时间数列上各期发展水平按其影 响因素的不同分解成几个不同的组成部分， 即长期趋势、 _______ 、循环波动和不规则变 动。 2?时间序列按照数列中排列指标的性质不同，可分为 __________ 、 ___ 和 _____ 。 3. “增长1%绝对值”指标其实质是 _________ 水平的1%。 4. ___ 是把原动态数列的时距扩大，再采用逐项移动的方法计算扩大了时距的序时平均数。 5. ______ 就是研究某种现象在一个相当长的时期内持续向上或向下发展变动的趋势。 6. ___ 就是指某些社会现象由于受生产条件或自然条件因素的影响， 在一年内随着季节的 更换而呈现出比较有规律的变动。 二、单项选择题： 某银行投资额 2004年比2003年增长了 10%, 2005年比2003年增长了 15% , 2005年比 2004年增长了（ 销售额为（ 6.时间数列的构成要素是（ B 、时间和指标数值 C 、时间和次数 1. 时间序列在一年内重复出现的周期性波动称为（ A 、趋势 B 、季节性 C 、周期性 D 、随机性 2. 增长一个百分点而增加的绝对数量称为（ A 、环比增长率 B 、平均增长率 C 、年度化增长率 D 、增长1%绝对值 3. A 、15% - 10% B 、115% - 110% C 、(110% X 115%) +1 D 、(115%- 110%) -1 4?某种股票的价格周二上涨了 10%，周三上涨了 5%,两天累计张幅达（ A 、15% B 、15.5% 4.8% 5% 5?如果某月份的商品销售额为 84万元, 该月的季节指数为 1.2，在消除季节因素后该月的 A 、60万元 B 、70万元 C 、90.8 万元 D 、100.8 万元 A 、变量和次数 D 、主词和宾词
应用时间序列分析 第5章
佛山科学技术学院 应用时间序列分析实验报告 实验名称第五章非平稳序列的随机分析 一、上机练习 通过第4章我们学习了非平稳序列的确定性因素分解方法，但随着研究方法的深入和研究领域的拓宽，我们发现确定性因素分解方法不能很充分的提取确定性信息以及无法提供明确有效的方法判断各因素之间确切的作用关系。第5章所介绍的随机性分析方法弥补了确定性因素分解方法的不足，为我们提供了更加丰富、更加精确的时序分析工具。 5.8.1 拟合ARIMA模型 【程序】 data example5_1; input x@@; difx=dif(x); t=_n_; cards; 1.05 -0.84 -1.42 0.20 2.81 6.72 5.40 4.38 5.52 4.46 2.89 -0.43 -4.86 -8.54 -11.54 -1 6.22 -19.41 -21.61 -22.51 -23.51 -24.49 -25.54 -24.06 -23.44 -23.41 -24.17 -21.58 -19.00 -14.14 -12.69 -9.48 -10.29 -9.88 -8.33 -4.67 -2.97 -2.91 -1.86 -1.91 -0.80 ; proc gplot; plot x*t difx*t; symbol v=star c=black i=join; proc arima; identify var=x(1); estimate p=1; estimate p=1 noint; forecast lead=5id=t out=out; proc gplot data=out; plot x*t=1 forecast*t=2 l95*t=3 u95*t=3/overlay; symbol1c=black i=none v=star; symbol2c=red i=join v=none; symbol3c=green I=join v=none;
时间序列分析基于R——习题答案
第一章习题答案 略 第二章习题答案 2.1 （1）非平稳 （2）0.0173 0.700 0.412 0.148 -0.079 -0.258 -0.376 （3）典型的具有单调趋势的时间序列样本自相关图 2.2 （1）非平稳，时序图如下 （2）-（3）样本自相关系数及自相关图如下：典型的同时具有周期和趋势序列的样本自相关图
2.3 （1）自相关系数为：0.2023 0.013 0.042 -0.043 -0.179 -0.251 -0.094 0.0248 -0.068 -0.072 0.014 0.109 0.217 0.316 0.0070 -0.025 0.075 -0.141 -0.204 -0.245 0.066 0.0062 -0.139 -0.034 0.206 -0.010 0.080 0.118 （2）平稳序列 （3）白噪声序列 2.4 ，序列LB=4.83，LB统计量对应的分位点为0.9634，P值为0.0363。显著性水平=0.05 不能视为纯随机序列。 2.5 （1）时序图与样本自相关图如下
（2） 非平稳 （3）非纯随机 2.6 （1）平稳，非纯随机序列（拟合模型参考：ARMA(1,2)） （2）差分序列平稳，非纯随机 第三章习题答案 3.1 ()0t E x =,2 1 () 1.9610.7 t Var x ==-,220.70.49ρ==,220φ= 3.2 1715φ=,2115 φ= 3.3 ()0t E x =,10.15 () 1.98(10.15)(10.80.15)(10.80.15) t Var x += =--+++ 10.8 0.7010.15 ρ= =+,210.80.150.41ρρ=-=,3210.80.150.22ρρρ=-= 1110.70φρ==,2220.15φφ==-,330φ= 3.4 10c -<<, 1121,1,2 k k k c c k ρρρρ--?=? -??=+≥? 3.5 证明: 该序列的特征方程为：32 - -c 0c λλλ+=，解该特征方程得三个特征根： 11λ=，2λ=3λ=
8章 时间序列分析练习题参考答案
第八章 时间数列分析 一、单项选择题 1.时间序列与变量数列( ) A 都是根据时间顺序排列的 B 都是根据变量值大小排列的 C 前者是根据时间顺序排列的，后者是根据变量值大小排列的 D 前者是根据变量值大小排列的，后者是根据时间顺序排列的 C 2.时间序列中，数值大小与时间长短有直接关系的是( ) A 平均数时间序列 B 时期序列 C 时点序列 D 相对数时间序列 B 3.发展速度属于( ) A 比例相对数 B 比较相对数 C 动态相对数 D 强度相对数 C 4.计算发展速度的分母是( ) A 报告期水平 B 基期水平 C 实际水平 D 计划水平 B 5.某车间月初工人人数资料如下： 则该车间上半年的平均人数约为( ) A 296人 B 292人 C 295 人 D 300人 C 6.某地区某年9月末的人口数为150万人，10月末的人口数为150．2万人，该地区10月的人口平均数为( ) A 150万人 B 150．2万人 C 150．1万人 D 无法确定 C 7.由一个9项的时间序列可以计算的环比发展速度( ) A 有8个 B 有9个 C 有10个 D 有7个 A 8.采用几何平均法计算平均发展速度的依据是( ) A 各年环比发展速度之积等于总速度 B 各年环比发展速度之和等于总速度 C 各年环比增长速度之积等于总速度 D 各年环比增长速度之和等于总速度 A 9.某企业的科技投入，2010年比2005年增长了58．6％，则该企业2006—2010年间科技投入的平均发展速度为( ) A 5 %6.58 B 5%6.158 C 6 %6.58 D 6%6.158 B 10.根据牧区每个月初的牲畜存栏数计算全牧区半年的牲畜平均存栏数，采用的公式是( ) A 简单平均法 B 几何平均法 C 加权序时平均法 D 首末折半法 D 11.在测定长期趋势的方法中，可以形成数学模型的是( ) A 时距扩大法 B 移动平均法 C 最小平方法 D 季节指数法
时间序列分析方法第章预测
第四章 预 测 在本章当中我们讨论预测的一般概念和方法，然后分析利用),(q p ARMA 模型进行预测的问题。 §4.1 预期原理 利用各种条件对某个变量下一个时点或者时间阶段内取值的判断是预测的重要情形。为此，需要了解如何确定预测值和度量预测的精度。 4.1.1 基于条件预期的预测 假设我们可以观察到一组随机变量t X 的样本值，然后利用这些数据预测随机变量1+t Y 的值。特别地，一个最为简单的情形就是利用t Y 的前m 个样本值预测1+t Y ，此时t X 可以描述为： 假设*|1t t Y +表示根据t X 对于1+t Y 做出的预测。那么如何度量预测效果呢？通常情况下，我们利用损失函数来度量预测效果的优劣。假设预测值与真实值之间的偏离作为损失，则简单的二次损失函数可以表示为(该度量也称为预测的均方误差)： 定理4.1 使得预测均方误差达到最小的预测是给定t X 时，对1 +t Y 的条件数学期望，即： 证明：假设基于t X 对1+t Y 的任意预测值为： 则此预测的均方误差为： 对上式均方误差进行分解，可以得到： 其中交叉项的数学期望为(利用数学期望的叠代法则)： 因此均方误差为： 为了使得均方误差达到最小，则有： 此时最优预测的均方误差为： 211*|1)]|([)(t t t t t X Y E Y E Y MSE +++-= End 我们以后经常使用条件数学期望作为随机变量的预测值。 4.1.2 基于线性投影的预测 由于上述条件数学期望比较难以确定，因此将预测函数的范围限制在线性函数当中，我们考虑下述线性预测： 如此预测的选取是所有预测变量的线性组合，预测的优劣则体现在系数向量的选择上。 定义4.1 如果我们可以求出一个系数向量值α，使得预测误差)(1t t X Y α'-+与t X 不相关： 则称预测t X α'为1+t Y 基于t X 的线性投影。 定理4.2 在所有线性预测当中，线性投影预测具有最小的均方误差。
非线性动力学——时间序列分析读书报告
非线性动力学时间序列分析读书报告 Email：dragon_hm@https://www.360docs.net/doc/5817881002.html,
1.时间序列分析简介 用随机过程理论和数理统计学方法研究随机数据序列所遵从的统计规律，以用于解决实际问题。由于在大多数问题中，随机数据是依时间先后排成序列的，称为时间序列。它包括一般统计分析（如自相关分析、谱分析等），统计模型的建立与推断，以及关于随机序列的最优预测、控制和滤波等内容。 经典的统计分析都假定数据序列具有独立性，而时间序列分析则着重研究数据序列的相互依赖关系。后者实际上是对离散指标的随机过程的统计分析，所以又可看作是随机过程统计的一个组成部分。例如,用 x(t)表示某地区第 t月的降雨量，*x(t),t=1,2,…+是一时间序列。对t=1,2,…,T记录到逐月的降雨量数据x(1)，x(2)，…，x(T)称为长度为T的样本序列。依此，即可使用时间序列分析方法，对未来各月的雨量x(T+i) i=1，2，…进行预报。 时间序列分析不仅可以从数量上揭示某一现象的发展变化规律或从动态的角度刻画某一现象与其他现象之间的内在数量关系及其变化规律性，达到认识客观世界之目的，而且运用时间序列模型还可以预测和控制现象的未来行为。时间序列分析在第二次世界大战前就已应用于经济预测。二次大战中和战后，在军事科学、空间科学和工业自动化等部门的应用更加广泛。 2.时间序列概述 时间序列包含一系列数据，这些数据是随时间或者其他变量的增加而得到的，并随着时间的改变，变量值的序列组成了一个时间序列。例如，股票每天的收盘价格就是一个时间序列，每年客运流量是一个时间序列，某种商品的销售数量也是一个时间序列，时间序列存在于日常生活之中。 2.1 时间序列的定义 时间序列是指按照时间顺序获得的一系列观测值。从数学意义上讲，如果对某一过程中的某一变量或一组变量 X(t)进行观察测量，在一系列时刻t1，t2，…，t n (t 为自变量，且t1 时间序列分析第五章作业 班级：09数学与应用数学 学号： 姓名： 习题5.7 1、 根据数据，做出它的时序图及一阶差分后图形，再用ARIMA 模型模拟该序列的发展，得出 预测。根据输出的结果，我们知道此为白噪声，为非平稳序列，同时可以得出序列t x 模型 应该用随机游走模型(0，1，0)模型来模拟，模型为：，并可以预测到下一天 的收盘价为296.0898。 各代码： data example5_1; input x@@; difx=dif(x); t=_n_; cards ; 304 303 307 299 296 293 301 293 301 295 284 286 286 287 284 282 278 281 278 277 279 278 270 268 272 273 279 279 280 275 271 277 278 279 283 284 282 283 279 280 280 279 278 283 278 270 275 273 273 272 275 273 273 272 273 272 273 271 272 271 273 277 274 274 272 280 282 292 295 295 294 290 291 288 288 290 293 288 289 291 293 293 290 288 287 289 292 288 288 285 282 286 286 287 284 283 286 282 287 286 287 292 292 294 291 288 289 ; proc gplot ; plot x*t difx*t; symbol v =star c =black i =join; proc arima data =example5_1; identify Var =x(1) nlag =8 minic p = (0:5) q = (0:5); estimate p =0 q =0 noint; forecast lead =1 id =t out =results; run ; proc gplot data =results; plot x*t=1 forecast*t=2 l95*t=3 u95*t=3/overlay ; symbol1 c =black i =none v =star; symbol2 c =red i =join v =none; symbol3 c =green i =join v =none l =32; run ; 时序图： 第八章时间序列分析与预测 【课时】 6学时 【本章内容】 §8.1 时间序列的描述性分析 时间序列的含义、时间序列的图形描述、时间序列的速度分析 §8.2 时间序列及其构成分析 时间序列的构成因素、时间序列构成因素的组合模型 § 8.3 时间序列趋势变动分析 移动平均法、指数平滑法、模型法 §8.4 时间序列季节变动分析 原始资料平均法、趋势-循环剔除法、季节变动的调整 §8.5 时间序列循环变动分析 循环变动及其测定目的、测定方法 本章小结 【教学目标与要求】 1.掌握时间序列的四种速度分析 2.掌握时间序列的四种构成因素 3.掌握时间序列构成因素的两种常用模型 4.掌握测定长期趋势的移动平均法 5.了解测定长期趋势的指数平滑法 6.掌握测定长期趋势的线性趋势模型法 7.了解测定长期趋势的非线性趋势模型法 8.掌握分析季节变动的原始资料平均法 9.掌握分析季节变动的循环剔出法 10.掌握测定循环变动的直接法和剩余法 【教学重点与难点】 1.对统计数据进行趋势变动分析，利用移动平均法、指数平滑法、线性模型法求得 数据的长期趋势； 2.对统计数据进行季节变动分析，利用原始资料平均法、趋势－循环剔除法求得数 据的季节变动； 3.对统计数据进行循环变动分析，利用直接法、剩余法求得循环变动。 【导入】 很多社会经济现象总是随着时间的推移不断发展变化，为了探索现象随时间而发展变化的规律，不仅要从静态上分析现象的特征、内部结构以及相互关联的数量关系，而且应着眼于现象随时间演变的过程，从动态上去研究其发展变动的过程和规律。这时需要一些专门研究按照时间顺序观测的序列数据的统计分析方法，这就是统计学中的时间序列分析。 通过介绍一些时间序列分析的例子，让同学们了解时间序列的应用，并激发学生学习本章知识的兴趣。 1.为了表现中国经济的发展状况，把中国经济发展的数据按年度顺序排列起来， 据此来研究。 2.公司对未来的销售量作出预测。这种预测对公司的生产进度安排、原材料采购、 存货策略、资金计划等都至关重要。 时间序列分析法原理及步骤 ----目标变量随决策变量随时间序列变化系统 一、认识时间序列变动特征 认识时间序列所具有的变动特征, 以便在系统预测时选择采用不同的方法 1》随机性:均匀分布、无规则分布,可能符合某统计分布(用因变量的散点图和直方图及其包含的正态分布检验随机性, 大多服从正态分布 2》平稳性:样本序列的自相关函数在某一固定水平线附近摆动, 即方差和数学期望稳定为常数 识别序列特征可利用函数 ACF :其中是的 k 阶自 协方差,且 平稳过程的自相关系数和偏自相关系数都会以某种方式衰减趋于 0, 前者测度当前序列与先前序列之间简单和常规的相关程度, 后者是在控制其它先前序列的影响后,测度当前序列与某一先前序列之间的相关程度。实际上, 预测模型大都难以满足这些条件, 现实的经济、金融、商业等序列都是非稳定的,但通过数据处理可以变换为平稳的。 二、选择模型形式和参数检验 1》自回归 AR(p模型 模型意义仅通过时间序列变量的自身历史观测值来反映有关因素对预测目标的影响和作用,不受模型变量互相独立的假设条件约束,所构成的模型可以消除普通回归预测方法中由于自变量选择、多重共线性的比你更造成的困难用 PACF 函数判别 (从 p 阶开始的所有偏自相关系数均为 0 2》移动平均 MA(q模型 识别条件 平稳时间序列的偏相关系数和自相关系数均不截尾,但较快收敛到 0, 则该时间序列可能是 ARMA(p,q模型。实际问题中,多数要用此模型。因此建模解模的主要工作时求解 p,q 和φ、θ的值,检验和的值。 模型阶数 实际应用中 p,q 一般不超过 2. 3》自回归综合移动平均 ARIMA(p,d,q模型 模型含义 模型形式类似 ARMA(p,q模型, 但数据必须经过特殊处理。特别当线性时间序列非平稳时,不能直接利用 ARMA(p,q模型,但可以利用有限阶差分使非平稳时间序列平稳化,实际应用中 d (差分次数一般不超过 2. 模型识别 平稳时间序列的偏相关系数和自相关系数均不截尾,且缓慢衰减收敛,则该时间序列可能是 ARIMA(p,d,q模型。若时间序列存在周期性波动, 则可按时间周期进 抄完温师兄的笔记,觉得蛮过瘾;于是继续抄抄抄...这两天终于抄累了,决定不再抄了.已经整理成电子版的,尽量发文发上来,就此作罢;天知道怎么会抄e版笔记也会抄上瘾?看来真有点控制不住自己,就跟小时候逃课去打街机一个德性... 再不抄了,就此作罢. 非线性时间序列的例子 1.Logistic模型x n+1=Rx n(1-x n) R=1.5时,不管初始状态x0在何处,随时间的演化,系统都将单调地趋向于1/3, R=2.9时,不管初始状态x0在何处,随时间的演化,系统都将交替地趋向于19/29, Logistic模型R=3.3时, 不管初始状态x0在何处,随时间的演化,系统都将在0.48和0.82两个状态之间周期性地变化, R=4时,随时间的演化,系统将出现不规则的振荡,看起来好像是随机的-- ->表明系统对初值具有非常敏感的依赖性,也说明这样的系统只能进行短期预测,要进行较长时间的预测会变得不正确. 2.弹簧振子受迫振动 3.Lorenz系统 dx/dt=sigma (y-z) dy/dt=x(r-z)-y dz/dt=xy-bz 取sigma=10,r=28,b=8/3时,系统是混沌的. 4.实际问题中的实测时间序列 股票指数时间序列 太阳黑子数时间序列 Chapter 2:单变量非线性时间序列分析 例2.1 Henon映射: x n+1=1-1.4x n2+y n y n+1=0.3x n 该系统实际上只与状态变量x n的前两个时刻的状态有关. 相空间重构的基本原理是F.Takens和R.Mane的延迟嵌入定量,它建立了观测信号系统时间波动和动力系统特征之间的桥梁. 基本思想: 通过观测或实验获得单变量时间序列{x n},做以下相空间重构: x n=(x n,x n-tao,…,x n-(m-1)*tao) 从而形成m维状态空间,在重构的m维状态空间中可以建立数学模型: x n+1=G(x n) F.Takens和R.Mane证明了只要适当选取m和tao,原未知数学模型的混沌动力系统的几何特征与重构的m维状态空间的几何特征是等价的,它们具有相同的拓扑结构,这意味着原未知数学模型的混沌动力系统中的任何微分或拓扑不变量可以在重构的状态空间中计算,并且可以通过在重构的m维状态空间中建立数学模型对原未知数学模型的动力系统进行预测,进一步解释/分析/指导原未知数学模型的动力系统. 相空间重构 第八章时间序列分析与预测 【课时】6学时 【本章内容】 § 时间序列的描述性分析 时间序列的含义、时间序列的图形描述、时间序列的速度分析 § 时间序列及其构成分析 时间序列的构成因素、时间序列构成因素的组合模型 § 时间序列趋势变动分析 移动平均法、指数平滑法、模型法 § 时间序列季节变动分析 [ 原始资料平均法、趋势-循环剔除法、季节变动的调整 § 时间序列循环变动分析 循环变动及其测定目的、测定方法 本章小结 【教学目标与要求】 1.掌握时间序列的四种速度分析 2.掌握时间序列的四种构成因素 3.掌握时间序列构成因素的两种常用模型 4.掌握测定长期趋势的移动平均法 5.了解测定长期趋势的指数平滑法 6.； 7.掌握测定长期趋势的线性趋势模型法 8.了解测定长期趋势的非线性趋势模型法 9.掌握分析季节变动的原始资料平均法 10.掌握分析季节变动的循环剔出法 11.掌握测定循环变动的直接法和剩余法 【教学重点与难点】 1.对统计数据进行趋势变动分析，利用移动平均法、指数平滑法、线性模型法求得数 据的长期趋势； 2.对统计数据进行季节变动分析，利用原始资料平均法、趋势－循环剔除法求得数据 的季节变动； 3.对统计数据进行循环变动分析，利用直接法、剩余法求得循环变动。 【导入】 ； 很多社会经济现象总是随着时间的推移不断发展变化，为了探索现象随时间而发展变化的规律，不仅要从静态上分析现象的特征、内部结构以及相互关联的数量关系，而且应着眼于现象随时间演变的过程，从动态上去研究其发展变动的过程和规律。这时需要一些专门研究按照时间顺序观测的序列数据的统计分析方法，这就是统计学中的时间序列分析。 通过介绍一些时间序列分析的例子，让同学们了解时间序列的应用，并激发学生学习本章知识的兴趣。 1.为了表现中国经济的发展状况，把中国经济发展的数据按年度顺序排列起来， 第四章 预 测 在本章当中我们讨论预测的一般概念和方法，然后分析利用),(q p ARMA 模型进行预测的问题。 § 预期原理 利用各种条件对某个变量下一个时点或者时间阶段内取值的判断是预测的重要情形。为此，需要了解如何确定预测值和度量预测的精度。 4.1.1 基于条件预期的预测 假设我们可以观察到一组随机变量t X 的样本值，然后利用这些数据预测随机变量1+t Y 的值。特别地，一个最为简单的情形就是利用t Y 的前m 个样本值预测1+t Y ，此时t X 可以描述为： 假设*|1t t Y +表示根据t X 对于1+t Y 做出的预测。那么如何度量预测效果呢？通常情况下，我们利用损失函数来度量预测效果的优劣。假设预测值与真实值之间的偏离作为损失，则简单的二次损失函数可以表示为(该度量也称为预测的均方误差)： 定理 使得预测均方误差达到最小的预测是给定t X 时，对1+t Y 的条件数学期望，即： 证明：假设基于t X 对1+t Y 的任意预测值为： 则此预测的均方误差为： 对上式均方误差进行分解，可以得到： 其中交叉项的数学期望为(利用数学期望的叠代法则)： 因此均方误差为： 为了使得均方误差达到最小，则有： 此时最优预测的均方误差为： 211*|1)]|([)(t t t t t X Y E Y E Y MSE +++-= End 我们以后经常使用条件数学期望作为随机变量的预测值。 4.1.2 基于线性投影的预测 由于上述条件数学期望比较难以确定，因此将预测函数的范围限制在线性函数当中，我们考虑下述线性预测： 如此预测的选取是所有预测变量的线性组合，预测的优劣则体现在系数向量的选择上。 定义 如果我们可以求出一个系数向量值α，使得预测误差)(1t t X Y α'-+与t X 不相关： 则称预测t X α'为1+t Y 基于t X 的线性投影。 定理 在所有线性预测当中，线性投影预测具有最小的均方误差。 证明：假设t X g '是任意一个线性预测，则对应的均方误差可以分解为： 由于t X α'是线性投影，则有：时间序列分析第五章作业
第八章--时间序列分析
时间序列分析法原理及步骤(精)
非线性时间序列分析及其应用
第八章 时间序列分析
时间序列分析方法第资料章范文预测